山東中考：數學高頻考點

以下是山東中考數學的一些高頻考點：一、數與代數1.實數的運算-包含有理數的加減乘除、乘方運算，無理數的簡單運算（如\(\sqrt{4}\)、\(\sqrt{9}\)等的計算），以及實數的混合運算，例如：\[\begin{align}&2-3\times(-2)+(\sqrt{9})^2\\=&2+6+9\\=&17\end{align}\]2.代數式-整式的運算：整式的加減（合并同類項）、整式的乘除（同底數冪的運算、單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式、平方差公式\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)、完全平方公式\((a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2\)）。例如：計算\((2x-3y)^2=(2x)^2-2\times2x\times3y+(3y)^2=4x^2-12xy+9y^2\)。-因式分解：提公因式法（如\(ax+ay=a(x+y)\)）、公式法（平方差公式、完全平方公式的逆用）。例如：分解因式\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)。-分式的運算：分式的化簡求值（分式的加減乘除混合運算）。例如：化簡\(\frac{x^2-1}{x}\div\frac{x-1}{x^2}\)，先將分子\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，然后根據除法運算法則變為\(\frac{(x+1)(x-1)}{x}\times\frac{x^2}{x-1}=x(x+1)=x^2+x\)。3.方程與不等式-一元一次方程：方程的解法和實際應用。例如：求解方程\(3x+5=2x-1\)，移項得\(3x-2x=-1-5\)，解得\(x=-6\)。在實際應用中可能涉及行程問題、工程問題等。-二元一次方程組：解法（代入消元法、加減消元法）和應用題。例如：解方程組\(\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}\)，用加減消元法，兩式相加得\(3x=6\)，解得\(x=2\)，把\(x=2\)代入\(x-y=1\)得\(y=1\)。-一元二次方程：解法（配方法、公式法\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)、因式分解法），根的判別式\(\Delta=b^2-4ac\)的應用以及一元二次方程的實際應用（如增長率問題、面積問題等）。例如：對于方程\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。-不等式（組）：不等式的性質，一元一次不等式（組）的解法和解集在數軸上的表示，以及不等式組的簡單應用。例如：解不等式組\(\begin{cases}x+3>2\\2x-1\leqslant5\end{cases}\)，解第一個不等式得\(x>-1\)，解第二個不等式得\(2x\leqslant6\)，即\(x\leqslant3\)，所以不等式組的解集為\(-1<x\leqslant3\)。4.函數-一次函數：一次函數\(y=kx+b(k\neq0)\)的圖象和性質（\(k\)、\(b\)的意義，增減性等），一次函數與坐標軸的交點，一次函數的應用（如根據實際問題建立一次函數模型求解）。例如：已知一次函數\(y=2x+1\)，\(k=2>0\)，所以函數圖象是上升的，\(y\)隨\(x\)的增大而增大；當\(x=0\)時，\(y=1\)，與\(y\)軸交點為\((0,1)\)；當\(y=0\)時，\(2x+1=0\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)，與\(x\)軸交點為\((-\frac{1}{2},0)\)。-反比例函數：反比例函數\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的圖象和性質（\(k\)的意義，圖象的象限分布、增減性等），反比例函數與一次函數的綜合應用。例如：對于反比例函數\(y=\frac{3}{x}\)，\(k=3>0\)，圖象在一、三象限，在每個象限內\(y\)隨\(x\)的增大而減小。-二次函數：二次函數\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)的圖象和性質（開口方向、對稱軸\(x=-\frac{b}{2a}\)、頂點坐標\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)、最值等），二次函數的平移，二次函數與一元二次方程的關系，二次函數的應用（如求利潤最大、面積最大等實際問題）。例如：二次函數\(y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4\)，開口向上，對稱軸為\(x=1\)，頂點坐標為\((1,-4)\)，當\(x=1\)時，\(y\)有最小值\(-4\)。二、圖形與幾何1.三角形-三角形的基本性質：三角形內角和為\(180^{\circ}\)，三角形三邊關系（任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊）。例如：已知三角形三邊分別為\(3\)、\(4\)、\(x\)，則\(1<x<7\)。-全等三角形：全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和性質（對應邊相等、對應角相等）。例如：在\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)中，\(AB=DE\)，\(\angleA=\angleD\)，\(AC=DF\)，根據SAS判定\(\triangleABC\cong\triangleDEF\)，所以\(BC=EF\)，\(\angleB=\angleE\)等。-等腰三角形與等邊三角形：等腰三角形的性質（兩腰相等、兩底角相等、三線合一），等腰三角形的判定；等邊三角形的性質（三邊相等、三個角都是\(60^{\circ}\)）和判定。例如：等腰三角形\(ABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleA=50^{\circ}\)，則\(\angleB=\angleC=\frac{180^{\circ}-50^{\circ}}{2}=65^{\circ}\)。-直角三角形：直角三角形的性質（直角三角形兩銳角互余、勾股定理\(a^2+b^2=c^2\)、\(30^{\circ}\)角所對的直角邊等于斜邊的一半等），直角三角形的判定（勾股定理的逆定理等）。例如：在直角三角形\(ABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，斜邊\(AB=10\)，則\(BC=\frac{1}{2}AB=5\)，再根據勾股定理可得\(AC=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=5\sqrt{3}\)。2.四邊形-平行四邊形：平行四邊形的性質（對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分），平行四邊形的判定（兩組對邊分別平行、兩組對邊分別相等、一組對邊平行且相等、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。例如：已知平行四邊形\(ABCD\)中，\(AB=5\)，\(BC=8\)，則\(CD=5\)，\(AD=8\)；若\(AC\)、\(BD\)相交于點\(O\)，\(AC=10\)，\(BD=12\)，則\(AO=\frac{1}{2}AC=5\)，\(BO=\frac{1}{2}BD=6\)。-矩形、菱形、正方形-矩形：矩形的性質（四個角都是直角、對角線相等），矩形的判定（有一個角是直角的平行四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形）。-菱形：菱形的性質（四條邊相等、對角線互相垂直且平分每組對角），菱形的判定（一組鄰邊相等的平行四邊形、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）。-正方形：正方形具有矩形和菱形的所有性質，判定時可以先判定為矩形再判定為菱形或者反之。例如：正方形\(ABCD\)的對角線\(AC=10\)，根據正方形性質，邊長\(a=\frac{\sqrt{2}}{2}\timesAC=\frac{\sqrt{2}}{2}\times10=5\sqrt{2}\)。3.圓-圓的基本性質：圓的有關概念（圓心、半徑、直徑、弦、弧等），垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧），弧、弦、圓心角的關系（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等），圓周角定理（圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角等）。例如：在圓\(O\)中，弦\(AB=8\)，半徑\(r=5\)，過圓心\(O\)作\(OC\perpAB\)于\(C\)，根據垂徑定理，\(AC=\frac{1}{2}AB=4\)，再根據勾股定理可得\(OC=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3\)。-與圓有關的位置關系：點與圓的位置關系（設圓的半徑為\(r\)，點到圓心的距離為\(d\)，\(d>r\)時，點在圓外；\(d=r\)時，點在圓上；\(d<r\)時，點在圓內），直線與圓的位置關系（相交、相切、相離，判定方法可通過圓心到直線的距離\(d\)與半徑\(r\)的關系），圓與圓的位置關系（外離、外切、相交、內切、內含）。例如：圓\(O\)的半徑\(r=3\)，直線\(l\)到圓心\(O\)的距離\(d=2\)，因為\(d<r\)，所以直線\(l\)與圓\(O\)相交。-扇形與圓錐：扇形的弧長公式\(l=\alpha\timesr\)（\(\alpha\)為圓心角弧度數，\(r\)為半徑）或\(l=\frac{n\pir}{180}\)（\(n\)為圓心角度數），扇形的面積公式\(S=\frac{1}{2}lr=\frac{n\pir^{2}}{360}\)，圓錐的側面積公式\(S=\pirl\)（\(r\)為底面半徑，\(l\)為母線長）。例如：已知扇形的圓心角\(n=60^{\circ}\)，半徑\(r=4\)，則弧長\(l=\frac{60\pi\times4}{180}=\frac{4\pi}{3}\)，面積\(S=\frac{60\pi\times4^{2}}{360}=\frac{8\pi}{3}\)。4.圖形的變換-平移、旋轉、軸對稱：平移的性質（對應點的連線平行且相等），旋轉的性質（對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角），軸對稱的性質（對稱軸垂直平分對應點的連線）。例如：將\(\triangleABC\)繞點\(A\)順時針旋轉\(60^{\circ}\)得到\(\triangleADE\)，則\(AB=AD\)，\(\angleBAD=60^{\circ}\)。在平面直角坐標系中，點\((x,y)\)關于\(x\)軸對稱的點為\((x,-y)\)，關于\(y\)軸對稱的點為\((-x,y)\)，關于原點對稱的點為\((-x,-y)\)。三、統計與概率1.統計-數據的收集、整理與描述：全面調查和抽樣調查的區別與應用，數據的表示方法（如條形圖、折線圖、扇形圖等）。例如：要了解某校學生的視力情況，由于學生人數較多，可采用抽樣調查；用扇形圖可以直觀地表示出各部分在總體中所占的百分比。-數據的分析：平均數、中位數、眾數的計算與意義，方差的計算與意義（方差越大，數據的波動越大）。例如：一組數據\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(3\)、\(4\)，平均數為\(\frac{1+2+3+3+4}{5}=2.6\)，中位數為\(3\)，眾數為\(3\)；方差\(s^{2}=\frac{1}{5}[(1-2.6)^{2}+(2-2.6)^{2}+(3-2.6)^{2}+(3-