2023-2024學年湖北省新高考高一下冊3月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．設集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】選取不同的值，求出交集.【詳解】當時，，當時，或，當取其他整數(shù)時，均不在內(nèi)，故.故選：C2．最接近（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】先利用誘導公式得到，從而利用特殊角的三角函數(shù)值，判斷出答案.【詳解】，其中為第三象限角，且當為第三象限角時，，其中，又，而較，離更近，綜上，最接近.故選：B3．下列函數(shù)的圖象中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】應用數(shù)形結合，結合正切函數(shù)、冪函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷各函數(shù)的對稱性（對稱中心、對稱軸）即可.【詳解】A：由正切函數(shù)的圖象性質(zhì)：關于原點對稱，但沒有對稱軸，不符合；B：由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)：關于原點和對稱，符合；C：由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)：關于原點對稱，但沒有對稱軸，不符合；D：由，即關于y軸對稱，但沒有對稱中心，不符合.故選：B4．下面關于平面向量的描述正確的有（

）A．共線向量是在一條直線上的向量B．起點不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C．若，則D．若向量與向量同向，且，則【正確答案】B【分析】根據(jù)共線向量及相等向量定義可判斷A、B；根據(jù)零向量與任何向量都平行，即可判斷C；根據(jù)向量不能比較大小，可判斷D.【詳解】解：共線向量是向量所在直線平行或共線，故選項A錯誤；方向相同，且模相等的向量是相等向量，故選項B正確；若，而不共線，仍有，故選項C錯誤；向量不能比較大小，故選項D錯誤.故選：B5．已知，則是的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【正確答案】A【分析】由題設，，結合充分必要性的定義，及分式不等式的解法判斷條件間的推出關系，即可得結果.【詳解】由題設，，若，則，所以，充分性成立；若，則，故，即或，必要性不成立；所以是的充分不必要條件.故選：A6．若函數(shù)的圖象的對稱軸與函數(shù)的圖象對稱軸完全相同，則等于（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意得到與的圖象相同或關于軸對稱，結合誘導公式，數(shù)形結合得到方程，求出，再由得到答案.【詳解】由題意，得與的圖象相同或關于軸對稱，因為，所以，所以，，根據(jù)題意，可得，解得.因為，所以當時，滿足要求，當取其他整數(shù)時，不滿足要求.故選：C.7．對數(shù)對大數(shù)據(jù)運算具有獨特優(yōu)勢，法國著名天文學家拉普拉斯曾說：“對數(shù)，可以縮短計算時間使天文學家的壽命翻倍，所有天文學家都應該感謝對數(shù)的發(fā)現(xiàn)”.現(xiàn)有一大數(shù)據(jù)，用科學計數(shù)法可表示為，其中，已知，則（

）A．953 B．954 C．955 D．956【正確答案】B【分析】根據(jù)，兩邊取對數(shù)，解出關于的等式，再根據(jù)，，求出的范圍，結合即可選出結果.【詳解】解：由題知，兩邊取以10為底的對數(shù)有：，即，故，因為，所以，因為，所以，即，所以，即，又因為，所以.故選：B8．已知函數(shù)，若關于的方程有8個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)表達式畫出函數(shù)圖象，結合圖象可知有兩個不相等的實數(shù)根，且，結合二次函數(shù)根的分布即可求解.【詳解】根據(jù)，可畫出其圖象為下圖所示，若關于的方程有8個不相等的實根，令，則有兩個不相等的實數(shù)根，且，若則不符合，所以，令，則需要滿足，解得，故選：D方法點睛：判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法：(1)直接法：令則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；(2)零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點個數(shù)；(3)數(shù)形結合法：轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結合函數(shù)的圖象輔助解題.二、多選題9．下面命題中是假命題的有（

）A．若，則B．若，則是第一象限角或第二象限角C．若一個扇形所在圓的半徑為2，其圓心角為2弧度，則扇形的周長為8D．若角的頂點是原點，始邊是軸的非負半軸，終邊過點，且，則【正確答案】ABD【分析】AB可舉出反例，C可計算出弧長，進而計算出周長；D選項，由三角函數(shù)定義求出，從而得到.【詳解】A選項，若，滿足，但，A為假命題；B選項，若，滿足，但此時不是象限角，而是軸線角，B為假命題；C選項，若一個扇形所在圓的半徑為2，其圓心角為2弧度，則扇形的弧長為，故扇形周長為，C為真命題；D選項，由題意得：，則，則，D為假命題.故選：ABD10．已知的部分圖象如圖所示，在已知的前提下，下列選項中可以確定其值的量為（

）A．單調(diào)遞增區(qū)間 B．周期C．初相 D．振幅A【正確答案】ABC【分析】根據(jù)圖象可知相鄰零點已知，即周期可確定，將零點代入即可求得初相，根據(jù)，及，整體代換即可求得單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】解：由圖象可知，為函數(shù)的兩個相鄰零點，即兩個相鄰的零點之間距離已知，故半個周期已知，即周期可確定，周期確定即可確定，代入中，再將代入，結合即可求得初相，由，及，則的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間，故單調(diào)增區(qū)間也可確定.故選：ABC11．已知實數(shù)滿足，則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．【正確答案】BD【分析】設，可得與之間的等式關系，再用換底公式進行變形，可得分子相同，通過化簡，判斷正負，即可判斷A；同理可判斷大小，即可判斷B；分別化簡，即可判斷C；對進行化簡，用對數(shù)運算法則，展開后，再用基本不等式即可判斷D.【詳解】解：取，所以有，則，則，因為，因為，所以，即，故選項A錯誤；因為，因為，所以，即，故選項B正確；因為，故選項C錯誤；因為，當且僅當時取等，顯然等號不成立，故，故選項D正確.故選：BD12．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于直線軸對稱C．當則函數(shù)在上單調(diào)遞增D．當時，最小值為0，則【正確答案】BD【分析】A、B分別判斷、是否成立即可；C、D研究正弦函數(shù)和二次函數(shù)所構成的復合函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的值域判斷正誤.【詳解】A：，又，故不一定成立，錯誤；B：，即關于直線軸對稱，正確；C：由，令，則，而在上遞增，在上遞增，上遞減，所以在上遞增，在上遞減，錯誤；D：由，令，則，而，要使在上最小值為0，只需保證至少取到或1中的一個值，但不能小于，即，正確.故選：BD三、填空題13．已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為7，最小值為3，則__________.【正確答案】##【分析】分析在的單調(diào)性，求出的范圍，根據(jù)最值建立等式，解出即可.【詳解】解：取，解得，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞減，因為在閉區(qū)間上有最大值為7，最小值為3，所以，且，，即，解得，因為，所以，故.故14．若，則__________.【正確答案】##0.8【分析】根據(jù)半角公式將化為，觀察可知，用誘導公式通過，即可得的值，代入所求即可.【詳解】解：因為，且，所以.故15．已知實數(shù)滿足，，則的最小值為__________.【正確答案】2025【分析】先對式子變形得到，由基本不等式求出，從而求出的最小值.【詳解】，因為，所以，，，故，由基本不等式得：，當且僅當，即時，等號成立，故，即的最小值為2025.故2025.16．已知，若對任意，當都有成立，則的最大值為__________.【正確答案】3【分析】由條件，結合函數(shù)的單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上為減函數(shù)，化簡，結合二次函數(shù)性質(zhì)可求的最大值.【詳解】因為，所以不等式可化為，故，由已知可得函數(shù)在上為減函數(shù)，又，所以在上為減函數(shù)，設，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最大值為3.故3.四、解答題17．如圖，在平面直角坐標系中，以x軸非負半軸為始邊作角，已知角的終邊與單位圓相交于點A（在x軸上方），再以OA為始邊，逆時針旋轉交單位圓于點.若A點的橫坐標.(1)求B點的橫坐標；(2)求線段AB的長度.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）設，，由的余弦求出正弦，進而由余弦和角公式求出答案；（2）由余弦定理求出答案.【詳解】（1）由題意得，設，，則，因為，且為第一象限角，解得：，，故B點的橫坐標為；（2）在中，，由余弦定理得：，故.18．已知函數(shù).(1)若關于的不等式的解集為，求的值；(2)在（1）的條件下，關于的不等式組的解集中有且僅有兩個整數(shù)解.求的取值范圍.【正確答案】(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)二次不等式解集可知，二次函數(shù)開口向上，且零點為，利用韋達定理建立等式，解出即可；（2）根據(jù)（1）中可解得，根據(jù)，對和的大小進行分類討論，分別求出不等式組的解集，使其有兩個整數(shù)解，解出的取值范圍即可.【詳解】（1）解：因為的解集為，所以，且的兩根為，所以有，解得或（舍），故，；（2）由（1）知，若，即，解得或，因為，即，①當時，即，所以不等式解為：，此時不等式組的解集為：，若不等式組的解集中有且僅有兩個整數(shù)解，只需，解得，②當時，即，所以不等式解為：，因為不等式組有且僅有兩個整數(shù)解，所以，解得，③當時，，故不等式無解，舍去，綜上：或.19．已知定義在上的奇函數(shù)，當.(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知，若對，使得成立，求的取值范圍.【正確答案】(1)當時，；(2)的取值范圍為.【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，由條件求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，求其值的范圍，由條件可得不等式有實數(shù)解，由此可求的取值范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以恒成立，所以當時，，，由已知，所以當時，，所以當時，；（2）當時，，因為函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故，當時，，因為函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故，所以函數(shù)在上的值域為，因為對，使得成立，所以，使得成立，所以不等式有實數(shù)解，所以有實數(shù)解，又不滿足不等式，所以有實數(shù)解，所以，又，當，即時，取得最大值，所以.的取值范圍為.20．設矩形的周長為，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去交DC于點P.(1)證明△ADP的周長為定值，并求出定值；(2)在探討△ADP面積最大值時，同學們提出了兩種方案：①設AB長度為，將△ADP面積表示成的函數(shù)，再求出最大值；②設，將△ADP面積表示成的函數(shù)，再求出最大值，請你選擇一種方案（也可選擇自己的方案），求出△ADP面積的最大值.【正確答案】(1)證明見解析，定值為2(2)△ADP面積的最大值為【分析】（1）根據(jù)三角形全等，可得對應邊相等，即可求證，（2）根據(jù)三角形全等，結合勾股定理即可表達，進而根據(jù)面積公式即可結合不等式求解最值，（利用的關系，轉化成，即可利用函數(shù)的單調(diào)性糾結最值）.【詳解】（1）由于,所以，，所以的周長為，故為定值；（2）方案①，設AB長度為，設，則，因為，所以，化簡得，所以的面積，由于，故因此，當且僅當時取到等號，此時取得最大值方案②設，設，則，由的周長為2可得，所以的面積，令，，所以，故，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，故當時，面積取到最大值，此時21．已知.(1)求的最小正周期；(2)當時，求的值域；(3)將函數(shù)的圖象向右平移單位長度后，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變得到函數(shù)的圖象，當，函數(shù)恰有6個零點，求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)的值域為(3)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡，利用周期公式即可求解周期，（2）根據(jù)得，即可利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解值域，（3）根據(jù)平移變換和伸縮變換得，求出的零點，即可得到范圍.【詳解】（1），所以最小周期（2）當時，，所以，故（3）將函數(shù)的圖象向右平移單位長度后，得到，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變得到函數(shù)，令或，解得或，所以的零點按從小到大依次為當，函數(shù)恰有6個零點，則這6個零點分別為故22．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).如，，令.(1)記，求的解析式，并在坐標系中作出函數(shù)的圖象；(2)結合（1）中的圖象，解不等式直接寫出結果；(3)設，判斷的奇偶性，并求函數(shù)的