2023-2024學年江蘇省南京市南師附中高二下學期5月數學模擬試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復數，則的模為（） 0 1 【答案】【解析】解：，則的模為1.故選：2．下列命題的否定是假命題的為（）；所有可以被5整除的整數，個位數字都是0；，且；存在一個四邊形，它的對角線互相垂直．【答案】【解析】解：的否定為，恒成立，不符合題意；所有可以被5整除的整數，個位數字都是0，其否定為存在可以被5整除的整數，個位數字不都是0，還可以為5，不符合題意；，且，其否定為，且，或，不符合題意；存在一個四邊形，它的對角線互相垂直，其否定為所有四邊形，它的對角線不互相垂直，菱形的對角線互相垂直，符合題意;故選：3．已知函數在處取得極值則（）． 2 或2【答案】【解析】解：，所以，，解得或2；當時，，，此時不是函數的極值點，故選：4．如圖，半徑為1的圓與直線相切于點，圓沿著直線滾動．當圓滾動到圓時，圓與直線相切于點，點運動到點，線段的長度為，則點到直線的距離為（）1 【答案】【解析】解：根據條件可知圓周長為，點在圓上順時針轉動了，可得，所以,點到直線的距離為故選：5．已知數列滿足，，則該數列的前22項和為698889 96【答案】【解析】解：當為奇數時，，當為偶數時，，所以故選：6．已知鈍角，則的值為（） 【答案】【解析】解：因為為鈍角，所以，所以，因為，所以故選：7．在正四棱錐中，是線段上的動點．設直線與直線所成的角為，二面角為，直線與平面所成的角為，這三個角的關系正確的是（） 【答案】【解答】解：如圖，取中心中點連接，使得,由題可知，，，，,因為,所以，因為,所以，所以故選：8．過點的動直線與圓于兩點，在線段上取一點，使得，已知線段的最小值為，則的值為（）2 4【答案】【解析】解：：圓的圓心，半徑為2，所以圓與軸相切，切點坐標為，所以，故，設的中點為，連接，則，如圖所示：設圓心到直線的距離為，則，所以，由于，故，由于，所以，故，解得．故選：二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知是邊長為2的正六邊形內一點（不含邊界），且，則下列結論正確的是（）的面積為定值 使得的取值范圍是的取值范圍是【答案】【解答】解：由可得，即，所以在正六邊形的對角線上運動，對于，因為，即點到的距離為定值，所以的面積為定值，正確；對于，因為正六邊形關于直線對稱，所以不論在何處，總有，錯誤；對于，根據圖形的對稱性，當為中點時，達到最大值，故的取值范圍是，正確；對于，因為正六邊形邊長為2，有最小值，錯誤；故選：10.下列說法中正確的是（）兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于0 若隨機變量滿足，則隨機變量，且，若，則的最小值為已知一組樣本數據中關于的非線性回歸方程為，則【答案】【解析】解：兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1，錯誤；若，則，正確；由題意可知，，正確；代入，解得，正確．故選：11．已知一組函數，則下列說法正確的是（）恒成立在上單調遞增，在上單調遞減在上單調遞減，在上單調遞增【答案】【解析】解：故項正確；對于項，因為，故項正確；對于項，當，因此在上單調遞減，當，因此在上單調遞增，故錯誤；對于項，當，因此在上單調遞減，當，因此在上單調遞增，故正確．故選：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知動圓與圓，圓均相切，則動圓圓心的軌跡方程是.【答案】；.【解析】解：由題意可知，共有兩種情況，設動圓半徑為，動圓與圓內切，與圓內切，所以所以，此時動圓圓心的軌跡方程是動圓與圓外切，與圓內切，所以所以，此時動圓圓心的軌跡方程是故答案為：；.13．設各項均為正數的數列的前項和為，且滿足，，則數列的通項公式是____________．【答案】.【解析】解：可得，所以（舍），，當時，，當時，，將代入，，所以的通項公式是故答案為：．14．已知且，若，且，則正整數的值為______.【答案】109.【解析】解：：由，可得，結合，可得，由指數函數與對數函數的單調性，可知是上的增函數，所以方程在上有唯一解，考慮到與2024最接近的2的正整數次冪為，求得，由二項式定理得由，對任意的成立，可知隨著的增大而減小，所以由此可得，所以，即，又因為，所以滿足的，結合，可知，所以正整數的值為109．故答案為：109．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖，在四棱錐中，，底面為正方形，,分別為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析;（2）【解析】解：（1）因為分別為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為，，所以，因為，所以平面所以，同理，所以平面所以，如圖建系，,設平面的法向量，則，取，得，由圖可知，平面的法向量為，，所以平面與平面所成二面角的正弦值16．（15分）某學校為提高學生身體素質，號召全校學生參加體育鍛煉，結合每日統計的運動情況，對每日平均運動10000步或以上的學生授予“運動達人”稱號，低于10000步稱為“參與者”，統計了200名學生在某月的運動數據，結果如下：運動達人參與者合計男生70女生80合計80200（1）完善列聯表并說明：是否有的把握認為獲得“運動達人”稱號與性別有關？（2）從全?！斑\動達人”中按性別分層抽取8人，再從8人中選取3人參加特訓，將特訓的人中男生人數記為，求的分布列與均值．參考公式：10.828【答案】（1）沒有的把握認為獲得“運動達人”稱號與性別有關；（2）分布列見解析，.【解析】證明：（1）根據題意可得列聯表如下；運動達人參與者合計男生5070120女生305080合計80120200零假設為：性別與鍛煉情況獨立，即獲得“運動達人”乘號與性別無關，根據列聯表的數據計算可得根據小概率值的獨立性檢驗，推斷成立，即沒有的把握認為獲得“運動達人”稱號與性別有關；（2）選取的8人運動參與者中男生5人，女生3人，則服從超幾何分布，的所有可能情況為：0、1、2、3故所求分布列為：0123可得17．（15分）已知數列滿足，其中且，為常數.（1）若求數列的通項公式；（2）在（1）的條件下記，且數列前項和為，若存在，使得對任意的都成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）將代入，，解得，所以，即，為等比數列，所以；（2），可得所以存在，使得，即所以的取值范圍為18．（17分）已知函數.（1）討論函數在區間上的單調性；（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減；（2）.【解析】（1），解得因為，所以，所以在上單調遞增，在上單調遞減；（2），令恒成立，單調遞減，所以，所以的取值范圍為19．（17分）在平面直角坐標系中，若在曲線的方程中，以（為非零的正實數）代替得到曲線的方程，則稱曲線、關于原點“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，稱為伸縮比．（1）已知曲線的方程為，伸縮比，求關于原點“伸縮變換”后所得曲線的方程；（2）射線的方程，如果橢圓經“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓、分別交于兩點，且，求橢圓的方程；（3）對拋物線，作變換，得拋物線；對作變換，得拋物線；如此進行下去，對拋