2024屆北京市朝陽區高三上學期數學期中模擬數學

試卷

一、單選題

1.已知集合力={x|-2WxW3},{x|x>0},則{U8=()

A.[-2,3]B.[0,3]C.(0,+oo)D.[-2,+oo)

2.下列函數中，是奇函數且在其定義域上為增函數的是（）

A.y=shuB.y=x|x|C.y=taruD.y=

3.已知a=lg5,b=s鴻，c=2］，則（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.a<c<b

4.已知直線孫〃與平面。,仇）?滿足alfl9aC\fi=m,nLa,nay9則下列判斷一

定正確的是

A.mlly.aLyB.n//p,alyC.^//y,alyD./nln,aly

5.己知偶函數/（x）在區間［0,十■）上單調遞減.若/（口）>/（1），則x的取

值范圍是（）

A.（土,1）B,（O,^）u（l,+oo）

C.（TO，W）D.（0,-jL）U（10,+co）

6.我國古代數學家趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖’.

他用數形結合的方法給出了勾股定理的證明，極富創新意識.“趙爽弦圖”是由

四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，如圖，若大正

方形的面積是25,小正方形的面積是1,則茄=（）

A.16B.15C.12D.9

7.已知數列｛an｝的前〃項和為Sn,則“｛an｝是等差數列”是是等差數

列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.如圖，在直角梯形力8C。中，ADHBC,ABLBC,4。=1,BC=2,尸是線

段力4上的動點，則|1+4肪］的最小值為（）

A.375B.6C.D.4

9.“木桶效應”是一個有名的心理效應，是指木桶盛水量的多少，取決于構成

木桶的最短木板的長度，而不取決于構成木桶的長木板的長度，常被用來寓意

一個短處對于一個團隊或者一個人的影響程度.某同學認為，如果將該木桶斜放,

發揮長板的作用，在短板存在的情況下，也能盛較多的水.根據該同學的說法，

若有一個如圖①所示的圓柱形木桶，其中一塊木板有缺口，缺口最低處與桶口

距離為2,若按照圖②的方式盛水，形成了一個橢圓水面，水面剛好與左邊缺

口最低處M和右側桶口N齊平，且MN為該橢圓水面的長軸.則此時比圖①盛水

方式多盛的水的體積為（）

A.27rB.3nC.4兀D.6n

10.數列｛斯｝的通項公式為a〃=〃2-3〃,〃GN?,前〃項和為S”，給出下列三個

結論：

①存在正整數加，〃（加W〃），使得=

②存在正整數加，〃（加W〃），使得％1+%=25

③記乙=W2???4（〃=1,2,3,…）,則數列｛〃｝有最小項；

其中所有正確結論的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

二、雙空題

11.已知向量力=（一2,3）,1=（6,m），若ZJ.了，則加=；若

方|工，則加=.

三、填空題

12.已知角。的終邊與單位圓交于點夕在第二象限，且點夕的橫坐標為-之則

sin2n=.

13.被譽為信息論之父的香農提出了一個著名的公式：c=〃bg2a+/），其

中C為最大數據傳輸速率，單位為bit/s；/為信道帶寬，單位為H7；春?為，言噪

比.杳農公式在5G技術中發揮著舉足輕重的作用，當分=80,%=200Hz時，最

大數據傳輸速率記為G；當*=728,%=300Hz時，最大數據傳輸速率記為G，

則,為.

四、雙空題

14.己知/（?=sin2r+cos2x的圖象向右平移研心0）個單位后得到g（x）的圖象，

則函數/㈤在區間［0,期上的最小值為;若〃x）+g（x）值域為｛0｝，

則滿足條件的一個〃可以為.

五、填空題

15.已知函數「其中〃>0且々KI.給出下列匹個

結論：

①若。戶2,則函數“X）的零點是0；

②若函數”x）無最小值，則a的取值范圍為（0,1）；

③若。>2,則“X）在區間（一%。）上單調遞減，在區間（0,+8）上單調遞增;

④若關于x的方程/（幻=〃-2恰有三個不相等的實數根卬如必，則〃的取值范

圍為（2,3）,且修+必+與的取值范圍為（-8,2）.

其中，所有正確結論的序號是.

六、解答題

16.已知等差數列｛斯｝滿足。向+斯=4〃+2.

（1）求數列｛斯｝的通項公式；

(2)若數列｛幾-%｝是公比為3的等比數列,且々=3,求數列｛%｝的前〃項和S

17.在A48。中，角兒8,。的對邊分別為a,6,c,且〃cos8=〃-Aos4

⑴求需的值；

(2)若6=3,從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得△力8C存在且唯一

確定，求△45。的面積.

條件1；：cos8=#；條件2：sinC=g^；條件3：A48C的周長為9.

18.如圖，在四棱錐P-48。。中，夕力，平面

/8CZ),力。1CO,/。||8C,P4=/。=C。=2,BC=3.夕為Q。的中點，點廠在PC

(I)證明：平面力￡/_!_平面尸CQ；

(2)求平面力用尸與平面4Alp所成角的余弦值；

(3)問：棱丹尸上是否存在一點G,使點G到平面/忖P的距離為止，若存在，

9

求出點的值，若不存在，說明理由.

19.已知函數/(x)=h(2x+1)-aev+(a-2)x,aGR.

(I)當Q=0時，求”X)的最大值；

⑵若/(x)W0,求〃的取值范圍.

20.已知函數/(x)=er+asin.r-l(aGR).

⑴求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

⑵若函數〃x)在x=0處取得極小值，求。的值，并說明理由.

(3)若存在正實數〃?，使得對任意的x€(O,〃z),都有/(x)〈0,求。的取值范圍.

21.設4為整數.有窮數列｛即｝的各項均為正整數，其項數為〃7(加22).若

｛斯｝滿足如下兩個性質，則稱｛斯｝為匕數列：①的=1，且

.’(|比〃+1|,即為奇數，

q#1(1=1,2,…，