2023-2024學年上海市嘉定區高考數學沖刺模擬試題（三模）一、填空題：第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題每個空格填對得5分.1.已知復數x滿足方程，那么______.【正確答案】【分析】根據一元二次方程的復數根的形式運算求解.【詳解】因為，則.故答案為.2.設，則不等式解集為_______．【正確答案】【詳解】試題分析：，故不等式的解集為.解絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值符號，再進一步求解，本題也可利用兩邊平方的方法.本題較為容易.3.已知集合，集合，若，則______.【正確答案】【分析】由交集定義分類討論可得答案.【詳解】因為集合，，則，所以或，則或或，當時，集合，集合，此時，符合題意；當時，集合，集合，此時，不合題意；當時，集合，集合，此時，不合題意；所以.故4.在二項式的展開式中，含的項的系數是______.【正確答案】28【分析】由二項式定理寫出展開式的通項，求含的項即可得其系數.【詳解】由題設，展開式通項公式為，令可得，，∴含的項的系數為.故答案為.5.函數，滿足，當，，則______.【正確答案】1【分析】根據可得周期為2，由可得答案.【詳解】因為滿足，所以的周期為，.故1.6.4名志愿者全部分到3所學校支教，要求每所學校至少有1名志愿者，則不同的分法共有______種.【正確答案】36分析】先選兩名志愿者看成一個整體，再與剩余志愿者一起排列，結合分步乘法計數原理運算求解.【詳解】先選兩名志愿者看成一個整體，共有種，再與剩余志愿者一起排列，共有種，所以不同的分法共有種.故36.7.函數，的值域是______.【正確答案】【分析】利用二倍角的余弦公式得出，由的范圍得出的范圍，再利用余弦函數的基本性質可得出答案.【詳解】，且，，，，因此函數在的值域是.故答案為.8.長時間玩手機可能影響視力，據調查，某校學生大約的人近視，而該校大約有的學生每天玩手機超過，這些人的近視率約為，現從該校近視的學生中任意調查一名學生，則他每天玩手機超過的概率為______.【正確答案】##0.8【分析】根據題意結合條件概率公式分析運算.【詳解】用頻率估計概率，記“學生近視”為事件A，“學生每天玩手機超過”為事件B，由題意可得：，因為，則，所以.故答案為.9.已知，，將數列與數列的公共項從小到大排列得到新數列，則______.【正確答案】【分析】分析可知是正奇數列，根據題意求得，然后利用裂項相消法求和即可.【詳解】因為數列是正奇數列，對于數列，當為奇數時，設，則為偶數；當為偶數時，設，則為奇數，所以，則，所以.故答案為.10.已知點P是拋物線上的動點，Q是圓上的動點，則的最大值是______.【正確答案】##【分析】過點作垂直準線，設，利用拋物線的定義、圓的幾何性質可得，換元法求解最大值即可.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，圓的圓心為，半徑，過點作垂直準線，垂足為，由拋物線的定義可知，設，則，，所以，令，則，所以，所以當即時，取到最大值，所以最大值為，因此，，所以的最大值是.故答案為.11.設函數，的導函數是，，當時，，那么關于的不等式的解是______.【正確答案】【分析】構造，則原不等式可轉化為，利用的奇偶性和單調性求解即可.【詳解】構造，則，其定義域為，因為，所以奇函數，又因為當時，，所以結合是奇函數可知在上單調遞增，原不等式可轉化為，即，所以，解得，故12.已知首項為2、公差為的等差數列滿足：對任意的不相等的兩個正整數i，j，都存在正整數k，使得成立，則公差d的所有取值構成的集合是______.【正確答案】【分析】根據等差數列的通項公式可得，再求出的范圍，即可得解.【詳解】，由，得，即，當時，，矛盾，所以，則，因為都是正整數，所以為整數，且不等于，因為對任意的不相等的兩個正整數i，j，都存在正整數k，使得成立，且，則當時，，所以，所以公差d的所有取值構成的集合是.故答案為.關鍵點點睛：根據等差數列的通項公式得出，是解答本題的關鍵.二、選擇題：第13、14題4分，第15、16題5分.13.已知函數的導數是，那么“函數在R上單調遞增”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用定義法直接判斷.【詳解】充分性：因為函數在R上單調遞增，所以.即充分性成立；必要性：取特殊函數，有符合“”，但是不符合“函數在R上單調遞增”.即必要性不滿足.所以已知函數的導數是，那么“函數在R上單調遞增”是“”的充分不必要條件.故選：A14.如圖所示，在斜三棱柱中，，且，過作平面，垂足為，則點在（）A.直線上 B.直線上 C.直線上 D.內部【正確答案】B【分析】先通過線線垂直證明面，進而可得面面，由面面垂直的性質定理可得要過作平面，只需過作即可，則答案可求.【詳解】連接，，，且，面，又面ABC面面，面面，要過作平面，則只需過作即可，故點在直線上故選：B.15.已知隨機變量X服從正態分布，下列四個命題：甲：；乙：；丙：；丁：如果有且只有一個是假命題，那么該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【正確答案】D【分析】根據題意結合正態分布的對稱性分析判斷.【詳解】因為、均等價于，由題意可得：乙、丙均為真命題，且，對于甲：因為，故甲為真命題；對于丁：因為，故丁為假命題；故選：D.16.如圖直線l以及三個不同的點A，，O，其中，設，，直線l的一個方向向量的單位向量是，下列關于向量運算的方程甲：，乙：，其中是否可以作為A，關于直線l對稱的充要條件的方程（組），下列說法正確的是（）A.甲乙都可以 B.甲可以，乙不可以C.甲不可以，乙可以 D.甲乙都不可以【正確答案】A【分析】根據向量線性運算以及投影向量的幾何意義分析判斷.【詳解】對于方程甲：因為、為、在方向上的投影，可得表示點A，到直線l的距離相等，則點A，分別在關于直線l對稱的平行線上，因為，可得，則，且，可得，所以A，關于直線l對稱，反之也成立，故甲滿足；對于乙：在中，因為，則為邊的中線所在的直線，且點A在直線上的投影為的中點，所以A，關于直線l對稱，反之也成立，故乙滿足；故選：A.三、解答題：17.在長方體中，，，E、F、G分別為AB、BC、的中點.（1）求三棱錐的體積；（2）點P在矩形內，若直線平面，求線段長度的最小值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）等體積由可得.（2）先證平面平面，則由直線平面可得點P在直線上，進而可得線段長度的最小值【小問1詳解】依題意有，所以三棱錐的體積；【小問2詳解】如圖，連結，∵分別為的中點，∴平面，平面，∴平面∵平面，平面，∴平面，∵，∴平面平面，∵平面，∴點在直線上，在中，，，∴當時，線段的長度最小，最小值為＝.18.潛伏期是指已經感染了某毒株，但未出現臨床癥狀和體征一段時期，某毒株潛伏期做核酸檢測可能為陰性，建議可以多做幾次核酸檢測，有助于明確診斷，某研究機構對某地1000名患者進行了調查和統計，得到如下表：潛伏期（天）人數80210310250130155（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均值；（精確到0.01天）（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關系，以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取300人，得到如下列聯表請將列聯表補充完整，并根據列聯表判斷是否有的把握認為潛伏期與患者年齡有關.潛伏期天潛伏期天總計50歲以上（含50）15050歲以下85總計300附：，其中0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879【正確答案】（1）天（2）列聯表見詳解，沒有的把握認為潛伏期與患者年齡有關【分析】（1）根據題意結合平均數的計算公式運算求解；（2）根據題意結合分層抽樣求各層人數，進而補全列聯表，計算，并與臨界值對比分析.【小問1詳解】由題意可得：潛伏期（天）人數80210310250130155頻率0.080.210.310.250.130.0150.005所以樣本平均值（天）.【小問2詳解】由（1）可知：潛伏期天與潛伏期天的比例為，則抽取的潛伏期天的人數為，潛伏期天的人數為，所以列聯表為潛伏期天潛伏期天總計50歲以上（含50）955515050歲以下8565150總計180120300可得，所以沒有的把握認為潛伏期與患者年齡有關.19.在中，內角的對邊分別為（1）求角；（2）茬是邊上的點，且，求的值.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）把給定等式切化弦，利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換求解作答.（2）根據給定條件，求出，在和中分別利用正弦定理、余弦定理列式，求解作答.【小問1詳解】在中，由得：，由正弦定理得：，而，即有，又，即，則，有，又，所以.【小問2詳解】因為是邊上的點，且，于是，如圖，在中，由正弦定理得：，即，在中，由余弦定理得：，則有，整理得，解得：，而，所以.20.如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓：的左，右焦點外別為，，設P是第一象限內上的一點，、的延長線分別交于點、．（1）求的周長；（2）求面積的取值范圍；（3）設、分別為、的內切圓半徑，求的最大值．【正確答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據橢圓的定義即可求解；（2）設過的直線方程為，聯立橢圓方程消元后，根據根與系數的關系得，換元后可求，代入三角形面積公式即可求解；（3）根據三角形內切圓的性質及（1）可得，即可轉化為，根據三角形面積可化為，利用直線與橢圓聯立求出，代入化簡后利用均值不等式即可求解.【詳解】（1），為橢圓的兩焦點，且，為橢圓上的點，，從而的周長為．由題意，得，即的周長為.（2）由題意可設過的直線方程為，聯立，消去x得，則，所以，令，則（當時等號成立，即時）所以,故面積的取值范圍為.（3）設，直線的方程為：，將其代入橢圓的方程可得，整理可得，則，得，，故．當時，直線的方程為：，將其代入橢圓方程并整理可得，同理，可得，因為，所以，當且僅當時，等號成立.若軸時，易知，，，此時，綜上，的最大值為.21.已知函數的圖象在處的切線與直線平行.（1）求實數a的值；（2）若關于的方程在上有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍.（3）是否存在正整數，使得滿足，的無窮數列是存在的，如果存在，求出所有的正整數的值，如果不存在，說明理由.【正確答案】（1）（2）（3）或且．【分析】（1）根據導數的幾何意義，由題可得，即可解出；（2）由（1）可知，原方程等價于，因此根據直線與曲線在上有兩個交點，利用導數研究函數的單調性，最值和圖象，即可解出；（3）根據切線不等式放縮可得，從而可知，只要，即可知數列收斂于，因此只需即可求出滿足題意的所有的正整數的值．【小問1詳解】因為，所以．由題可知，解得．【小問2詳解】由（1）知，所以原方程變形為.令，于是，原方程在上有兩個不相等的實數根，等價于直線與曲線在上有兩個交