高級中學名校試題PAGEPAGE1黑龍江省名校協作體2025屆高三下學期一模考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，解得或，則，而，所以.故選：A2.若復數滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由題設，所以.故選：D3.如圖是某高中學校2000名男生的身高樣本的頻率分布直方圖，估計該樣本數據的53%分位數為（）A.177 B.178 C.179 D.180【答案】C【解析】由題設，所以53%分位數在區間內，設為，則，所以.故選：C4.已知橢圓的左頂點為，上頂點為．若是的焦距的倍，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設橢圓的半焦距為c，而，又，則，整理得，因此，所以的離心率為.故選：B5.如圖，在正六邊形中，點滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設及正六邊形的結構特征知，，且，，又，所以.故選：B6.已知，是圓上的兩個動點，且，為直線上的動點，則的最小值為（）A.3 B.4 C.15 D.16【答案】C【解析】若為的中點，如下圖示，，，所以，由，即圓心，半徑，所以，到的距離，即直線與圓相離，結合圖知，最小，此時.故選：C7.如圖，是圓臺上底面的圓心，，是圓臺下底面圓周上的兩個動點，是圓臺的一條母線，記圓臺的上、下底面圓的半徑分別為，．若，平面，且的最小值為6，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取圓臺下底面圓心，令，連接，顯然，由平面平面，平面，平面，得則四邊形為平行四邊形，，在中，，，在圓中，當且僅當時，取最小值6，由，解得，因此，圓臺的高，所以該圓臺的體積為.故選：C8.若函數的圖象恒在圖象的上方，則的最大整數值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】依題意，恒成立，令，求導得，函數在上單調遞增，，則存在，使得，即，當時，；當時，，函數在上遞減，在上遞增，由，得，因此，則，所以的最大整數值為0.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，為坐標原點，則（）A.直線的傾斜角為 B.的方程為C. D.在點處的切線方程為【答案】ACD【解析】由點在拋物線上，得，，對于A，直線的斜率，因此直線的傾斜角為，A正確；對于B，拋物線的準線方程為，B錯誤；對于C，為焦點，則，C正確；對于D，由，求導得，則在點處的切線斜率為，切線方程為，即，D正確.故選：ACD10.已知函數，，則（）A.與的圖象存在相同的對稱中心B.與的圖象存在相同的對稱軸C.當時，與的圖象有5個公共點D.將的圖象向右平移個單位長度后，再向上平移1個單位長度可得的圖象【答案】BC【解析】函數，對于A，函數圖象的對稱中心為，而對任意整數，，因此與的圖象不存在相同的對稱中心，A錯誤；對于B，函數圖象的對稱軸為，，即直線是函數的圖象的對稱軸，B正確；對于C，由，得或，而，解得，則當時，與的圖象有5個公共點，C正確；對于D，，平移后得到的函數解析式為，D錯誤.故選：BC11.已知函數及其導函數的定義域均為，記，若是奇函數，且，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為，令，則，即，即，又是奇函數，即，即，則，故A錯誤；又，由，令，則，由，令，則，令，則，故B正確；由，兩邊求導可得，即，故C正確；由A可知，，兩邊求導可得，即，所以是周期為的函數，又，兩邊求導可得，即，令，則，又，則，令，則，又，所以，即，所以，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為公差不為0的等差數列的前項和．若，，則________．【答案】9【解析】在等差數列中，，則，，由，得，即，因此，又等差數列的公差不為0，則等差數列是單調數列，所以.故答案為：913.現將1個紅球、1個黃球、1個綠球及3個白球（白球之間沒有區別）放入3個不同的盒子中，每個盒子放入2個球，則不同的放法種數為________．（用數字作答）【答案】24【解析】把6個小球按2個球一組分成3組，有兩類分法：每個盒子放入一個白球，有1種方法；有2個白球放入一個盒子，有種方法，再將分成的3組放入3個盒子有種方法，所以不同的放法種數為.故答案為：2414.已知正四棱柱的所有頂點均在球的球面上，若該四棱柱的體積為1，則球的表面積的最小值為________．【答案】【解析】設正四棱柱的底面邊長為，高為，則其外接球的直徑，由四棱柱的體積為1，得，即，因此球的表面積，令，求導得，當時，；當時，，函數在上遞減，在上遞增，則當時，，所以球的表面積的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）的外接圓半徑為1，是邊的中點，求的最小值．解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由的外接圓半徑為1及正弦定理得，則，當且僅當時取等號，，由是邊的中點，得，則，當且僅當時取等號，所以的最小值是.16.如圖，四棱錐中，，，，平面平面．（1）證明：；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：分別取的中點，連接，則，四邊形為平行四邊形，，由，得，平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，而平面，因此，又為的中點，所以.（2）解：由（1）知，平面，平面，得，而，平面，則平面，又，則平面，在平面內過作，則，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，由，，得，而，解得，令，則，，設平面的法向量，則，令，得，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值.17.已知函數，．（1）若曲線與在點處有相同的切線，求的值；（2）若，證明：對任意的，．（1）解：由題設，，則，，又曲線與在點處有相同的切線，則；（2）證明：令且，，則，所以在上單調遞增，則，即，得證.18.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，且，漸近線方程為．（1）求方程；（2）設軸上方的點，分別在的左支與右支上，若，求四邊形的面積．解：（1）雙曲線的漸近線方程為，依題意，，半焦距，而，解得，所以的方程為.（2）設，而，由，得，依題意，，解得，即，，，等腰底邊上的高，又四邊形為梯形，則，所以四邊形的面積為.19.已知一個袋子中裝有分別標有數字的張卡片，．（1）把這個袋子中的張卡片分別放入2個不同的盒子中，每個盒子不空，記分配方法總數為，求的值；（2）從這個袋子中依次隨機抽取一張卡片．（i）若取出的卡片不再放回袋子，記為最后一張標號為偶數的卡片被取出時所需的抽取次數，求；（ii）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取次，直到取到標號為偶數的卡片就停止抽取，記抽取的次數為，證明：．解：（1）由題意知，所以.（2）（i）由題意知的所有可能取值為，則，所以，因為，所以；（ii）證明：若取出的卡片再放回袋子，則每次抽取到偶數號碼卡片的概率為，由題意知的所有可能取值為，所以，，則的分布列為所以，則，兩式相減可得，所以.黑龍江省名校協作體2025屆高三下學期一模考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，解得或，則，而，所以.故選：A2.若復數滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由題設，所以.故選：D3.如圖是某高中學校2000名男生的身高樣本的頻率分布直方圖，估計該樣本數據的53%分位數為（）A.177 B.178 C.179 D.180【答案】C【解析】由題設，所以53%分位數在區間內，設為，則，所以.故選：C4.已知橢圓的左頂點為，上頂點為．若是的焦距的倍，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設橢圓的半焦距為c，而，又，則，整理得，因此，所以的離心率為.故選：B5.如圖，在正六邊形中，點滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設及正六邊形的結構特征知，，且，，又，所以.故選：B6.已知，是圓上的兩個動點，且，為直線上的動點，則的最小值為（）A.3 B.4 C.15 D.16【答案】C【解析】若為的中點，如下圖示，，，所以，由，即圓心，半徑，所以，到的距離，即直線與圓相離，結合圖知，最小，此時.故選：C7.如圖，是圓臺上底面的圓心，，是圓臺下底面圓周上的兩個動點，是圓臺的一條母線，記圓臺的上、下底面圓的半徑分別為，．若，平面，且的最小值為6，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取圓臺下底面圓心，令，連接，顯然，由平面平面，平面，平面，得則四邊形為平行四邊形，，在中，，，在圓中，當且僅當時，取最小值6，由，解得，因此，圓臺的高，所以該圓臺的體積為.故選：C8.若函數的圖象恒在圖象的上方，則的最大整數值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】依題意，恒成立，令，求導得，函數在上單調遞增，，則存在，使得，即，當時，；當時，，函數在上遞減，在上遞增，由，得，因此，則，所以的最大整數值為0.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，為坐標原點，則（）A.直線的傾斜角為 B.的方程為C. D.在點處的切線方程為【答案】ACD【解析】由點在拋物線上，得，，對于A，直線的斜率，因此直線的傾斜角為，A正確；對于B，拋物線的準線方程為，B錯誤；對于C，為焦點，則，C正確；對于D，由，求導得，則在點處的切線斜率為，切線方程為，即，D正確.故選：ACD10.已知函數，，則（）A.與的圖象存在相同的對稱中心B.與的圖象存在相同的對稱軸C.當時，與的圖象有5個公共點D.將的圖象向右平移個單位長度后，再向上平移1個單位長度可得的圖象【答案】BC【解析】函數，對于A，函數圖象的對稱中心為，而對任意整數，，因此與的圖象不存在相同的對稱中心，A錯誤；對于B，函數圖象的對稱軸為，，即直線是函數的圖象的對稱軸，B正確；對于C，由，得或，而，解得，則當時，與的圖象有5個公共點，C正確；對于D，，平移后得到的函數解析式為，D錯誤.故選：BC11.已知函數及其導函數的定義域均為，記，若是奇函數，且，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為，令，則，即，即，又是奇函數，即，即，則，故A錯誤；又，由，令，則，由，令，則，令，則，故B正確；由，兩邊求導可得，即，故C正確；由A可知，，兩邊求導可得，即，所以是周期為的函數，又，兩邊求導可得，即，令，則，又，則，令，則，又，所以，即，所以，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為公差不為0的等差數列的前項和．若，，則________．【答案】9【解析】在等差數列中，，則，，由，得，即，因此，又等差數列的公差不為0，則等差數列是單調數列，所以.故答案為：913.現將1個紅球、1個黃球、1個綠球及3個白球（白球之間沒有區別）放入3個不同的盒子中，每個盒子放入2個球，則不同的放法種數為________．（用數字作答）【答案】24【解析】把6個小球按2個球一組分成3組，有兩類分法：每個盒子放入一個白球，有1種方法；有2個白球放入一個盒子，有種方法，再將分成的3組放入3個盒子有種方法，所以不同的放法種數為.故答案為：2414.已知正四棱柱的所有頂點均在球的球面上，若該四棱柱的體積為1，則球的表面積的最小值為________．【答案】【解析】設正四棱柱的底面邊長為，高為，則其外接球的直徑，由四棱柱的體積為1，得，即，因此球的表面積，令，求導得，當時，；當時，，函數在上遞減，在上遞增，則當時，，所以球的表面積的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）的外接圓半徑為1，是邊的中點，求的最小值．解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由的外接圓半徑為1及正弦定理得，則，當且僅當時取等號，，由是邊的中點，得，則，當且僅當時取等號，所以的最小值是.16.如圖，四棱錐中，，，，平面平面．（1）證明：；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：分別取的中點，連接，則，四邊形為平行四邊形，，由，得，平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，而平面，因此，又為的中點，所以.（2）解：由（1）知，平面，平面，得，而，平面，則平面，又，則平面，在平面內過作，則，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，由