期中復習（講義）知識梳理弧度制、任意角角度制：圓周角的為1度的角，這種用度做單位來度量角的單位制叫做角度制．弧度制：我們把弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用弧度做單位來度量角的單位制叫做弧度制．它的單位符號是，讀作弧度．角度制與弧度制的換算:【不必強記公式，只要牢牢把握的關系即可?！浚?）；（2）；（3）扇形弧長公式，扇形面積公式：．在直角坐標系中，使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角（或說這個角屬于第幾象限）；角的終邊落在坐標軸上時，且不屬于任何象限，我們稱它為軸線角．終邊相同的角：兩個角的始邊重合，終邊也重合時，稱這兩個角為終邊相同的角，與角終邊相同的角的集合可記為．注意：終邊相同的角不一定相等，它們之間相差360°的整數倍．相等的角終邊一定相同．任意角的三角比可以用其終邊上的點的坐標來定義．設P是角終邊上任意一點（點P不能是角的頂點），它的坐標為，則P到坐標原點O的距離，定義正弦，余弦，正切，余切，正割，余割．當時，無意義；當時，無意義．三角函數的符號：同角三角函數和誘導公式1. 同角三角函數的三個關系：（1）倒數關系：；；；（2）商數關系：；；（3）平方關系：；；.【在的兩邊同除，得；在的兩邊同除，得；】2. 這些關系式還可以如圖樣加強形象記憶：（1）對角線上兩個函數的乘積為1(倒數關系)。（2）任一角的函數等于與其相鄰的兩個函數的積(商數關系)。（3）陰影部分，頂角兩個函數的平方和等于底角函數的平方(平方關系)。注意：“同角”的概念與角的表達形式無關，如：，。2）上述關系（公式）都必須在定義域允許的范圍內成立。3）由一個角的任一三角函數值可求出這個角的其余各三角函數值，且因為利用“平方關系”公式，最終需求平方根，會出現兩解，因此應盡可能少用，若使用時，要注意討論符號。3. 誘導公式第一組：；；；.第二組：；；；.第三組：；；；.第四組：；；；.第五組：；；；.第六組：；；；.4. 記憶技巧：奇變偶不變，符號看象限兩角和差的正余弦、正切公式及二倍角公式1. 兩角和差展開公式 2. 二倍角公式 降冪公式：，，。萬能公式 ，，正余弦定理1、正弦定理：（1）中：(為的外接圓的半徑)已知邊邊角或角角邊，一般用正弦定理。(2)推論：正余弦定理的邊角互換功能①，，②，，③==④2、余弦定理：3、三角形面積公式：（1）==（2）=（3）六、三角函數1.熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數的性質及圖形特點：三角函數定義域值域奇偶性奇函數偶函數奇函數周期性單調性在上遞增在上遞減在上遞增在上遞減遞增最值時，最大值1時，最小值時，最大值1時，最小值無最大值無最小值圖像2.周期函數的定義：對于函數，如果存在非零常數，使對于中讓每一個都成立，那么是周期函數，是它的一個周期.3.函數最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；對稱軸是直線，凡是該圖像與直線的交點都是該圖像的對稱中心.4.“五點法”作圖法在精度要求不高的情況下，利用這5個點畫出函數的簡圖，一般把這種畫圖方法叫“五點法”.例題解析一、三角例1．（2020·上海高一課時練習）在中，，則C等于（）A．45° B．135° C．45°或135° D．以上結論都不對例2．（2020·上海高一課時練習）對于集合和常數，定義：為集合相對的“余弦方差”．集合相對任何常數的“余弦方差”是一個常數，這個常數是___________．例3．（2020·上海高一課時練習）在中，，則__________．例4．（2020·上海高一課時練習）如圖是的小正方格，則__________．例5．（2020·上海高一課時練習）若，則_________．例6．（2020·上海高一課時練習）若則_________．例7．（2020·上海高一課時練習）如果，那么_______．例8．（2020·上海高一課時練習）若角的終邊上一點，則_________．例9．（2020·上海高一課時練習）將化為（其中）的形式為_________________．例10．（2020·上海高一課時練習）若是同一個象限的角，，則________．例11．（2021·上海高一課時練習）終邊在第二、四象限角平分線上的角的集合：______________．例12．（2021·上海高一）已知：，，求證：．例13．（2021·上海高一）已知，求下列各式的值.（1）；（2）.例14．（2020·上海）已知為銳角，試用三角函數線證明.例15．（2020·上海）已知為銳角，求證：.例16．（2021·上海高一）已知，且，求的值.例17．（2019·上海市金山中學高一月考）已知△中，，，.求：（1）角的大??；（2）△ABC中最小邊的邊長.例18．（2021·上海高一專題練習）已知，，，求：、.（2021·上海高一）已知，且例20．（2021·上海高一專題練習）證明：（1）求證：（2）在中，，求證：例21．（2021·上海高一）設的內角的對邊長分別為，且（1）求證：；（2）若，求角的大小.例22.在中，下列結論：①若，則此三角形為鈍角三角形；②若，則此三角形為等腰三角形；③若，則；④，其中正確的個數為 ．例23.在銳角中，角、、對應的邊分別為、、，若，則的值是 ．例24.如圖，，是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現位于點北偏東，點北偏西的點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于點南偏西且與點相距海里的點的救援船立即前往營救，其航行速度為海里/小時，該救援船到達點需要多長時間？【鞏固訓練】1、若是第二象限角，那么和都不是（ ）．第一象限角．第二象限角．第三象限角 ．第四象限角2、下列關系式中正確的是（ ） ． ． ． ．3、已知，則（ ） ． ． ． ．4、記，那么（ ） ． ． ． ．5、已知，則（ ）、已知，則（ ）7．若，，則的取值范圍是（ ） ．．．．8、在中，，則中最大角9.在中，若，則=10.中，分別為的對邊，，則_____11、設的內角所對的邊分別為，若，則的形狀為（） A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定12、三條直線兩兩平行、、，到的距離為1，到的距離為2，等邊三角形三個頂點分別在這三條直線上，則該三角形的面積為。13、某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱AB與地面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線與平面ABC的部分截面如圖中陰影部分所示．已知，路寬米．設（1）求燈柱AB的高（用表示）；（2）此公司應該如何設置的值才能使制造路燈燈柱AB與燈桿BC所用材料的總長度最小？最小值為多少？（第（第2題圖）ABCD二、三角函數例1．（2020·上海高一課時練習）若在內有兩個相異的實數根，則實數a的取值范圍是____________.例2．（2020·上海高一課時練習）在同一平面直角坐標系中，函數的圖象和直線的交點個數是________.例3.已知函數，（其中,,）的周期為，且圖像上一個最低點為，則=_____．例4.為了得到函數的圖像，只需把函數的圖像上所有的點（）(A)向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）(B)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）(C)向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）(D)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）例5.已知函數，．（1）設是函數圖象的一條對稱軸，求的值．（2）求函數的單調遞增區(qū)間．例6.函數的圖象為C,如下結論中正確的是(寫出所有正確結論的編號).①圖象C關于直線對稱;②圖象C關于點對稱;③函數)內是增函數;④由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.例7.函數，對任意實數在區(qū)間上取到的次數不少于4次且不多于8次，則的值為.例8.（2020·上海高一課時練習）已知函數為偶函數，且函數圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.（1）求的值；（2）將函數的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，求的單調遞減區(qū)間.【鞏固訓練】1．如圖，函數（其中）的圖像與軸交于點．（1）求的值；（2）設是圖像上的最高點，是圖像上與軸的交點，求．2．函數（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖像，則只要將的圖像（）（A）向右平移個單位長度（B）向右平移個單位長度（C）向左平移個單位長度（D）向左平移個單位長度3．設函數圖像的一條對稱軸是直線。（1）求；（2）求函數的單調增區(qū)間；（3）畫出函數在區(qū)間上的圖像。4．已知函數，（1）求的最小正周期及取得最大值時的集合；（2）求證：函數的圖像關于直線對稱．5．為了使y=sinωx（ω＞0）在區(qū)間［0，1］上至少出現50次最大值，則ω的最小值是．6．求函數的最小值．反思總結1.同角三角函數:

① 特別注意題干中的角的關系與角的范圍；

② 熟記基本關系與誘導公式的口訣；其中誘導公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”的含義如下:誘導公式的左邊為的正弦(正切)或余弦余切的三角比，當k為奇數時，右邊的三角比名稱正余互換；當k為偶數時，右邊的三角比名稱不改變；將視為銳角，后分析角所處象限，隨后判斷公式左邊的三角比在該象限的符號是正是負，將其作為公式右邊的符號.2. 兩角和差及倍角公式： ① 三角函數式化簡:

⑴ 發(fā)現差異:觀察角、函數運算間的差異(如角的關系、角的范圍)，即差異分析；

⑵ 尋找聯系:運用相關公式，找出差異之間的內在聯系；

⑶ 合理轉化:選擇恰當的公式，促使差異的轉化； ② 化簡目標:項數最少、函數種類最少、分母中不含有三角函數，能求值的盡可能求值；

一般方法:⑴角的變換:拆角、拼角；⑵名的變換:化弦或化切；

⑶次數的變換:升、降冪公式；⑷形的變換:同一函數形式，注意運用代數運算； ③ 求值、化簡、證明的一般思路:

⑴切割化弦；⑵遇多元，想消元；⑶遇差異，想聯系； ⑷遇高次，想降次； ⑸遇特角，想求值；⑹想消元，引輔角.3. 易錯、易漏點:

① 特別注意正切公式成立時角滿足的條件；注意三角公式中角的范圍、三角比的符號；注意倍角公式的相對性；

② 半角公式中的號，應根據角所在的象限判斷；

③ 注意三角公式中基本公式(包括拓展中的積化和差與和差化積公式)均源于兩角和差的余弦、正弦公式推導出，應當特別重視；對于公式，應掌握正用、逆用、變形使用.4. 三角函數主要方法:

① 求三角函數的定義域、值域、單調區(qū)間、最值、周期等的問題中通常都要先把表達式化簡，盡量使表達式成為關于一個角的一個函數名的一次表達式，同時一定要注意變形時x的取值范圍不能發(fā)生變化；

② 對于具有周期性的函數，應先求出周期，作圖像時只要作