2023-2024學年河南省洛陽市聯考高考數學（理）仿真模擬試題（一模）一、單選題1．在復平面內，復數對應的點為，則（

）A．2 B．1 C． D．【正確答案】B【分析】利用復數的幾何意義及復數的除法法則，結合復數的模公式即可求解.【詳解】因為復數z在復平面內對應的點為，所以.所以，所以.故選：B.2．記為數列的前n項積，已知，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【正確答案】D【分析】當時，有，當時，有，結合題目條件，即可求得本題答案.【詳解】1.當時，，，；2.當時，有，代入，得，化簡得：，則，.故選：D3．已知定義在上的函數滿足，當時，則=（

）A． B． C．1 D．【正確答案】D【分析】根據所給的等式可得為奇函數且周期為2，再根據對數的運算求解即可.【詳解】由可得為奇函數，又，則，故，故周期為2.故.故選：D4．已知圓臺上下底面半徑之比為1：2，母線與底面所成的角為60°，其側面面積為54π，則該圓臺的體積為（

）A．56π B．63π C． D．【正確答案】C【分析】根據圓臺的側面積求出上，下底面的半徑，然后根據體積公式求解.【詳解】圓臺軸截面如圖，則，∴.圓臺高，∴.

故選：C5．市場占有率指在一定時期內，企業所生產的產品在其市場的銷售量（或銷售額）占同類產品銷售量（或銷售額）的比重．一般來說，市場占有率會隨著市場的顧客流動而發生變化，如果市場的顧客流動趨向長期穩定，那么經過一段時期以后的市場占有率將會出現穩定的平衡狀態（即顧客的流動，不會影響市場占有率），此時的市場占有率稱為“穩定市場占有率”．有A，B，C三個企業都生產某產品，2022年第一季度它們的市場占有率分別為：40%，40%，20%．經調查，2022年第二季度A，B，C三個企業之間的市場占有率轉移情況如圖所示，若該產品以后每個季度的市場占有率轉移情況均與2022年第二季度相同，則當市場出現穩定的平衡狀態，最終達到“穩定市場占有率”時，A企業該產品的“穩定市場占有率”為（

）

A．45% B．48% C．50% D．52%【正確答案】C【分析】根據市場占有率轉移情況計算即可.【詳解】由題意，設最終達到“穩定市場占有率”時，A企業該產品的“穩定市場占有率”為，B，C兩個企業的“穩定市場占有率”為，則，故，即，所以，解得.故選：C.6．已知的一個極值點為，若tan，則實數a的值為（

）A．﹣3 B． C．3 D．【正確答案】B【分析】由正弦函數的圖像和極值點列方程求出實數a的值.【詳解】函數的圖像連續，且所以若為的一個極值點，由正弦函數的圖像可得：，解得.而tan，所以，所以.故選：B7．如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【正確答案】A【分析】連接與交于點，連接，以點為原點，建立空間直角坐標系，分別求得向量和的坐標，結合向量的夾角公式，即可得解.【詳解】連接與交于點，連接，由題意得，，且平面，以點為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

設四棱錐各棱長均為2，則，，可得，則，設異面直線與所成角為，則．故選：A．8．某班課外學習小組利用“鏡面反射法”來測量學校內建筑物的高度．步驟如下：①將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能看到房頂的位置，測量出人與鏡子的距離；②將鏡子后移，重復①中的操作；③求建筑物高度．如圖所示，前后兩次人與鏡子的距離分別，兩次觀測時鏡子間的距離為，人的“眼高”為，則建筑物的高度為（

）

A．B．C．D．【正確答案】A【分析】根據入射角等于反射角得到相似三角形，由相似比求解可得到答案.【詳解】設建筑物的高度為，如圖所示，由，得，由，得，所以，

故選：A.9．已知數列{}滿足：則（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】根據的關系可推導出為等比數列，進而可得.【詳解】由題意，，即，又，故是以1為首項，2為公比的等比數列，故，故.故選：B10．已知函數的圖象關于點對稱，則（

）A．在單調遞增B．直線是曲線的一條對稱軸C．曲線在點處的切線方程為D．是一個極值點【正確答案】D【分析】直接利用函數的對稱性求出函數的關系式，進一步利用函數的性質的判斷A，B，C，D的真假．【詳解】因為的圖象關于點對稱，所以，，所以，，因為，所以，故，當時，，故在單調遞減，故A不正確；當時，得，故直線不是曲線的一條對稱軸，故B不正確；對求導可得，，令，又，故函數在點處切線方程為，即，故C不正確；當時，得，故是一個極值點，故D正確；故選：D.11．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左支交于兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經過點，則的離心率為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】設，利用雙曲線定義表示出的長，再利用勾股定理可得，在和中，分別利用余弦定理可得，聯立兩式即可得離心率.【詳解】如下圖所示，連接，易知以為圓心，為半徑的圓經過點，即為圓的直徑，所以；

不妨設，則，由雙曲線定義可得所以，即，整理得在中可得，；在中可得，；又易知，可得聯立可得，，則雙曲線的離心率為故選：B12．已知則（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】由已知結合式子特點合理構造函數，結合導數與單調性的關系分別證出，，然后進行賦值即可比較函數值的大小.【詳解】令，則，當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，故，所以，當時取等號.所以，令，則，當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，故，所以，當時取等號.所以，即.故選：C.二、填空題13．已知向量,,若，則______．【正確答案】【分析】根據平面向量線性運算和數量積的坐標運算可得答案.【詳解】因為,，所以，所以，即，所以.故答案為.14．在的展開式中，的系數為______．【正確答案】【分析】展開式的通項為，可得包含，再求出展開式的通項，得到的系數即可.【詳解】由二項式展開式的通項，可得，故只有包含，又展開式的通項為，故當時，的系數為.故15．核桃（又稱胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并稱為世界著名的“四大干果”．它的種植面積很廣，但因地域不一樣，種植出來的核桃品質也有所不同：現已知甲、乙兩地盛產核桃，甲地種植的核桃空殼率為2%（空殼率指堅果，谷物等的結實性指標，因花未受精，殼中完全無內容，稱為空殼），乙地種植的核桃空殼率為4%，將兩地種植出來的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃數分別占總數的40%，60%，從中任取一個核桃，則該核桃是空殼的概率是______．【正確答案】3.2%【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設事件所取核桃產地為甲地為事件，事件所取核桃產地為乙地為事件，所取核桃為空殼為事件，則，，所以該核桃是空殼的概率是，故答案為.16．已知直線,,圓，則以下命題正確的是______．①直線均與圓不一定相交；②直線被圓截得的弦長的最小值；③直線被圓截得的弦長的最大值為6；④若直線與圓交于兩點，與圓交于兩點，則四邊形的面積最大值為．【正確答案】②③④【分析】根據直線均過圓內的定點，判斷①；根據條件計算直線被圓截得的弦長的最小值和最大值，判斷②③；先判斷出，再根據幾何方法求出兩個弦長，求出面積關于的函數關系式，換元后根據二次函數知識求出最大值，判斷④.【詳解】由，得，故過定點；由，得，故過定點，的圓心為，半徑，因為，故直線均與圓均相交；故①不正確；當時，直線被圓截得的弦長最小，最小值為，故②正確；當直線經過圓心時，直線被圓截得的弦長最大，最大值為，故③正確；當時，；當時，，得，故直線與直線恒垂直，圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，故，，所以四邊形的面積，令，則，所以，因為，所以，所以當，即，時，取得最大值，故④正確.故②③④三、解答題17．已知為的內角所對的邊，向量,，且．(1)求；(2)若，的面積為，且，求線段的長．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據平面向量垂直的坐標表示以及正弦定理、余弦定理可求出；（2）根據三角形面積公式求出，根據平面向量運算律可求出結果.【詳解】（1）因為，所以．由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，因為，所以.（2），解得，因為，則，所以，.18．如圖，平面ABCD是圓柱OO?的軸截面，EF是圓柱的母線，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．

(1)求證：GH∥平面ABCD；(2)求平面ABF與平面CDE夾角的正弦值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質定理可得，最后由線面平行的判定定理證明平面即可；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，求出平面、平面的一個法向量，再利用向量的夾角公式可得答案．【詳解】（1）由題意知，平面平面，所以平面，因為，所以平面平面，因為平面，所以，又平面，平面，所以平面；（2）以點為原點建立如圖所示空間直角坐標系，

在中，由，得，所以，所以，設平面的一個法向量為，則由，得，令，得，設平面的一個法向量為，則由，得，令，得，所以，所以平面與平面的夾角的正弦值為.19．甲、乙足球愛好者決定加強訓練提高球技，兩人輪流進行定位球訓練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進球另一人不進球，進球者得1分，不進球者得分；兩人都進球或都不進球，兩人均得0分，設甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．(1)經過一輪踢球，記甲的得分為，求的分布列及數學期望；(2)若經過兩輪踢球，用表示經過第2輪踢球后，甲累計得分高于乙累計得分的概率，求．【正確答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）先根據題意求得甲進球與乙進球的概率，再結合獨立事件的概率公式求得的分布列及數學期望；（2）分析甲累計得分高于乙累計得分的情況，從而得解.【詳解】（1）記一輪踢球甲進球為事件A，乙進球為事件B，由題意知A，B相互獨立，由題意得：，甲得分的可能取值為，則，，，所以的分布列為：01所以（2）根據題意，經過第2輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的情況有三種，分別是：甲兩輪中第1輪得0分，第2輪得1分，此時乙第1輪得0分，第2輪得分；或者甲第1輪得1分，第2輪得0分，此時乙第1輪得分，第2輪得0分；或者甲兩輪各得1分，此時乙兩輪各得分；于是.20．已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，左焦點為,點在橢圓上．(1)求C的方程；(2)設直線l與C交于不同于B的M，N兩點，且，求的最大值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意列式求出，可得C的方程；（2）設，，設，代入橢圓方程，得，根據求出三角形面積的最大值，再根據可求出的最大值．【詳解】（1）依題意得，解得，，所以C的方程為.（2）由題意知，直線l的斜率不為0，則不妨設直線l的方程為，聯立，消去得，，化簡整理得，設，，則，，因為，所以，因為，所以，，得，將，代入上式得，得，整理得，解得或（舍去）．所以直線l的方程為，則直線l恒過點，所以，設，則，，易知在上單調遞增，所以時，取得最大值，又，所以.

21．已知函數，．(1)證明：存在唯一零點；(2)設，若存在，使得，證明：．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導函數求單調性，結合即可求解.（2）由題意可得，若是方程的根，則是方程的根，所以，，再利用導函數求的最小值即可.【詳解】（1）由題意可得，記，則，因為時，恒成立，所以在上單調遞增，因為，所以在上恒小于0，在上恒大于0，所以在上單調遞減，在上單調遞增，因為，所以有唯一零點0．（2）由可得，若是方程的根，則是方程的根，因為，都單調遞增，所以，，設，，所以的解為，的解為，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值為，即的最小值為．故原不等式成立.當函數的一階導數符號不好判斷時，常利用二階導數判斷一階導數的單調性，進而得到一階導數大于0和小于0的區間.22．在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為為參數）．(1)在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，求曲線C極坐標方程；(2)若點A，B為曲線C上的兩個點，且OA⊥OB，求證：O到直線AB的距離為定值．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先將參數方程化為普通方程，再轉化為極坐標方程即可；（2）由于OA⊥OB，故可設，代入曲線C的極坐標方程求出，可證得為定值，再設O到直線AB的距離為，則，代入求解即可.【詳解】（1）由，得所以曲線C的直角坐標方程為將代入到得化簡得所以曲線C的極坐標方程為（2）由于OA⊥OB，故可設，所以，即為定值，設O到直線AB的距離為