高級中學名校試題PAGEPAGE1浙江省杭州市聯(lián)誼學校2024-2025學年高一下學期3月月考數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選?多選?錯選均不得分.）1.已知是虛數(shù)單位，復數(shù)對應的點的坐標是，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題設.故選：A.2.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A.為零向量，不能作為基底，A錯誤.B.由得，，故，不能作一組基底，B錯誤.C.由得為不共線的非零向量，可以作為基底，C正確.D.由得，，故，不能作為一組基底，D錯誤.故選：C.3.已知正三角形的邊長為1，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由題設.故選：C.4.在中，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設，且為三角形的最大角，所以，則的面積為.故選：D5.已知，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，，所以在上的投影向量為.故選：A.6.已知平面向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設，∴，∵，∴，即，∴.∵，，當且僅當時取等號，∴的最大值為.故選：B.7.是斜邊上一點，若，則的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，令，由，則，，，在中，，由正弦定理，，即，整理得，即，因，則有，即的值是.故選：D.8.在中，內角所對的邊分別為，已知，依次是邊的四等分點（靠近點），記，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴.∵，∴.∵依次是邊的四等分點（靠近點），∴，，，∴，，，∴.故選：C.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選，錯選得0分.）9.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復數(shù)，復數(shù)滿足，則下列正確的是（）A.的虛部為B.C.是純虛數(shù)D.若是方程的一個根，則【答案】BC【解析】由題設，令且，所以，即，所以，則，可得，所以，，則，A錯，B對；，C對；若是方程的一個根，則，，故，D錯.故選：BC.10.已知單位向量的夾角為，若平面向量，有序實數(shù)對稱為向量在“仿射”坐標系（為坐標原點）下的“仿射”坐標，記，則下列命題正確的是（）A.已知，則B.已知，則線段的長度為1C.已知，則D.已知，則的最大值為【答案】ABD【解析】A：由題設，所以，對；B：由題設，則，對；C：由題設，錯；D：由題設，即，由，且時取等號，則，故，即時的最大值為，對.故選：ABD.11.已知銳角，角所對應的邊分別為，下列命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則是等腰三角形C.若，則的取值范圍D.若，則的取值范圍【答案】BCD【解析】由，則，所以，必要性成立，由，又為銳角三角形，必有，充分性成立，所以“”是“”的充要條件，A錯；由，又，故，則，又，則或，得或（舍），所以為等腰三角形，B對；由，又，則，所以，則，故，所以，即，結合三角形為銳角三角形，可得，故，由，故，C對；，又，顯然在上單調遞減，所以，D對.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，若，則__________.【答案】【解析】由題設，且，所以，則.13.瑞士數(shù)學家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式求的最大值為__________.【答案】2【解析】由題設，當，即時，的最大值為2.14.已知為單位向量，設向量，向量夾角為，若，求的取值范圍__________.【答案】【解析】由，所以，故，又，，所以，而，所以.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復數(shù)，復數(shù)滿足.（1）求的值；（2）在復平面內，若對應的點在第三象限，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）令且，則，所以，則，可得，所以，則.（2）由，故對應點在第三象限，則，所以，即.16.已知的內角所對應的邊分別為是外一點，若，且.（1）求角的大小；（2）若，求四邊形面積的最大值.解：（1）由題設，即，所以，而，故，又，則，故.（2）由（1）易知為等邊三角形，令，建立如下圖的直角坐標系，則，，，故，所以，當時取最大值為.17.在中，為線段上的點，分別為的中點.（1）若，求的值；（2）若，求的長度；（3）若，求的值.解：（1）令，則，而，即.（2）由題意，在、中為斜邊上的中點，所以，，故，，所以，由，所以，故.（3）由（2）易知，則，所以，同理，所以，即，顯然，則.18.杭州最高的建筑是杭州世紀中心，也被形象地稱為“杭州之門”，作為杭州的新地標，它不僅是城市的一道亮麗風景線，更是杭州發(fā)展的重要見證，也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學習小組在老師帶領下去測量“杭州之門”的高度，該小組同學在該建筑底部的東南方向上選取兩個測量點與，測得米，在兩處測得該建筑頂部的仰角分別為.（已知）（1）請計算“杭州之門”的高度（保留整數(shù)部分）；（2）為慶祝某重大節(jié)日，在“杭州之門”上到處設計特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米，高直接取（1）的整數(shù)結果，市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如圖），請問當為多少米時，欣賞“燈光秀”的視角最大？（結果保留根式）解：（1）由題設，所以米.（2）設米，則，，由，則，當且僅當時，欣賞“燈光秀”的視角最大.19.如圖，已知是邊長為1的等邊三角形，點是內一點.過點的直線與線段交于點，與線段交于點.設，且.（1）若，求的面積；（2）求的最小值；（3）若，設的周長為.（i）求的值；（ii）設，記，求的值域.解：（1）連接AG并延長，交BC于點F，設，則，由B，F(xiàn)，C三點共線，得，解得，因此，即，則，由是邊長為1的等邊三角形，得的面積，由，得，由，得，則，所以的面積.（2）取的中點，連接，則，，，當且僅當點是的中點時取等號，所以的最小值為.（3）（i）由，得為的重心，連接AG并延長交BC于點，則為BC中點，，因此，由D，G，E三點共線，得，所以.（ii）由正△ABC的邊長為1，得，，，在△ADE中，，則，由，得，即，因此，又，則，由，，得，，又，則有，而，于是，由，得，則的最小值為，最大值為，即，在上單調遞增，則，所以的值域為.浙江省杭州市聯(lián)誼學校2024-2025學年高一下學期3月月考數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選?多選?錯選均不得分.）1.已知是虛數(shù)單位，復數(shù)對應的點的坐標是，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題設.故選：A.2.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A.為零向量，不能作為基底，A錯誤.B.由得，，故，不能作一組基底，B錯誤.C.由得為不共線的非零向量，可以作為基底，C正確.D.由得，，故，不能作為一組基底，D錯誤.故選：C.3.已知正三角形的邊長為1，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由題設.故選：C.4.在中，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設，且為三角形的最大角，所以，則的面積為.故選：D5.已知，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，，所以在上的投影向量為.故選：A.6.已知平面向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設，∴，∵，∴，即，∴.∵，，當且僅當時取等號，∴的最大值為.故選：B.7.是斜邊上一點，若，則的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，令，由，則，，，在中，，由正弦定理，，即，整理得，即，因，則有，即的值是.故選：D.8.在中，內角所對的邊分別為，已知，依次是邊的四等分點（靠近點），記，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴.∵，∴.∵依次是邊的四等分點（靠近點），∴，，，∴，，，∴.故選：C.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選，錯選得0分.）9.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復數(shù)，復數(shù)滿足，則下列正確的是（）A.的虛部為B.C.是純虛數(shù)D.若是方程的一個根，則【答案】BC【解析】由題設，令且，所以，即，所以，則，可得，所以，，則，A錯，B對；，C對；若是方程的一個根，則，，故，D錯.故選：BC.10.已知單位向量的夾角為，若平面向量，有序實數(shù)對稱為向量在“仿射”坐標系（為坐標原點）下的“仿射”坐標，記，則下列命題正確的是（）A.已知，則B.已知，則線段的長度為1C.已知，則D.已知，則的最大值為【答案】ABD【解析】A：由題設，所以，對；B：由題設，則，對；C：由題設，錯；D：由題設，即，由，且時取等號，則，故，即時的最大值為，對.故選：ABD.11.已知銳角，角所對應的邊分別為，下列命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則是等腰三角形C.若，則的取值范圍D.若，則的取值范圍【答案】BCD【解析】由，則，所以，必要性成立，由，又為銳角三角形，必有，充分性成立，所以“”是“”的充要條件，A錯；由，又，故，則，又，則或，得或（舍），所以為等腰三角形，B對；由，又，則，所以，則，故，所以，即，結合三角形為銳角三角形，可得，故，由，故，C對；，又，顯然在上單調遞減，所以，D對.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，若，則__________.【答案】【解析】由題設，且，所以，則.13.瑞士數(shù)學家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式求的最大值為__________.【答案】2【解析】由題設，當，即時，的最大值為2.14.已知為單位向量，設向量，向量夾角為，若，求的取值范圍__________.【答案】【解析】由，所以，故，又，，所以，而，所以.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復數(shù)，復數(shù)滿足.（1）求的值；（2）在復平面內，若對應的點在第三象限，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）令且，則，所以，則，可得，所以，則.（2）由，故對應點在第三象限，則，所以，即.16.已知的內角所對應的邊分別為是外一點，若，且.（1）求角的大小；（2）若，求四邊形面積的最大值.解：（1）由題設，即，所以，而，故，又，則，故.（2）由（1）易知為等邊三角形，令，建立如下圖的直角坐標系，則，，，故，所以，當時取最大值為.17.在中，為線段上的點，分別為的中點.（1）若，求的值；（2）若，求的長度；（3）若，求的值.解：（1）令，則，而，即.（2）由題意，在、中為斜邊上的中點，所以，，故，，所以，由，所以，故.（3）由（2）易知，則，所以，同理，所以，即，顯然，則.18.杭州最高的建筑是杭州世紀中心，也被形象地稱為“杭州之門”，作為杭州的新地標，它不僅是城市的一道亮麗風景線，更是杭州發(fā)展的重要見證，也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學習小組在老師帶領下去測量“杭州之門”的高度，該小組同學在該建筑底部的東南方向上選取兩個測量點與，測得米，在兩處測得該建筑頂部的仰角分別為.（已知）（1）請計算“杭州之門”的高度（保留整數(shù)部分）；（2）為慶祝某重大節(jié)日，在“杭州之門”上到處設計特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米，高直接取（1）的整數(shù)結果，市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如圖），請問當為多少米時，欣賞“燈光秀”的視角最大？（結果保留根式）解：（1）由題設，所以米.（2）設米，則，，由，則，當且僅當時，欣賞“燈光秀”的視角最大.19.如圖，已知是邊長為1的等邊三角形，點是內一點.過點的直線與線段交于點，與線段交于點.設，且.（1）若，求的面積；（2）求的最小值；（3）若，設的周長為.（i）求的值；（i