高級中學名校試題PAGEPAGE1甘肅省2025屆高三下學期3月（一模）數學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數在復平面內對應的點位于第二象限，則實數的取值范圍是（）A. B.或C. D.【答案】C【解析】復數在復平面內對應的點為，若其在第二象限，則，解得.故選：C.2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數中，，則集合，而，所以.故選：B3.某班研究性小組的同學為了研究活性碳對污水中某種污染物的吸附能力，設計了一種活性碳污水凈化裝置.現污水中該種污染物含量為（單位：），測得污水通過長度為（單位：）的凈化裝置后污染物的含量如下表：0123研究小組的同學根據表格數據建立了關于的函數模型.則與表格中數據吻合的函數模型是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖表中數據可知函數模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調遞減且單位減少率變慢；第三，函數圖象過.函數和圖象不過，不符合條件，故BC錯誤；函數單調遞增，故A錯誤；D選項：滿足上述條件，故D正確.故選：D.4.高一年級400名學生參加數學基礎知識競賽活動，答題后隨機抽取22名男生和18名女生，計算得男生的平均得分為82分，女生的平均得分為80分，則估計本次比賽高一年級的總體均分為（）A.81.8 B.81.5 C.81.1 D.80.8【答案】C【解析】，故估計本次比賽高一年級的總體均分為分.故選：C.5.從1-9這9個數字中任意取出3個數，組成一個沒有重復數字的三位數，從百位到個位數字依次增大，則滿足條件的三位數的個數是（）A.84 B.120 C.504 D.720【答案】A【解析】從9個數字中選擇3個不同的數，無需再排序，故.故選：A.6.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，則，所以，，因此，.故選：C.7.已知梯形中，，點為邊上的動點，若，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示建立平面直角坐標系，則，，設，則，，，令，則，，可得，故選:D.8.已知是拋物線上一點，為拋物線的焦點，直線與軸交于點，，點為線段的中點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】可知，設為坐標原點，則，，得，故，軸，，而，，故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線方程為，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率是C.雙曲線的虛軸長是8D.雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為6【答案】CD【解析】因為雙曲線，得：，對于A：雙曲線的漸近線方程為，故A錯誤；對于B：離心率為，故B錯誤；對于C：雙曲線的虛軸長是，故C正確；對于D：雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為，故D正確.故選：CD10.函數，則（）A.的最小正周期是B.的值域是C.的圖象是軸對稱圖形，其中一條對稱軸是D.的零點是【答案】ABD【解析】對A：，故為的周期，顯然，沒有比更小的正周期，故的最小正周期為，故A正確；對B：考慮到的最小正周期為，故只需考慮在的值域；，，故即；因為，故，則當時，，即，此時，單調遞減；當時，，即，此時，單調遞增；又，，，故的值域為，故B正確；對C：，，則，即，則不是的對稱軸，故C錯誤；對D：令，即，，即，則，或，解得，或，，又，，故的零點為，D正確.故選：ABD.11.若自變量表示時間，在長為定值的時間周期中，函數的增長率為，以下判斷正確的是（）A.若，則為減函數B.若，則為增函數C.若，則為增函數D.若，則為減函數【答案】AD【解析】對于函數，由于為正常數，所以為上的減函數，故A正確：對于函數，由于為正常數，所以為常函數，故B錯誤；對于函數，，由于為正常數，所以為減函數，故C錯誤；對于函數，，令，則，當時，為增函數，由于為正常數，所以，即，所以為減函數，故D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.用一個平面截正方體，截面形狀為正六邊形，則截出的兩部分幾何體的體積之比是__________.【答案】【解析】如圖所示，正方體中，分別是的中點，連接，則六邊形是正六邊形，根據對稱性可知，截出兩部分幾何體的體積之比是.故答案為：13.已知等差數列的前項和為，，，則數列的前項和__________.【答案】【解析】設等差數列的公差為，則，解得，所以，，所以，，所以，，故數列為等差數列，所以，.故答案為：.14.如圖，甲、乙兩人在這段弧形路段跑步，該路段的內、外弧線為兩個同心圓的圓周，內弧半徑為米，路寬為米，兩人均從外弧點處跑入該路段，甲沿內弧切線方向跑至切點，又沿內弧跑至點處后跑出該路段，乙沿內弧切線方向直接跑至外弧上點處，再沿外弧跑至點處后跑出該路段，則在該路段跑動距離更短的是__________（填“甲”或“乙”），兩人跑動距離之差的絕對值約為__________米.（結果精確到米，參考數據：，）【答案】①.甲②.【解析】連接、，可知，，則，，中，，所以，，所以，，，所以，，則甲跑步的距離約為米，因為，，則乙跑步的距離約為米，所以甲跑動的距離更短，少跑米.故答案為：甲；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了解高一學生整理數學錯題與提高數學成績的相關性，某小組通過隨機抽樣，獲得了每天整理錯題和未每天整理錯題的各20名學生3次數學考試成績的平均分，繪制了如圖1，2的頻率分布直方圖，并且已知高一學生3次數學考試成績的總體均分為115分.（1）依據頻率分布直方圖，完成以下列聯表：成績不低于總體均分成績低于總體均分合計每天整理錯題未每天整理錯題合計（2）依據小概率值的獨立性檢驗，分析數學成績不低于總體均分是否與每天整理數學錯題有關.附0.100.010.0012.7066.63510.828解：（1）根據頻率分布直方圖，可得成績不低于總體均分成績低于總體均分合計每天整理錯題14620未每天整理錯題51520合計192140（2）假設：數學成績不低于總體均分與每天整理數學錯題無關.計算可得根據小概率值的獨立性檢驗，可推斷不成立，即認為數學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關.16.正四面體的三條棱是圓錐的三條母線，點在圓錐的底面內，過且與圓錐底面垂直的平面與圓錐側面交于（不同于）.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）平面平面平面，平面，平面，且.又平面，為正三角形，為中心，，，平面平面，，平面.（2）設，則是的中點.以為坐標原點，的平行線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正四面體的棱長為1，則，，，設平面的法向量為，，則，取平面的一個法向量為，設平面的法向量為，，則，取平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，，即平面與平面所成角的余弦值為.17.數列滿足，數列滿足.（1）求證：數列是等比數列，并求其通項公式；（2）若數列滿足是數列的前項和，對恒成立，求實數的取值范圍.（1）證明：，且由題，，數列是以為首項，為公比的等比數列，，，，又，數列是以為首項，為公比的等比數列，；（2）解：由（1）可知，，，，由于對恒成立，所以.18.設為坐標原點，點，A、為橢圓上的兩個動點，.（1）證明：向量是直線的一個法向量；（2）若線段與橢圓交于點，求面積的最大值.（1）證明：由于點在橢圓外，A、為橢圓上的兩個動點，設、，，則，由①②得，即，由于直線的斜率為，所以直線的斜率為，故直線的一個方向向量為，從而為直線的一個法向量.（2）由得，即，由（1）可知，直線的斜率為，設直線方程為，若，則直線過原點，則，從而與矛盾，故，由得，則，解得或，由韋達定理可得，，所以，，由于到直線的距離，所以，令，則，令，則，當時，時；當時，.所以，函數在、上單調遞增，在上單調遞減，所以，當時，即當時，取到最大值.19.函數，且.（1）時，判斷的單調性；（2）若，判斷與的大小，且，并說明理由；（3）證明：對于任意的，有.（1）解：由于當時，時，故當時，函數在為減函數，在為增函數，同理，當時，函數在增函數，在為減函數：（2）解：由（1）可知，當時，，故，令，由于，則，可得，所以，當且僅當時“”成立.（3）證明：由（1）可知，當時，.又當時，，故時，，即，令，可得，令，可得，兩式相加可得，即，所以，當且僅當時“”成立.由可得，令，可得，兩邊同乘，整理得，用替換可得，同理可得，兩式相加可得，故，所以，當且僅當時“”成立.所以當且僅當時“”成立.甘肅省2025屆高三下學期3月（一模）數學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數在復平面內對應的點位于第二象限，則實數的取值范圍是（）A. B.或C. D.【答案】C【解析】復數在復平面內對應的點為，若其在第二象限，則，解得.故選：C.2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數中，，則集合，而，所以.故選：B3.某班研究性小組的同學為了研究活性碳對污水中某種污染物的吸附能力，設計了一種活性碳污水凈化裝置.現污水中該種污染物含量為（單位：），測得污水通過長度為（單位：）的凈化裝置后污染物的含量如下表：0123研究小組的同學根據表格數據建立了關于的函數模型.則與表格中數據吻合的函數模型是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖表中數據可知函數模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調遞減且單位減少率變慢；第三，函數圖象過.函數和圖象不過，不符合條件，故BC錯誤；函數單調遞增，故A錯誤；D選項：滿足上述條件，故D正確.故選：D.4.高一年級400名學生參加數學基礎知識競賽活動，答題后隨機抽取22名男生和18名女生，計算得男生的平均得分為82分，女生的平均得分為80分，則估計本次比賽高一年級的總體均分為（）A.81.8 B.81.5 C.81.1 D.80.8【答案】C【解析】，故估計本次比賽高一年級的總體均分為分.故選：C.5.從1-9這9個數字中任意取出3個數，組成一個沒有重復數字的三位數，從百位到個位數字依次增大，則滿足條件的三位數的個數是（）A.84 B.120 C.504 D.720【答案】A【解析】從9個數字中選擇3個不同的數，無需再排序，故.故選：A.6.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，則，所以，，因此，.故選：C.7.已知梯形中，，點為邊上的動點，若，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示建立平面直角坐標系，則，，設，則，，，令，則，，可得，故選:D.8.已知是拋物線上一點，為拋物線的焦點，直線與軸交于點，，點為線段的中點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】可知，設為坐標原點，則，，得，故，軸，，而，，故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線方程為，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率是C.雙曲線的虛軸長是8D.雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為6【答案】CD【解析】因為雙曲線，得：，對于A：雙曲線的漸近線方程為，故A錯誤；對于B：離心率為，故B錯誤；對于C：雙曲線的虛軸長是，故C正確；對于D：雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為，故D正確.故選：CD10.函數，則（）A.的最小正周期是B.的值域是C.的圖象是軸對稱圖形，其中一條對稱軸是D.的零點是【答案】ABD【解析】對A：，故為的周期，顯然，沒有比更小的正周期，故的最小正周期為，故A正確；對B：考慮到的最小正周期為，故只需考慮在的值域；，，故即；因為，故，則當時，，即，此時，單調遞減；當時，，即，此時，單調遞增；又，，，故的值域為，故B正確；對C：，，則，即，則不是的對稱軸，故C錯誤；對D：令，即，，即，則，或，解得，或，，又，，故的零點為，D正確.故選：ABD.11.若自變量表示時間，在長為定值的時間周期中，函數的增長率為，以下判斷正確的是（）A.若，則為減函數B.若，則為增函數C.若，則為增函數D.若，則為減函數【答案】AD【解析】對于函數，由于為正常數，所以為上的減函數，故A正確：對于函數，由于為正常數，所以為常函數，故B錯誤；對于函數，，由于為正常數，所以為減函數，故C錯誤；對于函數，，令，則，當時，為增函數，由于為正常數，所以，即，所以為減函數，故D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.用一個平面截正方體，截面形狀為正六邊形，則截出的兩部分幾何體的體積之比是__________.【答案】【解析】如圖所示，正方體中，分別是的中點，連接，則六邊形是正六邊形，根據對稱性可知，截出兩部分幾何體的體積之比是.故答案為：13.已知等差數列的前項和為，，，則數列的前項和__________.【答案】【解析】設等差數列的公差為，則，解得，所以，，所以，，所以，，故數列為等差數列，所以，.故答案為：.14.如圖，甲、乙兩人在這段弧形路段跑步，該路段的內、外弧線為兩個同心圓的圓周，內弧半徑為米，路寬為米，兩人均從外弧點處跑入該路段，甲沿內弧切線方向跑至切點，又沿內弧跑至點處后跑出該路段，乙沿內弧切線方向直接跑至外弧上點處，再沿外弧跑至點處后跑出該路段，則在該路段跑動距離更短的是__________（填“甲”或“乙”），兩人跑動距離之差的絕對值約為__________米.（結果精確到米，參考數據：，）【答案】①.甲②.【解析】連接、，可知，，則，，中，，所以，，所以，，，所以，，則甲跑步的距離約為米，因為，，則乙跑步的距離約為米，所以甲跑動的距離更短，少跑米.故答案為：甲；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了解高一學生整理數學錯題與提高數學成績的相關性，某小組通過隨機抽樣，獲得了每天整理錯題和未每天整理錯題的各20名學生3次數學考試成績的平均分，繪制了如圖1，2的頻率分布直方圖，并且已知高一學生3次數學考試成績的總體均分為115分.（1）依據頻率分布直方圖，完成以下列聯表：成績不低于總體均分成績低于總體均分合計每天整理錯題未每天整理錯題合計（2）依據小概率值的獨立性檢驗，分析數學成績不低于總體均分是否與每天整理數學錯題有關.附0.100.010.0012.7066.63510.828解：（1）根據頻率分布直方圖，可得成績不低于總體均分成績低于總體均分合計每天整理錯題14620未每天整理錯題51520合計192140（2）假設：數學成績不低于總體均分與每天整理數學錯題無關.計算可得根據小概率值的獨立性檢驗，可推斷不成立，即認為數學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關.16.正四面體的三條棱是圓錐的三條母線，點在圓錐的底面內，過且與圓錐底面垂直的平面與圓錐側面交于（不同于）.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）平面平面平面，平面，平面，且.又平面，為正三角形，為中心，，，平面平面，，平面.（2）設，則是的中點.以為坐標原點，的平行線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正四面體的棱長為1，則，，，設平面的法向量為，，則，取平面的一個法向量為，設平面的法向