專題4最大公因數和最小公倍數（考點梳理+通關練習）【考點梳理】1、幾個數相同的因數，叫作這幾個數的公因數;其中最大的一個叫作它們的最大公因數。2、求兩個數的公因數和最大公因數的方法：

（1）列舉法

（2）篩選法

（3）短除法

（4）分解質因數法。3、幾個數公有的倍數，叫作這幾個數的公倍數。其中最小的一個，叫作它們的最小公倍數。4、求兩個數的最小公倍數的方法:先分別寫出兩個數各自的倍數，再從中找出它們的公倍數和最小公倍數。5、當較大數是較小數的倍數時，這兩個數的最小公倍數就是較大數。6、當兩個數只有公因數1時，最小公倍數是這兩個數的積。【通關練習】一、計算題1．求下面每組數的最小公倍數。8和10

12和18

13和392．求下面每組數的最大公因數和最小公倍數。15和30

25和20

12和18

7和133．用短除法求下面各組數的最大公因數和最小公倍數。12和48

32和284．寫出下面各組數的最大公因數和最小公倍數。8和9

51和17

18和245．求下列每組數的最大公因數和最小公倍數。2和5

4和6

7和496．求下面每組數的最大公因數和最小公倍數。2和5

3和97．求下列各組數的最大公因數和最小公倍數。7和11

24和96

12和188．求出下面每組數的最大公因數。36和4813和199．寫出下面每組數的最大公因數和最小公倍數。8和9

11和33

12和1510．找出下面每組數的最大公因數。16和32

38和57

13和511．求出下面每組數的最大公因數和最小公倍數。8和9

36和54

17和5112．求下列各數的最大公因數和最小公倍數。18和27

75和60

42和1413．求出下面各組數的最大公因數和最小公倍數。8和2

12和20

7和8

15和7514．寫出各組數的最大公因數和最小公倍數。（1）4和5

（2）6和9

（3）4和815．求下列每組數的最大公因數和最小公倍數。45和60

17和51

8和1916．求下面各組數的最大公因數和最小公倍數。24和36

11和13

16和3217．求下列各數的最大公因數和最小公倍數。18和24

8和9

65和1318．寫出下面各組數的最大公因數．28和14

17和19

15和2019．求下面每組數的最大公因數。6和10

18和24

34和1720．寫出下面每組數的最大公因數。2和8

12和18

10和25

7和921．求下面各組數的最大公因數。10和9

14和42

16和24

8和3222．求下列各組數的最大公因數和最小公倍數。9和15

22和33

7和1423．求下面各組數的最大公因數和最小公倍數。21和49

18和72

6和1324．用短除法求下列每組數的最大公因數和最小公倍數。18和30

36和1225．找出下面各組數的最大公因數和最小公倍數。28和7

5和8

8和9參考答案1．40；36；39【分析】求兩個數的最小公倍數，先把它們分別分解質因數，再將公有質因數和獨有質因數相乘即可；如果兩個數是倍數關系，則較大的數是它倆的最小公倍數?！驹斀狻?＝2×2×210＝2×5則8和10的最小公倍數：2×2×2×5＝4012＝2×2×318＝2×3×3所以12和18的最小公倍數：2×2×3×3＝3639÷13＝3所以13和39的最小公倍數是392．15和30的最大公因數是15；最小公倍數是30；25和20的最大公因數是5；最小公倍數是100；12和18的最大公因數是6；最小公倍數是36；7和13的最大公因數是1；最小公倍數是91【分析】對于一般的兩個數來說，這兩個數的公有質因數的連乘積是這兩個數的最大公因數，這兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；對于兩個數為倍數關系時的最大公因數和最小公倍數：兩個數為倍數關系，最大公因數為較小的數，較大的那個數，是這兩個數的最小公倍數；是互質數的兩個數，它們的最大公因數是1，最小公倍數即這兩個數的乘積；據此解答。【詳解】因為30÷15＝2，即30和15成倍數關系，這兩個數的最大公因數是15，最小公倍數是30；25＝5×520＝2×2×525和20的最大公因數是5，最小公倍數是：2×2×5×5＝100；12＝2×2×318＝2×3×312和18的最大公因數是2×3＝6，最小公倍數是：2×2×3×3＝36；7和13是互質數，它們的最大公因數是1，最小公倍數是13×7＝91。3．12和48的最大公因數是12；最小公倍數是48；32和28的最大公因數是4；最小公倍數是224。【分析】用短除法求兩個數的最大公因數和最小公倍數時，從兩個數公有的最小質因數除起，一直除下去，直到除得的兩個商互質為止。再把所有的除數連乘起來，所得積就是這兩個數的最大公因數。最小公倍數就是所有公因數連乘再乘最后的商。【詳解】所以12和48的最大公因數是2×2×3＝12，最小公倍數是2×2×3×4＝48；所以32和28的最大公因數是2×2＝4，最小公倍數是2×2×8×7＝224?！军c睛】熟練掌握用短除法求兩個數最大公因數和最小公倍數的方法是解題的關鍵。4．8和9的最大公因數是1，最小公倍數是72；51和17的最大公因數是17，最小公倍數是51；18和24的最大公因數是6，最小公倍數是72；【分析】如果兩個數是互質數，最大公因數是1，最小公倍數是這兩個數的積；如果兩個數是倍數關系，最大公因數是較小的數，最小公倍數為較大的數；求最大公因數也就是這幾個數的公有質因數的連乘積，最小公倍數是共有質因數與獨有質因數的連乘積，由此解決問題即可?！驹斀狻坑煞治龅茫海?）8和9是互質數，所以8和9的最大公因數是1，最小公倍數是8×9＝72。（2）51÷17＝3，51是17的倍數，所以51和17的最大公因數是17，最小公倍數是51。（3）18＝2×3×3，24＝2×2×2×318和24的最大公因數是2×3＝6，最小公倍數是2×3×2×2×3＝72。5．最大公因數：1；2；7最小公倍數：10；12；49【分析】當兩個數是互質數時，最大公因數是1，最小公倍數是兩數的乘積；當兩個數是倍數關系時，最大公因數是較小的數，最小公倍數是較大數；除了以上兩種情況外，可以用分解質因數或短除法去找兩個數的最大公因數和最小公倍數?！驹斀狻坑煞治隹傻茫?和5是互質數，最大公因數是1，最小公倍數是2×5＝10；4和6：4＝2×26＝2×34和6的最大公因數為：2，最小公倍數是：2×2×3＝4×3＝127和49是倍數關系，最大公因數是7，最小公倍數是49。綜上所述：2和5最大公因數是1，最小公倍數是10；4和6最大公因數是2，最小公倍數是12；7和49最大公因數是7，最小公倍數是49。6．1，10；3，9【分析】兩個數互質，則最大公因數是1，最小公倍數就是這兩個數的乘積；兩個數為倍數關系，則最大公因數是較小的數，最小公倍數為較大的數?！驹斀狻恳驗?和5互質，所以2和5的最大公因數是1，最小公倍數是2×5＝10；因為9÷3＝3，所以3和9的最大公因數是3，最小公倍數是9。7．7和11最大公因數是1；最小公倍數是77；24和96的最大公因數是24；最小公倍數是96；12和18的最大公因數是6；最小公倍數是36。【分析】求兩數的最小公倍數，就看兩個數之間的關系，兩個數互質，則最大公因數是1，最小公倍數就是這兩個數的乘積；兩個數為倍數關系，則最大公因數是較小的數，最小公倍數為較大的數；先把要求的兩個數分別分解質因數，然后把它們公有的質因數連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數，把它們公有的質因數和獨有的質因數連乘起來，所得的積就是它們的最小公倍數?！驹斀狻?和11是互質數，所以7和11的最大公因數是1，最小公倍數是7×11＝77；因為96是24的4倍，所以24和96的最大公因數是24，最小公倍數是96；12＝2×2×318＝2×3×3所以12和18的最大公因數是2×3＝6最小公倍數是2×2×3×3＝4×3×3＝12×3＝368．12；1【分析】求最大公因數也就是求這幾個數的公有質因數的連乘積；若兩個數互為倍數關系，則較小數就是它們的最大公因數；若兩個數是互質數，則它們的最大公因數是1。據此計算即可。【詳解】36＝2×2×3×348＝2×2×2×2×3則36和48的最大公因數2×2×3＝12；13和19是互質數，所以它們的最大公因數是1。9．1，72；11，33；3，60【分析】求兩個數的最大公因數：兩個數的公有質因數的連乘積，就是兩個數的最大公因數；兩個數的最小公倍數：兩個數的公有質因數與每一個獨有質因數的連乘積；如果兩個數成倍數關系，較小的數為最大公因數，較大的數為最小公倍數；如果兩個數是互質數，最大公因數是1，最小公倍數是兩個數的乘積，據此解答?！驹斀狻?和98和9互質，所以8和9的最大公因數是1，最小公倍數是8×9＝72；11和3311和33是倍數關系，11和33的最大公因數是11，最小公倍數是33；12和1512＝2×2×315＝3×512和15的最大公因數是3，最小公倍數是2×2×3×5＝60。10．16；19；1【分析】求兩個數的最大公因數：兩個數的公有質因數的連乘積，就是這兩個數的最大公因數；如果兩個數是互質數，最大公因數是1；如果兩個數是倍數關系，最大公因數是較小的數，據此解答?！驹斀狻?6和3216和32是倍數關系，最大公因數是16；38和5738＝2×1957＝3×1938和57的最大公因數是19；13和513和5是互質數，最大公因數是1。11．1；72；18；108；17；51【分析】如果兩個數是互質數，最大公因數是1，最小公倍數是這兩個數的積；求最大公因數也就是這幾個數的公有質因數的連乘積，最小公倍數是共有質因數與獨有質因數的連乘積；如果兩個數是倍數關系，最大公因數是較小的數，最小公倍數為較大的數；由此解決問題即可。【詳解】8和9是互質數，所以8和9的最大公因數是1，最小公倍數是8×9＝72。36＝2×2×3×3，54＝2×3×3×3；所以36和54的最大公因數是2×3×3＝18，最小公倍數是2×3×3×2×3＝108。17和51是倍數關系，所以17和51的最大公因數是17，最小公倍數是51。12．9和54；15和300；14和42【分析】把兩個數公有的質因數從小到大依次作為除數連續去除這兩個數，直到得出的商只有公因數1為止，然后把所有除數連乘起來，所得的積就是這兩個數的最大公因數；最后把所有除數和最后的商連乘起來，所得的積就是這兩個數的最小公倍數；據此計算?！驹斀狻?8和2718和27的最大公因數是：3×3＝918和27的最小公倍數是：3×3×2×3＝5475和6075和60的最大公因數是：3×5＝1575和60的最小公倍數是：3×5×5×4＝30042和1442和14的最大公因數是：2×7＝1442和14的最小公倍數是：2×7×3×1＝4213．2，8；4，60；1，56；15，75【分析】成倍數關系的兩個數，其中的較小數就是它們的最大公因數，較大數就是它們的最小公倍數；如果兩個數是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。用質因數分解法可以求兩個數的最大公因數和最小公倍數。全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這兩個數的最大公因數；全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這兩個數的最小公倍數?！驹斀狻浚?）8是2的倍數，則8和2的最大公因數是2，最小公倍數是8。（2）12＝2×2×320＝2×2×512和20的最大公因數是2×2＝4，最小公倍數是2×2×3×5＝60。（3）7和8是互質數，則7和8的最大公因數是1，最小公倍數是7×8＝56。（4）75是15的倍數，則它們的最大公因數是15，最小公倍數是75。14．（1）1；20；（2）3；18；（3）4；8【分析】（1）互質數的兩個數，它們的最大公因數是l，最小公倍數即這兩個數的乘積。（2）對于一般的兩個數來說，這兩個數的公有質因數連乘積是最大公因數，兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；（3）對于兩個數為倍數關系時的最大公因數和最小公倍數：最大公因數為較小的數，較大的那個數是這兩個數的最小公倍數；【詳解】（1）4＝1×45＝1×54和5的最大公因數是：1；4和5的最小公倍數是：4×5＝20；（2）6＝2×39＝3×36和9的最大公因數是：3，6和9的最小公倍數是：2×3×3＝6×3＝18。（3）8是4的倍數，4和8的最大公因數是：4，4和8的最小公倍數是：8。15．45和60的最大公因數15，最小公倍數是180；17和51的最大公因數17，最小公倍數是51；8和19的最大公因數是1，最小公倍數是152【分析】求最大公因數也就是求這幾個數的公有質因數的連乘積，最小公倍數是公有質因數與獨有質因數的連乘積，若兩個數互為倍數關系，則較小數就是它們的最大公因數，較大的數就是它們的最小公倍數；若兩個數是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數就是它們的乘積。據此計算即可。【詳解】45＝3×3×560＝2×2×3×5則45和60的最大公因數3×5＝15，最小公倍數是3×5×3×2×2＝180；因為51÷17＝3，所以17和51互為倍數關系則17和51的最大公因數17，最小公倍數是51；因為8和19是互質數則8和19的最大公因數是1，最小公倍數是8×19＝152。16．24和36的最大公因數是12；最小公倍數是72；11和13的最大公因數是1；最小公倍數是143；16和32的最大公因數是16；最小公倍數是32【分析】當兩個數是互質數時，它們的最大公因數是1，最小公倍數是兩數的乘積；當兩個數是倍數關系時，它們的最大公因數是較小數，最小公倍數是較大數；其他情況可以用分解質因數或短除法找兩個數的最大公因數和最小公倍數。用分解質因數法：最小公倍數是兩個數公有質因數與獨有質因數的乘積，最大公因數是兩個數的公有質因數的乘積。【詳解】（1）24＝2×2×2×336＝2×2×3×324和36的最大公因數是：2×2×3＝12；24和36的最小公倍數是：2×2×2×3×3＝72；（2）11和13是互質數；11和13的最大公因數是：1；11和13的最小公倍數是：11×13＝143；（3）16和32是倍數關系；16和32的最大公因數是16；16和32的最小公倍數是32。17．（1）最大公因數6，最小公倍數72；（2）最大公因數1，最小公倍數72；（3）最大公因數13，最小公倍數65【分析】用質因數分解法可以求兩個數的最大公因數和最小公倍數。全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這兩個數的最大公因數；全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這兩個數的最小公倍數。成倍數關系的兩個數，其中的較小數就是它們的最大公因數，較大數就是它們的最小公倍數；如果兩個數是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。【詳解】（1）18＝2×3×324＝2×2×2×3則18和24的最大公因數是2×3＝6，最小公倍數是2×3×3×2×2＝72。（2）8和9是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數是8×9＝72。（3）65是13的倍數，則65和13的最大公因數是13，最小公倍數是65。18．14

1

5【解析】略19．2；6；17【分析】根據求兩個數最大公因數也就是這兩個數的公有質因數的連乘積；當兩個數是倍數關系時，較小的數是它們的最大公因數；當兩個數是互質數時，最大公因數是1，據此解答即可?！驹斀狻?0＝2×56＝2×3所以6和10的最大因數是2；18和2418＝2×3×324＝2×2×2×3所以18和24的最大公因數是6；34和1717和34是倍數關系，所以34和17的最大公因數是17。20．2；6；5；1【分析】求兩個數的最大公因數，把這兩個數分解質因數，它們公有質因數的乘積就是最大公因數；當兩個數是倍數關系時，最大公因數是較小數；當兩個數是互質數時，它們的最大公因數是1；據此解答?！驹斀狻?÷2＝4，8是2的倍數，2和8的最大公因數是2；12＝2×2×3，18＝2×3×312和18的最大公因數是2×3＝6；10＝2×5，25＝5×510和25的最大公因數是5；7和9是互質數，7和9的最大公因數是1。21．1；14；8；8【分析】求兩個數的最大公因數，如果兩個數是互質數，那么它們的最大公因數是1；如果兩個數是倍數關系，那么它們的最大公因數是較小的數；如果兩個數是一般關系，可以利用分解質因數的方法，把兩個數分別分解質因數，公有質因數的積就是最大公因數；據此解答。【詳解】10和9互質，所以10和9的最大公因數是1；42是14的3倍，所以14和42的最大公因數是14；16＝2×2×2×2，24＝2×2×2×3所以16和24的最大公因數是2×2×2＝8；32是8的4倍，所以8和32的最大公因數是8。22．9和15的最大公因數為3，最小公倍數為45。22和33的最大公因數為11，最小公倍數為66。7和14的最大公因數為7，最小公倍數為14。【詳解】略23．最大公因數：7；18；1最小