高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省秦皇島市昌黎縣2025屆高三第一次模擬數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數的實部為1，則（）A.1 B.2 C.i D.【答案】B【解析】設，則，故.故選：B2.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線的準線方程為.故選：C.3.設向量，.若與共線，則（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】因為，，若與共線，則，解得.故選：C.4.已知函數，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，即，即，又，所以故選：B5.從1，2，3，4，5這5個數中任取兩個數，則這兩個數的乘積為偶數的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從1，2，3，4，5這5個數中任取兩個數的情況有：，共種；符合題意的有，共種.所以概率為.故選：D.6.已知函數在區間單調遞增，則的最小值為（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4【答案】A【解析】已知.對求導得.因為函數在區間單調遞增，所以在區間上恒成立.即在上恒成立，可轉化為在上恒成立.設，.因為在上單調遞增，所以在上單調遞增.那么在上單調遞減.則.由于在上恒成立，所以.所以的最小值為.故選：A7.已知，記為等比數列的前項和.設命題；命題，則命題是命題的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設的公比為，則，若，則必有，當時，當時，，故；當時，，若，則，故，若，則，故，若，，故，綜上，充分性成立，若，當時，，故，當時，，由于或或時，的正負均相同，故，所以，則，綜上，必要性成立，所以命題是命題的充要條件.故選：A8.已知函數，的定義域均為，且的圖像關于點對稱.設集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數的圖象關于點對稱，所以，所以，由于，，與互相都不能推出，所以互不包含，，其它不一定正確.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知兩組樣本數據，第一組，第二組，若，則（）A.這兩組數據的平均數一定相等 B.這兩組數據的極差一定相等C.這兩組數據的第90百分位數一定相等 D.這兩組數據的眾數一定相等【答案】BC【解析】由，得，第一組數據由小到大排列為，，第二組數據由小到大排列為或，對于A，由，當且僅當取等號，因此這兩組數據的平均數不一定相等，A錯誤；對于B，這兩組數據的極差都為，B正確；對于C，由，得這兩組數據的第90百分位數都為，C正確；對于D，取，第一組數據為，5個數據出現次數相同，第二組數據為，其眾數為2，因此這兩組數據的眾數不同，D錯誤.故選：BC10.已知橢圓的左頂點為，右焦點為.點在線段（為坐標原點）上，且與圓有且只有一個公共點，點，Q分別為和圓上的動點，則（）A.的最大值為2 B.為定值C.圓半徑的最大值為1 D.的最小值為3【答案】ABD【解析】對于A，當點P位于橢圓的長軸上的一個頂點時，取最大值，最大值為2，A正確；對于B，橢圓的右準線為，根據橢圓第二定義可知，B正確；對于C，設，則圓M的方程為，聯立得，令，此時方程有兩相等實數根，符合題意，則，圓的半徑為，C錯誤；對于D，由于，則，當且僅當P位于時取等號，即的最小值為3，D正確，故選：ABD11.設a，b為正數，若函數在區間上有且僅有兩個零點，則（）A.有最大值 B.有最小值C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BC【解析】對于A，由，可得或，.則或，.因a，b為正數，且函數在區間上有且僅有兩個零點，則或或，其中.當時，可得；當時，類似可得；當時，類似可得.綜上可得有最小值，無最大值，故A錯誤，B正確；對于C，注意到，又由AB分析知，當時，，，則此時；當時，同理可得：，其中.令，則，，構造函數，則，即在上單調遞增，則；當時，同理可得：，其中令，則，，構造函數，則，即在上單調遞增，則；因，綜上可知，最小值為，故C正確；對于D，由以上分析可知，由基本不等式，，當且僅當時取等號，此時，為，因，則此時只有一個零點，不滿足題意，則取等條件不成立，則，故D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為______．【答案】【解析】設底面半徑為，由題意可知，解得：，圓錐的高，所以圓錐的體積.故答案為：13.如圖，某公園內有一個半圓形湖面，為圓心.現規劃在半圓弧岸邊取點C，D，滿足，在扇形和扇形區域內種植荷花，在扇形區域內修建水上項目，并在湖面上修建棧道，BD，作為觀光路線，則當最大時，_____.【答案】【解析】設圓的半徑為1，設，在中，余弦定理得，，在中，余弦定理得，，在中，余弦定理得，，所以，設，所以當時取得最大值，當，即得.故答案為：.14.如圖，由9個單位小方格組成的方格表中共有16個格點，將每個格點染成灰色或黑色，滿足：若任意4個格點構成矩形的4個頂點，則這4點中至多有2點被染成灰色.則被染為灰色的格點數目最多為_____.【答案】6【解析】若其中一行4個格點均涂成灰色，則每一列均不能再涂灰色，此時紅色的格點數目為4；若其中一行有3個格點涂成灰色，則這三個紅色格點所在的列均不能再涂灰色，且剩余一列至多3個格點可以涂成灰色，此時灰色的格點數目最多為6；若每一行有2個格點可以涂成灰色，這三個紅色格點所在的列均不能再涂灰色，且剩余2列至多3個格點可以涂成灰色，此時灰色的格點數目最多為5；若每行4個格點均只有1個或0個涂成灰色，符合題意，但灰色的格點數目不為最多；綜上所述：染為灰色的格點數目最多為6.故答案為：6.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，E，F分別是，的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：∵四邊形是正方形，F是AC的中點，連接,∴B，F，D三點共線，且F是BD的中點，又E是PB的中點，∴，又平面，平面，∴平面．（2）解：如圖建系，易得：,設平面的法向量為，又,由得：，令，可得：，所以，設平面的法向量為，,由由得：，令，可得：，所以，設二面角的大小為，所以,所以，所以二面角的正弦值是.16.小明連續投籃兩次，若第一次投中，則第二次也投中的概率為，若第一次未投中，則第二次投中的概率為，已知第一次投中的概率為.（1）記小明投中的次數為隨機變量，求的分布列及數學期望；（2）求在第二次投中的條件下，第一次也投中的概率.解：（1）由題意可知，隨機變量的可能取值有、、，則，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：故.（2）記事件小明在第一次投中，事件小明在第二次投中，則，，，，則，由全概率公式可得，由條件概率公式可得.所以，在第二次投中的條件下，第一次也投中的概率為.17.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在上，且.（1）求的標準方程；（2）過的直線交于M，N兩點，線段與線段交于點，若的面積等于的面積，求.解：（1）因為且，所以焦點，即，，所以，根據雙曲線的定義有，所以，所以雙曲線.（2）根據題意過的直線斜率為0顯然不滿足題意，可設過的直線為，由，當時，有，設，則由韋達定理有，所以，因為，所以，即點和點到直線的距離相等，則有，解得，所以，18.已知函數，.（1）當時，求的最大值；（2）證明：存在唯一極值點；（3）若存在開區間，使得，當且僅當，求的取值范圍.解：（1）當時，，，則，其中，當時，，則，所以，在單調遞增；當時，，則，所以，在單調遞減；故.（2）證明：函數，，則，令，得，構造函數，則在上單調遞增，且，當；當；故對任意，直線與函數有且僅有一個交點，設橫坐標為，當時，，則，即，則在上單調遞增；當時，，則，即，則在上單調遞減；故存在唯一極大值點，得證.（3）解：，其中，由（2）知，在上單調遞增，在上單調遞減，則，且，又當；.①假設存在區間，其中，使得，當且僅當，則有，下面討論與大小.若，如圖，，當且僅當，其中，由，故不滿足題意；所以且.此時有，由，解得；由，則，可得，故解得，故若存在區間，使得，當且僅當，則，即區間，所以.②下面驗證：當時，條件，即成立.由，由為的極大值點，則，且，可得，代入，構造函數，在上單調遞增，則，即時，恒成立，所以，即滿足條件，所以有，且當時，.故當時，存在開區間，使得，當且僅當.綜上所述，的取值范圍為.19.若互不相交的非空集合滿足：，且對任意，，則稱是“集合對”.（1）寫出一個集合對；（2）若，，證明：不存在集合對，使得，，；（3）若數列滿足，，證明：當時，不存在集合對.解：（1）為符合題意的一個集合對，因為，因為，則對任意，，故上述集合對滿足題意.（2）記為時對應的不同的，由題意得，，易證，（若，則，而，矛盾，故，而，故，同理記為時對應的不同的，則，，不妨，假設存在集合對使得，，，則，，而，故，而，同上知，故，而，故，則假設不成立，則不存在集合對，使得，，.（3）當時，，假設存在集合對，由抽屜原理知其中一個集合至少有3個元素，不妨記（元素個數），若中有3個元素，記，則且不屬于，即，，而，而，，故，故假設不成立，時不存在集合對，假設當時不存在集合對，當時，不妨記元素個數，由抽屜原理知元素個數，記，（其中），則，，故這個元素需分給，而元素個數，故個數，個數，可記，個數，可記，易得，，同理，故，而，故時，不存在集合對，綜上所述時，不存在集合對.河北省秦皇島市昌黎縣2025屆高三第一次模擬數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數的實部為1，則（）A.1 B.2 C.i D.【答案】B【解析】設，則，故.故選：B2.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線的準線方程為.故選：C.3.設向量，.若與共線，則（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】因為，，若與共線，則，解得.故選：C.4.已知函數，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，即，即，又，所以故選：B5.從1，2，3，4，5這5個數中任取兩個數，則這兩個數的乘積為偶數的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從1，2，3，4，5這5個數中任取兩個數的情況有：，共種；符合題意的有，共種.所以概率為.故選：D.6.已知函數在區間單調遞增，則的最小值為（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4【答案】A【解析】已知.對求導得.因為函數在區間單調遞增，所以在區間上恒成立.即在上恒成立，可轉化為在上恒成立.設，.因為在上單調遞增，所以在上單調遞增.那么在上單調遞減.則.由于在上恒成立，所以.所以的最小值為.故選：A7.已知，記為等比數列的前項和.設命題；命題，則命題是命題的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設的公比為，則，若，則必有，當時，當時，，故；當時，，若，則，故，若，則，故，若，，故，綜上，充分性成立，若，當時，，故，當時，，由于或或時，的正負均相同，故，所以，則，綜上，必要性成立，所以命題是命題的充要條件.故選：A8.已知函數，的定義域均為，且的圖像關于點對稱.設集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數的圖象關于點對稱，所以，所以，由于，，與互相都不能推出，所以互不包含，，其它不一定正確.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知兩組樣本數據，第一組，第二組，若，則（）A.這兩組數據的平均數一定相等 B.這兩組數據的極差一定相等C.這兩組數據的第90百分位數一定相等 D.這兩組數據的眾數一定相等【答案】BC【解析】由，得，第一組數據由小到大排列為，，第二組數據由小到大排列為或，對于A，由，當且僅當取等號，因此這兩組數據的平均數不一定相等，A錯誤；對于B，這兩組數據的極差都為，B正確；對于C，由，得這兩組數據的第90百分位數都為，C正確；對于D，取，第一組數據為，5個數據出現次數相同，第二組數據為，其眾數為2，因此這兩組數據的眾數不同，D錯誤.故選：BC10.已知橢圓的左頂點為，右焦點為.點在線段（為坐標原點）上，且與圓有且只有一個公共點，點，Q分別為和圓上的動點，則（）A.的最大值為2 B.為定值C.圓半徑的最大值為1 D.的最小值為3【答案】ABD【解析】對于A，當點P位于橢圓的長軸上的一個頂點時，取最大值，最大值為2，A正確；對于B，橢圓的右準線為，根據橢圓第二定義可知，B正確；對于C，設，則圓M的方程為，聯立得，令，此時方程有兩相等實數根，符合題意，則，圓的半徑為，C錯誤；對于D，由于，則，當且僅當P位于時取等號，即的最小值為3，D正確，故選：ABD11.設a，b為正數，若函數在區間上有且僅有兩個零點，則（）A.有最大值 B.有最小值C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BC【解析】對于A，由，可得或，.則或，.因a，b為正數，且函數在區間上有且僅有兩個零點，則或或，其中.當時，可得；當時，類似可得；當時，類似可得.綜上可得有最小值，無最大值，故A錯誤，B正確；對于C，注意到，又由AB分析知，當時，，，則此時；當時，同理可得：，其中.令，則，，構造函數，則，即在上單調遞增，則；當時，同理可得：，其中令，則，，構造函數，則，即在上單調遞增，則；因，綜上可知，最小值為，故C正確；對于D，由以上分析可知，由基本不等式，，當且僅當時取等號，此時，為，因，則此時只有一個零點，不滿足題意，則取等條件不成立，則，故D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為______．【答案】【解析】設底面半徑為，由題意可知，解得：，圓錐的高，所以圓錐的體積.故答案為：13.如圖，某公園內有一個半圓形湖面，為圓心.現規劃在半圓弧岸邊取點C，D，滿足，在扇形和扇形區域內種植荷花，在扇形區域內修建水上項目，并在湖面上修建棧道，BD，作為觀光路線，則當最大時，_____.【答案】【解析】設圓的半徑為1，設，在中，余弦定理得，，在中，余弦定理得，，在中，余弦定理得，，所以，設，所以當時取得最大值，當，即得.故答案為：.14.如圖，由9個單位小方格組成的方格表中共有16個格點，將每個格點染成灰色或黑色，滿足：若任意4個格點構成矩形的4個頂點，則這4點中至多有2點被染成灰色.則被染為灰色的格點數目最多為_____.【答案】6【解析】若其中一行4個格點均涂成灰色，則每一列均不能再涂灰色，此時紅色的格點數目為4；若其中一行有3個格點涂成灰色，則這三個紅色格點所在的列均不能再涂灰色，且剩余一列至多3個格點可以涂成灰色，此時灰色的格點數目最多為6；若每一行有2個格點可以涂成灰色，這三個紅色格點所在的列均不能再涂灰色，且剩余2列至多3個格點可以涂成灰色，此時灰色的格點數目最多為5；若每行4個格點均只有1個或0個涂成灰色，符合題意，但灰色的格點數目不為最多；綜上所述：染為灰色的格點數目最多為6.故答案為：6.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，E，F分別是，的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：∵四邊形是正方形，F是AC的中點，連接,∴B，F，D三點共線，且F是BD的中點，又E是PB的中點，∴，又平面，平面，∴平面．（2）解：如圖建系，易得：,設平面的法向量為，又,由得：，令，可得：，所以，設平面的法向量為，,由由得：，令，可得：，所以，設二面角的大小為，所以,所以，所以二面角的正弦值是.16.小明連續投籃兩次，若第一次投中，則第二次也投中的概率為，若第一次未投中，則第二次投中的概率為，已知第一次投中的概率為.（1）記小明投中的次數為隨機變量，求的分布列及數學期望；（2）求在第二次投中的條件下，第一次也投中的概率.解：（1）由題意可知，隨機變量的可能取值有、、，則，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：故.（2）記事件小明在第一次投中，事件小明在第二次投中，則，，，，則，由全概率公式可得，由條件概率公式可得.所以，在第二次投中的條件下，第一次也投中的概率為.17.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在上，且.（1）求的標準方程；（2）過的直線交于M，N兩點，線段與線段交于點，若的面積等于的面積，求.解：（1）因為且，所以焦點，即，，所以，根據雙曲線的定義有，所以，所以雙曲線.（2）根據題意過的直線斜率為0顯然不滿足題意，可設過的直線為，由，當時，有，設，則由韋達定理有，所以，因為，所以，即點和點到直線的距離相等，則有，解得，所以，18.已知函數，.（1）當時，求的最大值；（2）證明：存在唯一極值點；（3）若存在開區間，使得，當且僅當，求的取值范圍.解：（1）當時，，，則，其中，當時，，則，所以