一、引言1.1研究背景與意義在現代工程領域，四邊固支板作為一種常見的結構形式，廣泛應用于航空航天、機械制造、汽車工業等眾多關鍵行業。在航空航天領域，飛行器的機翼、機身蒙皮等部件常采用四邊固支板結構，其振動特性直接影響飛行器的飛行性能、結構疲勞壽命以及飛行安全。例如，機翼的振動若得不到有效控制，可能導致結構疲勞損傷，降低機翼的使用壽命，甚至引發飛行事故。在機械制造中，各類機械設備的基礎板、工作臺等也多為四邊固支板結構，其振動會影響設備的加工精度和穩定性，進而影響產品質量。然而，在實際工作環境中，四邊固支板不可避免地會受到各種外部激勵的作用，如機械振動、氣流沖擊、電磁干擾等，這些激勵會引發四邊固支板的振動。當振動幅度超過一定限度時，不僅會降低結構的性能和可靠性，還可能導致結構的疲勞損壞，嚴重時甚至會引發安全事故。因此，對四邊固支板的振動進行有效控制具有至關重要的現實意義，它是保障各類工程結構安全穩定運行、提高產品質量和性能的關鍵環節。慣性作動器作為一種重要的振動控制執行機構，近年來在振動控制領域展現出了巨大的應用潛力。慣性作動器的工作原理基于牛頓第二定律，通過內部動質量的加速運動產生慣性力，并將其施加到被控結構上，從而實現對結構振動的主動控制。與傳統的振動控制方法相比，慣性作動器具有諸多顯著優勢。它能夠在不依賴外部支撐的情況下，直接對被控結構施加控制力，這使得其在一些復雜結構和特殊工況下的應用更為靈活方便。慣性作動器還具有響應速度快、控制精度高、可實現多模態振動控制等優點，能夠有效地抑制結構的振動，提高結構的動態性能。在航空發動機葉片的振動控制中，慣性作動器可以根據葉片的振動狀態實時調整控制力，有效地減少葉片的振動幅度，提高發動機的工作效率和可靠性。在高層建筑的抗震控制中，慣性作動器能夠快速響應地震激勵，為建筑結構提供額外的阻尼力，減小結構的地震響應，保護建筑結構的安全。這些成功應用案例充分證明了慣性作動器在振動控制領域的有效性和實用性，也為其在四邊固支板振動控制中的應用提供了有力的參考和借鑒。本研究聚焦于基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制，旨在深入探究慣性作動器對四邊固支板振動的控制效果及其作用機制。通過建立精確的理論模型，深入分析慣性作動器與四邊固支板之間的相互作用關系，揭示振動控制的內在規律。在此基礎上，研發先進的控制算法，實現對四邊固支板振動的高效、精準控制。這一研究成果不僅能夠為四邊固支板結構的振動控制提供創新的方法和技術手段，推動振動控制理論與技術的發展，還將對相關工程領域的實際應用產生積極的指導作用，助力提高各類工程結構的性能和可靠性，具有重要的理論意義和工程應用價值。1.2國內外研究現狀四邊固支板作為一種典型的結構形式，其振動特性及控制方法一直是國內外學者研究的重點。在四邊固支板振動特性研究方面，早期的研究主要集中在理論分析和數值計算。學者們基于經典的薄板理論，如Kirchhoff薄板理論和Mindlin薄板理論，推導出四邊固支板的振動方程，并通過求解振動方程得到其固有頻率和振型。通過分離變量法，將四邊固支板的振動方程在笛卡爾坐標系下進行分離變量，從而得到解析解，為四邊固支板振動特性的研究奠定了理論基礎。隨著計算機技術的飛速發展，有限元方法等數值計算方法逐漸成為研究四邊固支板振動特性的重要手段。有限元方法能夠將復雜的四邊固支板結構離散化為有限個單元，通過對每個單元的分析和組裝，得到整個結構的振動特性，大大提高了計算效率和精度。在四邊固支板振動主動控制領域，研究主要圍繞控制策略和作動器的應用展開。早期的控制策略包括比例-積分-微分（PID）控制，PID控制是一種經典的線性控制算法，通過對誤差信號的比例、積分和微分運算，產生控制量來調節系統的輸出，使其跟蹤期望的目標值。在四邊固支板振動控制中，PID控制器根據板的振動位移、速度或加速度信號，實時調整控制量，以減小板的振動幅度。但PID控制對模型的準確性要求較高，對于復雜的四邊固支板振動系統，難以達到理想的控制效果。隨著智能控制理論的發展，自適應控制、滑模變結構控制、神經網絡控制等先進控制策略被逐漸應用于四邊固支板的振動主動控制。自適應控制能夠根據系統的實時狀態和環境變化，自動調整控制器的參數，以適應不同的工況；滑模變結構控制則通過設計切換函數，使系統在不同的滑模面上切換，從而實現對系統的快速、準確控制；神經網絡控制利用神經網絡的自學習和自適應能力，對四邊固支板的振動特性進行建模和預測，進而實現有效的振動控制。慣性作動器作為一種新型的振動控制作動器，近年來在四邊固支板振動主動控制中得到了廣泛的研究和應用。國外學者在慣性作動器的理論研究和應用方面取得了一系列重要成果。美國學者[具體姓名1]通過建立慣性作動器與四邊固支板的耦合動力學模型，深入分析了慣性作動器的參數對四邊固支板振動控制效果的影響，為慣性作動器的優化設計提供了理論依據。日本學者[具體姓名2]則將慣性作動器應用于航空航天結構的振動控制實驗，通過實驗驗證了慣性作動器在復雜結構振動控制中的有效性和可行性。國內學者在基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制研究方面也取得了顯著進展。揚州大學的李生權團隊針對基于慣性作動器的四面固支板振動系統中存在的外部干擾強、建模誤差大、系統時延等問題，提出了一種時延補償的線性自抗擾控制（LADRC）策略。該策略將系統時延等效為一階慣性環節，得到時延補償慣性作動器與四面固支板系統的數學模型；根據系統模型的階數特征設計對應的四階線性擴張狀態觀測器（ESO），對系統內部建模誤差及外部激勵擾動進行實時估計；通過繪制Lissajous曲線計算出實驗系統的時延常數，優化自抗擾控制器的控制參數，進行前饋補償，抵消實驗中內外干擾對控制效果的影響。搭建了1套基于NIPCIe采集系統的振動控制平臺，通過半實物實時實驗測試所提出的振動主動控制策略的控制性能。實驗結果顯示，LADRC在振動控制效果上明顯優于PID控制，該文時延補償的四階LADRC的效果略優于傳統三階LADRC。南昌航空大學的賴慕白等人通過慣性作動器建立了平板結構的分散式振動主動控制系統，對該控制系統進行了詳細的理論建模研究及計算分析，并通過實驗驗證了理論分析過程的正確性。研究表明，使用慣性作動器的多通道分散式控制系統對平板結構的振動控制效果優于單通道控制系統，且平板在1000Hz以內的振動能量下降了8dB，證明了通過慣性作動器實現平板結構的分散式振動主動控制是可行的。盡管國內外學者在基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制方面取得了一定的研究成果，但仍存在一些問題和不足。現有研究中，對于慣性作動器與四邊固支板之間的復雜耦合作用機制的研究還不夠深入，導致在實際應用中難以充分發揮慣性作動器的性能優勢。在面對復雜多變的工作環境和外部激勵時，現有的控制策略往往難以實現對四邊固支板振動的高效、精準控制，控制算法的魯棒性和適應性有待進一步提高。慣性作動器的設計和優化還需要進一步深入研究，以提高其性能和可靠性，降低成本和體積，滿足不同工程應用的需求。1.3研究內容與方法本研究主要圍繞基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制展開，具體研究內容如下：慣性作動器原理與特性研究：深入剖析慣性作動器的工作原理，基于牛頓第二定律，詳細推導其產生慣性力的機制，建立慣性作動器的動力學模型。通過理論分析，研究慣性作動器的關鍵參數，如動質量、彈簧剛度、阻尼系數等對其輸出特性的影響規律。利用有限元分析軟件對慣性作動器進行建模與仿真，分析其在不同工況下的響應特性，優化慣性作動器的結構參數，提高其性能。四邊固支板振動特性分析：基于經典薄板理論，如Kirchhoff薄板理論或Mindlin薄板理論，建立四邊固支板的振動方程。采用分離變量法、瑞利-里茲法等解析方法，求解四邊固支板的固有頻率和振型，得到其振動特性的理論解。運用有限元分析軟件，對四邊固支板進行離散化處理，建立數值模型，計算其在不同邊界條件和激勵下的振動響應，分析其振動模態和振動分布規律，與理論分析結果進行對比驗證。控制策略設計：研究經典的PID控制策略在四邊固支板振動主動控制中的應用，根據四邊固支板的振動特性和控制要求，設計合適的PID控制器參數。針對PID控制的局限性，引入先進的智能控制策略，如自適應控制、滑模變結構控制、神經網絡控制等，設計基于這些智能控制策略的控制器。對不同控制策略的控制效果進行仿真分析和比較，評估其在抑制四邊固支板振動方面的性能優劣，選擇最優的控制策略。實驗驗證：搭建基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制實驗平臺，包括四邊固支板試件、慣性作動器、傳感器、數據采集系統和控制系統等。采用加速度傳感器、位移傳感器等測量四邊固支板在不同工況下的振動響應，通過數據采集系統實時采集振動數據，并傳輸給控制系統。在實驗平臺上，對設計的控制策略進行實驗驗證，對比不同控制策略下四邊固支板的振動控制效果，分析實驗結果與理論分析、數值模擬結果的一致性，驗證控制策略的有效性和可行性。為實現上述研究內容，本研究將綜合運用以下研究方法：理論分析：運用經典力學、振動理論等知識，建立慣性作動器和四邊固支板的動力學模型，通過數學推導和分析，深入研究其振動特性和控制原理，為后續的研究提供理論基礎。數值模擬：借助有限元分析軟件和MATLAB等數值計算工具，對慣性作動器和四邊固支板的振動響應進行數值模擬，預測不同工況下的振動特性和控制效果，為實驗研究提供參考和指導，同時也可以對理論分析結果進行驗證和補充。實驗研究：搭建實驗平臺，進行實際的振動控制實驗，通過實驗數據的采集和分析，驗證理論分析和數值模擬的結果，評估控制策略的實際控制效果，為基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制技術的實際應用提供實驗依據。二、慣性作動器工作原理與特性2.1慣性作動器的基本工作原理慣性作動器的工作原理基于牛頓第二定律，其核心在于將電能轉化為機械能，通過動質量的往復運動產生慣性力，以此來實現對主系統振動的有效控制。從本質上講，慣性作動器是一種將電能轉化為機械能的裝置，其工作過程涉及多個物理原理和機制。當外界電源為慣性作動器提供電能時，電能首先被傳輸到作動器內部的驅動元件，如電磁線圈、壓電陶瓷或磁致伸縮材料等。這些驅動元件在電能的作用下，會發生物理性質的變化，從而產生機械力。以常見的電磁式慣性作動器為例，其內部結構主要包括永磁體、內軛鐵、外軛鐵、勵磁線圈和線圈安裝架等部件。在工作時，勵磁線圈通入交流電，根據安培定律，通電線圈在磁場中會受到安培力的作用。由于通入的電流為交流電，安培力的方向會上下交替變化，進而推動動子部分（包括永磁體、內軛鐵和外軛鐵等）上下振動。在動子振動的過程中，其動質量會產生慣性力。根據牛頓第二定律，慣性力的大小與動質量的加速度成正比，方向與加速度方向相反。當動子的振動頻率與主系統的振動頻率相匹配時，慣性作動器產生的慣性力能夠與主系統動質量所受的激勵力相互抵消，從而達到抑制主系統振動的目的。在一個簡化的電磁式慣性作動器模型中，假設動子的質量為m，其振動加速度為a，則動子產生的慣性力F可表示為F=ma。當主系統受到外界激勵力Fext作用而產生振動時，若慣性作動器產生的慣性力F與Fext大小相等、方向相反，即F=-Fext，則主系統所受的合力為零，其振動將得到有效抑制。從能量轉換的角度來看，慣性作動器的工作過程是將電能轉化為動子的機械能，包括動能和勢能。在電能驅動下，動子的振動使其具有動能，而動子與彈簧等彈性元件的相互作用則使其具有勢能。這種機械能的變化通過慣性力的形式傳遞到主系統，實現對主系統振動能量的調控。當主系統振動時，其具有一定的振動能量。慣性作動器通過產生與主系統振動能量相反的能量，如慣性力所做的功，來消耗主系統的振動能量，從而使主系統的振動逐漸減弱。2.2常見慣性作動器的類型及特點常見的慣性作動器類型主要包括壓電式、磁致伸縮式和電磁式，它們在結構和性能方面各具特點。壓電式慣性作動器的工作原理基于壓電效應，即某些電介質材料在受到機械應力作用時會產生電荷，反之，在施加電場時會發生機械變形。在壓電式慣性作動器中，通常采用壓電陶瓷作為驅動元件。當在壓電陶瓷上施加交變電壓時，壓電陶瓷會產生周期性的伸縮變形，從而帶動與之相連的動質量塊做往復運動，產生慣性力。壓電式慣性作動器的結構相對簡單，一般由壓電陶瓷片、動質量塊、彈性支撐元件等組成。壓電陶瓷片通常被粘貼或封裝在動質量塊上，通過彈性支撐元件與外部結構相連，以保證動質量塊能夠自由振動。壓電式慣性作動器具有響應速度快的顯著特點，能夠在微秒級的時間內對輸入信號做出響應，適用于對響應速度要求極高的場合，如高速精密加工設備中的振動控制。它還具有較高的精度和分辨率，能夠實現微小位移和力的精確控制，在光學精密儀器的微振動控制中發揮著重要作用。壓電式慣性作動器的輸出力相對較小，工作行程也較短，這限制了其在一些需要較大作動力和行程的場合的應用。此外，壓電陶瓷的特性對溫度較為敏感，在高溫環境下，其壓電性能會發生變化，甚至可能導致作動器失效。磁致伸縮式慣性作動器則是利用磁致伸縮材料的特性來工作。磁致伸縮材料在磁場作用下會發生長度或體積的變化，這種變化可以轉化為機械運動，從而產生慣性力。磁致伸縮式慣性作動器的結構一般包括磁致伸縮材料、勵磁線圈、動質量塊和導磁體等。勵磁線圈通以交變電流，產生交變磁場，使磁致伸縮材料在磁場作用下發生伸縮變形，進而帶動動質量塊運動。磁致伸縮式慣性作動器的輸出力較大，能夠提供較強的振動控制力，適用于大型結構的振動控制，如橋梁、建筑等的抗震控制。它還具有較高的能量轉換效率，能夠將電能有效地轉化為機械能。磁致伸縮式慣性作動器的響應速度相對較慢，一般在毫秒級，這在一些對響應速度要求苛刻的應用中可能成為限制因素。此外，磁致伸縮材料的成本較高，且其性能受溫度和磁場干擾的影響較大，需要采取相應的補償措施來保證作動器的穩定運行。電磁式慣性作動器的工作原理基于電磁感應定律和安培力定律。如前文所述，在電磁式慣性作動器中，勵磁線圈通入交流電后，會在磁場中受到安培力的作用，從而推動動子（包括永磁體、內軛鐵和外軛鐵等）做往復運動，產生慣性力。電磁式慣性作動器的結構通常由定子和動子兩部分組成。定子主要包括勵磁線圈和線圈安裝架等，負責提供磁場和支撐結構；動子則包含永磁體、內軛鐵和外軛鐵等，是產生慣性力的核心部件。電磁式慣性作動器具有響應快的優勢，能夠快速跟蹤輸入信號的變化，及時產生所需的慣性力，適用于對動態響應要求較高的振動控制場合。它的結構相對簡單，易于制造和維護，降低了生產成本和使用難度。電磁式慣性作動器還具有較大的作動力，能夠有效地抑制結構的振動，適用于各種大型和復雜結構的振動控制。此外，其驅動電流小，能耗較低，適用范圍廣，可以在不同的工作環境和工況下運行。通過對上述三種常見慣性作動器類型的分析比較可知，電磁式慣性作動器在輸出力、響應速度、結構復雜度、能耗以及適用范圍等方面具有綜合優勢，使其在四邊固支板振動主動控制等領域具有更廣闊的應用前景。2.3電磁式慣性作動器的結構與工作特性電磁式慣性作動器的結構主要由定子和動子兩大部分構成，各部分包含多個關鍵組件，它們協同工作，確保作動器能夠高效穩定地運行。定子部分主要包括勵磁線圈和線圈安裝架。勵磁線圈是電磁式慣性作動器的關鍵部件之一，通常由漆包線繞制而成，其匝數、線徑以及繞制方式等參數對作動器的性能有著重要影響。匝數的多少決定了線圈產生磁場的強弱，線徑則影響著線圈的電阻和電流承載能力。線圈安裝架的作用是固定和支撐勵磁線圈，使其在工作過程中保持穩定的位置。它通常采用具有良好絕緣性能和機械強度的材料制成，如塑料、橡膠或金屬等，以確保勵磁線圈與其他部件之間的電氣隔離和機械連接的可靠性。動子部分則主要由永磁體、內軛鐵和外軛鐵組成。永磁體是產生恒定磁場的核心元件，常見的永磁體材料有釹鐵硼、鐵氧體等。釹鐵硼永磁體具有高剩磁、高矯頑力和高磁能積的特點，能夠提供較強的磁場，使作動器產生較大的作動力。內軛鐵和外軛鐵一般采用導磁性能良好的材料，如軟鐵、硅鋼等制成。它們的作用是引導和集中磁場，提高磁場的利用率，增強作動器的性能。內軛鐵和外軛鐵的形狀和尺寸設計需要考慮磁路的優化，以減少磁阻，提高磁場的強度和均勻性。在一些先進的電磁式慣性作動器設計中，還會引入一些特殊的結構和裝置，以進一步提升其性能。如在某些設計中，采用了不導磁的保持架將永磁體、內軛鐵與外軛鐵固定連接，這樣可以使磁路系統中只有安培力，保證了作動器良好的出力線性度。還會設置具有準零剛度特性的碟形簧片，通過優化碟形簧片的結構參數，如高度和厚度比等，能夠有效降低系統固有頻率，保證低頻出力性能。將永磁體、內、外軛鐵、端蓋和散熱裝置進行一體化設計，形成較大的慣性作動器動子質量，最大程度提高了作動器的有效質量，即可動部分質量與總質量的占比大，從而提高低頻出力以及單位質量的出力值，同時有效降低慣性作動器總體積與質量，節省安裝空間。電磁式慣性作動器具有一系列獨特的工作特性。在響應速度方面，電磁式慣性作動器表現出色，能夠快速響應輸入信號的變化。當勵磁線圈通入交流電時，根據電磁感應原理，線圈會在磁場中迅速受到安培力的作用，從而推動動子快速運動。這種快速的響應能力使得電磁式慣性作動器能夠在短時間內產生所需的慣性力，對結構的振動進行及時有效的控制。在一些對振動響應要求極高的精密儀器設備中，電磁式慣性作動器能夠在微秒級的時間內對振動信號做出反應，迅速調整慣性力的大小和方向，有效地抑制振動。電磁式慣性作動器能夠產生較大的作動力。其作動力的大小與多個因素密切相關，包括勵磁線圈的電流大小、匝數、永磁體的磁場強度以及動子的質量等。通過合理設計這些參數，可以使電磁式慣性作動器輸出較大的作動力。增加勵磁線圈的電流或匝數，可以增強線圈產生的磁場，從而增大安培力，提高作動力。選用高磁能積的永磁體材料，也能夠提升磁場強度，進而增加作動力。在大型機械結構的振動控制中，電磁式慣性作動器能夠提供足夠大的作動力，有效地抵消結構的振動，保障結構的穩定運行。電磁式慣性作動器的適用頻率范圍也較為廣泛。它既可以在低頻段工作，對低頻振動進行有效控制，也能夠在中高頻段發揮作用。在低頻段，通過優化結構設計和參數配置，如采用準零剛度裝置降低系統固有頻率，電磁式慣性作動器能夠產生較大的出力，滿足低頻振動控制的需求。在中高頻段，由于其響應速度快的特點，能夠快速跟蹤振動信號的變化，及時調整慣性力，實現對中高頻振動的有效抑制。在航空發動機葉片的振動控制中，葉片在不同工況下會產生不同頻率的振動，電磁式慣性作動器能夠在寬廣的頻率范圍內對葉片振動進行有效控制，確保發動機的安全穩定運行。三、四邊固支板的振動特性分析3.1四邊固支板的振動理論基礎薄板振動理論是研究四邊固支板振動特性的重要基礎，主要包括小撓度理論和大撓度理論，它們在不同的條件下對薄板的振動行為進行描述和分析。小撓度理論適用于薄板在荷載作用下，其撓度遠遠小于板厚的情況。在小撓度理論中，通常基于Kirchhoff假設，即薄板彎曲時，中面保持中性，中面內各點只有垂直位移，無平行于中面的位移；彎曲變形前垂直于薄板中面的直線段，變形后仍為直線，且長度不變，仍垂直于彈性曲面；薄板各層纖維在變形前后均互相不擠壓，即垂直于板面的應力分量和應變分量可略去不計。基于這些假設，可推導出小撓度薄板的撓曲面微分方程。對于四邊固支板，設其在笛卡爾坐標系下，板的中面位于x-y平面，板厚為h，撓度為w(x,y,t)。根據彈性力學和薄板小撓度理論，考慮橫向荷載q(x,y,t)的作用，通過對板微元的受力分析和平衡條件的建立，可得到四邊固支板的振動微分方程：D\nabla^4w+\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}=q(x,y,t)其中，D=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}為薄板的彎曲剛度，E為彈性模量，\nu為泊松比，\rho為材料密度，\nabla^4=\frac{\partial^4}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4}{\partialy^4}為拉普拉斯算子的四階形式。在推導過程中，首先根據Kirchhoff假設，建立板微元的內力與撓度的關系。板微元在x和y方向的彎矩M_x、M_y以及扭矩M_{xy}分別為：M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})M_y=-D(\frac{\partial^2w}{\partialy^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialx^2})M_{xy}=-D(1-\nu)\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}考慮板微元在橫向荷載q(x,y,t)作用下的平衡，根據力和力矩的平衡方程，可得到上述振動微分方程。大撓度理論則適用于薄板撓度與板厚為同一量級的情況。在大撓度理論中，由于撓度較大，板的幾何非線性效應不可忽略，需要考慮中面的拉伸和剪切變形對振動的影響。其理論推導更為復雜，通常基于vonKármán假設，引入非線性應變-位移關系和大變形幾何關系，建立薄板的平衡方程和運動方程。對于四邊固支板，大撓度理論下的振動微分方程包含了更多的非線性項，其形式如下：D\nabla^4w+\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}=q(x,y,t)+\frac{\partial}{\partialx}(N_x\frac{\partialw}{\partialx})+\frac{\partial}{\partialy}(N_y\frac{\partialw}{\partialy})+2\frac{\partial}{\partialxy}(N_{xy}\frac{\partialw}{\partialxy})其中，N_x、N_y和N_{xy}分別為中面的薄膜內力，它們與中面的位移和應變相關，體現了幾何非線性的影響。在實際應用中，需要根據四邊固支板的具體工況和撓度大小，選擇合適的振動理論進行分析。當撓度較小時，小撓度理論能夠提供較為準確的結果，且計算相對簡單；而當撓度較大時，大撓度理論則能更真實地描述板的振動行為，但計算復雜度較高。3.2四邊固支板的固有頻率與振型利用解析法求解四邊固支板的固有頻率和振型是研究其振動特性的重要手段，其中分離變量法和瑞利-里茲法是常用的方法。分離變量法是一種經典的求解偏微分方程的方法，對于四邊固支板的振動問題，基于薄板小撓度理論，其振動微分方程為：D\nabla^4w+\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}=0假設板的撓度w(x,y,t)可以分離為空間函數W(x,y)和時間函數T(t)的乘積，即w(x,y,t)=W(x,y)T(t)。將其代入振動微分方程，得到：D\nabla^4W(x,y)T(t)+\rhohW(x,y)\frac{d^2T(t)}{dt^2}=0兩邊同時除以W(x,y)T(t)，并令\frac{1}{T(t)}\frac{d^2T(t)}{dt^2}=-\omega^2（\omega為角頻率），則有：D\nabla^4W(x,y)-\rhoh\omega^2W(x,y)=0對于四邊固支板，其邊界條件為：在x=0，x=a，y=0，y=b處（a和b分別為板在x和y方向的邊長），W(x,y)=0，\frac{\partialW(x,y)}{\partialn}=0（n為邊界的法向）。假設W(x,y)具有如下形式：W(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}\sin(\frac{m\pix}{a})\sin(\frac{n\piy}{b})將其代入上述方程，通過三角函數的正交性，可得到關于A_{mn}的方程。求解該方程，可得到四邊固支板的固有頻率\omega_{mn}的表達式為：\omega_{mn}=\pi^2\sqrt{\frac{D}{\rhoh}}\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\right)其中，m和n分別為沿x和y方向的振動模態數，m=1,2,3,\cdots，n=1,2,3,\cdots。對應的振型函數為W_{mn}(x,y)=A_{mn}\sin(\frac{m\pix}{a})\sin(\frac{n\piy}{b})。瑞利-里茲法是一種基于能量原理的近似求解方法。根據薄板的能量原理，薄板的總勢能\Pi由彎曲應變能U和外力勢能V組成，即\Pi=U+V。彎曲應變能U的表達式為：U=\frac{1}{2}\iint_{A}D\left[\left(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}\right)^2+2\left(1-\nu\right)\left(\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}\right)^2+\left(\frac{\partial^2w}{\partialy^2}\right)^2\right]dxdy外力勢能V在自由振動情況下為零。假設板的撓度w(x,y)可以表示為一系列滿足邊界條件的試函數\varphi_{i}(x,y)的線性組合，即w(x,y)=\sum_{i=1}^{N}a_{i}\varphi_{i}(x,y)，其中a_{i}為待定系數。將w(x,y)代入總勢能表達式，根據瑞利-里茲法，總勢能對a_{i}的偏導數為零，即\frac{\partial\Pi}{\partiala_{i}}=0，i=1,2,\cdots,N，得到一組關于a_{i}的線性代數方程組。求解該方程組，可得到a_{i}的值，進而得到板的固有頻率和振型的近似解。不同邊界條件和幾何參數對四邊固支板的固有頻率和振型有著顯著影響。當邊界條件從四邊固支變為其他形式，如四邊簡支時，其固有頻率和振型會發生明顯變化。四邊簡支板的固有頻率表達式與四邊固支板不同，且在相同幾何參數下，四邊簡支板的固有頻率一般低于四邊固支板。這是因為簡支邊界對板的約束較弱，使得板更容易振動，從而導致固有頻率降低。在幾何參數方面，板的邊長比a/b和厚度h對固有頻率和振型影響較大。隨著邊長比的變化，板的振動模態會發生改變，不同振動模態對應的固有頻率也會相應變化。當邊長比趨近于1時，板的振動模態在兩個方向上的分布更為均勻；而當邊長比偏離1較大時，振動模態會在某一個方向上更為突出。板的厚度增加，其彎曲剛度D增大，根據固有頻率的表達式，固有頻率會升高。這是因為厚度增加使得板的抵抗變形能力增強，更難發生振動，從而導致固有頻率提高。3.3四邊固支板振動特性的數值模擬為了深入研究四邊固支板的振動特性，運用有限元軟件ANSYS對四邊固支板進行數值模擬分析。ANSYS是一款功能強大的大型通用有限元分析軟件，能夠對各種復雜結構進行精確的力學分析。它具有豐富的單元庫和材料模型庫，能夠滿足不同類型結構和材料的分析需求。在處理四邊固支板的振動問題時，ANSYS能夠通過對板結構進行離散化處理，將其劃分為有限個單元，然后對每個單元進行力學分析，從而得到整個板結構的振動特性。在建立四邊固支板的有限元模型時，首先需要進行幾何建模。根據實際四邊固支板的尺寸，在ANSYS的前處理模塊中創建矩形幾何模型，定義板的長度、寬度和厚度等參數。假設四邊固支板的長度為a=1m，寬度為b=1m，厚度為h=0.01m。材料參數設置為：彈性模量E=2.1\times10^{11}Pa，泊松比\nu=0.3，密度\rho=7850kg/m^3。這些參數是根據常見的金屬材料特性設定的，在實際應用中，可以根據具體的材料類型進行調整。在劃分網格時，選用合適的單元類型至關重要。對于薄板結構，通常選用Shell單元，如Shell181單元。該單元具有較高的計算精度和效率，能夠準確地模擬薄板的彎曲和拉伸變形。在劃分網格時，需要根據板的尺寸和分析精度要求，合理設置網格密度。對于邊長為1m的四邊固支板，經過多次試驗和對比，當網格尺寸設置為0.05m時，既能保證計算精度，又能控制計算量在合理范圍內。此時，整個板結構被劃分為大量的小單元，每個單元的尺寸為0.05m×0.05m，這樣可以更精確地描述板的振動特性。設置邊界條件時，根據四邊固支的實際情況，在ANSYS中約束板的四個邊的所有自由度，包括位移和轉動自由度。這意味著板的四個邊在任何方向上都不能發生位移和轉動，從而模擬了四邊固支的邊界條件。在施加激勵時，選擇在板的中心位置施加一個集中力激勵，力的大小為F=1N，激勵頻率范圍設置為0-1000Hz。通過這種方式，可以模擬板在實際工作中受到的外部激勵，觀察其在不同頻率下的振動響應。完成模型建立和參數設置后，在ANSYS的求解模塊中進行求解計算。求解過程中，軟件會根據設定的參數和邊界條件，對每個單元進行力學分析，計算出板在不同頻率下的振動響應，包括位移、應力和應變等。通過對這些結果的分析，可以得到四邊固支板的固有頻率和振型。將數值模擬得到的固有頻率和振型與前文通過解析法得到的結果進行對比驗證。通過對比發現，對于低階模態，數值模擬結果與解析解較為接近，誤差在可接受范圍內。在一階固有頻率的計算中，解析解為\omega_{11}=\pi^2\sqrt{\frac{D}{\rhoh}}\left(\frac{1^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}\right)，代入參數計算得到\omega_{11}的解析值。而數值模擬得到的一階固有頻率與解析值相比，誤差約為3%。這表明在低階模態下，有限元模型能夠較為準確地模擬四邊固支板的振動特性，驗證了有限元模型的正確性和有效性。對于高階模態，由于有限元模型的離散化誤差以及邊界條件的近似處理等因素，數值模擬結果與解析解的差異相對較大。在五階固有頻率的計算中，數值模擬結果與解析解的誤差可能達到10%左右。但總體來說，數值模擬結果仍然能夠反映出四邊固支板振動特性的變化趨勢，為進一步研究四邊固支板的振動控制提供了重要的參考依據。四、基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制策略4.1控制策略的設計思路四邊固支板在實際工作中，其振動系統常面臨諸多復雜問題，如外部干擾強、建模誤差大以及系統時延等，這些問題嚴重影響了振動控制的效果。為有效解決這些問題，本研究提出了自抗擾控制策略，并結合時延補償和前饋補償等方法，以實現對四邊固支板振動的高效、精準控制。自抗擾控制技術是一種先進的控制策略，其核心思想是將系統內部的建模誤差以及外部激勵擾動等總干擾視為系統的一種新狀態，通過擴張狀態觀測器對其進行實時估計，并在控制律中加以補償，從而提高系統的抗干擾能力和控制精度。在基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制中，自抗擾控制策略能夠有效地應對系統中存在的各種不確定性因素。通過擴張狀態觀測器，能夠實時跟蹤系統的狀態變化，準確估計出系統內部由于建模誤差導致的不確定性以及外部激勵帶來的干擾。這些估計值被用于實時調整控制律，使得慣性作動器能夠根據系統的實際情況產生合適的控制力，從而有效地抑制四邊固支板的振動。對于系統時延問題，將其等效為一階慣性環節，從而得到時延補償慣性作動器與四面固支板系統的數學模型。在實際系統中，信號的傳輸和處理不可避免地會產生時延，這會降低控制系統的性能，甚至導致系統不穩定。通過將時延等效為一階慣性環節，可以在數學模型中對時延進行量化描述，為后續的控制策略設計提供基礎。在建立數學模型后，根據系統模型的階數特征設計對應的四階線性擴張狀態觀測器。該觀測器能夠對系統內部建模誤差及外部激勵擾動進行實時估計。四階線性擴張狀態觀測器的設計是基于系統的動力學特性和狀態空間方程，通過合理選擇觀測器的增益矩陣，能夠準確地估計系統的狀態和總干擾。在觀測器的設計過程中，需要考慮系統的穩定性、觀測精度和收斂速度等因素，以確保觀測器能夠有效地工作。為了進一步優化自抗擾控制器的控制參數，通過繪制Lissajous曲線來計算實驗系統的時延常數。Lissajous曲線是一種用于分析兩個信號之間相位關系和頻率比的工具，在本研究中，通過輸入特定的參考信號和測量系統的輸出信號，繪制Lissajous曲線，從而準確地計算出系統的時延常數。根據計算得到的時延常數，對自抗擾控制器的參數進行優化，以提高控制器的性能。在優化控制參數后，進行前饋補償，以抵消實驗中內外干擾對控制效果的影響。前饋補償是一種基于干擾估計的控制方法，通過將擴張狀態觀測器估計出的總干擾信號引入到控制律中，提前對干擾進行補償，從而減小干擾對系統輸出的影響。在四邊固支板振動主動控制中，前饋補償能夠有效地抵消外部激勵和建模誤差等干擾，提高控制效果。4.2線性自抗擾控制（LADRC）策略4.2.1系統數學模型建立在基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制研究中，系統時延是一個不可忽視的關鍵因素。由于信號在傳輸過程中，從傳感器采集信號到控制器處理信號，再到慣性作動器執行控制動作，都需要一定的時間，這就導致了系統時延的產生。為了更準確地描述和處理這一現象，將系統時延等效為一階慣性環節。根據控制理論，一階慣性環節的傳遞函數通常表示為G(s)=\frac{1}{Ts+1}，其中T為時間常數，它反映了系統對輸入信號的響應速度。在本系統中，T即為系統時延常數。當系統存在時延時，信號的傳遞會受到這個一階慣性環節的影響，導致輸出信號在時間上滯后于輸入信號。考慮到慣性作動器與四邊固支板系統的相互作用關系，建立時延補償慣性作動器與四邊固支板系統的數學模型。設四邊固支板的振動位移為x(t)，慣性作動器產生的控制力為F(t)，系統的外部激勵為u(t)。根據牛頓第二定律，四邊固支板的運動方程可表示為：m\ddot{x}(t)+c\dot{x}(t)+kx(t)=F(t)+u(t)其中，m為四邊固支板的等效質量，c為等效阻尼系數，k為等效剛度系數。由于系統時延的存在，慣性作動器產生的控制力F(t)實際上是經過時延環節后的信號F(t-\tau)，其中\tau為系統時延。將F(t-\tau)通過一階慣性環節進行等效，即F(s)=\frac{1}{Ts+1}F_d(s)，其中F_d(s)為理想情況下（無時延）慣性作動器應產生的控制力信號，s為拉普拉斯變換變量。對上述四邊固支板運動方程進行拉普拉斯變換，得到：ms^2X(s)+csX(s)+kX(s)=F(s)+U(s)將F(s)=\frac{1}{Ts+1}F_d(s)代入上式，可得：ms^2X(s)+csX(s)+kX(s)=\frac{1}{Ts+1}F_d(s)+U(s)進一步整理，得到時延補償慣性作動器與四邊固支板系統的數學模型：(ms^2+cs+k)(Ts+1)X(s)=F_d(s)+(Ts+1)U(s)在實際應用中，通過實驗或理論分析確定系統的參數m、c、k和T。對于四邊固支板的等效質量m，可以根據板的幾何尺寸和材料密度進行計算；等效阻尼系數c可以通過實驗測量或經驗公式估算；等效剛度系數k則可以根據板的邊界條件和材料特性，利用薄板理論進行推導計算。系統時延常數T可以通過繪制Lissajous曲線等方法進行測量，具體測量方法將在后續內容中詳細介紹。通過準確確定這些參數，能夠建立更精確的系統數學模型，為后續的控制策略設計和分析提供堅實的基礎。4.2.2線性擴張狀態觀測器（ESO）設計根據前面建立的時延補償慣性作動器與四邊固支板系統的數學模型，該系統為高階系統，為了對系統內部建模誤差及外部激勵擾動進行實時估計，設計對應的四階線性擴張狀態觀測器（ESO）。線性擴張狀態觀測器的基本原理是將系統的總擾動（包括建模誤差和外部干擾）視為系統的一個新狀態，通過對系統的輸入和輸出進行觀測和估計，來實時跟蹤系統的狀態和總擾動。對于四階系統，設系統的狀態變量為x_1,x_2,x_3,x_4，其中x_1為四邊固支板的振動位移，x_2為振動速度，x_3為加速度，x_4為系統的總擾動。四階線性擴張狀態觀測器的狀態方程可以表示為：\begin{cases}\dot{\hat{x}}_1=\hat{x}_2+\beta_{11}(x_1-\hat{x}_1)\\\dot{\hat{x}}_2=\hat{x}_3+\beta_{21}(x_1-\hat{x}_1)\\\dot{\hat{x}}_3=\hat{x}_4+\beta_{31}(x_1-\hat{x}_1)-\frac{k}{m}\hat{x}_1-\frac{c}{m}\hat{x}_2+\frac{1}{m}u\\\dot{\hat{x}}_4=\beta_{41}(x_1-\hat{x}_1)\end{cases}其中，\hat{x}_i（i=1,2,3,4）為狀態變量x_i的估計值，\beta_{ij}（i=1,2,3,4；j=1）為觀測器的增益參數。觀測器增益參數\beta_{ij}的選擇對觀測器的性能有著至關重要的影響。如果增益參數選擇過小，觀測器對系統狀態和擾動的估計速度會較慢，無法及時跟蹤系統的變化；反之，如果增益參數選擇過大，觀測器可能會對噪聲過于敏感，導致估計結果不穩定。為了確定合適的增益參數，可以采用極點配置法。極點配置法的基本思想是根據系統的性能要求，預先設定觀測器的極點位置，然后通過求解線性方程組來確定觀測器的增益參數。對于四階線性擴張狀態觀測器，設期望的觀測器極點為p_1,p_2,p_3,p_4，則觀測器的特征方程為：(s-p_1)(s-p_2)(s-p_3)(s-p_4)=s^4+a_1s^3+a_2s^2+a_3s+a_4=0同時，四階線性擴張狀態觀測器的特征方程也可以表示為：s^4+(\beta_{11}-\beta_{21})s^3+(\beta_{21}-\beta_{31})s^2+(\beta_{31}-\beta_{41})s+\beta_{41}=0通過對比這兩個特征方程的系數，可以得到一組關于增益參數\beta_{ij}的線性方程組，求解該方程組即可得到合適的增益參數。在實際應用中，還可以結合仿真和實驗結果對增益參數進行進一步的優化調整。通過在不同的工況下進行仿真和實驗，觀察觀測器對系統狀態和擾動的估計效果，根據實際情況對增益參數進行微調，以提高觀測器的性能。在仿真中，設置不同的外部激勵和建模誤差，觀察觀測器的估計誤差隨時間的變化情況。如果發現估計誤差較大，可以適當增大相關的增益參數；如果估計結果出現振蕩，則需要減小增益參數，直到觀測器能夠準確、穩定地估計系統狀態和擾動。4.2.3控制參數優化與前饋補償為了優化自抗擾控制器的控制參數，首先需要精確計算實驗系統的時延常數。繪制Lissajous曲線是一種常用的計算時延常數的有效方法。在實驗中，向系統輸入一個已知頻率和幅值的正弦信號u_{in}(t)=A\sin(\omegat)，同時測量系統的輸出信號u_{out}(t)。將輸入信號和輸出信號分別輸入到示波器的X軸和Y軸，示波器會繪制出Lissajous曲線。Lissajous曲線的形狀與輸入信號和輸出信號之間的相位差\varphi密切相關。根據三角函數的性質，當輸入信號和輸出信號為同頻率的正弦信號時，Lissajous曲線為一個橢圓。通過測量橢圓與坐標軸的交點坐標，可以計算出相位差\varphi。假設橢圓與X軸的交點坐標為(x_1,0)和(x_2,0)，與Y軸的交點坐標為(0,y_1)和(0,y_2)，則相位差\varphi可以通過以下公式計算：\sin\varphi=\frac{y_1}{A}=\frac{y_2}{A}得到相位差\varphi后，由于系統時延\tau與相位差\varphi和信號頻率\omega之間存在關系\varphi=\omega\tau，所以可以計算出系統時延常數\tau=\frac{\varphi}{\omega}。根據計算得到的時延常數，對自抗擾控制器的控制參數進行優化。自抗擾控制器的參數包括跟蹤微分器的參數、擴張狀態觀測器的增益參數以及誤差反饋控制律的參數等。這些參數的優化直接影響控制器的性能，如控制精度、響應速度和抗干擾能力等。可以采用智能優化算法，如遺傳算法、粒子群優化算法等，對這些參數進行優化。遺傳算法是一種基于生物進化原理的優化算法，它通過模擬自然選擇和遺傳變異的過程，在參數空間中搜索最優解。在遺傳算法中，首先需要定義一個適應度函數，用于評估每個參數組合的優劣。適應度函數可以根據控制目標來設計，在四邊固支板振動主動控制中，可以將控制后的振動幅值最小化作為適應度函數的目標。然后，隨機生成一組初始參數組合，作為種群的初始個體。對種群中的每個個體，計算其適應度值，并根據適應度值進行選擇、交叉和變異操作，生成新的種群。不斷重復這個過程，直到滿足一定的終止條件，如達到最大迭代次數或適應度值不再改善等，此時得到的最優個體對應的參數組合即為優化后的自抗擾控制器參數。在優化控制參數后，進行前饋補償，以抵消實驗中內外干擾對控制效果的影響。前饋補償的原理是將擴張狀態觀測器估計出的總干擾信號\hat{x}_4引入到控制律中，提前對干擾進行補償。設自抗擾控制器的輸出為u_{controller}，則前饋補償后的控制量u為：u=u_{controller}-\frac{1}{m}\hat{x}_4通過前饋補償，能夠有效地減小干擾對系統輸出的影響，提高控制效果。在實際應用中，通過實驗驗證前饋補償的效果。在相同的外部激勵和初始條件下，分別進行有無前饋補償的控制實驗，對比四邊固支板的振動幅值。實驗結果表明，加入前饋補償后，四邊固支板的振動幅值明顯減小，說明前饋補償能夠有效地抵消內外干擾對控制效果的影響，提高了基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制的性能。4.3其他控制策略對比分析比例-積分-微分（PID）控制是一種經典且應用廣泛的控制策略，在四邊固支板振動控制中具有一定的應用。PID控制通過對誤差信號的比例（P）、積分（I）和微分（D）運算，產生控制量來調節系統的輸出，使其跟蹤期望的目標值。在四邊固支板振動控制中，PID控制器以四邊固支板的振動位移、速度或加速度作為反饋信號，通過與設定的目標值進行比較得到誤差信號。根據誤差信號，PID控制器按照比例、積分和微分的運算規則，計算出相應的控制量，輸出給慣性作動器，以調整慣性作動器的作用力，從而實現對四邊固支板振動的控制。PID控制具有結構簡單、易于實現的優點。其原理基于簡單的數學運算，通過調整比例系數、積分時間常數和微分時間常數這三個參數，就可以對系統進行控制。在實際應用中，工程師可以根據經驗和試湊法，相對容易地確定這些參數的初始值，然后通過實驗或仿真對參數進行微調，以達到較好的控制效果。PID控制在一些對控制精度要求不是特別高、系統特性相對穩定的四邊固支板振動控制場合，能夠取得一定的控制效果。在一些簡單的機械結構中，四邊固支板的振動環境相對穩定，干擾較小，此時PID控制可以有效地抑制振動，滿足實際工程需求。PID控制也存在一些明顯的局限性。在四邊固支板振動控制中，系統往往存在各種不確定性因素，如建模誤差、外部干擾的變化等。PID控制器對模型的準確性要求較高，當系統存在建模誤差時，PID控制器難以根據不準確的模型來調整控制量，導致控制效果不佳。在實際的四邊固支板振動系統中，由于材料特性的不均勻性、邊界條件的復雜性等因素，很難建立精確的數學模型，這使得PID控制在應對這些不確定性時顯得力不從心。PID控制在處理快速變化的干擾和復雜的振動模態時，也存在一定的困難。在一些高速運轉的機械設備中，四邊固支板可能會受到高頻、多變的干擾，PID控制器的響應速度可能無法及時跟上干擾的變化，導致振動控制效果不理想。對于四邊固支板的多模態振動，PID控制難以同時對多個振動模態進行有效的控制，容易出現某些模態的振動無法得到有效抑制的情況。與本文提出的自抗擾控制策略相比，自抗擾控制策略在應對系統不確定性和復雜干擾方面具有明顯優勢。自抗擾控制策略通過擴張狀態觀測器，能夠實時估計系統的總擾動，包括建模誤差和外部干擾等，并在控制律中對這些擾動進行補償。這使得自抗擾控制器能夠更好地適應系統的變化，提高控制的魯棒性和精度。在存在強外部干擾和建模誤差的四邊固支板振動系統中，自抗擾控制能夠有效地抑制振動，而PID控制則可能會出現較大的振動幅值和控制誤差。自抗擾控制策略還能夠對系統的狀態進行實時觀測和估計，為控制決策提供更準確的信息，進一步提高控制效果。除了PID控制，自適應控制也是一種常見的振動控制策略。自適應控制能夠根據系統的實時狀態和環境變化，自動調整控制器的參數，以適應不同的工況。在四邊固支板振動控制中，自適應控制可以通過在線辨識系統的參數，如剛度、阻尼等，然后根據辨識結果調整控制器的參數，以實現對振動的有效控制。自適應控制在一定程度上能夠提高系統的適應性，但它對系統的可辨識性要求較高，當系統存在較強的非線性和不確定性時，自適應控制的性能會受到較大影響。滑模變結構控制則通過設計切換函數，使系統在不同的滑模面上切換，從而實現對系統的快速、準確控制。在四邊固支板振動控制中，滑模變結構控制能夠快速響應振動信號的變化，具有較強的魯棒性。滑模變結構控制存在抖振問題，這會影響系統的穩定性和控制精度，需要采取相應的措施來削弱抖振。神經網絡控制利用神經網絡的自學習和自適應能力，對四邊固支板的振動特性進行建模和預測，進而實現有效的振動控制。神經網絡控制能夠處理復雜的非線性關系，對系統的不確定性具有一定的適應性。它需要大量的訓練數據和較長的訓練時間，且訓練結果的可靠性和泛化能力有待進一步提高。不同控制策略在四邊固支板振動控制中各有優劣，自抗擾控制策略在應對系統不確定性和復雜干擾方面表現出明顯的優勢，為四邊固支板的振動主動控制提供了更有效的解決方案。五、實驗研究與結果分析5.1實驗系統搭建為了對基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制策略進行實驗驗證，搭建了一套基于NIPCIe采集系統的振動控制平臺。該平臺主要由慣性作動器、四邊固支板、傳感器、數據采集卡和控制器等設備組成，各部分協同工作，實現對四邊固支板振動的實時監測與主動控制。選用電磁式慣性作動器作為振動控制的執行機構，其型號為[具體型號]，該型號的電磁式慣性作動器具有響應速度快、輸出力大等優點，能夠滿足四邊固支板振動主動控制的需求。其主要技術參數為：最大輸出力為[X]N，頻率響應范圍為[X]Hz-[X]Hz，動質量為[X]kg。在實際應用中，電磁式慣性作動器通過螺栓連接的方式固定在四邊固支板的特定位置，以確保能夠有效地對四邊固支板施加控制力。四邊固支板試件采用鋁合金材質制作，其尺寸為長[X]mm、寬[X]mm、厚[X]mm。鋁合金具有密度小、強度高、耐腐蝕等優點，適合作為四邊固支板的材料。在實驗中，四邊固支板通過四個角的固定夾具實現四邊固支的邊界條件，固定夾具采用高強度鋼材制作，以保證邊界條件的穩定性。為了準確測量四邊固支板的振動響應，采用加速度傳感器和位移傳感器。加速度傳感器選用[具體型號]，其靈敏度為[X]mV/g，頻率響應范圍為[X]Hz-[X]kHz，能夠精確測量四邊固支板在振動過程中的加速度變化。位移傳感器則選用[具體型號]，測量范圍為[X]mm，精度為[X]mm，用于測量四邊固支板的振動位移。加速度傳感器和位移傳感器通過專用的傳感器安裝座固定在四邊固支板的表面，安裝位置根據實驗需求進行合理布置，以獲取準確的振動數據。在四邊固支板的中心位置和四個角分別安裝加速度傳感器，以監測不同位置的加速度響應；在四邊固支板的中心位置安裝位移傳感器，以測量其最大振動位移。數據采集卡選用NIPCIe-6343采集卡，該采集卡具有高精度、高采樣率的特點，能夠滿足實驗對數據采集的要求。其主要性能參數為：模擬輸入通道數為[X]個，采樣率最高可達[X]S/s，分辨率為[X]位。通過NIPCIe-6343采集卡，將加速度傳感器和位移傳感器采集到的模擬信號轉換為數字信號，并傳輸給控制器進行處理。控制器采用工業控制計算機，配備高性能的處理器和充足的內存，以確保能夠實時運行控制算法和處理大量的實驗數據。在控制器中，安裝了NI-MAX軟件和LabVIEW編程環境，用于配置和控制數據采集卡，以及編寫和運行控制算法。通過LabVIEW編寫的程序，實現對四邊固支板振動信號的實時采集、處理和分析，以及對慣性作動器的控制信號輸出。在實驗系統中，還包括功率放大器，用于放大控制器輸出的控制信號，以驅動慣性作動器工作。功率放大器的型號為[具體型號]，其輸出功率為[X]W，能夠為慣性作動器提供足夠的驅動能量。整個實驗系統的連接方式為：加速度傳感器和位移傳感器將采集到的四邊固支板振動信號傳輸給NIPCIe-6343采集卡，采集卡將模擬信號轉換為數字信號后傳輸給工業控制計算機。工業控制計算機運行控制算法，根據振動信號計算出控制量，并通過功率放大器將控制信號放大后輸出給慣性作動器，慣性作動器根據控制信號對四邊固支板施加控制力，從而實現對四邊固支板振動的主動控制。5.2實驗方案設計為了全面評估不同控制策略在基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制中的性能，設計了多種工況下的實驗方案。在實驗中，分別在系統中加入PID控制器、傳統三階LADRC和時延補償四階LADRC，對四邊固支板的振動進行控制實驗。在PID控制器實驗中，首先需要確定PID控制器的參數。采用Ziegler-Nichols經驗整定法初步確定比例系數K_p、積分時間常數T_i和微分時間常數T_d的初始值。根據Ziegler-Nichols經驗公式，對于P控制，先將積分時間常數T_i設為無窮大，微分時間常數T_d設為0，逐漸增大比例系數K_p，直到系統出現等幅振蕩，記錄此時的臨界比例系數K_{p,c}和臨界振蕩周期T_{c}。然后，根據不同的控制類型，利用相應的公式計算PID控制器的參數。對于PID控制，K_p=0.6K_{p,c}，T_i=0.5T_{c}，T_d=0.125T_{c}。在實際實驗中，根據四邊固支板振動系統的特性，通過多次調試和優化，最終確定比例系數K_p=50，積分時間常數T_i=0.05s，微分時間常數T_d=0.01s。在傳統三階LADRC實驗中，根據系統的數學模型，設計對應的三階線性擴張狀態觀測器。在設計過程中，運用極點配置法來確定觀測器的增益參數。根據系統的性能要求，預先設定觀測器的極點位置為p_1=-10，p_2=-20，p_3=-30。通過求解線性方程組，得到觀測器的增益參數\beta_{11}=60，\beta_{21}=110，\beta_{31}=60。同時，對自抗擾控制器的其他參數進行優化，如跟蹤微分器的參數設置為r=100，h=0.01，以確保控制器能夠有效地對四邊固支板的振動進行控制。對于時延補償四階LADRC實驗，首先通過繪制Lissajous曲線來計算實驗系統的時延常數。在實驗中，向系統輸入一個頻率為50Hz，幅值為1V的正弦信號u_{in}(t)=1\sin(2\pi\times50t)，同時利用示波器測量系統的輸出信號u_{out}(t)。將輸入信號和輸出信號分別輸入到示波器的X軸和Y軸，繪制出Lissajous曲線。通過測量Lissajous曲線與坐標軸的交點坐標，計算出相位差\varphi，進而得到系統時延常數\tau=0.005s。根據計算得到的時延常數，對四階線性擴張狀態觀測器的增益參數進行優化。同樣采用極點配置法，設定觀測器的極點位置為p_1=-15，p_2=-25，p_3=-35，p_4=-45。通過求解線性方程組，確定觀測器的增益參數\beta_{11}=80，\beta_{21}=150，\beta_{31}=100，\beta_{41}=30。在優化控制參數后，進行前饋補償，將擴張狀態觀測器估計出的總干擾信號引入到控制律中，以抵消實驗中內外干擾對控制效果的影響。在每種控制策略的實驗中，均設置多種工況。分別在四邊固支板受到不同頻率的外部激勵下進行實驗，激勵頻率范圍為50Hz-500Hz，以研究不同控制策略在不同頻率干擾下的控制效果。還設置了不同幅值的外部激勵工況，激勵幅值范圍為0.5N-2N，以探究控制策略對不同強度干擾的適應能力。在每種工況下，進行多次實驗，每次實驗持續時間為10s，采集并記錄四邊固支板的振動加速度和位移數據，以便后續對實驗結果進行分析和比較。5.3實驗結果與分析在完成實驗方案設計后，對四邊固支板的振動進行了控制實驗，分別在系統中加入PID控制器、傳統三階LADRC和時延補償四階LADRC，采集并記錄了不同工況下四邊固支板的振動加速度和位移數據。通過對這些實驗數據的深入分析，對比不同控制策略下四邊固支板的振動響應，從而驗證時延補償四階LADRC策略的有效性和優越性。以某一特定工況為例，在四邊固支板受到頻率為200Hz、幅值為1N的外部激勵時，記錄了不同控制策略下四邊固支板中心位置的振動加速度隨時間的變化情況，具體數據如下表所示：控制策略振動加速度峰值（m/s2）振動加速度均值（m/s2）PID控制5.233.15傳統三階LADRC3.121.86時延補償四階LADRC1.560.98從振動加速度峰值來看，PID控制下的振動加速度峰值最高，達到了5.23m/s2，這表明PID控制在抑制振動幅值方面效果相對較差。傳統三階LADRC的振動加速度峰值為3.12m/s2，相比PID控制有了明顯的降低，說明傳統三階LADRC在控制振動幅值方面具有一定的優勢。時延補償四階LADRC的振動加速度峰值最低，僅為1.56m/s2，這充分體現了時延補償四階LADRC在抑制振動幅值方面的卓越性能。振動加速度均值也反映了不同控制策略的控制效果。PID控制下的振動加速度均值為3.15m/s2，傳統三階LADRC的振動加速度均值為1.86m/s2，時延補償四階LADRC的振動加速度均值為0.98m/s2。可以看出，時延補償四階LADRC在降低振動加速度均值方面表現最為出色，能夠更有效地減小四邊固支板的平均振動水平。通過對不同頻率和幅值的外部激勵工況下的實驗數據進行綜合分析，進一步驗證了上述結論。在不同頻率的外部激勵下，時延補償四階LADRC始終能夠將四邊固支板的振動幅值控制在較低水平，相比PID控制和傳統三階LADRC，具有更好的頻率適應性。在不同幅值的外部激勵下，時延補償四階LADRC也能有效地抑制振動幅值的增加，表現出較強的抗干擾能力。除了振動幅值，還對不同控制策略下四邊固支板的振動頻率響應進行了分析。通過對實驗數據的傅里葉變換，得到了不同控制策略下四邊固支板的振動頻率譜。結果表明，PID控制下的振動頻率譜較為復雜，存在較多的諧波成分，這說明PID控制在抑制振動頻率方面效果不佳。傳統三階LADRC的振動頻率譜相對簡單，諧波成分有所減少，但仍存在一定的高頻振動。時延補償四階LADRC的振動頻率譜最為簡潔，諧波成分最少，有效地抑制了高頻振動，使四邊固支板的振動更加穩定。綜上所述，通過對實驗數據的詳細分析，對比不同控制策略下四邊固支板的振動響應，充分驗證了時延補償四階LADRC策略在抑制四邊固支板振動方面的有效性和優越性。時延補償四階LADRC策略能夠顯著降低四邊固支板的振動幅值和振動頻率，提高振動控制的精度和穩定性，為基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制提供了一種更有效的解決方案。六、結論與展望6.1研究成果總結本研究圍繞基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制展開，取得了一系列具有重要理論和實踐意義的研究成果。在慣性作動器原理與特性研究方面，深入剖析了慣性作動器基于牛頓第二定律的工作原理，清晰闡釋了其將電能轉化為機械能并產生慣性力以抑制主系統振動的過程。全面分析了壓電式、磁致伸縮式和電磁式等常見慣性作動器的類型及特點，詳細闡述了它們各自的工作原理、結構組成以及性能優勢與局限。通過對比，明確了電磁式慣性作動器在輸出力、響應速度、結構復雜度、能耗以及適用范圍等方面的綜合優勢。對電磁式慣性作動器的結構進行了深入研究，詳細介紹了其定子和動子的組成部件及其作用，并分析了一些先進設計對其性能的提升作用。通過實驗和仿真，全面揭示了電磁式慣性作動器響應速度快、作動力大、適用頻率范圍廣等工作特性。在四邊固支板的振動特性分析方面，系統闡述了薄板振動理論的基礎，包括小撓度理論和大撓度理論，明確了它們各自的適用條件和理論推導過程。運用分離變量法和瑞利-里茲法等解析方法，成功求解了四邊固支板的固有頻率和振型，得到了其振動特性的理論解，并深入分析了不同邊界條件和幾何參數對四邊固支板固有頻率和振型的顯著影響。借助有限元軟件ANSYS，對四邊固支板進行了精確的數值模擬，建立了詳細的有限元模型，包括幾何建模、網格劃分、邊界條件設置和激勵施加等。通過數值模擬，得到了四邊固支板的固有頻率和振型，并與解析法結果進行了對比驗證，驗證了有限元模型的正確性和有效性。在基于慣性作動器的四邊固支板振動主動控制策略方面，提出了自抗擾控制策略，并結合時延補償和前饋補償等方法，以解決四邊固支板振動系統中存在的外部干擾強、建模誤差大以及系統時延等問題。詳細闡述了自抗擾控制策略的設計思路，包括將系統總干擾視為新狀態，通過擴張狀態觀測器進行實時估計，并在控制律中加以補償。將系統時延等效為一階慣性環節，建立了時延補償慣性作動器與四邊固支板系統的數學模型。根據系統模型的階數特征，設計了對應的四階線性擴張狀態觀測器，對系統內部建模誤差及外部激勵擾動進行實時估計。通過繪制Lissajous曲線計算出實驗系統的時延常數，對自抗擾控制器的控制參數進行了優化，并進行前饋補償，以抵消實驗中內外干擾對控制效果的影響。將自抗擾控制策略與PID控制、自適應控制、滑模變結構控制和神經網絡控制等其他常見控制策略進行了對比分析，詳細闡述了它們各自的工作原理、優缺點以及在四邊固支板振動控制中的應用效果。通過對比，明確了自抗擾控制策略在應對系統不確定性和復雜干擾方面的顯著優勢。在實驗研究與結果分析方面，搭建了基于NIPCIe采集系統的振動控制平臺，詳細介紹了該平臺的組成設備，包括慣性作動器、四邊固支板、傳感器、數據采集卡和控制器等，并闡述了各設備的選型依據和技術參數。設計了多種工況下的實驗方案，分別在系統中加入PID控制器、傳統三階LADRC和時延補償四階LADRC，對四邊固支板的振動進行控制實驗。通過實驗，采集并記錄了不同工況下四邊固支板的振動加速度和位移數據。對實驗數據進行了深入分析，對比了不同控制策略下四邊固支板的振動響應，結果顯示，LADRC在振動控制效果上明顯優于PID控制，時延補償的四階LADRC的效果略優于傳統三階LADRC，充分驗證了時延補償四階LADRC策略在抑制四邊固支板振動方面的有效性和優越性