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專題4-1等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

內(nèi)容概覽

A?常考題不丟分

一.數(shù)列的概念及簡單表示法（共3小題）

二.數(shù)列的函數(shù)特性（共3小題）

三.等差數(shù)列的性質(zhì)（共6小題）

四.等比數(shù)列的性質(zhì)（共6小題'）

五.等比數(shù)列的前n項和（共1小題）

六.數(shù)列的應(yīng)用（共3小題）

七.數(shù)列遞推式（共8小題）

八.數(shù)列與函數(shù)的綜合（共2小題）

九.數(shù)列與不等式的綜合（共2小題）

十.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共6小題）

十一.數(shù)列與三角函數(shù)的綜合（共3小題）

十二.數(shù)列與解析幾何的綜合（共2小題）

B?拓展培優(yōu)拿高分（壓軸題）（13題）

C?挑戰(zhàn)真題爭滿分（10題）

A?常考題不丟分

一.數(shù)列的概念及簡單表示法（共3小題）

1.（2023?市中區(qū)校級模擬）已知數(shù)列1,x/3,石，4，3,VH,...?42^....則7是這個數(shù)列

的（）

A.第4項B.笫12項C.第17項D.第25項

【分析】由題意利用等差數(shù)列的通項公式，得出結(jié)論.

【解答】解：?.■數(shù)列1,百，石，V7,3,"7,…，,2〃-1,

而7二5/49?

令2〃-1=49,求得〃=25,

.?.7是這個數(shù)列的第25項.

故選：D.

【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2023?秦安縣校級一模）數(shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x值為（）

A.28B.32C.33D.27

【分析】根據(jù)所給數(shù)列中相鄰兩項的差的規(guī)律性，即從第二項起，每一項與前一項的差依次是3的倍數(shù)，

再進行求解.

【解答】解：由題意知，數(shù)列2,5,11,20,x,47,

/.5-2=3,11-5=6,20-11=9,

則工-20=12,解得x=32,

故選：B.

【點評】本題考查了數(shù)列的概念的應(yīng)用，即需要找出數(shù)列各項之間的特定關(guān)系，考查了分析問題和解決問

題的能力.

3.（2023?豐城市模擬）已知數(shù)列｛七｝的前4項為1,0,1,2,寫出數(shù)列｛凡｝的一個通項公式，可=

1;,7=1

u-2,n..2—

【分析】令數(shù)列首項為L后3項為首項為0,公差為1的等差數(shù)列即可.

【解答】解：由題意得q=l,注意到數(shù)列從第二項起，后一項與前一項的差為1,又出=。?

則〃..2時，alt=a2+n-2=n-2>

1,7=1

故數(shù)列的一個通項公式為：/=<

1n=1

故答案為：/='"（答案不唯一）.

2,〃…2

【點評】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解，適合基礎(chǔ)題.

二.數(shù)列的函數(shù)特性（共3小題）

4.（2023?秦安縣校級一模）若數(shù)列｛/｝的前〃項和則/=（）

A.7B.8C.9D.17

【分析】由a,,=S”-Si，能求出結(jié)果.

【解答】解：???數(shù)夕IJ｛凡｝的前〃項和S'=〃2一],

/.（74=S4-S3=（16-1）-（9-1）=7.

故選：A.

【點評】本題考查數(shù)列的第4項的求法，解題時要認(rèn)真審題，是基礎(chǔ)題.

5.（2023?東寶區(qū)校級模擬）已知數(shù)列｛4｝的前8項1,I,2,3,5,10,13,21,令/（x）=—《了，

4=1

則/（X）的最小俏點X=7.

【分析】將函數(shù)/（X）展開可得二次函數(shù)，再求最小值即可.

【解答】解：/（K）=Z（X-q）2=8/-2（%+。2+...++%2+...+。：，

結(jié)合二次函數(shù)可得當(dāng)X=……=,1+1+2+3+5+10+13+21=些=7時，f（x）取得最小值，

888

即/（口的最小值點x=7.

故答案為：7.

【點評】本題考查了數(shù)列的函數(shù)特征，二次函數(shù)的最小值點，是基礎(chǔ)題.

6.（2023?豐臺區(qū)一模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為邑,則“對任意〃wN*,M>0”是“數(shù)列｛SJ為遞增

數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不是充分也不是必要條件

【分析】根據(jù)題意，分別判斷充分性和必要性是否成立即可.

【解答】解：數(shù)列｛%｝中,對任意〃eN*,>0，則S"=S,1+%>S“_[,n..2;

所以數(shù)列｛S,J是遞增數(shù)列，充分性成立；

當(dāng)數(shù)列｛S,｝為遞增數(shù)列時，幾.2；

即Sz+a“>S,i，所以%>0,

如數(shù)列-I,2,2,2,...；不滿足題意，必要性不成立；

所以“對任意〃cN*,勺>0"是“數(shù)列｛SJ為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題利用數(shù)列的前〃項和考查了充分與必要條件的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

三.等差數(shù)列的性質(zhì)（共6小題）

7.（2024?樂山模擬）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，若§3=9,56=36,則%+仆+〃9=1）

A.63B.45C.36D.27

【分析】觀察下標(biāo)間的關(guān)系，知應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求得.

【解答】解：由等差數(shù)列性質(zhì)知S3、S.S-Sg工成等差數(shù)列，即9,27,Sq$6成等差，」.S9SG?45

/.%+仆+/=45

故選：B.

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì).

8.（2024?鄭州一模）已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列,q+%+%=7，a7+a8+a9=13?則a”+/4+%=（）

A.19B.22C.25D.27

【分析】依題意由等差數(shù)列性質(zhì)得%4，％=?利用等差中項得心若，可求出生+%+/=3陽=19.

【解答】解：,數(shù)列｛a,J為等差數(shù)列，+a2+ay=7?o7+a84-=13,

3a,x=7,o34=13,

713

???%=屋^s=y*

c19

???42+64=24，ai4

%+a14+a15=3au=19.

故選：A.

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.（2024?甘肅模擬）在等差數(shù)列｛〃4｝中，的,仆是方程x?+〃?1-8=0的兩根，若%+。6=。；+1，則〃，的

值為（）

A.-6B.2C.2D.6

【分析】根據(jù)韋達定理求出%+。8=-機，4%=-8,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到方程，求出出=1，從而得

到m=-2.

【解答】解：?.?巴，%是方程/+必-8=0的兩根，

二.4+6=2ax=-8,A=m2+32>0.

在等差數(shù)列（以力中,%十4=%+4=2%，又%+。6—云十1，

所以2a5=a]+\所以%=1,

所以a=4+%=2as=2，所以加=一2.

故選：B.

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10,（2024?秦都區(qū)校級四模）已知等差數(shù)列以,｝,他｝的前〃項和分別為S“，且2=包二1,則”二

7；4〃+3b6

17

47-,

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)及前〃項和公式計算即得.

【解答】解：等差數(shù)列｛4｝,也｝的前〃項和分別為S”，且&=即二

T〃4〃+3

11(q+4)

所以生=="|+%=2=區(qū)=2,U-5_22..

b62b64+4?1@+4i)7]14x11+347

故答案為：—.

47

【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2024?新疆一模)記S”為數(shù)列｛牝｝的前〃項和，設(shè)甲：｛q｝為等差數(shù)列，乙：25“=⑷+”“)〃(其中〃wM),

則下列說法正確的是()

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲是乙的既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列前〃項和公式可得甲是乙的充分條件；再利用數(shù)列前”項和與通項的關(guān)系

分析可得甲是乙的必要條件；綜合可得答案、

【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)｛凡｝為等差數(shù)列時，則(“+；)〃,

變形可得2S”=0+4)〃，即甲是乙的充分條件；

反之，若2S”=(q+勺)〃①,

則有2sM=(q+%”)(〃-1)(〃...2)②，

①-②可得：2aa=q+〃。”一(〃一1)%,變形可得q+(〃-2)°a=0③，

同理可得:q+(n-3)a0_]一(〃-2)an_2=0(n..3)④，

③-④可得：an_2+an-2《一|(〃..3)，

則數(shù)列｛勺｝為等差數(shù)列，

故甲是乙的必要條件，

綜合可得：甲是乙的充分必要條件.

故選：C.

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及充分條件和必要條件的定義，屬于中檔題.

12.（2024,東莞市校級一模）己知等差數(shù)列｛《｝與等差數(shù)列｛2｝的前"項和分別為S.與7；,且也」=包9

QT4〃一2

+詈*=()

29C58

A.c.—

21-7T21

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得巧■一色~=也，由等差數(shù)列前〃項和公式可得牝=&、如=4■，即可令〃=11

M,九1121

代入計算即可得.

【解答】解?：因為數(shù)列｛4｝、色｝都是等差數(shù)列，所以&+&=生口=也,

Uibn*b、i

又L=幽浮="%&=*迎=2%,

=Z,即有二+&=%L=%x1,

-配-------90h11

1121h]}h]],H弓

在25〃+3中，令〃=]],得&="，

—4〃-2心21

422958

故?+&=%=--X--=--0

Ui加b”112111

故選：D.

【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

四,等比數(shù)列的性質(zhì)（共6小題）

13.（2023?賀蘭縣校級四模）設(shè)等比數(shù)列｛%｝中，前〃項和為S”，已知S,=8,$6=7,則的+/+4等

于.（）

A.iB-4c-TD-T

【分析】由題意可知星，56-53,59-邑構(gòu)成等比數(shù)列，即（S6-S3）2=S/（Sg-S6）,從而代入數(shù)值可求

出Sg-$6=%+6+。9的值?

【解答】解：?.?｛%｝是等比數(shù)列,

：￡，S「S、，Sg-S。構(gòu)成等比數(shù)列,

所以($6-S3)2=S「(S9—S6),即(7—8)2=8X(SL久)，故$9-56=：，

O

所以%+%+%=S9-=一.

8

故選：A.

【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生歸納推理與運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2024?揚州模擬）已知函數(shù)/（力=加+及+5若b是人與c的等比中項,則/（x）的零點個數(shù)為（

)

A.0B.0或1C.2D.0或1或2

【分析】根據(jù)給定條件，確定判別式的正負(fù)即可得解.

【解答】解：由〃是。與c的等比中項，得awO,b*O,ac=b2,

方程ax2+隊+c=0的判別式△=〃一4ac=-3b1<0,因此方程ad+bx+c=O無實根，

所以/（外的零點個數(shù)為0.

故選：A.

【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，還考查了函數(shù)零點的求解，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2024?青秀區(qū)校級一模）在數(shù)列｛凡｝中,q=l.若命題勺=2川+2"命題夕:a-2"｝是等

比數(shù)列，則.是夕的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【分析】根據(jù)充分性和必要性分別考慮即可.

【解答】解:充分性:若小。/+勺=2向+2",得/”一2"+|=-（凡一2"）,

則數(shù)列也-2"｝是以％-2:7為首項,-1為公比的等比數(shù)列，則夕能推出夕;

必要性:若q:｛a”-2"｝是等比數(shù)列,則"“一’=t,則。-2”），

/-2

則/為不為0的常數(shù)，故夕不能推出〃，必要性不成立，

所以〃是夕的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題考查充分不必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2024?渾南區(qū)校級模擬）已知等比數(shù)列｛%｝的公比為式g>0）,前〃項積為7>若7；>[>7；,則（）

A.0<<7<1B.q>1C.q>1>2D.7；4>1>7J5

【分析】由己知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析各選項即可判斷.

【解答】解：因為等比數(shù)列｛&｝的公比為9>0,

則%>1,0v4v1，0v%?4v1,

所以0<夕<1,/正確，8錯誤；

q=q嗎2q3=%”>1，彳4=4嗎34<]，C正確，D錯誤.

故選：AC.

【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.（2024?株洲模擬）設(shè)（石+2產(chǎn)句（〃wM）的整數(shù)部分為%，小數(shù)部分為，則卜列說法中止確的是（

）

A.數(shù)列應(yīng)+"｝是等比數(shù)列B.數(shù)列也｝是遞增數(shù)列

C.。（%+，）=1D.（1-2）（4+/,）=1

【分析】根據(jù)題意，利用二項式展開式算出%=（指+2嚴(yán)J（店-2嚴(yán)I,4=（百-2嚴(yán)I由此對各項依

次驗證，可得答案.

【解答】解：由+2產(chǎn)”=儲”“（&產(chǎn)”十《向（6產(chǎn)2+…+C媚2?向,

回2尸=回向一心（"產(chǎn)"+…一七：嚴(yán),

得（后+2嚴(yán)J石-2產(chǎn)7=2［。；用（⑹"2+。:（6產(chǎn)22+…+。然；-22fl+,］

=2（以?夕?2+C%?5川?23+…+G：：：.221）,

根據(jù)C；向?5"?2+C*?51?23+.??+C烯,22B+,是整數(shù)，且0〈（石-2嚴(yán)?<1,

可知（石+2）2川的整數(shù)部分即為（石+2）2川-（君-2嚴(yán)?,小數(shù)部分即為（石-2嚴(yán)I

即勺=（0+2產(chǎn)川-（6-2嚴(yán)|,"=（0-2產(chǎn)+，

對于月，％+4=（石+2產(chǎn)“是以（石+2了為首項，（石+2/為公比的等比數(shù)列，可知4項正確;

對于月，由.4的分析，可知%+，是等比數(shù)列，首項大于64,公比大于16,

故%+”的整數(shù)單調(diào)遞增，即數(shù)列｛可｝是遞增數(shù)列，故8項正確；

對于C,"（%+”）=（萬一2）27?（6+2）21=［（6-2）（5+2）產(chǎn)+|=（5-4）27=1，故。項正確；

對于。，（1-＞）（勺+3）=口-（#-2）2叫（6+2）2向=（石+2）2川-1+1,故。項不正確.

故選：ABC.

【點評】本題主要考杳等比數(shù)列的定義及其性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性、二項式定理的應(yīng)用等知識，考杳了計算

能力、邏輯推理能力，屬于中檔題.

18.（2024?昌樂縣校級模擬）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為g,其前〃項和為S“，前〃項積為7；,并滿足條件

%＞1，牝0N。202。＞1，色空二、0,下列結(jié)論正確的是（）

“2020T

A，$2019＜,^2020B。Sa。］9s2020-1＜。

C.4。2。是數(shù)列｛「｝中的最大值D.數(shù)列｛7；｝無最大值

【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)分析公比g的范圍，由此分析選項可得答案.

【酢答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛叫中，內(nèi)“必020>1，則有%^洶網(wǎng)土生。.）％〉］，必有夕>。，

又由林山_1<0,即3。9一l）（“，c，o-1）<°，必有a，o,o<1V。，019,必有o<q<1，

“2021）—1

由比分析選項：

對于“，$2020一,^2019="2020>。，故*^2019<1^2020,彳.正確；

對于8,等比數(shù)列｛%｝中，勺>1，0VgV1,則S202l>S刈9>1,則s2019s2021>1,即S2019s2021T>0，8錯

誤：

對于C,“2020<1<生019，則GB，是數(shù)列區(qū)｝中的最大項，C錯誤;

對于。，由。的結(jié)論，。錯誤；

故選：A.

【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題.

五.等比數(shù)列的前n項和（共1小題）

19.（2024?涼山州模擬）S”為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，若￡=2,54=4,則￡=6.

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S?,S「S『S6-S4成等比數(shù)列，代入數(shù)據(jù)解關(guān)于$6的方程即可.

【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S］,S4-S2，成等比數(shù)列，

2

所以（S4-邑）2=S2（56-S4）,代入數(shù)據(jù)可得2=2（56-4）,

解得§6=6.

故答案為：6.

【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，利用邑，邑-與，S6-S4也成等比數(shù)列是解決問題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)

題.

六.數(shù)列的應(yīng)用（共3小題）

20.（2023?大理市二模）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有這樣一道題：“今有垣厚五尺，兩鼠

對穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.問何日相逢？”題意為：有一堵墻厚五尺,

有兩只老鼠從墻的正對面打洞穿墻.大老鼠第一天打進一尺，以后每天打進的長度是前一天的2倍：小老

鼠第一天也打進一尺，以后每天打進的長度是前一天的一半.若這一堵墻厚16尺，則幾日后兩鼠相逢（

）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)題意，分析可得大老鼠每天打進的長度是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，小老鼠每天打進

的長度是首項為1，公比為，的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前〃項和公式可得S“+7；=（2。-1）+（2-一］）...16,

22

分析可得〃的取值范圍，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，大老鼠每天打進的長度是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為伍.｝,前〃

項和為S.，

小老鼠每天打進的長度是首項為1，公比為;的等比數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為也,｝,前〃項和為7；,

1x（1-2"）I'。一前）1

則S“=（）=2"—1,Tfi=--------^-=2--

"1-2,12

1----

2

若1+7；=（2”-1）+（2-擊）...16,即2"-擊）…15，

又由〃...1且〃wZ，必有ii.A，

故選：B.

【點評】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題.

21.（2023?海淀區(qū)校級三模）已知數(shù)列｛4｝滿足：對任意的總存在使得S“=4,則稱缶“｝

為“回旋數(shù)列”.以下結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

①若a“=2023〃，則｛%｝為“回旋數(shù)列”：

②設(shè)｛4｝為等比數(shù)列，且公比g為有理數(shù)，則｛%｝為“回旋數(shù)列”；

③設(shè)｛q｝為等差數(shù)列，當(dāng)q=1，d<0時，若｛%｝為“回旋數(shù)列"，則d=T；

④若｛%｝為“回旋數(shù)列”，則對任意〃wN"總存在mcM,使得/=>.

A.1B.2C.3D.4

【分析】由題意，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，結(jié)合所給“回旋數(shù)列”的定義，對每

項進行分析驗證，進而可解.

【解答】解：對于①：若4=2023〃，

可得S“=2023（l+2+3+?..+〃）=2023x〃（"+D,

2

由2=%，

可得2023X“（〃十1）=2023m，

2

取〃?=迪里2即可，

2

此時｛%｝為“回旋數(shù)列"，故①正確；

對于②：已知｛”.｝為等比數(shù)列，且公比夕為有理數(shù)，

當(dāng)夕=1時，Sn=,ani=ax>

由S〃=u,

可得"q-“I’

所以當(dāng)〃=2時，〃%=%明顯不成立，

故｛4｝不是“回旋數(shù)列"，故②錯誤：

對于③：因為｛《,｝是等差數(shù)列，

所以％=1+5~l)d,Sn=n+”"；l)d?

因為數(shù)列加”｝是“回旋數(shù)列”，

所以1+(m-1)J=n+I)d?

整理得〃?=紇1+迎二12+1,

d2

因為迎a為非負(fù)整數(shù)，

2

所以要保證占恒為整數(shù)，

d

故”為所有非負(fù)整數(shù)的公約數(shù)，且4<0,所以d=-1,故③正確；

對于④：由①可得當(dāng)%=2023〃時，｛/｝為“回旋數(shù)列”，

可得。2=2023x2,S,”=2023x”,

顯然不存在加，使得鼠=%=2023x2,故④錯誤.

綜上得結(jié)論正確的有①③.

故選：B.

【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查了邏輯推理和分析問題解決問題的能力.

22.(2023?德陽模擬)德陽某高校為迎接2023年世界新能源大會，決定選派一批志愿者參與志愿服務(wù)，

計劃首批次先選派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因?qū)W生報名積極，學(xué)校決定改變派遣計劃，若將

原計劃派遣的各批次人數(shù)看成數(shù)列｛%｝,保持?jǐn)?shù)列｛%｝中各項先后順序不變的情況下，在,與a.k=I,

2,…)之間插入2A，使它們和原數(shù)列的項依次構(gòu)成一個新的數(shù)列也,｝,若按照新數(shù)列也，｝的各項依次派遣

學(xué)生，則前2U批次共派遣學(xué)生的人數(shù)為()

A.2091B.2101C.2110D.2112

【分析】先得到｛4｝的通項公式，再分組求和即可.

【解答】解：由題意得，當(dāng)〃=24-1時，=I+(k-1)xI=k,

當(dāng)〃=2?時，砥=2/，

故“+/),■!---卜晨=1+2■!----1-10=M)x"+"))=55,

2_

b>+b4+???+b)o=2+2,+,??+210=---------=2046,

1—2

故前20批次共派遣學(xué)生的人數(shù)為55+2046=2101.

故選：B.

【點評】本題考查數(shù)列通項的求解和前〃項和的求解，屬于中檔題.

七.數(shù)列遞推式(共8小題)

23.(2024?涼山州模擬)已知數(shù)列｛/｝的前〃項和5=〃2+3，則q+&=()

A.9B.10C.11D.12

C〃=1

【分析】根據(jù)/=:■r求出q和外,得到答案.

[S0-S...2

【解答】解：當(dāng)〃=1時，4=『+"，

2

解得％=2,

當(dāng).2時，禺=S"-S,I=〃2+4一(〃—1)2-系=2〃—1,

故生=10-1=9,

故q+%=2+9=11.

故選：C.

【點評】本題主要考查了數(shù)列的遞推式，屬于基礎(chǔ)題.

24.(2024?永壽縣校級模擬)已如數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，4=1,a2=2,且對于任意以.2,“+

S?i+Si=2(S“+l)恒成立，則()

A.｛凡｝是等差數(shù)列B.｛(｝是等比數(shù)列C.5.=81D.So=91

【分析】推導(dǎo)出見.1-%=2(〃…2),可判斷力8選項；求出數(shù)列｛4｝的通項公式，利用等差數(shù)列的求和公式

可判斷C。選項.

【解答】解:?.?對于任意兒2,滿足Sz+S,i=2(S.+l),

???S"|—S"=S“—S,i+2,即%+]-口=2,且%-4=1，

二數(shù)列｛%｝不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，力錯4錯；

當(dāng)兒.2時，an=a2+2(n-2)=2+2(〃-2)=2〃-2,

1,〃=1

"a,,=[2n-2,n..2,

$9=1+(2+4+6+…+16)=1+”⑹=73,。錯；

S“I《0-73i18-91,。對.

故選：

【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算

能力，屬于中檔題.

25.（2024?黑龍江模擬）已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S”，若4=%=3，且D〃..2,“eM都有

4⑸,則（）

3,”=1,

A.⑸-2S._1｝是等比數(shù)列B.a,

3,”=1,

C.ciD.S$=48

2"—1/...2

［分析］由已知變形得遞推關(guān)系5川-2S”=2⑸-2SQ幾.2,再計算出S2-2S,=0,因此得HS?=2sz

n.2,結(jié)合S可得，=3乂2小，然后由S”求出通項巴，再利用明計算出邑.從而可判斷各選項.

【解答】解.：依題意，4（S.-Se）-S..】0,

即S…2sL2S,「4SI=20-2sl），丸2，

又S-2sl=（4]+%）-2x3=0,

Sn=2Sn_t,n..2>又S[=q=3,

二數(shù)列｛S.｝是以3為首項，2為公比的等比數(shù)歹h

S,=3X2”T,

2

〃=1時，q=S=3,.2時，an=Sn-Sn_{=3x2"~,

3,/?=l,一

,5=。|+a,+%+%+&=3+3+6+12+24=48.

3->-2r”-2,1.2r'5?2345

故選：D.

【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于

中檔題.

26.（2023?青浦區(qū)二模）已知數(shù)列㈤｝滿足q=（-3",存在正偶數(shù)〃使得4-2）（—+%）＞（）,

且對任意正奇數(shù)〃有（（-2）（。e+/1）＜0,則實數(shù)4的取值范圍是（）

29

A.B.（f,-]]U（l，+8）

C.D.

4343

分析利用累加法可得

1-（一!）”21

__2_=￡[i_（_lr],分類討論

1-得）32

〃為偶數(shù)，〃為奇數(shù)，結(jié)合題意，即可得出答案.

【解答】解：氏+1-=（一g）"，

二當(dāng)〃..2時，an-an_,=（-

上也爭-十，

%=。|+（a2一。l）+（%-4）+…+（%-。”4）=1+（-？+（一寸一+???+（-

J（-5）

.?.當(dāng)〃=2〃_1時，％=1口+（；）”]

7

當(dāng)〃=2〃時，r/=-[1-

”3

.?.當(dāng)〃為奇數(shù)時，句單調(diào)遞減；當(dāng)〃為偶數(shù)時，/單調(diào)遞增,

.??當(dāng)〃為正偶數(shù)時，存在正偶數(shù)年使得（4-4）（-+為>0,即（1+止）（/1一%）<0,解得-<%<%<%,

2

-a<2<j,即一

343

又當(dāng)〃為正奇數(shù)時,對任意正奇數(shù)〃有（勺-2）（fln+l+2）<0,即（%+4）（2-%）>0，解得或九>an

恒成立,

2、

二.入--或Z>6Z.=1,

3'

綜上所述，實數(shù)義的取值范圍是-3〈人

43

故選：D.

【點評】本題考杳數(shù)列遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，考杳邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔

題.

3

27.（2023?順慶區(qū)校級模擬）已知數(shù)列俗”｝滿足：為=—,凡一冊，3"，4+6—%⑼S”，則外。23=（）

8-

A,空+』3202）332023

B.C.D.

228282

【分析】由0/2—%，3"可得/6—%，913，結(jié)合%-勺得1,3”,即a-913"，從而得到

%一%=3"，利用累加法可得%加=%+3+33++…+利用等比數(shù)列求和公式即可得出答案.

【酢答】解：???[=]，/+2一〃『3",

O

%.6—%=&+6-。e)+伍田—。2)+伍”+2—3田+3*2+3"=3"(34+乎+1)=91?3"，

又見+6一3⑼凸"，故。"+6一q=913,

4=3"4+4一凡+2=3"-4+6

3

...%一《二3,生一%二31...,。“+2一*=3"，a=-

{0

故%一%=02”+1-a2M+a2n-\-曲”-3+…+%-。3+9_/=3+33+35+…+3?”I

則叫=%+3+3'+3$+…+32"',,

3c,3^202133（1-9血1）32始

/.1加八=—F3+3+3+???+3*=—I-------------=------,

3881-98

故選：C.

【點評】本題考有數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考直邏輯推理能力卻運算能力，屬于中檔題.

28.（2023?渭南模擬）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項積為①不是常數(shù)數(shù)列；②&&：③寫出一個同

時具有性質(zhì)①②③的數(shù)列的通項公式為a,,=_*"「〃GN*（答案不唯一）.

【分析】由三個條件可知，數(shù)列｛凡｝單調(diào)遞減，前10項的積是前〃項積的最大值，不是常數(shù)列，故選擇一

個符合條件的等比數(shù)列即可.

【解答】解：由性質(zhì)①③可知：數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，

故可設(shè)數(shù)列也｝為等比數(shù)列，且%>0,0%<1,

由性質(zhì)②可知，數(shù)列｛氏｝的前10項積是前〃項積的最大值，

故司時具有性質(zhì)①②③的數(shù)列｛4｝的通項公式可以是a“=2'j,nwN*.

故答案為：2回"，〃eN*（答案不唯一）.

【點評】本題考查用函數(shù)性質(zhì)研究數(shù)列問題，屬中檔題.

29.（2023?朝陽區(qū)一模）已知項數(shù)為機左eV）的等差數(shù)列｛叫滿足q=1,%1<<（〃=2,3.…，幻.若

可+“2+…+q=8，則々的最大值是（）

A.14B.15C.16D.17

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為4，根據(jù)卬=1，<%（〃=2,3,…，k）,利用通項公式可得d>上一，

43k-2

根據(jù)q+生+—+4=8,利用求和公式可得上+幺展2[=8,把d代入即可得出A?的范圍.

【解答】解.：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為，/,

%=1,<%(〃=2，3，…，k),

.?.1+(〃-2)八4[1+(〃-])"],

，?％+%+???+4=8，

H處士=8,

2

解得4=匕二至，

kd)

16—22—3

"k(k-l)>3k-2'

化為女2-4%+32<0,

4Q7017

令/(幻=3--49k+32=3(k-y)2-,

A...9時,函數(shù)/(幻單調(diào)遞增，

而/(15)=-28<0,/(16)=16>0,

則片的最大值是15.

故選：B.

【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、不等式的解法、數(shù)列的單調(diào)性、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

30.（2024?北京模擬）已知數(shù)列僅"｝和｛0｝滿足sina“+i=sina"+cos“，cos6?+l=cos6,t-sinax.

222

(I)證明：$/‘〃&+]+cosbn^=2(sinan+coshn)；

（2）是否存在q,b\,使得數(shù)列｛S/q+cos/｝是等比數(shù)列？說明理由.

【分析】（1）兩式平方相加，由同角三角函數(shù)平方關(guān)系可得；

（2）假設(shè)存在，等比數(shù)列各項均不為0,則由通項公式與三角函數(shù)有界性可推出矛盾.

222

【解答】解：（1）證明：由題意得，sinan^=sinan+cosbn+2s\natlcosbn,

22

8cbe=cosbn+sinan-2sinancos”,

222

兩式相加得，sW%+cosb“.i=2（sinan+cos"）,得證.

2

（2）證明：若sinay+cos飛=0,則數(shù)列+cos?"｝不是等比數(shù)歹U；

若shra[+cos飛=z/z>0,

假設(shè)存在q,h，使得數(shù)列⑶力2%+c0s%,j是等比數(shù)列.

zz2222

由(1)結(jié)論得，sinan^+cosbn_｛=2(sinan+cosbn),sinan+cosbn>0，

則叫e"吟八=2,故數(shù)歹U｛s療q+cos\］是公比為2的等比數(shù)列，

sin~an+cos~bn

2/,-1

則sinalt+cos~bn=m-2,

I2

222,QglW1m

但當(dāng)〃>2-log,m時>sinan+cosbn>ni-2"_=w*2***=2,

由［5由a",,1,|8$“|”1,則S加%“+CO/〃，2,產(chǎn)生矛盾，

故不存在q,b,,數(shù)列"加2a“+cos2”｝是等比數(shù)列.

【點評】本題主要考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

八.數(shù)列與函數(shù)的綜合(共2小題)

31.(2023?內(nèi)江一模)已知數(shù)列｛%｝滿足：q=1024,點(〃,《)在函數(shù)y=a(；W)的圖象上.則《。=(

)

A.2B.3C.4D.5

【分析】由已知可得4=人(；)>由q=1024可求得。=2「從而得到勺，再求力。即可.

【解答】解?：因為點(〃,見)在函數(shù)j，=a(g)，geR)的圖象上，

所以a.=a'(―)ZI>

又因為q=1024,

所以q=1024="

2

解得。=2",故凡=2"-"，

所以%=2皿°=2.

故選：A.

【點評】本題考查己知數(shù)列的遞推式求通項公式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

32.(2023?道里區(qū)校級模擬)定義在［0,+8)的函數(shù)/(x)滿足/(x+6)=/(x),且

八制=［""(2-切(0”“<2),Wxe［0,3］都有/(6-x)+/(x)=(),若方程/(x)=eR)的解構(gòu)成單調(diào)遞

sin乃x(2<x<3)

增數(shù)列｛x,J,則下列說法中正確的是()

A./(2023)=0

R.若數(shù)列與為等差數(shù)列，則公差為6

C.若23+/)=再x2+3,則Ovav加2

D.若一1<4</〃"!■,則Z(*3,-2+七”1)=6〃？+〃

2；=i

【分析】根據(jù)條件得到/(外關(guān)于(3,0)對稱，且當(dāng)X..0時，/(?的周期是6,作出函數(shù)/(X)的同學(xué)，利用

函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷即可.

【解答】解：???Vxw[O,3]都有1(6T)+/(X)=0,

關(guān)于(3,0)對稱，令x=3,則/(3)+/(3)=0,即f(3)=0.

???在[0，+8)的函數(shù)/(4)滿足f[x+6)=/(X),

.?./'(X)的周期為6,

作出函數(shù)/(X)在[0,6)內(nèi)的圖象如圖：

A./(2023)=/(6x337+l)=/(1)=0,故力正確，

B.由圖象可知：若數(shù)列｛》1｝為等差數(shù)列，則。e(-oo,,+8),此時y=/(x)與y在[(),6)

內(nèi)有且僅有一個交點，

/(x+6)=/(x),/(x)周期是6,即/+]—怎=6,即數(shù)列｛怎｝的公差為6,故8正確,

C.若2區(qū)+.)=+3,BP(2-X))(2-x2)=1?可得"[(2-xJQ-x?)]=/〃(2—+(2—七)=0,

則|/〃(2-再)|=|歷(2-/)|，即y=/(x)與y=a在[0,2)內(nèi)有且僅有2個交點,結(jié)合圖象可得0加2,

故C錯誤；

D.若-/<"/十-〃?2,則y=/(x)與y=a在[0,6)內(nèi)有且僅有3個交點，且玉+吃=7,

???/(X+6)=f(x),則(必+1-必+2)一。3卜2一芻“)=[(^3/.!+6)-區(qū)“+6)]-區(qū)-2-Xw)=12,

.??數(shù)列｛X3I_2-x3i_1｝是以7為首項，公差d=12的等差數(shù)列，

可得x3i_2-x3f_,=7+12(/7-1)=12.,?-5?

；$(x3i_2+)=〃。+12〃+5)=〃(⑵7+12)=6/+〃，故。正確.

；=i22

故迷：ABD.

2

【點評】本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，利用條件求出函數(shù)/（》）的對稱性和周期性，利用數(shù)形結(jié)合進行

求解判斷是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

九.數(shù)列與不等式的綜合（共2小題）

33.（2023?江蘇模擬）已知等比數(shù)列也,｝的前〃項和為￡,,則使得不等式

%+―+…+<2023伏eN）成立的正整數(shù)用的最大值為（）

A.9B.10C.IID.12

【分析】由工1+1=4%表示數(shù)列應(yīng)｝的前3項，根據(jù)等比數(shù)歹J｛《J得出片=。必，進一步計算得出4，

再代入已知不等式，求解機的取值范圍得出結(jié)果.

【解答】解：已知Sw+l=4q（〃wM）,

當(dāng)〃=1時，S,+1=4《?則a2=3at-1；

當(dāng)〃=2時，S3+1=4a2，貝!J%=3出一%—1=8q—4；

因為數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列,所以其=。臼，即（3%-1）2=4（8《-4）,

整理得a；-2q+1=0,解得q=l,a2=2,公比g=2,

所以%=2”T.

由不等式am+am+i+…+an+k-am,｝Sk<2023（"eTV*）,

得2m-'+T+2w+,+...+2W+A-,-2ra（l+2+22+...+2*-'）<2023,

即2m+k-2m-1-2W（2*-1）<2023,

整理得2i<2023,X210<2023<2,1,

所以2吁12%即〃?-L.10,如11,

所以正整數(shù)機的最大值為II.

故選；c.

【點評】本題考查等比數(shù)列的定義與通項公式，不等式的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

34.（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）數(shù)列｛4｝中，點（%,1）在雙曲線2爐一寸=1上.若

《-2-。川恒成立，則實數(shù)尤的取值范圍為（