高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省鶴壁市2025屆高三3月模擬考試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題解得，，所以．故選：A.2.若復數在復平面內對應的點位于y軸上，則實數（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為在復平面內對應的點位于y軸上，所以，．故選：C3.已知向量，，則在上的投影向量的長度為（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】由題可知在上的投影向量的長度為．故選：B4.如圖，曲線是拋物線的一部分，且曲線關于y軸對稱，，則點B到C的焦點的距離為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由題可知C的焦點坐標為，又曲線關于y軸對稱，且，所以的橫坐標為2，代入拋物線方程，，拋物線的準線方程為,拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，因為到準線的距離為所以點B到C焦點的距離為2．故選：C.5.已知函數的圖象關于直線對稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，，則，，又，所以，所以．故選：D.6.在直三棱柱中，，，若該棱柱外接球的表面積為，則側面繞直線旋轉一周所得到的旋轉體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知三棱柱兩個底面三角形的外接圓的圓心分別為，的中點，．設外接球的半徑為R，則，，所以，解得．側面旋轉后得到的幾何體是底面半徑為，高為2的圓柱，其體積為．故選：B.7.為了抒寫鄉村發展故事、展望鄉村振興圖景、演繹民眾身邊日常、唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉村”節目匯演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個節目，則歌曲和戲曲節目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節目前面演出的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當器樂在第三個位置演出時，共有種不同的演出順序；當器樂在第四個位置演出時，共有種不同的演出順序；當器樂在第五個位置演出時，共有種不同的演出順序；當器樂在第六個位置演出時，共有種不同的演出順序；所以共有種不同的演出順序，則所求概率為．故選：A8.已知且，若函數與在區間上都單調遞增，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，因為在區間上單調遞增，所以，即，當時，有，得，不成立舍去；當時，有ln(a+2)>0，則顯然成立，故.又在區間上單調遞增，在時恒成立，所以在時恒成立，因為，則有，即，則得，即，解得或，又，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.有一組樣本數據a，b，c，d，其中，由這組數據得到的新樣本數據為，，，，則（）A.兩組數據的極差一定相等 B.兩組數據的平均數一定相等C.兩組數據的中位數可能相等 D.兩組數據的方差不可能相等【答案】BC【解析】對于A，假設原樣本數據為5，4，2，1，極差為，則新樣本數據為3，2，4，3，極差為，兩組數據的極差不相等，故A錯誤；對于B，因為，所以兩組數據的平均數一定相等，故B正確；對于C，由A中的數據可知兩組數據的中位數可能相等，故C正確；對于D，假設原樣本數據為4，3，2，1，則新樣本數據為2，1，4，3，這兩組數據一樣，故方差可能相等，故D錯誤．故選：BC.10.已知，分別是雙曲線（）的左、右焦點，斜率為且過點的直線交C的右支于A，B兩點，A在第一象限，且，則（）A.點到C的漸近線的距離為 B.C.C的離心率為2D.分別以，為直徑的圓的公共弦長為【答案】ACD【解析】對于A,C，連接，由題意得，故，，由于，所以，又，故，設（），在中，由余弦定理可得，解得（負值舍去），故離心率為2，即，漸近線方程為，點到C的漸近線的距離為，故A，C正確；對于B，設（），則，,在中，由余弦定理可得，解得，故，故B錯誤；對于D，因為，所以為等腰三角形，過點作于點，易知分別以，為直徑的圓的公共弦為，且，故D正確．故選：ACD.11.塌縮函數在神經網絡、信號處理和數據壓縮等領域經常用到．常見的塌縮函數有，，設的值域為，的值域為，則下列結論正確的是（）A.B.C.方程的所有實根之和為1D.若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，因為.，所以在上為增函數，且的值域為，又，所以，故A正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，所以，由B可知的圖象關于點對稱，又的圖象也關于點對稱，所以兩函數圖象的交點也關于點對稱，則方程的所有實根之和為0，故C錯誤；對于D，易知為增函數，且，即，則，即，因為，當且僅當時等號成立，所以，解得，所以實數的取值范圍是，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知一圓錐的表面積與底面積的比值為3，則該圓錐的母線與底面所成的角為________．【答案】【解析】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，母線與底面所成的角為．由題可知，則，所以，．故答案為：.13.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若的平分線交于點E，且，，，則________．【答案】【解析】由面積相等，可得，即，化簡得，又，∴．由余弦定理可得，所以.故答案為：14.記表示不超過x的最大整數．若正項數列滿足，，則數列的前101項和為________．【答案】10101【解析】因為，所以，因為為正項數列，所以，則，當時，，故，又對于，都有，故，所以，故當時，，又，所以的前101項和為．故答案為：10101四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數列滿足，，數列的首項為9，且是公比為2的等比數列．（1）求的通項公式；（2）探究的單調性，并求其最值．解：（1）設的公差為d．由題可得，解得，所以，即的通項公式為；（2）由（1）可得，故，則，所以，當時，，當時，，所以，故先單調遞減后單調遞增，且有最小值，為，無最大值．16.甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率是，乙每次擊中目標的概率是，假設兩人是否擊中目標相互之間沒有影響．（1）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率；（2）設甲擊中目標的次數為X，求X的分布列和數學期望．解：（1）設甲恰好比乙多擊中目標2次為事件A，甲擊中目標2次且乙擊中目標0次為事件，甲擊中目標3次且乙擊中目標1次為事件，則，所以甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為．（2）由題可知X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P所以．17.已知函數．（1）當時，證明：；（2）當時，若函數在區間內有且僅有一個極值點，求實數取值范圍．（1）證明：要證，即證．當時，，所以，可以考慮證明，令，，則，易知在上單調遞增，且，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，∴是的極小值點，也是最小值點，故當時，，即，因此，當時，．（2）解：由題可知，則．若，當時，，，∴，則在區間上單調遞增，沒有極值點，不符合題意，舍去．若，設，則在區間上恒成立，∴在區間上單調遞增，即在區間上單調遞增，又，，∴在區間有唯一的零點，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，∴在區間內有唯一的極值點，符合題意．綜上，實數a的取值范圍是．18.已知橢圓（）的離心率為，短軸長為．（1）求C的方程．（2）若C上的兩點滿足，則稱點為C上的一對伴點，設A為C上位于第一象限的一點，且點A的橫坐標為1．（ⅰ）證明：點AC上共有兩個伴點；（ⅱ）設（ⅰ）中的兩個伴點分別為G，H，若斜率為的動直線l與C交于點M，N，點G，H，M，N組成四邊形，求四邊形的面積的最大值．解：（1）設C的半焦距為c（）．由題可知解得所以C的方程為．（2）（ⅰ）由題可知點A的坐標為．設點A在C上的伴點的坐標為，則，即，所以點A在C上的伴點在直線上．聯立方程得解得或所以點A在C上所有伴點的坐標分別為，，即點A在C上共有兩個伴點．（ⅱ）設，則兩式相減得．由題可知，則，所以線段的中點在直線上，則線段被直線平分．由（ⅰ）可知直線的方程為．設點到直線的距離為，則四邊形的面積．又，所以．設過點且與直線平行的直線的方程為，則當與相切時，取得最大值．由可得（*），令，解得．故的最大值為直線和直線（或）的距離，即為，所以，即四邊形的面積的最大值為．19.球面與過球心的平面的交線叫做大圓，將球面上三點用三條大圓弧連接起來所組成的圖形叫做球面三角形，每條大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構成的二面角叫做球面三角形的一個內角.如圖（1），球的半徑為球的球面上的四點.（1）若球面三角形的三條邊長均為，求此球面三角形一個內角的余弦值.（2）在球的內接三棱錐中，平面，直線與平面所成的角為.（i）若分別為直線上的動點，求線段長度的最小值；（ii）如圖（2），若分別為線段的中點，為線段上一點（與點不重合），當平面與平面夾角的余弦值最大時，求線段的長.解：（1）因為球面三角形的三條邊長均為，所以球面三角形每條邊所對的圓心角均為，所以四面體為正四面體.取的中點，連接，則，且，則為二面角的平面角.由余弦定理可得.所以此球面三角形一個內角的余弦值為.（2）因為平面，所以.設，則，所以.由勾股定理的逆定理可得，又，所以平面，又平面，所以，因為直線與平面所成的角為，所以.易知在和中，斜邊的中點到點的距離相等，即為球的直徑，所以.以點為坐標原點，直線分別為軸，過點且與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.（i）由題可知，則.設與都垂直的向量為，則令，則，所以線段長度的最小值為.（ii）設，由題可知，則.設平面的一個法向量為，則取，可得.設平面的一個法向量為，則取，可得.設平面與平面的夾角為.因為，令，則，可得，當且僅當，即時等號成立，此時取得最大值，故.河南省鶴壁市2025屆高三3月模擬考試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題解得，，所以．故選：A.2.若復數在復平面內對應的點位于y軸上，則實數（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為在復平面內對應的點位于y軸上，所以，．故選：C3.已知向量，，則在上的投影向量的長度為（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】由題可知在上的投影向量的長度為．故選：B4.如圖，曲線是拋物線的一部分，且曲線關于y軸對稱，，則點B到C的焦點的距離為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由題可知C的焦點坐標為，又曲線關于y軸對稱，且，所以的橫坐標為2，代入拋物線方程，，拋物線的準線方程為,拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，因為到準線的距離為所以點B到C焦點的距離為2．故選：C.5.已知函數的圖象關于直線對稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，，則，，又，所以，所以．故選：D.6.在直三棱柱中，，，若該棱柱外接球的表面積為，則側面繞直線旋轉一周所得到的旋轉體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知三棱柱兩個底面三角形的外接圓的圓心分別為，的中點，．設外接球的半徑為R，則，，所以，解得．側面旋轉后得到的幾何體是底面半徑為，高為2的圓柱，其體積為．故選：B.7.為了抒寫鄉村發展故事、展望鄉村振興圖景、演繹民眾身邊日常、唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉村”節目匯演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個節目，則歌曲和戲曲節目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節目前面演出的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當器樂在第三個位置演出時，共有種不同的演出順序；當器樂在第四個位置演出時，共有種不同的演出順序；當器樂在第五個位置演出時，共有種不同的演出順序；當器樂在第六個位置演出時，共有種不同的演出順序；所以共有種不同的演出順序，則所求概率為．故選：A8.已知且，若函數與在區間上都單調遞增，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，因為在區間上單調遞增，所以，即，當時，有，得，不成立舍去；當時，有ln(a+2)>0，則顯然成立，故.又在區間上單調遞增，在時恒成立，所以在時恒成立，因為，則有，即，則得，即，解得或，又，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.有一組樣本數據a，b，c，d，其中，由這組數據得到的新樣本數據為，，，，則（）A.兩組數據的極差一定相等 B.兩組數據的平均數一定相等C.兩組數據的中位數可能相等 D.兩組數據的方差不可能相等【答案】BC【解析】對于A，假設原樣本數據為5，4，2，1，極差為，則新樣本數據為3，2，4，3，極差為，兩組數據的極差不相等，故A錯誤；對于B，因為，所以兩組數據的平均數一定相等，故B正確；對于C，由A中的數據可知兩組數據的中位數可能相等，故C正確；對于D，假設原樣本數據為4，3，2，1，則新樣本數據為2，1，4，3，這兩組數據一樣，故方差可能相等，故D錯誤．故選：BC.10.已知，分別是雙曲線（）的左、右焦點，斜率為且過點的直線交C的右支于A，B兩點，A在第一象限，且，則（）A.點到C的漸近線的距離為 B.C.C的離心率為2D.分別以，為直徑的圓的公共弦長為【答案】ACD【解析】對于A,C，連接，由題意得，故，，由于，所以，又，故，設（），在中，由余弦定理可得，解得（負值舍去），故離心率為2，即，漸近線方程為，點到C的漸近線的距離為，故A，C正確；對于B，設（），則，,在中，由余弦定理可得，解得，故，故B錯誤；對于D，因為，所以為等腰三角形，過點作于點，易知分別以，為直徑的圓的公共弦為，且，故D正確．故選：ACD.11.塌縮函數在神經網絡、信號處理和數據壓縮等領域經常用到．常見的塌縮函數有，，設的值域為，的值域為，則下列結論正確的是（）A.B.C.方程的所有實根之和為1D.若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，因為.，所以在上為增函數，且的值域為，又，所以，故A正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，所以，由B可知的圖象關于點對稱，又的圖象也關于點對稱，所以兩函數圖象的交點也關于點對稱，則方程的所有實根之和為0，故C錯誤；對于D，易知為增函數，且，即，則，即，因為，當且僅當時等號成立，所以，解得，所以實數的取值范圍是，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知一圓錐的表面積與底面積的比值為3，則該圓錐的母線與底面所成的角為________．【答案】【解析】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，母線與底面所成的角為．由題可知，則，所以，．故答案為：.13.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若的平分線交于點E，且，，，則________．【答案】【解析】由面積相等，可得，即，化簡得，又，∴．由余弦定理可得，所以.故答案為：14.記表示不超過x的最大整數．若正項數列滿足，，則數列的前101項和為________．【答案】10101【解析】因為，所以，因為為正項數列，所以，則，當時，，故，又對于，都有，故，所以，故當時，，又，所以的前101項和為．故答案為：10101四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數列滿足，，數列的首項為9，且是公比為2的等比數列．（1）求的通項公式；（2）探究的單調性，并求其最值．解：（1）設的公差為d．由題可得，解得，所以，即的通項公式為；（2）由（1）可得，故，則，所以，當時，，當時，，所以，故先單調遞減后單調遞增，且有最小值，為，無最大值．16.甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率是，乙每次擊中目標的概率是，假設兩人是否擊中目標相互之間沒有影響．（1）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率；（2）設甲擊中目標的次數為X，求X的分布列和數學期望．解：（1）設甲恰好比乙多擊中目標2次為事件A，甲擊中目標2次且乙擊中目標0次為事件，甲擊中目標3次且乙擊中目標1次為事件，則，所以甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為．（2）由題可知X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P所以．17.已知函數．（1）當時，證明：；（2）當時，若函數在區間內有且僅有一個極值點，求實數取值范圍．（1）證明：要證，即證．當時，，所以，可以考慮證明，令，，則，易知在上單調遞增，且，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，∴是的極小值點，也是最小值點，故當時，，即，因此，當時，．（2）解：由題可知，則．若，當時，，，∴，則在區間上單調遞增，沒有極值點，不符合題意，舍去．若，設，則在區間上恒成立，∴在區間上單調遞增，即在區間上單調遞增，又，，∴在區間有唯一的零點，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，∴在區間內有唯一的極值點，符合題意．綜上，實數a的取值范圍是．18.已知橢圓（）的離心率為，短軸長為．（1）求C的方程．（2）若C上的兩點滿足，則稱點為C上的一對伴點，設A為C上位于第一象限的一點，且點A的橫坐標為1．（ⅰ）證明：點AC上共有兩個伴點；（ⅱ）設（ⅰ）中的兩個伴點分別為G，H，若斜率為的動直線l與C交于點M，N，點G，H，M，N組成四邊形，求四邊形的面積的最大值．解：（1）設C的半焦距為c（）．由題可知解得所以C的方程為．（2）（ⅰ）由題可知點A的坐標為．設點A在C上的