第01講概率進一步認識1.能夠運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發生的概率.2.能夠通過試驗，獲得事件發生的頻率，知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率，了解頻率與概率的區別與聯系.3.通過實例進一步豐富對概率的認識，并能解決一些簡單的實際問題.知識點1概率1.定義：一般地，對于一個隨機事件A，把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記為P(A)．（1）一個事件在多次試驗中發生的可能性，反映這個可能性大小的數值叫做這個事件發生的概率。（2）概率指的是事件發生的可能性大小的的一個數值。2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為P(A)=．（1）一般地，所有情況的總概率之和為1。（2）在一次實驗中,可能出現的結果有限多個.（3）在一次實驗中,各種結果發生的可能性相等.（4）概率從數量上刻畫了一個隨機事件發生的可能性的大小，事件發生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發生的可能性越小，則它的概率越接近0。（5）一個事件的概率取值：0≤P（A）≤1當這個事件為必然事件時，必然事件的概率為1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率為0，即P（不可能事件）＝0隨機事件的概率：如果A為隨機事件，則0＜P（A）＜1（6）可能性與概率的關系事件發生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件發生的可能性越小，則它的概率越接近0．求概率方法：（1）列舉法：通常在一次事件中可能發生的結果比較少時，我們可以把所有可能產生的結果全部列舉出來，并且各種結果出現的可能性相等時使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。（2）列表法：當一次實驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子），并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。（3）列樹形圖法：當一個實驗要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。知識點2頻率與概率1、頻數：在多次試驗中，某個事件出現的次數叫頻數2、頻率：某個事件出現的次數與試驗總次數的比，叫做這個事件出現的頻率3、一般地，在大量重復試驗中，如果事件 A發生的頻率會穩定在某個常數p附近 ，那么，這個常數p就叫作事件A的概率，記為P（A）=P。【題型1用列舉法求概率】【典例1】（2022秋?昌圖縣期末）小紅有三頂帽子，分別為白色、紅色和粉色，有兩條圍巾，分別為白色和紅色．她隨機拿出一頂帽子和一條圍巾戴上，恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率是（）A． B． C． D．【變式11】（2023?海淀區校級四模）不透明的袋子中裝有3個紅球、2個白球，除顏色外小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么兩次都摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．【變式12】（2023?阜新）某中學舉辦“傳承紅色精神，講好阜新故事”演講比賽，共設置“海州礦精神”“三溝精神”“治沙精神”三個主題，每位選手隨機選取一個主題參賽．如果小明和小宇都參加比賽，他們同時選中主題“海州礦精神”的概率是（）A． B． C． D．【變式13】（2023?興寧市二模）桌面上有5本書，2本為數學書，2本為物理書，1本為化學書，小明分2次從桌上抽走2本書，則小明2次抽走的都是數學書的概率為（）A． B． C． D．【典例2】（2023?武侯區校級模擬）為培養學生熱愛美，發現美的藝術素養，我校開展了藝術選修課．學生根據自己的喜好選擇一門藝術項目：A書畫，B攝影，C泥塑，D紙藝．張老師隨機對該校部分學生的選課情況進行調查后，制成了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．根據統計圖表提供的信息，解答下列問題：（1）張老師調查的學生人數是，其中選擇“泥塑”選修課在扇形統計圖中圓心角的度數為；（2）若該校學生共有900人，請估計全校選修“攝影”的學生人數；（3）現有4名學生，其中2人選修書畫，1人選修攝影，1人選修泥塑．張老師要從這4人中任選2人了解情況，請用樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是選修書畫的概率．【變式21】（2023?泗洪縣模擬）一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同．從中任意摸出1個球，取出白球的概率為．（1）布袋里紅球有多少個？（2）先從布袋中摸出1個球后不再放回，再摸出1個球，求兩次摸到的球都是白球的概率．【變式22】（2023?鄧州市二模）“十四五”期間，我國教育的重點工作之一就是要促進學生身心健康全面發展，要抓好中小學生作業、睡眠、手機、讀物、體質管理．其中讀物管理要以推薦目錄為主，某初級中學為了解學生的閱讀情況，從本校學生中隨機抽取50名學生進行調查，并對調查數據進行了整理，繪制了如下統計圖表．平均每周的閱讀時間統計表組別閱讀時間x/min人數①50≤x＜6020②60≤x＜706③70≤x＜80a④80≤x＜9012⑤90≤x＜1004根據以上信息，解答下列問題：（1）上面圖表中a＝，m＝，閱讀時間不低于80分鐘的學生人數占被調查人數的百分比為；（2）通過調查可以看出，多數學生每周閱讀時間少于80分鐘，為了改善這一情況，請你提出兩條合理化建議；（3）學校準備在平均每周閱讀時間x在90≤x＜100范圍的4名學生中（3位女生，1位男生），隨機選2名學生參加讀書經驗交流會，請用列表或畫樹狀圖的方法求選取的2名學生佮好是一男生一女生的概率．【變式23】（2022秋?盤山縣期末）為推廣體育“大課間”活動，我縣某中學決定在學生中開設A：實心球，B：立定跳遠，C：跳繩，D：跑步四種活動項目．為了了解學生對四種項目的喜歡情況，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成如圖的統計圖．請結合圖中的信息解答下列問題：（1）在這次調查中，共調查了名學生；在扇形統計圖中，表示“C：跳繩”的扇形的圓心角為度．（2）補全條形統計圖；（3）若調查到喜歡“立定跳遠”的5名學生中有2名男生，3名女生．現從這5名學生中任意抽取2名學生．請用畫樹狀圖或列表的方法，求出剛好抽到兩名女學生的概率．【題型2用頻率估計概率】【典例3】（2023春?漳州期末）某種麥粒在相同條件下進行發芽試驗，結果如下表所示：試驗的麥粒數n100200500100020005000發芽的粒數m9318847395419064748發芽的頻率0.930.940.9460.9540.9530.9496則任取一粒麥粒，估計它能發芽的概率約為（）（結果精確到0.01）A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96【變式31】（2023?亭湖區校級模擬）歡歡將自己的核酸檢測二維碼打印在面積為900cm2的正方形紙上，如圖所示，為了估計圖中黑色部分的面積，他在紙內隨機擲點，經過大量重復試驗，發現點落入黑色部分的頻率穩定在0.6左右，據此可以估計黑色部分的面積約為（）A．300cm2 B．360cm2 C．450cm2 D．540cm2【變式32】（2023春?清江浦區期末）一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種球共40個（除顏色外其它均相同），小明將盒子里的球攪勻后，從中隨機摸出一個記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上述過程．下表是實驗中的一組統計數據，請估計摸到白球的概率為（精確到0.01）．摸球的次數n10020030050080010003000摸到白球的次數m651261853074916131833摸到白球的頻率0.650.630.6160.6140.6140.6130.611【典例4】（2023?惠水縣一模）在一不透明的箱子里放有m個除顏色外其他完全相同的球，其中只有4個白球，任意摸出一個球記下顏色后，放回袋中，再搖勻，再摸，通過大量重復摸球后發現，摸到白球的頻率穩定在0.25，則m大約是（）A．15 B．16 C．12 D．8【變式41】（2023春?寶安區期末）一個不透明的袋中裝有4個白球，若干個紅球，這些球除顏色外完全相同．通過多次摸球試驗后發現，摸到白球的頻率穩定在0.4附近，則袋中紅球的個數是（）A．2 B．5 C．6 D．10【變式42】（2023?玉州區模擬）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次試驗發現，摸出紅球的頻率穩定在0.6左右，則袋子中紅球的個數最有可能是（）A．6 B．8 C．12 D．15【變式43】（2023春?岱岳區期末）在一個不透明的袋子中放入15個紅球和若干個白球（球除了顏色不同外其余都相同），如果從袋子里摸出一個球記錄下顏色后放回，經過多次重復試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定在0.6，則袋中白球有（）A．5個 B．10個 C．15個 D．25個【典例5】（2023春?渭濱區期末）小明做“用頻率估計概率“的試驗時，根據統計結果，繪制了如圖所示的折線統計圖，則符合這一結果的試驗最有可能的是（）A．任意買一張電影票，座位號是2的倍數的概率 B．拋一個質地均勻的正方體骰子，落下后朝上的面點數是3 C．一副去掉大小王的撲克牌，洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃 D．一個不透明的袋子中有4個白球、1個黑球，它們除了顏色外都相同，從中抽到黑球【變式51】（2023?石家莊模擬）甲、乙兩名同學在一次用頻率去估計概率的實驗中，統計了某一結果出現的頻率繪出的統計圖如圖所示，則符合這一結果的實驗可能是（）A．擲一枚正六面體的骰子，出現1點的概率 B．拋一枚硬幣，出現正面的概率 C．任意寫一個整數，它能被3整除的概率 D．從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到白球的概率【變式52】（2022秋?文登區期末）某小組做“當試驗次數很大時，用頻率估計概率”的試驗時，統計了某一結果出現的頻率，表格如下，則不符合這一結果的試驗最有可能是（）次數2004006008001000頻率0.210.290.300.320.33A．三張撲克牌，牌面分別是5，7，8，背面朝上洗勻后，隨機抽出一張牌面是5 B．擲一枚質地均勻的骰子，向上的面的點數為3的倍數 C．在玩石頭、剪刀、布的游戲中，小明隨機出的是剪刀 D．擲一枚一元的硬幣，正面朝上1．（2023春?廣饒縣期末）下列敘述不正確的是（）A．某種彩票中獎的概率為1%，那么買100張這種彩票一定會中獎 B．擲一枚骰子，向上的一面出現的點數為4是隨機事件 C．某興趣小組14位同學中至少兩人的生日在同一月份是必然事件 D．在相同條件下，試驗的次數足夠大時，某一隨機事件發生的頻率會穩定于某一數值2．（2023?濟南）從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機抽取2名同學參加圖書節志愿服務活動，其中甲同學是女生，乙、丙、丁同學都是男生，被抽到的2名同學都是男生的概率為（）A． B． C． D．3．（2023?德陽）在6，7，8，9四個數字中任意選取兩個數字，則這兩個數字之和為奇數的概率是（）A． B． C． D．4．（2023?恩施州）縣林業部門考察銀杏樹苗在一定條件下移植的成活率，所統計的銀杏樹苗移植成活的相關數據如下表所示：移植的棵數a1003006001000700015000成活的棵數b84279505847633713581成活的頻率0.840.930.8420.8470.9050.905根據表中的信息，估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.85．（2023?威海）一個不透明的袋子中裝有2個紅球、3個黃球，每個球除顏色外都相同．曉君同學從袋中任意摸出1個球（不放回）后，曉靜同學再從袋中任意摸出1個球．兩人都摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．6．（2023?湖北）有四張背面完全相同的卡片，正面分別畫了等腰三角形，平行四邊形，正五邊形，圓，現將卡片背面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片上的圖形后（不放回），再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的圖形都是中心對稱圖形的概率為．7．（2023?南通）有同型號的A，B兩把鎖和同型號的a，b，c三把鑰匙，其中a鑰匙只能打開A鎖，b鑰匙只能打開B鎖，c鑰匙不能打開這兩把鎖．（1）從三把鑰匙中隨機取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于；（2）從兩把鎖中隨機取出一把鎖，從三把鑰匙中隨機取出一把鑰匙，求取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的概率．8．（2023?賽罕區二模）據中國載人航天工程辦公室消息，“天宮課堂”第二課于2022年3月23日15時40分在中國空間站開講，神舟十三號乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富將相互配合進行授課，這也是中國航天員第三次進行太空授課，屆時，航天員將在軌演示太空“冰雪”實驗、液橋演示實驗，水油分離實驗、太空拋物實驗．某中學為了解學生對“航空航天知識”的掌握情況，從初一年級800人隨機抽取50名學生進行測試，并對成績（百分制）進行整理，信息如下：（Ⅰ）成績頻數分布表：成績x（分）50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100頻數4a14b4?（Ⅱ）成績在70≤x＜80這一組的是（單位：分）：7070717272747777787878797979根據以上信息，回答下列問題：（1）表中a＝，b＝．在這次試中，成績的中位數是分，成績不低于80分的人數占測試人數的百分比為．（2）這次測試成績的平均數是76.6分，甲的測試成績是77分．乙說：“甲的成績高于平均數，所以甲的成績高于一半學生的成績．”你認為乙的說法正確嗎？請說明理由．（3）在90≤x＜100之間的四名同學有兩位男生和兩位女生，學校打算選派一位男生和一位女生參加市里舉辦的“航空航天知識”，請求出選中一男一女的概率．1．（2023?東港區校級三模）為做好疫情防控工作，在學校門口放置了A，B，C三條體溫檢測通道，某日入校張老師與王同學走相同通道的概率為（）A． B． C． D．2．（2022?天橋區二模）小明和小穎做“剪刀、石頭、布”的游戲，假設他們每次出這三種手勢的可能性相同，則在一次游戲中兩人手勢相同的概率是（）A． B． C． D．3．（2023?羅山縣三模）如圖所示的一個轉盤，盤面被等分成四個扇形區域，并分別標有數字﹣1，0，π，若轉動轉盤兩次，每次轉盤停止后記錄指針所指區域的數字（當指針恰好指在分界．線上時，不記錄且重新轉動），則兩次記錄的數字都是有理數的概率是（）A． B． C． D．4．（2022秋?新撫區期末）在一個不透明的口袋中，裝有若干個除顏色不同其余都相同的球，如果口袋中裝有4個黑球和若干個紅球且摸到黑球的概率為，那么口袋中紅球的個數為（）A．12個 B．9個 C．6個 D．8個5．（2023?小店區校級模擬）如圖所示，電路圖上有3個開關S1，S2，S3和2個小燈泡L1，L2，同時閉合開關S1，S2，S3可以使小燈泡L1，L2發光．對于“小燈泡發光”這個事件，下列結論錯誤的是（）A．閉合開關S1，S2，S3中的1個，燈泡L1發光是不可能事件 B．閉合開關S1，S2，S3中的2個，燈泡L2發光是隨機事件 C．閉合開關S1，S2，S3中的2個，燈泡L1發光是必然事件 D．閉合開關S1，S2，S3中的2個，燈泡L1、L2發光的概率相同6．（2023?興寧市校級一模）用圖中兩個可自由轉動的轉盤做“配紫色”游戲；分別旋轉兩個轉盤，若其中一個轉出紅色，另一個轉出藍色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A． B． C． D．7．（2023?安徽）如果一個三位數中任意兩個相鄰數字之差的絕對值不超過1，則稱該三位數為“平穩數”．用1，2，3這三個數字隨機組成一個無重復數字的三位數，恰好是“平穩數”的概率為（）A． B． C． D．8．（2023?合肥三模）從2、3、5、8四個數中隨機選擇兩個數，其和為奇數的概率是（）A． B． C． D．10．（2023?福田區模擬）從5張上面分別寫著“加”“油”“向”“未”“來”這5個字的卡片（大小、形狀完全相同）中隨機抽取兩張，則這兩張卡片上面恰好寫著“加”“油”兩個字的概率是（）A． B． C． D．11．（2022秋?南華縣期末）一個不透明的袋子里裝有黃、白、紅三種顏色的球，搖勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記錄顏色后放回袋中，通過大量試驗后，發現摸到黃球的頻率穩定在0.5附近，則隨機從袋中摸出一個球，摸到黃球的概率約為（）A． B． C． D．12．（2023?鄲城縣三模）張亮、王明兩名同學參加課外社團，運動類的有籃球、足球和乒乓球三種社團可供選擇，若每人只能選擇參加一種運動類的社團，則兩人恰好選中同個社團的概率是．13．（2023春?定邊縣校級期末）在一個不透明的布袋中，黑色和白色的玻璃球共有40個，除顏色外其他完全相同．小明通過多次摸球試驗后發現其中摸到白色球頻率穩定在40%左右，則口袋中白色球的個數可能是．14．（2023春?尉氏縣月考）某玩具廠對一批毛絨玩具進行抽檢的結果如下：抽取的毛絨玩具數n2050100200500100015002000優等品數m19479118446292113791846優等品的頻率0.9500.9400.9100.9200.9240.9210.9190.923從這批毛絨玩具中，任意抽取的一個優等品的概率約是．（精確到0.01）15．（2023?錦州二模）一個不透明的口袋中裝有10個紅球和若干個黃球，這些球除顏色外都相同，九年二班數學興趣小組進行了如下試驗：從口袋中隨機摸出1個球記下它的顏色后，放回搖勻，記為一次摸球試驗，經過大量試驗發現摸到紅球的頻率穩定在0.4附近，則口袋中黃球大約有個．16．（2023?明水縣模擬）在一個不透明的布袋中裝有紅球、白球共50個，這些球除顏色外都相同．小明從中隨機摸出一個球記下顏色并放回，通過大量重復試驗，發現摸到紅球的頻率穩定在0.7，則布袋中紅球的個數大約是．17．（2023春?鹽都區月考）某植物種子在相同的條件下發芽試驗的結果如下：每批粒數501003004005001000發芽的頻數4596283380474948則該植物種子發芽的概率的估計值是．（結果精確到0.01）18．（2023?膠州市二模）某工廠生產電子芯片，質檢部門對同一批產品進行隨機抽樣檢測，檢測結果統計如