高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省上饒市多校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.角是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)椋鶕?jù)終邊相同角的集合知，與終邊相同，又是第二象限角.故選：B.2.已知角的終邊上有一點(diǎn)，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，.故選：C.3.已知函數(shù)，則的增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間是.故選：C.4.如圖所示的幾何圖形，設(shè)弧的長(zhǎng)度是，弧的長(zhǎng)度是，扇環(huán)的面積為，扇形的面積為.若，則（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】設(shè)，由，得，即，所以.故選：D.5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故排除AB；當(dāng)時(shí)，，故排除C.故選：D.6.已知函數(shù)的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸間的距離為，為得到的圖象，可將的圖象上所有的點(diǎn)（）A.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變B.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變C.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變D.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變【答案】A【解析】由題意可知，所以，所以可將的圖象上所有的點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變得到的圖象，即的圖象.故選：A.7.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，，且，則下列選項(xiàng)不正確的是（）A. B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.以為周期的函數(shù) D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，所以，，對(duì)于A，令，可得，因?yàn)椋傻茫蔄正確；對(duì)于B，因?yàn)椋裕傻茫瑥亩忠驗(yàn)椋傻茫裕傻茫缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋裕裕傻茫杂校砸?為周期的函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：D.8.已知函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，其中，解得：，則，要想保證函數(shù)在恰有三個(gè)零點(diǎn)，滿足①，，令，解得：；或要滿足②，，令，解得：；經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，其他情況均不滿足條件，綜上：的取值范圍是.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列三角函數(shù)值正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由，，，.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.將的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象B.C.，都有D.為函數(shù)的一條對(duì)稱軸【答案】BC【解析】由題設(shè)知，，則，所以，又，所以，則，，可得，所以，由，故A錯(cuò)；，B對(duì)；由的最小值、最大值分別為，所以，都有，C對(duì)；，顯然不是對(duì)稱軸，D錯(cuò).故選：BC.11.如圖，摩天輪的半徑為50米，摩天輪的中心點(diǎn)距離地面的高度為55米，摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處，下列結(jié)論正確的是（）A.經(jīng)過(guò)12分鐘，點(diǎn)首次到達(dá)最低點(diǎn)B.第16分鐘和第32分鐘點(diǎn)距離地面一樣高C.從第28分鐘至第40分鐘點(diǎn)距離地面的高度一直在降低D.摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周過(guò)程中，點(diǎn)有8分鐘距離地面的高度不低于80米【答案】ABD【解析】設(shè)為摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，單位為分鐘，則.對(duì)于A選項(xiàng)，由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，因?yàn)椋瑒t，令，解得，所以經(jīng)過(guò)12分鐘，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋矗缘?6分鐘和第32分鐘點(diǎn)P距離地面一樣高，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，所以第28分鐘至第40分鐘，相當(dāng)于第4分鐘至第16分鐘，根據(jù)A選項(xiàng)可知，經(jīng)過(guò)12分鐘，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)，所以第4分鐘至第12分鐘，摩天輪高度降低，第12分鐘至第16分鐘，摩天輪高度上升，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由，則，其中，即，則或，解得或，故摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中點(diǎn)P有分鐘距離地面不低于80米，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則____.【答案】【解析】因?yàn)椋?13.若，則_______【答案】【解析】由已知可得，，設(shè)，則.代入已知可化為，所以，解得，所以，所以.14.當(dāng)時(shí)，不等式的解集是_______.【答案】【解析】令，①當(dāng)時(shí)，，因，則，則在上單調(diào)遞增，又，則得；②當(dāng)時(shí)，，則恒成立；③當(dāng)時(shí)，，因，則恒成立，綜上，不等式的解集為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）化簡(jiǎn)：；（2）求證:函數(shù)的最小正周期為.解：（1）.（2）對(duì)于函數(shù)，，，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，假設(shè)存在，使得對(duì)于恒成立，則對(duì)于恒成立，令，則，此時(shí)，，即，，顯然不存在滿足的值，與假設(shè)矛盾，所以函數(shù)的最小正周期為.16.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是.（1）求以及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間、最大值；（2）用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在上的簡(jiǎn)圖.解：（1）由題設(shè)，則，，故，，，則，所以，其最大值為2，令，，則，，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）0200在上的簡(jiǎn)圖如下，17.如圖是函數(shù)的部分圖象，M，N是它與x軸的兩個(gè)不同交點(diǎn)，D是M?N之間的最高點(diǎn)且橫坐標(biāo)為，點(diǎn)是線段DM的中點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式及上的單調(diào)增區(qū)間；（2）若時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是線段DM中點(diǎn)，所以，，則，，所以，所以，由，故，，所以，，又因?yàn)椋瑒t．所以，由，得，令，得，所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)椋瑒t，令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，．18.已知二次函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍.（2）令，若時(shí)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）由題意，對(duì)于二次函數(shù)，，要使恒成立，則，解得，即的取值范圍為.（2）由，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn)，所以方程在時(shí)有唯一解，當(dāng)時(shí)，方程為，顯然不成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于方程在時(shí)有唯一解，令，，則等價(jià)于方程在時(shí)有唯一解，畫(huà)出函數(shù)，的圖象（實(shí)線部分）：由圖可知，要使方程在時(shí)有唯一解，則，即的取值范圍為.19.已知函數(shù)，如果對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)及給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)，恒有成立，則稱函數(shù)是上的“級(jí)遞減類周期函數(shù)”，類周期為；若恒有成立，則稱函數(shù)是上的“級(jí)類周期函數(shù)”，類周期為．（1）判斷函數(shù)是不是上的類周期為1的“2級(jí)遞減類周期函數(shù)”，并說(shuō)明理由．（2）已知是在上的“級(jí)類周期函數(shù)”，類周期，且在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，．求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，并求實(shí)數(shù)的取值范圍．（3）是否存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)是上的類周期為的“級(jí)類周期函數(shù)”？給出結(jié)論并證明你的結(jié)論．解：（1）依題意，函數(shù)的定義域是，，即任意成立，所以函數(shù)是上的類周期為1的2級(jí)遞減類周期函數(shù)．（2）因?yàn)槭窃谏系募?jí)類周期函數(shù)，類周期，所以，即，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則．并且有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)樵谏蠂?yán)格單調(diào)遞增，則有解得，所以當(dāng)時(shí)，，且．（3）假定存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)是上的類周期為的級(jí)類周期函數(shù)，即任意，恒有成立，則任意，恒有成立，即任意，恒有成立．當(dāng)時(shí)，，則，于是得，要使恒成立，則有：當(dāng)，即時(shí)，由函數(shù)與的圖象存在交點(diǎn)知，方程有解，此時(shí)恒成立，則，即；當(dāng)，即時(shí)，若，則，，無(wú)解．若，即，令，即，由和的圖象可知，，兩者無(wú)交點(diǎn)，故無(wú)解．綜上，，符合題意，其中滿足．江西省上饒市多校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.角是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)椋鶕?jù)終邊相同角的集合知，與終邊相同，又是第二象限角.故選：B.2.已知角的終邊上有一點(diǎn)，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，.故選：C.3.已知函數(shù)，則的增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間是.故選：C.4.如圖所示的幾何圖形，設(shè)弧的長(zhǎng)度是，弧的長(zhǎng)度是，扇環(huán)的面積為，扇形的面積為.若，則（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】設(shè)，由，得，即，所以.故選：D.5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故排除AB；當(dāng)時(shí)，，故排除C.故選：D.6.已知函數(shù)的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸間的距離為，為得到的圖象，可將的圖象上所有的點(diǎn)（）A.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變B.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變C.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變D.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變【答案】A【解析】由題意可知，所以，所以可將的圖象上所有的點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變得到的圖象，即的圖象.故選：A.7.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，，且，則下列選項(xiàng)不正確的是（）A. B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.以為周期的函數(shù) D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，所以，，對(duì)于A，令，可得，因?yàn)椋傻茫蔄正確；對(duì)于B，因?yàn)椋裕傻茫瑥亩忠驗(yàn)椋傻茫裕傻茫缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋裕裕傻茫杂校砸?為周期的函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：D.8.已知函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，其中，解得：，則，要想保證函數(shù)在恰有三個(gè)零點(diǎn)，滿足①，，令，解得：；或要滿足②，，令，解得：；經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，其他情況均不滿足條件，綜上：的取值范圍是.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列三角函數(shù)值正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由，，，.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.將的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象B.C.，都有D.為函數(shù)的一條對(duì)稱軸【答案】BC【解析】由題設(shè)知，，則，所以，又，所以，則，，可得，所以，由，故A錯(cuò)；，B對(duì)；由的最小值、最大值分別為，所以，都有，C對(duì)；，顯然不是對(duì)稱軸，D錯(cuò).故選：BC.11.如圖，摩天輪的半徑為50米，摩天輪的中心點(diǎn)距離地面的高度為55米，摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處，下列結(jié)論正確的是（）A.經(jīng)過(guò)12分鐘，點(diǎn)首次到達(dá)最低點(diǎn)B.第16分鐘和第32分鐘點(diǎn)距離地面一樣高C.從第28分鐘至第40分鐘點(diǎn)距離地面的高度一直在降低D.摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周過(guò)程中，點(diǎn)有8分鐘距離地面的高度不低于80米【答案】ABD【解析】設(shè)為摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，單位為分鐘，則.對(duì)于A選項(xiàng)，由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，因?yàn)椋瑒t，令，解得，所以經(jīng)過(guò)12分鐘，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋矗缘?6分鐘和第32分鐘點(diǎn)P距離地面一樣高，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，所以第28分鐘至第40分鐘，相當(dāng)于第4分鐘至第16分鐘，根據(jù)A選項(xiàng)可知，經(jīng)過(guò)12分鐘，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)，所以第4分鐘至第12分鐘，摩天輪高度降低，第12分鐘至第16分鐘，摩天輪高度上升，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由，則，其中，即，則或，解得或，故摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中點(diǎn)P有分鐘距離地面不低于80米，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則____.【答案】【解析】因?yàn)椋?13.若，則_______【答案】【解析】由已知可得，，設(shè)，則.代入已知可化為，所以，解得，所以，所以.14.當(dāng)時(shí)，不等式的解集是_______.【答案】【解析】令，①當(dāng)時(shí)，，因，則，則在上單調(diào)遞增，又，則得；②當(dāng)時(shí)，，則恒成立；③當(dāng)時(shí)，，因，則恒成立，綜上，不等式的解集為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）化簡(jiǎn)：；（2）求證:函數(shù)的最小正周期為.解：（1）.（2）對(duì)于函數(shù)，，，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，假設(shè)存在，使得對(duì)于恒成立，則對(duì)于恒成立，令，則，此時(shí)，，即，，顯然不存在滿足的值，與假設(shè)矛盾，所以函數(shù)的最小正周期為.16.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是.（1）求以及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間、最大值；（2）用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在上的簡(jiǎn)圖.解：（1）由題設(shè)，則，，故，，，則，所以，其最大值為2，令，，則，，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）0200在上的簡(jiǎn)圖如下，17.如圖是函數(shù)的部分圖象，M，N是它與x軸的兩個(gè)不同交點(diǎn)，D是M?N之間的最高點(diǎn)且橫坐標(biāo)為，點(diǎn)是線段DM的中點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式及上的單調(diào)增區(qū)間；（2）若時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是線段DM中點(diǎn)，所以，，則，，所以，所以，由，故，，所以，，又因?yàn)椋瑒t．所以，由，得，令，得，所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)椋瑒t，令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，．18.已知二次函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍.（2）令，若時(shí)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）由題意，對(duì)于二次函數(shù)，，要