2023-2024學(xué)年陜西省高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)（理）模擬試題（三模）一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】利用解絕對值不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得集合，根據(jù)集合的交集運算即得答案.【詳解】由題意可得集合，，故，故選：A2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為（

）A． B．5 C． D．2【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則求出復(fù)數(shù)，從而可求得，再用乘法運算即可得出結(jié)果.【詳解】,,則,.故選：B.3．如圖，一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，【正確答案】D【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.【詳解】由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個點的值，則去除，這兩個數(shù)據(jù)后，整體波動性減小，故.故選：D.4．已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【正確答案】D【分析】先根據(jù)題意確定向量，的倍數(shù)關(guān)系，然后可直接求解.【詳解】因為向量，滿足同向共線，所以設(shè)，又因為，，所以，所以或，即或.①當時，；②當時，；所以的值為3或15.故選：D.5．若，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．1 B．15 C．21 D．35【正確答案】D【分析】利用二項展開式的通項公式可求展開式中的常數(shù)項.【詳解】，又展開式的通項公式為，令，故的展開式中的系數(shù)為，故展開式中的常數(shù)項為，故選：D.6．土壤中微量元素（如N，P，K等）的含量直接影響植物的生長發(fā)育，進而影響植物群落內(nèi)植物種類的分布．某次實驗中，為研究某微量元素對植物生長發(fā)育的具體影響，實驗人員配比了不同濃度的溶液若干，其濃度指標值可近似擬合為，并記這個指標值為，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】該組數(shù)據(jù)均為同底數(shù)冪，故以指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)作為切入點，利用對數(shù)計算規(guī)則尋求數(shù)據(jù)的規(guī)律．【詳解】由數(shù)據(jù)可得，從第三項開始，第i項是前兩項之積，即，取對數(shù)得，設(shè)，則，，，累加得，所以，所以．故選：B.7．某校舉行文藝匯演，甲、乙、丙等6名同學(xué)站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相鄰，丙不在兩端，則不同的排列方式共有（

）A．72種 B．144種 C．288種 D．432種【正確答案】C【分析】根據(jù)不相鄰問題插空法，即可求解.【詳解】除甲乙丙外的三個人排一排有種排法，此時將甲乙插空有種排法，這時甲乙包括剩下三個人形成了6個空，去掉首尾的，則丙有4種排法，共有，故選：C8．已知球與圓臺的上下底面和側(cè)面都相切．若圓臺的側(cè)面積為；上、下底面的面積之比為，則球的表面積為（

）．A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題的描述，球內(nèi)切于圓臺，畫出圓臺的軸截面圖，根據(jù)圓臺的側(cè)面積，和上下底面的面積關(guān)系求出球的半徑，進而即得.【詳解】依據(jù)題意，球內(nèi)切與圓臺，畫出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺的軸截面為等腰梯形，如圖所示，過點作的垂線，垂足為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)圓臺的母線為，即，上、下底面的面積之比為，即，，由圓的切線長定理可知，，圓臺的側(cè)面積為，解得，則，即，則球的表面積.故選：A.9．已知函數(shù)，若，在內(nèi)有極小值，無極大值，則可能的取值個數(shù)（

）A．4 B．3 C．2 D．1【正確答案】C【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的零點求得，又極值情況列不等式可得，分情況得的取值進行取舍，即可得答案.【詳解】已知函數(shù)，若，所以，則①，又在內(nèi)有極小值，無極大值，則，所以，又，則當?shù)?，，所以，不符合①式，故舍；當?shù)?，，所以，由①式可得；當?shù)?，，所以，由①式可得；當?shù)?，，所以，不符合①式，故舍；當?shù)?，，無解，故舍；易知，當時，都無解，故不討論；綜上，或，則可能的取值個數(shù)為.故選：C.10．已知兩動點，在橢圓：上，動點P在直線上，若恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】由橢圓性質(zhì)和圖像得出橢圓的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡為圓，由條件可知直線與圓相離,從而可得出的范圍,進而求出離心率的范圍.【詳解】若從圓上一點引橢圓的兩條切線一定互相垂直.證明如下：設(shè)橢圓的切線方程為，過圓上一點的切線為，，即(1)又在圓上,，即(i)當時,(1)式為,由根與系數(shù)關(guān)系知,故兩條切線互相垂直.(ii)當時,,此時兩條切線顯然互相重直.故圓上一點引橢圓的兩條切線一定互相垂直.所以橢圓的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓.若恒為銳角,則直線與圓相離故,又,.故選:C.

11．在三棱柱中，是棱長為的正四面體，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】分別取、的中點、，連接、、、，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，證明出平面，利用余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，進而可求得的長，再結(jié)合平面可求得結(jié)果.【詳解】分別取、的中點、，連接、、、，如下圖所示：由題意可知，因為四面體是棱長為的正四面體，則是邊長為的等邊三角形，則，故，同理可得，，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，又因為且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，且、、、四點共面，因為，，，、平面，所以，平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為平面，所以，，又因為，，、平面，則平面，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，因此，點到平面的距離為.因為，平面，平面，所以，平面，所以，點到平面的距離等于.故選：C.12．已知函數(shù)定義域為，滿足，當時，.若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點為，（其中表示不超過x的最大整數(shù)），則下列說法正確的個數(shù)（

）①是非奇非偶函數(shù)函數(shù)；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】D【分析】對于①,利用特殊值驗證，可判斷；對于②，根據(jù)的含義，明確函數(shù)的解析式，進而作出圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷；對于③，確定，求和，即可判斷；對于④，根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式，即可判斷，由此可得答案.【詳解】對于①，函數(shù)，則，故且，即是非奇非偶函數(shù)函數(shù)，①正確；對于②，函數(shù)定義域為，滿足，當時，，則當時，，故，當，，，當時，，，當，，，故當，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取得最大值，當時，，當時，，當時，，因此當時，函數(shù)，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，

由圖象可知，當時，函數(shù)的圖象有唯一公共點，因為，又滿足的整數(shù)有2024個，即，②正確；對于③，，所以，③正確；對于④，因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，④正確，故選：D難點點睛：本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)奇偶性以及函數(shù)值變化的規(guī)律以及求和問題，解答的難點在于明確的含義，進而明確函數(shù)的解析式特征，數(shù)形結(jié)合，進行解答.二、填空題13．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為_________.【正確答案】【分析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標函數(shù)表示的一簇直線畫出向可行域平移即可求解.【詳解】作出可行域，如圖所示

目標函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距為，轉(zhuǎn)化為，令，則，作出直線并平移使它經(jīng)過可行域的點，經(jīng)過時，，解得，所以.此時取得最小值，即．故答案為.14．已知等比數(shù)列的公比為2，前項和為，且6，，成等差數(shù)列，則______.【正確答案】【分析】利用等差中項的定義及等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項為，因為6，，成等差數(shù)列，所以，即，又，所以，解得，所以.故答案為.15．已知直線，拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，點關(guān)于軸對稱的點為.若過點的圓與直線相切，且與直線交于點，則當時，直線的斜率為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，然后結(jié)合韋達定理即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，易知過點且與直線相切的圓就是以為直徑的圓，設(shè)，則，由有，設(shè)直線的方程為，代入有，所以，結(jié)合，得.故答案為:16．已知對定義域內(nèi)的任意恒成立，則的最大值為______.【正確答案】【分析】將原不等式等價變形為，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值及最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】由得，令，則原不等式變?yōu)?，令，則，令，，，令，解得，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；，時，，函數(shù)單調(diào)遞增．時，函數(shù)取得極小值即最小值，，時，；故當所以此時，單調(diào)遞減，當，此時，單調(diào)遞增，函數(shù)在時取得極小值即最小值，，的最大值為，故處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化.（3）線性規(guī)劃：如果題設(shè)給出的是二元一次不等式組，而目標函數(shù)也是二次一次的，那么我們可以用線性規(guī)劃來處理.三、解答題17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A的大小；(2)若，，求的面積.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換即可得角A的大??；（2）由余弦定理可得的值，結(jié)合面積公式即可得面積.【詳解】（1）在中，由正弦定理得.又，所以，.所以，，即，即，又，所以，所以，即.（2）由（1）及題意知中，，，.由余弦定理得，即.所以，所以.18．如圖，已知三棱柱，，，為線段上的動點，.(1)求證：平面平面；(2)若，D為線段的中點，，求與平面所成角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，又，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可證明；（2）由（1），根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，建立如圖空間直角坐標系，利用向量法求出平面的法向量，根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義計算可得，結(jié)合線面角的定義和同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）已知，又，，平面，，所以平面，又平面，所以，因為，所以，又，AC、平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）知平面平面，又平面平面，，面，所以平面.又，所以平面，所以CA，CB，兩兩垂直，以C為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、x軸的正方向，建立空間直角坐標系如圖所示：因為，所以四邊形為矩形，又因為，所以四邊形為正方形.因為，，所以，所以，，，.由D是線段的中點，得，所以，，.設(shè)平面的一個法向量為，則即取，則，所以，.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.19．某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量情況，采用隨機抽樣方法從兩條生產(chǎn)線共抽取180個零件，測量其尺寸（單位：mm）得到如下統(tǒng)計表，其中尺寸位于的零件為一等品，位于和的零件為二等品，否則零件為三等品.生產(chǎn)線甲49232824102乙214151716151(1)將樣本頻率視為概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機抽取2個零件，每次抽取零件互不影響，以表示這4個零件中一等品的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)已知該企業(yè)生產(chǎn)的零件隨機裝箱出售，每箱60個.產(chǎn)品出廠前，該企業(yè)可自愿選擇是否對每箱零件進行檢驗.若執(zhí)行檢驗，則每個零件的檢驗費用為5元，并將檢驗出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)行檢驗，則對賣出的每個三等品零件支付120元賠償費用.現(xiàn)對一箱零件隨機檢驗了10個，檢出了1個三等品.將從兩條生產(chǎn)線抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望作為決策依據(jù)，是否需要對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.【正確答案】(1)分布列見解析，(2)需要，理由見解析【分析】（1）根據(jù)獨立時間的概率乘法公式，即可分別求解概率，進而可得分布列，（2）根據(jù)二項分布的均值公式以及性質(zhì)，計算兩種情況下的期望，比較大小即可求解.【詳解】（1）由已知任取一個甲生產(chǎn)線零件為一等品的概率為，任取一個乙生產(chǎn)線零件為一等品的概率為.的所有可能取值為0，1，2，3，4.，，，，所以的分布列為：01234.（2）由已知，每個零件為三等品的頻率為，設(shè)余下的50個零件中的三等品個數(shù)為，則，所以.設(shè)檢驗費用與賠償費用之和為，若不對余下的所有零件進行檢驗，則，.若對余下的所有零件進行檢驗，則檢驗費用元.因為，所以應(yīng)對剩下零件進行檢驗.20．已知雙曲線：的右頂點為A，О為原點，點在的漸近線上，的面積為.(1)求的方程；(2)過點Р作直線交于M，N兩點，過點N作x軸的垂線交直線AM于點G，H為NG的中點，證明：直線AH的斜率為定值.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】根據(jù)點在的漸近線上，可得，再根據(jù)的面積求出即可；（2）易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，求出的方程，令，可得點的坐標，從而可得點的坐標，再根據(jù)斜率公式計算即可.【詳解】（1）因為點在的漸近線上，所以，，則，所以，故，所以的方程為；（2）當直線的斜率不存在時，直線與雙曲線只有一個交點，不符題意，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，則，解得且，，直線的方程為，令，得，即，因為H為NG的中點，所以，所以，因為，所以，所以直線AH的斜率為定值.方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．已知函數(shù)，其中，設(shè)為導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）設(shè)，若恒成立，求的范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的零點為，函數(shù)的極小值點為，當時，求證.【正確答案】（1）（2）見解析【分析】（I）計算的導(dǎo)函數(shù)，計算最小值，結(jié)合恒不等式，建立不等關(guān)系，計算a的范圍，即可．（II）構(gòu)造函數(shù)，判定極小值點，進而得到的單調(diào)性，得到，結(jié)合單調(diào)性，即可．【詳解】（Ⅰ）由題設(shè)知，，，.當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在處取到最小值，且.由于恒成立，所以.（Ⅱ）設(shè)，則.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增.因為，所以，,故存在，使得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故是的極小值點，因此.由（Ⅰ）可知，當時，.因此，即單調(diào)遞增.由于，即，即，所以.又由（Ⅰ）可知，在單調(diào)遞增，因此.本道題考查了利用導(dǎo)