高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1貴州省安順市2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?故選：C2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3.已知，角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選：B.4.若拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（）A.2 B.4 C. D.12【答案】B【解析】由題意得，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴焦點(diǎn)到直線的距離，解得或（舍去），∴.故選：B.5.已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，向量在向量上的投影向量為，∵，是夾角為的兩個(gè)單位向量，∴，∴向量在向量上的投影向量為.故選：A.6.已知直線與曲線相切，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為.∵，∴，則，由②得，，代入①得，，整理得，解得，故.故選：A7.曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】，，，作出與的大致圖象，易知共有3個(gè)交點(diǎn).故選：A.8.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，且，C是該球面上的動(dòng)點(diǎn)，D是該球面與平面交線上的動(dòng)點(diǎn)，若四面體體積的最大值為，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為，記的中點(diǎn)為，則，易知，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且棱錐的高等于求的半徑時(shí)，棱錐體積最大.因?yàn)椋裕?當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的面積最大，為，四面體體積的最大值為，解得，從而球的體積為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.現(xiàn)有一組樣本數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的（）A.眾數(shù)為6 B.平均數(shù)為7.6C.中位數(shù)為6.5 D.第72百分位數(shù)為10【答案】AD【解析】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為6，故A正確；平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；∵，∴第72百分位數(shù)為從小到大排列的第8個(gè)數(shù)，即為10，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】要使得函數(shù)有意義，則，解得且，所以的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，從而是奇函數(shù)，A正確；，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.11.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，所以.故答案為：12.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，.由題知，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，由雙曲線定義知，，則，當(dāng)P，D，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：13.若關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】令，作出的圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)時(shí)，只需當(dāng)時(shí)，直線的圖象恒在圖象的下方，此時(shí)令直線為曲線的切線，函數(shù)在時(shí)的解析式為，則，所以，則的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，顯然符合題意；當(dāng)時(shí)，只需當(dāng)時(shí)，直線的圖象恒在圖象的上方，此時(shí)令直線為曲線的切線，函數(shù)在時(shí)的解析式為，則，所以，則的取值范圍為.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.14.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求的面積.解：（1）由，可得.由余弦定理可知，所以，又，所以.（2）由，可知.由正弦定理可知，所以，因，所以，又，所以，則.又，所以的面積為.15.如圖，在三棱柱中，，平面平面.（1）證明：.（2）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）∵，平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（2）由（1）得平面，∵平面，∴，∵，，∴.以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故.設(shè)直線與平面所成的角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.16.為了解某地小學(xué)生對(duì)中國(guó)古代四大名著內(nèi)容的熟悉情況，從各名著中分別選取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大鬧天宮”4個(gè)經(jīng)典故事，進(jìn)行尋找經(jīng)典故事出處的答題游戲（不同的經(jīng)典故事不能搭配同一本名著）.規(guī)定：每答對(duì)1個(gè)經(jīng)典故事的出處，可獲得10分.（1）小王同學(xué)的答題情況如圖所示，①求小王同學(xué)的得分；②老師指出了小王同學(xué)答錯(cuò)的試題，并要求他重新作答錯(cuò)誤試題，求小王同學(xué)避開(kāi)此次錯(cuò)誤答案后隨機(jī)作答并全部答對(duì)的概率（2）小李同學(xué)將這4個(gè)經(jīng)典故事與四大名著隨機(jī)地搭配進(jìn)行答題，記他的得分為X，求X的分布列與期望.解：（1）①由圖可知，小王同學(xué)答對(duì)1道試題，故他的得分為10分.②經(jīng)過(guò)老師的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”對(duì)應(yīng)的出處錯(cuò)誤，針對(duì)錯(cuò)誤試題進(jìn)行分析后，給出的答案可能為{（草船借箭，三國(guó)演義），（黛玉葬花，紅樓夢(mèng)），（武松打虎，水滸傳）}，{（草船借箭，水滸傳），（黛玉葬花，三國(guó)演義），（武松打虎，紅樓夢(mèng)）}，共2種情況，其中錯(cuò)誤試題全部答對(duì)的情況為{（草船借箭，三國(guó)演義），（黛玉葬花，紅樓夢(mèng)），（武松打虎，水滸傳）}，故所求的概率為.（2）由題可知，的所有取值可能為0，10，20，40.，，，\\.X的分布列為：X0102040P故.17.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓C的方程.（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與相交于M，N兩個(gè)不同點(diǎn).①求k的取值范圍；②若，求的面積.解：（1）由已知得.因?yàn)椋裕獾茫蕶E圓的方程為.（2）①將代入，得，則，解得或，故的取值范圍為.②設(shè)，，由（1）可知，.因，所以.又，所以，所以或.易知直線與軸交于點(diǎn)，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故的面積為或.18.已知是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，則稱為上的非負(fù)函數(shù).（1）判斷是否為上的非負(fù)函數(shù)，并說(shuō)明理由.（2）已知為正整數(shù)，為上的非負(fù)函數(shù)，記的最大值為，證明：為等差數(shù)列.（3）已知且，函數(shù)，若為上的非負(fù)函數(shù)，證明：.解：（1）是上的非負(fù)函數(shù).理由如下：因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，故是上的非負(fù)函數(shù).（2）由，，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則因?yàn)闉樯系姆秦?fù)函數(shù)，所以，解得，則.因?yàn)椋詾榈炔顢?shù)列.（3）由，，得.因?yàn)榍遥杂傻茫獾茫傻茫獾茫栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.由為上的非負(fù)函數(shù)，得，則，.令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，從而在上恒成立.令，得，則，從而在上恒成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.貴州省安順市2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?故選：C2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3.已知，角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選：B.4.若拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（）A.2 B.4 C. D.12【答案】B【解析】由題意得，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴焦點(diǎn)到直線的距離，解得或（舍去），∴.故選：B.5.已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，向量在向量上的投影向量為，∵，是夾角為的兩個(gè)單位向量，∴，∴向量在向量上的投影向量為.故選：A.6.已知直線與曲線相切，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為.∵，∴，則，由②得，，代入①得，，整理得，解得，故.故選：A7.曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】，，，作出與的大致圖象，易知共有3個(gè)交點(diǎn).故選：A.8.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，且，C是該球面上的動(dòng)點(diǎn)，D是該球面與平面交線上的動(dòng)點(diǎn)，若四面體體積的最大值為，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為，記的中點(diǎn)為，則，易知，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且棱錐的高等于求的半徑時(shí)，棱錐體積最大.因?yàn)椋裕?當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的面積最大，為，四面體體積的最大值為，解得，從而球的體積為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.現(xiàn)有一組樣本數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的（）A.眾數(shù)為6 B.平均數(shù)為7.6C.中位數(shù)為6.5 D.第72百分位數(shù)為10【答案】AD【解析】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為6，故A正確；平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；∵，∴第72百分位數(shù)為從小到大排列的第8個(gè)數(shù)，即為10，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】要使得函數(shù)有意義，則，解得且，所以的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，從而是奇函數(shù)，A正確；，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.11.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，所以.故答案為：12.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，.由題知，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，由雙曲線定義知，，則，當(dāng)P，D，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：13.若關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】令，作出的圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)時(shí)，只需當(dāng)時(shí)，直線的圖象恒在圖象的下方，此時(shí)令直線為曲線的切線，函數(shù)在時(shí)的解析式為，則，所以，則的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，顯然符合題意；當(dāng)時(shí)，只需當(dāng)時(shí)，直線的圖象恒在圖象的上方，此時(shí)令直線為曲線的切線，函數(shù)在時(shí)的解析式為，則，所以，則的取值范圍為.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.14.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求的面積.解：（1）由，可得.由余弦定理可知，所以，又，所以.（2）由，可知.由正弦定理可知，所以，因，所以，又，所以，則.又，所以的面積為.15.如圖，在三棱柱中，，平面平面.（1）證明：.（2）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）∵，平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（2）由（1）得平面，∵平面，∴，∵，，∴.以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故.設(shè)直線與平面所成的角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.16.為了解某地小學(xué)生對(duì)中國(guó)古代四大名著內(nèi)容的熟悉情況，從各名著中分別選取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大鬧天宮”4個(gè)經(jīng)典故事，進(jìn)行尋找經(jīng)典故事出處的答題游戲（不同的經(jīng)典故事不能搭配同一本名著）.規(guī)定：每答對(duì)1個(gè)經(jīng)典故事的出處，可獲得10分.（1）小王同學(xué)的答題情況如圖所示，①求小王同學(xué)的得分；②老師指出了小王同學(xué)答錯(cuò)的試題，并要求他重新作答錯(cuò)誤試題，求小王同學(xué)避開(kāi)此次錯(cuò)誤答案后隨機(jī)作答并全部答對(duì)的概率（2）小李同學(xué)將這4個(gè)經(jīng)典故事與四大名著隨機(jī)地搭配進(jìn)行答題，記他的得分為X，求X的分布列與期望.解：（1）①由圖可知，小王同學(xué)答對(duì)1道試題，故他的得分為10分.②經(jīng)過(guò)老師的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”對(duì)應(yīng)的出處錯(cuò)誤，針對(duì)錯(cuò)誤試題進(jìn)行分析后，給出的答案可能為{（草船借箭，三國(guó)演義），（黛玉葬花，紅樓夢(mèng)），（武松打虎，水滸傳）}，{（草船借箭，水滸傳），（黛玉葬花，三國(guó)演義），（武松打虎，紅樓夢(mèng)）}，共2種情況，其中錯(cuò)誤試題全部答對(duì)的情況為{（草船借箭，三