高級中學名校試題PAGEPAGE1云南省昆明市2024-2025學年高一下學期3月聯考數學數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，可解得：，則；綜合可得或，而，因此，．故選：B．2.已知角的終邊與單位圓的交點坐標為，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由角的終邊與單位圓的交點坐標為，可知，則.故選：D．3.設向量，下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對于A，由可得，故A錯誤，對于B，，故B錯誤，對于C，，所以，故C正確，對于D，，故不平行，故D錯誤.故選：C.4.若空間中三條不同的直線滿足，且，則直線與直線必定（）A.相交 B.垂直 C.平行 D.異面【答案】B【解析】由于，且，則.故選：B.5.已知向量，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，得，所以在方向上的投影向量為.故選：C．6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，將代入，可得.故選：A．7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】；構造函數，其中，，其中，同一坐標系內畫出三個函數的圖象，如下：因，結合函數圖像可以得到，即.故選：C．8.某數學興趣小組使用圓臺形水杯，應用所學的數學、物理知識來測量球的半徑．已知圓臺形水杯盛有水（不計厚度），測得杯口的半徑為，杯底的半徑為，高為，當杯底水平放置時，水面的高度為水杯高度的一半，若將半徑為的小球放入水杯中（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則小球的半徑（）cm．A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，球的體積為圓臺的體積減去水的體積（容積），可得，解得，即.故選：D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.若復數（為虛數單位），則（）A.B.的虛部為C.的共軛復數為D.在復平面內對應的點位于第一象限【答案】AD【解析】因為，則，故A正確；的虛部為，故B錯誤；的共軛復數為，故C錯誤；在復平面內對應的點為，位于第一象限，故D正確.故選：AD.10.已知函數，則（）A.為周期函數B.的最大值為2C.存在，使得的圖象關于對稱D.存在，使得的圖象關于點對稱【答案】ABC【解析】，所以是周期函數，A正確；由于，若的最大值為2，則，顯然兩者可以同時取到1，即，故B正確；取時，均以為對稱軸，因此是的對稱軸，故C正確；令，則，令，則，則，若則，由于故為奇數，而為偶數，因此與不可能相等，故不存在，使得的圖象關于點對稱，故D錯誤.故選：ABC．11.已知中，內角的對邊分別為，為的外心，，，且有．若．則下列結論正確的是（）A. B.內切圓半徑C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，即，即，解得，又，所以，所以A正確；對于B，，由余弦定理得，故，故的周長，設內切圓為，由得，所以B錯誤；對于C，如圖，分別取的中點，連接，則，所以，，所以，所以C正確；對于D，，由，可知，得，解得：，故，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在復數范圍內方程的解為________.【答案】，【解析】方程，即，解得，.13.已知中，，點是線段上的動點，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為，所以，即，因為，且，所以當分別位于時，此時時，，當均位于時，最大，最大，，所以的取值范圍為．14.某次考試共5道試題，均為判斷題．計分的方法是：每道題答對的給2分，答錯或不答的扣1分，每個人的基本分為10分．已知趙，錢，孫，李，周，吳6人的作答情況及前5個人的得分情況如下表，則吳的得分為______．題號人趙錢孫李周吳1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411【答案】14分【解析】解法一：分析可得，無論每道題的結果如何，每道題前五人的得分比吳的得分多2分，則吳的得分為：，加上基本分后為14．解法二：由于前四個人只有錢得分是11分，則錢答對兩個題，答錯三個題，不妨將錢的答案全部考慮反面，則錢答對三個題，答錯兩個題，共14分；題號人趙錢孫李周吳1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411對于6個人而言，前4個題，6個人答案都是三個√，三個錯，那前4個題，每個題都是3個人對，3個人錯；前4個題的總分為：分；現在考慮第5題，共5個√，一個×，若第5題正確答案是“×”，那么第5個題的得分是：分，最終5個題的總得分為69分；而從得分來看，分，于是吳得分是2分，矛盾；于是第5題正確答案是“√”，第5題的得分是：分，6個題的總分為：81分，于是吳得14分．解法三：考慮第一，二題孫的答案是對的，（1）若孫第三題答案也是對的，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√×××√×5××√√√√得分1411141411（2）若孫第三題答案是錯的，錢最后兩題只能全對，與周11分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√5×（2）×（2）√√√√得分1411141411考慮孫第一題對，第二題答案是錯的.（3）若孫第三題答案是對的，則趙最后兩題全對，與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√（2）×××√×5×（2）×√√√√得分1411141411（4）若孫第三題答案是錯的，則孫最后兩題全對，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√（2）××√（2）××4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411考慮孫第一題錯，第二題答案是對的.（5）若孫第三題答案是對的，則李最后兩題全對，與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√2××（2）×（2）√×5××√（2）√（2）√√得分1411141411（6）若孫第三題答案是錯的，則孫最后兩題全對，此時正確答案是√，×，√，×，√，吳此時14分；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√×（2）5××√（2）√（2）√（2）√（2）得分141114141114考慮孫第一題錯，第二題答案是錯的，則孫后三題全對，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411綜上所述：正確答案是√，×，√，×，√，吳此時14分．四、解答題.15.已知中，是直角，，點是的中點，為上一點．（1）設，，當，請用，來表示，．（2）當時，求證：．解：（1）由題意知點是的中點，故，則；.（2）以C為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，設，則，當時，E為線段靠近B的三等分點，則，故，則，即，故.16.已知函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，若將函數的圖象向左平移個單位后，得到新函數，且新函數的圖象關于軸對稱．（1）求的值及函數的解析式；（2）已知為中的三個內角，，求的值．解：（1），函數圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以的周期為，故圖象關于軸對稱，即函數為偶函數，故，因為則故.（2）由得，由于，所以．.17.在中，角的對邊分別為，已知，，為邊上一點．（1）若為的中點，且，求；（2）若的面積為，且平分，求的長．解：（1）在中，，因為為的中點，所以，兩邊平方得，則，解得.（2）因為平分，所以，又，即，所以，解得，.18.在中，角的對邊分別為，若．（1）求；（2）若，證明：是直角三角形．（3）若是銳角三角形，，求面積的取值范圍．解：（1）由可知，從而由正弦定理得.故，這就得到，故.此即，故，得或，這里.結合，就知道.（2）因為，由余弦定理可得.又因為，故.這就得到.所以或，即或，從而必有是直角三角形．（3）由正弦定理可得，故.而因為為銳角三角形，故，解得的范圍是.從而的范圍是，故的取值范圍是.19.在中，內角對應的邊分別為，，，．（1）求；（2）若為線段內一點，且，求線段的長；（3）法國著名科學家柯西在數學領域有非常高的造詣；很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如對于任意的，都有被稱為柯西不等式；若，求：的最小值．解：（1）由，得，即，在中，由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以．（2）由，得，則，所以.（3）依題意，當且僅當為正三角形時取等號，所以所求的最小值為48.云南省昆明市2024-2025學年高一下學期3月聯考數學數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，可解得：，則；綜合可得或，而，因此，．故選：B．2.已知角的終邊與單位圓的交點坐標為，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由角的終邊與單位圓的交點坐標為，可知，則.故選：D．3.設向量，下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對于A，由可得，故A錯誤，對于B，，故B錯誤，對于C，，所以，故C正確，對于D，，故不平行，故D錯誤.故選：C.4.若空間中三條不同的直線滿足，且，則直線與直線必定（）A.相交 B.垂直 C.平行 D.異面【答案】B【解析】由于，且，則.故選：B.5.已知向量，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，得，所以在方向上的投影向量為.故選：C．6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，將代入，可得.故選：A．7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】；構造函數，其中，，其中，同一坐標系內畫出三個函數的圖象，如下：因，結合函數圖像可以得到，即.故選：C．8.某數學興趣小組使用圓臺形水杯，應用所學的數學、物理知識來測量球的半徑．已知圓臺形水杯盛有水（不計厚度），測得杯口的半徑為，杯底的半徑為，高為，當杯底水平放置時，水面的高度為水杯高度的一半，若將半徑為的小球放入水杯中（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則小球的半徑（）cm．A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，球的體積為圓臺的體積減去水的體積（容積），可得，解得，即.故選：D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.若復數（為虛數單位），則（）A.B.的虛部為C.的共軛復數為D.在復平面內對應的點位于第一象限【答案】AD【解析】因為，則，故A正確；的虛部為，故B錯誤；的共軛復數為，故C錯誤；在復平面內對應的點為，位于第一象限，故D正確.故選：AD.10.已知函數，則（）A.為周期函數B.的最大值為2C.存在，使得的圖象關于對稱D.存在，使得的圖象關于點對稱【答案】ABC【解析】，所以是周期函數，A正確；由于，若的最大值為2，則，顯然兩者可以同時取到1，即，故B正確；取時，均以為對稱軸，因此是的對稱軸，故C正確；令，則，令，則，則，若則，由于故為奇數，而為偶數，因此與不可能相等，故不存在，使得的圖象關于點對稱，故D錯誤.故選：ABC．11.已知中，內角的對邊分別為，為的外心，，，且有．若．則下列結論正確的是（）A. B.內切圓半徑C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，即，即，解得，又，所以，所以A正確；對于B，，由余弦定理得，故，故的周長，設內切圓為，由得，所以B錯誤；對于C，如圖，分別取的中點，連接，則，所以，，所以，所以C正確；對于D，，由，可知，得，解得：，故，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在復數范圍內方程的解為________.【答案】，【解析】方程，即，解得，.13.已知中，，點是線段上的動點，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為，所以，即，因為，且，所以當分別位于時，此時時，，當均位于時，最大，最大，，所以的取值范圍為．14.某次考試共5道試題，均為判斷題．計分的方法是：每道題答對的給2分，答錯或不答的扣1分，每個人的基本分為10分．已知趙，錢，孫，李，周，吳6人的作答情況及前5個人的得分情況如下表，則吳的得分為______．題號人趙錢孫李周吳1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411【答案】14分【解析】解法一：分析可得，無論每道題的結果如何，每道題前五人的得分比吳的得分多2分，則吳的得分為：，加上基本分后為14．解法二：由于前四個人只有錢得分是11分，則錢答對兩個題，答錯三個題，不妨將錢的答案全部考慮反面，則錢答對三個題，答錯兩個題，共14分；題號人趙錢孫李周吳1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411對于6個人而言，前4個題，6個人答案都是三個√，三個錯，那前4個題，每個題都是3個人對，3個人錯；前4個題的總分為：分；現在考慮第5題，共5個√，一個×，若第5題正確答案是“×”，那么第5個題的得分是：分，最終5個題的總得分為69分；而從得分來看，分，于是吳得分是2分，矛盾；于是第5題正確答案是“√”，第5題的得分是：分，6個題的總分為：81分，于是吳得14分．解法三：考慮第一，二題孫的答案是對的，（1）若孫第三題答案也是對的，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√×××√×5××√√√√得分1411141411（2）若孫第三題答案是錯的，錢最后兩題只能全對，與周11分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√5×（2）×（2）√√√√得分1411141411考慮孫第一題對，第二題答案是錯的.（3）若孫第三題答案是對的，則趙最后兩題全對，與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√（2）×××√×5×（2）×√√√√得分1411141411（4）若孫第三題答案是錯的，則孫最后兩題全對，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√（2）××√（2）××4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411考慮孫第一題錯，第二題答案是對的.（5）若孫第三題答案是對的，則李最后兩題全對，與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√2××（2）×（2）√×5××√（2）√（2）√√得分1411141411（6）若孫第三題答案是錯的，則孫最后兩題全對，此時正確答案是√，×，√，×，√，吳此時14分；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√×（2）5××√（2）√（2）√（2）√（2）得分141114141114考慮孫第一題錯，第二題答案是錯的，則孫后三題全對，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411綜上所述：正確答案是√，×，√，×，√，吳此時14分．四、解答題.15.已知中，是直