高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省邯鄲市2025屆高三第三次調(diào)研監(jiān)測(cè)（一模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，所以；由，所以.所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第三象限.故選：C3.某校舉辦校園歌手大賽，決賽中12名參賽選手的得分（滿分：10分）分別為9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.2【答案】D【解析】將決賽中12名參賽選手的得分從小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6，，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第位數(shù)和第位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：D.4.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，得，則，故拋物線，將代入，得，得，∴∴,所以直線的方程為，即.故選：B.5.在中，，，點(diǎn)在的內(nèi)部，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，若，則的面積是（）A1 B. C.2 D.【答案】C【解析】，因，則，，得.又，則，過A，M做BC垂線，垂足為G，F(xiàn)，則，，又底邊相同，則.故選：C6.在正三棱柱中，，則“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖：設(shè).以為基底，則，，，.因?yàn)椋?由可得，解得或，即或.即“異面直線與所成角的余弦值是”的充要條件是“或”.故“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的充分不必要條件.故選：A7.已知函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，所以有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即有一根，即與一個(gè)交點(diǎn)，令，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，解得：，令，函數(shù)單調(diào)遞減，解得：，則，有一根，即，當(dāng)，時(shí)都有2-xex與一個(gè)交點(diǎn)，有兩根當(dāng)時(shí)，與一個(gè)交點(diǎn)，有一根，綜上所述，的取值范圍是故選：A8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，設(shè)，則，兩式相加得，又，所以，又，所以，當(dāng)軸時(shí)最小，此時(shí)，所以，又，則，整理的，又，兩邊除以得，解得，又雙曲線的離心率，所以雙曲線的離心率取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線過點(diǎn)，且直線與圓相切，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】圓的圓心，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，點(diǎn)到直線的距離為1，不符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切得：，解得或，所以直線的方程為：或.故選：AC10.已知函數(shù)對(duì)任意的都有，，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋睿瑒t，所以，令，則，則，令，則，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，即，所以是奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，令，則，又，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，令，則，設(shè)，則，又當(dāng)時(shí)，，則，所以，則函數(shù)在是增函數(shù)，又由，，則不等式，即為，則，解得或，即不等式的解集是，故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.若在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D.若在上的最小值為，則【答案】ACD【解析】由題意知，對(duì)于A，，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，由，得或，由于在上有2解，即，，結(jié)合在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，可知需在上只有一解，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故要使在上只有一解，需或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，令，，，則在上單調(diào)遞減，而圖象對(duì)稱軸為，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，令，，，則化為，該函數(shù)圖象對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，綜合上述在上的最小值為，則，D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，滿足，且向量，的夾角為，則向量，的夾角為_______________.【答案】【解析】由可得，又，為非零向量，且向量，的夾角為，則，即，又，，所以，所以.故答案為：13.設(shè)一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字分別為，，，若，，則稱這個(gè)三位數(shù)為“峰型三位數(shù)”，例如251和121都是“峰型三位數(shù)”，在由0，1，2，3，4，5中的部分?jǐn)?shù)字組成的三位數(shù)中，“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為_______________.【答案】30【解析】當(dāng)“峰型三位數(shù)”含有數(shù)字0時(shí)，0必為個(gè)位，再從余下5個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，大的數(shù)字為十位，有種方法；當(dāng)“峰型三位數(shù)”沒有數(shù)字0時(shí)，從除0外的5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，最大數(shù)字作十位，有種方法，所以“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故答案為：3014.已知某圓臺(tái)的體積為，球剛好和該圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，若該圓臺(tái)下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的4倍，則球的體積是______________.【答案】【解析】如圖，畫出截面示意圖，設(shè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為，球的半徑為，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，由圓臺(tái)的體積公式可得，①由梯形面積可得，解得，又在中，，解得，代入①可得，所以所以球的體積是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值；（3）若，求數(shù)列前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.∵，，，，∴，由得.由①③得，①④代入②得，，解得，故，∴.（2）∵，∴，令，由函數(shù)和在上為增函數(shù)得在上為增函數(shù)，∵，∴（3）由（1）得，，∴.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，，是棱上的一點(diǎn)，是棱的中點(diǎn).（1）證明：.（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.解：（1）∵四邊形是正方形，，∴.∵是棱的中點(diǎn)，∴.∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則,令，則，故.由題意得，平面的法向量為，∴，解得或（舍），∴，故.17.某班舉辦詩詞大賽，比賽規(guī)則如下：參賽選手第一輪回答4道題，若答對(duì)3道或4道，則通過初賽，否則進(jìn)行第二輪答題，第二輪答題數(shù)量為第一輪答錯(cuò)的題目數(shù)量，且題目與第一輪的題不同，若全部答對(duì)，則通過初賽，否則淘汰.已知甲同學(xué)參加了這次詩詞大賽，且甲同學(xué)每道題答對(duì)的概率均為.假設(shè)甲同學(xué)回答每道題相互獨(dú)立，兩輪答題互不影響.（1）已知.①求甲同學(xué)第一輪答題后通過初賽的概率；②求甲同學(xué)答對(duì)1道題的概率.（2）記甲同學(xué)的答題個(gè)數(shù)為，求的最大值.解：（1）①由題意，甲同學(xué)第一輪答題后通過初賽的概率為；②甲同學(xué)答對(duì)1題的情況如下，第一輪答對(duì)1題，第二輪答對(duì)0題，則概率為；第一輪答對(duì)0題，第二輪答對(duì)1題，則概率為；所以甲同學(xué)答對(duì)1道題的概率為；（2）由題意，，且，，，，所以，又，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；又，，則在上，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，所以，故最大為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，切線的斜率，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.（2）因?yàn)椋裕苫癁椋海矗睿詾樯系膯握{(diào)遞增函數(shù)，將，轉(zhuǎn)化為，因?yàn)闉樯系膯握{(diào)遞增函數(shù)，所以，即，即，整理有：，令，，令，即，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，因?yàn)楹愠闪ⅲ?19.對(duì)于給定的橢圓，與之對(duì)應(yīng)的另一個(gè)橢圓（，且），則稱與互為共軛橢圓.已知橢圓與橢圓互為共軛橢圓，是橢圓的右頂點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為.①證明：且直線過定點(diǎn).②試問在軸上是否存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使得直線，的斜率之積也為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由題意可設(shè)的共軛橢圓方程為，即（，且），由于是該橢圓的右頂點(diǎn)，即得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①證明：聯(lián)立和，可得，需滿足，即，即；設(shè)，則，則，由題意得直線與直線的斜率之積為，即，即，即，即得，解得（舍）或，則直線為直線，過定點(diǎn)；②假設(shè)在軸上存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使得直線，的斜率之積也為定值，設(shè)，由①知，，，則，要使得為定值，需，解得（舍）或，即時(shí)，為定值，即在軸上存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使得直線，的斜率之積也為定值.河北省邯鄲市2025屆高三第三次調(diào)研監(jiān)測(cè)（一模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，所以；由，所以.所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第三象限.故選：C3.某校舉辦校園歌手大賽，決賽中12名參賽選手的得分（滿分：10分）分別為9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.2【答案】D【解析】將決賽中12名參賽選手的得分從小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6，，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第位數(shù)和第位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：D.4.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，得，則，故拋物線，將代入，得，得，∴∴,所以直線的方程為，即.故選：B.5.在中，，，點(diǎn)在的內(nèi)部，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，若，則的面積是（）A1 B. C.2 D.【答案】C【解析】，因，則，，得.又，則，過A，M做BC垂線，垂足為G，F(xiàn)，則，，又底邊相同，則.故選：C6.在正三棱柱中，，則“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖：設(shè).以為基底，則，，，.因?yàn)椋?由可得，解得或，即或.即“異面直線與所成角的余弦值是”的充要條件是“或”.故“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的充分不必要條件.故選：A7.已知函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，所以有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即有一根，即與一個(gè)交點(diǎn)，令，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，解得：，令，函數(shù)單調(diào)遞減，解得：，則，有一根，即，當(dāng)，時(shí)都有2-xex與一個(gè)交點(diǎn)，有兩根當(dāng)時(shí)，與一個(gè)交點(diǎn)，有一根，綜上所述，的取值范圍是故選：A8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，設(shè)，則，兩式相加得，又，所以，又，所以，當(dāng)軸時(shí)最小，此時(shí)，所以，又，則，整理的，又，兩邊除以得，解得，又雙曲線的離心率，所以雙曲線的離心率取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線過點(diǎn)，且直線與圓相切，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】圓的圓心，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，點(diǎn)到直線的距離為1，不符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切得：，解得或，所以直線的方程為：或.故選：AC10.已知函數(shù)對(duì)任意的都有，，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋睿瑒t，所以，令，則，則，令，則，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，即，所以是奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，令，則，又，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，令，則，設(shè)，則，又當(dāng)時(shí)，，則，所以，則函數(shù)在是增函數(shù)，又由，，則不等式，即為，則，解得或，即不等式的解集是，故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.若在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D.若在上的最小值為，則【答案】ACD【解析】由題意知，對(duì)于A，，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，由，得或，由于在上有2解，即，，結(jié)合在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，可知需在上只有一解，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故要使在上只有一解，需或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，令，，，則在上單調(diào)遞減，而圖象對(duì)稱軸為，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，令，，，則化為，該函數(shù)圖象對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，綜合上述在上的最小值為，則，D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，滿足，且向量，的夾角為，則向量，的夾角為_______________.【答案】【解析】由可得，又，為非零向量，且向量，的夾角為，則，即，又，，所以，所以.故答案為：13.設(shè)一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字分別為，，，若，，則稱這個(gè)三位數(shù)為“峰型三位數(shù)”，例如251和121都是“峰型三位數(shù)”，在由0，1，2，3，4，5中的部分?jǐn)?shù)字組成的三位數(shù)中，“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為_______________.【答案】30【解析】當(dāng)“峰型三位數(shù)”含有數(shù)字0時(shí)，0必為個(gè)位，再從余下5個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，大的數(shù)字為十位，有種方法；當(dāng)“峰型三位數(shù)”沒有數(shù)字0時(shí)，從除0外的5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，最大數(shù)字作十位，有種方法，所以“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故答案為：3014.已知某圓臺(tái)的體積為，球剛好和該圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，若該圓臺(tái)下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的4倍，則球的體積是______________.【答案】【解析】如圖，畫出截面示意圖，設(shè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為，球的半徑為，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，由圓臺(tái)的體積公式可得，①由梯形面積可得，解得，又在中，，解得，代入①可得，所以所以球的體積是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值；（3）若，求數(shù)列前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.∵，，，，∴，由得.由①③得，①④代入②得，，解得，故，∴.（2）∵，∴，令，由函數(shù)和在上為增函數(shù)得在上為增函數(shù)，∵，∴（3）由（1）得，，∴.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，，是棱上的一點(diǎn)，是棱的中點(diǎn).（1）證明：.（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.解：（1）∵四邊形是正方形，，∴.∵是棱的中點(diǎn)，∴.∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則,令，則，故.由題意得，平面的法向量為，∴，解得或（舍），∴，故.17.某班舉辦詩詞大賽，比賽規(guī)則如下：參賽選手第一輪回答4道題，若答對(duì)3道或4道，則通過初賽，否則進(jìn)行第二輪答題，第二輪答題數(shù)量為第一輪答錯(cuò)的題目數(shù)量，且題目與第一輪的題不同，若全部答對(duì)，則通過初賽，否則淘汰.已知甲同學(xué)參加了這次詩詞大賽，且甲同學(xué)每道題答對(duì)的概率均為.假設(shè)甲同學(xué)回答每道題相互獨(dú)立，兩輪答題互不影響.（1）已知.①求甲同學(xué)第一輪答題后通過初賽的概率；②求甲同學(xué)答對(duì)1道題的概率.（2）記甲同學(xué)的答題個(gè)數(shù)為，求的最大值.解：（1）①由題