高級中學名校試題PAGEPAGE1湖南省邵陽市2025屆高三第二次聯考數學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，所以.故選：D2.已知復數在復平面內對應的點的坐標是，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】復數在復平面內對應的點的坐標是，則，故.故選：B3.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是特稱量詞，改量詞否定結論.所以命題“，”的否定為“，”.故選：D.4.定義在上的函數滿足，且在上單調遞增，設，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為定義在上的函數滿足，所以即圖象關于直線對稱，所以，，又在上單調遞增，所以.故選：A5.已知函數，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，定義域為，，為奇函數，又，所以在上單調遞增，所以即，即的取值范圍是.故選：C6.過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，交拋物線的準線于點．若，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】拋物線的焦點為，設點、，若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，聯立可得，因為，則，所以，，可得，所以，，可得，，解得，所以，，，則，拋物線的準線方程為，所以，點的橫坐標為，所以，.故選：C.7.有甲、乙、丙3臺車床加工同一型號的零件，加工的次品率分別為、、，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙、丙臺車床加工的零件數分別占總數的、、．任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是甲車床加工的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記事件取到的零件為甲車床加工的，事件取到的零件為乙車床加工的，事件取到的零件為丙車床加工的，事件取到的零件是次品，則，，，，，，由貝葉斯公式可得.因此，如果取到的零件是次品，則它是甲車床加工的概率為.故選：C.8.已知向量滿足，，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取，為線段的中點，記，則．．又，點的軌跡是以為焦點的橢圓，長半軸的長為4，短半軸的長為，．故選：A.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.一組數5，7，9，11，3，13，15的第60百分位數是11B若隨機變量，滿足，，則C.一組數據的線性回歸方程為，若，則D.某學校要從12名候選人（其中7名男生，5名女生）中，隨機選取5名候選人組成學生會，記選取的男生人數為，則服從超幾何分布【答案】ACD【解析】數據組為5，7，9，11，3，13，15，排序后為3，5，7，9，11，13，15.計算第60百分位數：根據人教版教材方法，位置計算為

，向上取整到第5個位置，對應數值11,因此選項A正確;選項分析：隨機變量，已知，根據方差性質：方差線性變換公式為

，選項中錯誤;選項分析：線性回歸方程

必經過樣本均值點,當

時，代入方程得

，選項正確;選項分析：從12名候選人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人數X服從超幾何分布H(12,7,5)，選項D正確.故選：ACD.10.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過的直線與的右支交于、兩點，則（）A.直線與恰有兩個公共點B.雙曲線的離心率為C.當時，的面積為D.當直線的斜率為，過線段的中點和原點的直線的斜率為時，【答案】BC【解析】對于A選項，聯立可得，所以，直線與恰有只有一個公共點，A錯；對于B選項，對于雙曲線，則，，，所以，雙曲線的離心率為，B對；對于C選項，設，，由雙曲線的定義可得，由余弦定理可得，可得，則，C對；對于D選項，設點、，線段的中點為，則，，則，由題意可得，所以，，則，D錯.故選：BC.11.設函數的導函數為，即．當，函數在區間上的圖象連續不斷時，直線，，和曲線所圍成的區域的面積為，且，則（）A.B.當時，C.存在實數，使得、、成等比數列D.直線，，和曲線所圍成的區域的面積為【答案】BD【解析】對于選項A，，為常數，A錯；對于選項B，，為常數，即要證，．設，，．則在上單調遞減，所以．B正確；對于選項C，，，，要使、、成等比數列，則．．．①時，，又．，．①不成立，C錯誤．對于選項D，，為常數．D正確．故選：BD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.的展開式中，各二項式系數的和與各項系數的和之比為，則的值為______．【答案】7【解析】根據題意，的展開式中，各二項式系數的和為，再令，可得其展開式中各項系數和為，依據題意有，解得.故答案為：7.13.在中，角所對的邊分別是．若，，則______．【答案】【解析】由，由即正弦定理可得，所以，所以，所以.故答案為：14.已知正六棱錐的高為，它的外接球的表面積是．若在此正六棱錐內放一個正方體，使正方體可以在該正六棱錐內任意轉動，則正方體的棱長的最大值為______．【答案】【解析】設外接球的半徑為，則，．設正六棱錐的底面邊長為，則，，即正六棱錐的底面邊長為1，側棱長為2．正六棱錐的底面積．側面面積．正六棱錐的體積．設正六棱錐的內切球的半徑為，則．．設正方體的棱長為，則，．正方體的棱長的最大值為．故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知向量，，設函數．（1）求函數的最小正周期和單調遞減區間；（2）當時，，求實數的取值范圍．解：（1）．函數的最小正周期．由，，得，．的單調遞減區間為，．（2）當時，，結合的圖像，當時，．當時，，，解得．實數的取值范圍為．16.如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，，為線段上一點，且．（1）證明：平面；（2）是否存在實數，使得點到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（1）證明：，，，故．又面面，面面，面，面．面，，又，面，，面．（2）解：面，，四邊形為菱形，取的中點為，連接，，為等邊三角形．．又，．又平面，．如圖所示，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系．則，，，，，，，，．設為面的一個法向量，則令，則．設為點到面的距離，則．，即或．故存在或，滿足題意．17.已知等差數列的前項和為，，．數列滿足，．（1）求數列的通項公式；（2）證明：數列是等比數列；（3）求數列的前項和．（1）解：是等差數列，，．又，．等差數列的公差，．（2）證明：，．又，，為常數．是首項為1，公比為2的等比數列．（3）解：由（2）得，記，．18.已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求的方程；（2）過的右焦點的直線交于兩點，線段的垂直平分線交于兩點．①證明：四邊形的面積為定值，并求出該定值；②若直線的斜率存在且不為0，設線段的中點為，記，的面積分別為．當時，求的最小值．解：（1）根據題意，得，解得，所以橢圓的方程為．（2）（ⅰ）證明：設四邊形的面積為，由（1）得，橢圓的焦點，因為直線的垂直平分線段，所以，當直線與軸重合時，此時，，．由圓的性質知直線過坐標原點，由橢圓的對稱性知．當直線與軸不重合時，設直線方程為．，，．，則直線的方程為，聯立橢圓方程，得，解得．．．綜上所述，四邊形的面積為定值．（ⅱ）易知，，又，直線的斜率存在且不為0，．由（ⅰ）知，設，則，．當且僅當，即時，等號成立，此時．故的最小值為．19.已知函數，．（1）求的極值；（2）當時，證明：；（3）當恰有四個零點，，，時，證明：．解：（1）由題知，令，則．當時，，此時在上為減函數，當時，，此時在上為增函數，故，無極小值．（2）．令，，故在上為減函數．，即．由（1）可知在上為增函數，，，即．（3）由（2）同理可證，當時，．令，得，由題意得直線與兩條曲線，共有四個交點．如圖所示，，且．由，得．，，且在上為增函數，，即．．同理：．故，即，得證．湖南省邵陽市2025屆高三第二次聯考數學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，所以.故選：D2.已知復數在復平面內對應的點的坐標是，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】復數在復平面內對應的點的坐標是，則，故.故選：B3.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是特稱量詞，改量詞否定結論.所以命題“，”的否定為“，”.故選：D.4.定義在上的函數滿足，且在上單調遞增，設，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為定義在上的函數滿足，所以即圖象關于直線對稱，所以，，又在上單調遞增，所以.故選：A5.已知函數，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，定義域為，，為奇函數，又，所以在上單調遞增，所以即，即的取值范圍是.故選：C6.過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，交拋物線的準線于點．若，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】拋物線的焦點為，設點、，若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，聯立可得，因為，則，所以，，可得，所以，，可得，，解得，所以，，，則，拋物線的準線方程為，所以，點的橫坐標為，所以，.故選：C.7.有甲、乙、丙3臺車床加工同一型號的零件，加工的次品率分別為、、，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙、丙臺車床加工的零件數分別占總數的、、．任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是甲車床加工的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記事件取到的零件為甲車床加工的，事件取到的零件為乙車床加工的，事件取到的零件為丙車床加工的，事件取到的零件是次品，則，，，，，，由貝葉斯公式可得.因此，如果取到的零件是次品，則它是甲車床加工的概率為.故選：C.8.已知向量滿足，，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取，為線段的中點，記，則．．又，點的軌跡是以為焦點的橢圓，長半軸的長為4，短半軸的長為，．故選：A.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.一組數5，7，9，11，3，13，15的第60百分位數是11B若隨機變量，滿足，，則C.一組數據的線性回歸方程為，若，則D.某學校要從12名候選人（其中7名男生，5名女生）中，隨機選取5名候選人組成學生會，記選取的男生人數為，則服從超幾何分布【答案】ACD【解析】數據組為5，7，9，11，3，13，15，排序后為3，5，7，9，11，13，15.計算第60百分位數：根據人教版教材方法，位置計算為

，向上取整到第5個位置，對應數值11,因此選項A正確;選項分析：隨機變量，已知，根據方差性質：方差線性變換公式為

，選項中錯誤;選項分析：線性回歸方程

必經過樣本均值點,當

時，代入方程得

，選項正確;選項分析：從12名候選人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人數X服從超幾何分布H(12,7,5)，選項D正確.故選：ACD.10.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過的直線與的右支交于、兩點，則（）A.直線與恰有兩個公共點B.雙曲線的離心率為C.當時，的面積為D.當直線的斜率為，過線段的中點和原點的直線的斜率為時，【答案】BC【解析】對于A選項，聯立可得，所以，直線與恰有只有一個公共點，A錯；對于B選項，對于雙曲線，則，，，所以，雙曲線的離心率為，B對；對于C選項，設，，由雙曲線的定義可得，由余弦定理可得，可得，則，C對；對于D選項，設點、，線段的中點為，則，，則，由題意可得，所以，，則，D錯.故選：BC.11.設函數的導函數為，即．當，函數在區間上的圖象連續不斷時，直線，，和曲線所圍成的區域的面積為，且，則（）A.B.當時，C.存在實數，使得、、成等比數列D.直線，，和曲線所圍成的區域的面積為【答案】BD【解析】對于選項A，，為常數，A錯；對于選項B，，為常數，即要證，．設，，．則在上單調遞減，所以．B正確；對于選項C，，，，要使、、成等比數列，則．．．①時，，又．，．①不成立，C錯誤．對于選項D，，為常數．D正確．故選：BD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.的展開式中，各二項式系數的和與各項系數的和之比為，則的值為______．【答案】7【解析】根據題意，的展開式中，各二項式系數的和為，再令，可得其展開式中各項系數和為，依據題意有，解得.故答案為：7.13.在中，角所對的邊分別是．若，，則______．【答案】【解析】由，由即正弦定理可得，所以，所以，所以.故答案為：14.已知正六棱錐的高為，它的外接球的表面積是．若在此正六棱錐內放一個正方體，使正方體可以在該正六棱錐內任意轉動，則正方體的棱長的最大值為______．【答案】【解析】設外接球的半徑為，則，．設正六棱錐的底面邊長為，則，，即正六棱錐的底面邊長為1，側棱長為2．正六棱錐的底面積．側面面積．正六棱錐的體積．設正六棱錐的內切球的半徑為，則．．設正方體的棱長為，則，．正方體的棱長的最大值為．故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知向量，，設函數．（1）求函數的最小正周期和單調遞減區間；（2）當時，，求實數的取值范圍．解：（1）．函數的最小正周期．由，，得，．的單調遞減區間為，．（2）當時，，結合的圖像，當時，．當時，，，解得．實數的取值范圍為．16.如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，，為線段上一點，且．（1）證明：平面；（2）是否存在實數，使得點到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（1）證明：，，，故．又面面，面面，面，面．面，，又，面，，面．（2）解：面，，四邊形為菱形，取的中點為，連接，，為等邊三角形．．又，．又平面，．如圖所示，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系．則，，，，，，，，．設為面的一個法向量，則令，則．設為點到面的距離，則．，即或．故存