2024屆新高三開學摸底考試卷（全國通用）文科數學本試卷共22題（含選考題）.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前,考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目1．已知集合,,則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得.故選C.2．復數在復平面上對應的點位于虛軸上,則實數a的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】,因為復數z對應點在虛軸上,所以,解得.故選B.3．已知2022年第1季度農村居民人均消費支出為4391元,為本季度農村居民人均可支配收入的76%,本季度農村居民人均可支配收入的來源及其占比的統計數據的餅狀圖如圖所示,根據餅狀圖,則下列結論正確的是（

）A．財產凈收入占農村居民人均可支配收入的4%B．工資性收入占農村居民人均可支配收入的40%C．經營凈收入比轉移凈收入大約多659元D．財產凈收入約為173元【答案】D【解析】由題知,農村居民人均可支配收入為,工資性收入占農村居民人均可支配收入的,財產凈收入占農村居民人均可支配收入的百分比為,故錯、B錯；經營凈收入與轉移凈收入差為元,故錯誤；財產凈收入為元,故D正確.故選D.4．平行四邊形中,點在邊上,,記,則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在中,,,所以.故選D5．記為等差數列的前n項和,已知,,則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設公差為,則,,,所以時,取得最小值．故選A．6．某個函數的大致圖象如圖所示,則該函數可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】4個選項函數定義域均為R,設該函數為,對于A,,故為奇函數,且,對于B,故為奇函數,,對于C,,故為偶函數,對于D,故為奇函數,,由圖知函數為奇函數,故排除C；由,排除A,由,排除D,故選B．7.已知函數,則的圖象在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為,所以,則,所以的圖象在處的切線方程為,即.故選B.8．在2023年3月12日馬來西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中,來自中國的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績打破了“解三階魔方平均用時最短”吉尼斯世界紀錄稱號.如圖,一個三階魔方由27個單位正方體組成,把魔方的中間一層轉動了之后,表面積增加了（

）

A．54 B． C． D．【答案】C【解析】如圖,轉動了后,此時魔方相對原來魔方多出了16個小三角形的面積,顯然小三角形為等腰直角三角形,設直角邊,則斜邊為,則有,得到,由幾何關系得：陰影部分的面積為,所以增加的面積為.故選C.

9．設是橢圓的上頂點,是上的一個動點．當運動到下頂點時,取得最大值,則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設,,因為,,所以,,由題意知當時,取得最大值,所以,可得,即,則．故選B．10．瑞士著名數學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上,這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作,,點,點,且其“歐拉線”與圓相切.則圓上的點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．6【答案】A【解析】點D為BC中點,在中,,所以邊上的高線、垂直平分線和中線合一,則的“歐拉線”為,因為點,點,所以,因為直線的斜率為,所以AD斜率為,方程為,即,因為“歐拉線”與圓相切所以圓心到“歐拉線”的距離為,圓心到直線的距離為,所以圓上的點到直線的距離的最小值為,故選A.11.已知直四棱柱的底面為正方形,,為的中點,過三點作平面,則該四棱柱的外接球被平面截得的截面圓的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知直四棱柱的外接球的半徑,如圖,取的中點,連接,易知四邊形為矩形,且平面即為平面,分別取的中點,連接,則易得四邊形為正方形,由四棱柱的對稱性可知,其外接球的球心即為正方形的中心,取的中點,連接,則平面,平面,所以平面,故球心到平面的距離與到平面的距離相等,過點作,垂足為,易知面,面,故,又平面,所以平面,又,所以球心到平面的距離為,由球的性質知,截面圓的半徑,所以截面圓的周長為.故選D.12．已知函數與的定義域均為,為偶函數,且,,則下面判斷錯誤的是(

)A．的圖象關于點中心對稱B．與均為周期為4的周期函數C．D．【答案】C【解析】因為為偶函數,所以①,所以的圖象關于直線軸對稱,因為等價于②,又③,②+③得④,即,即,所以,故的周期為4,又,所以的周期也為4,故選項B正確,①代入④得,故的圖象關于點中心對稱,且,故選項正確,由,可得,且,故,故,因為與值不確定,故選項錯誤,因為,所以,所以,故,故,所以選項D正確,故選.填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分.13．若x,y滿足約束條件,則的最大值為________．【答案】【解析】如圖,畫出可行域,表示斜率為的一組平行線,當時,首先畫出初始目標函數,當平移至點時,z取得最大值,聯立,得,,即,即.14．已知是公比為)的等比數列,且成等差數列,則__________．【答案】1【解析】在等比數列中,成等差數列,則,即,而,整理得,因為,故解得.15．已知,若在上恰有兩個不相等的實數、滿足,則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為,所以,因為在上恰有兩個不相等的實數、滿足,且,所以,函數在上恰有兩個最大值點,所以,,解得,因此,實數的取值范圍是.16．已知拋物線的焦點為F,點在拋物線上,且滿足,設弦的中點M到y軸的距離為d,則的最小值為__________．【答案】1【解析】由拋物線可得準線方程為,設,由余弦定理可得,由拋物線定義可得P到準線的距離等于,Q到準線的距離等于,M為的中點,由梯形的中位線定理可得M到準線的距離為,則弦的中點M到y軸的距離,故,又,則,當且僅當時,等號成立,所以的最小值為1.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17．（12分）．如圖,在四棱錐中,底面ABCD是邊長為2的菱形,,AC與BD交于點O,底面ABCD,,點E,F分別是棱PA,PB的中點,連接OE,OF,EF．(1)求證：平面平面PCD；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）因為底面ABCD是菱形,AC與BD交于點O所以O為AC中點,點E是棱PA的中點,F是棱PB的中點,所以OE為三角形的中位線,OF為三角形的中位線,所以,,平面,平面,平面,平面,平面,平面,而,平面,平面,平面平面PCD.（2）因為底面ABCD是邊長為2的菱形,,所以為等邊三角形,所以,因為底面ABCD,底面ABCD,底面ABCD,所以,,所以和均為直角三角形,所以,,所以,所以,所以,設點到平面的距離為,根據體積相等法可知,所以,所以.,故三棱錐的體積為.18.（12分）為了檢查工廠生產的某產品的質量指標,隨機抽取了部分產品進行檢測,所得數據統計如下圖所示．

(1)求的值以及這批產品質量指標的平均值；(2)若按照分層的方法從質量指標值在的產品中隨機抽取7件,再從這7件中隨機抽取2件,求至少有一件的指標值在的概率；(3)為了調查兩個機器與其生產的產品質量是否具有相關性,以便提高產品的生產效率,質檢人員選取了部分被抽查的產品進行了統計,所得數據如下表所示,判斷是否有99.9%的把握認為機器類型與生產的產品質量具有相關性．機器生產機器生產優質品20080合格品12080附：0.0500.0100.0013.8116.63510.828．【解析】（1）由題圖可知,,解得,質量指標的平均值．（2）依題意,質量指標值在的有4件,記為1、2、3、4,質量指標值在的有3件,記為,則隨機抽取2件,所有的情況為,,共21件,其中滿足條件的為,,共15件,故所求概率．（3）完善表格如下：A機器生產B機器生產總計優質品20080280合格品12080200總計320160480在本次試驗中,的觀測值,故沒有99.9%的把握認為機器類型與生產的產品質量具有相關性．19.（12分）在中,,點在邊上,且,.(1)求；(2)求的面積.【解析】（1）

由題意知,.設,所以.在中,,所以,從而.（2）設,在中,,在中,,所以.在中,由,得,所以,從而的面積為.20.（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為,,A是的左頂點,的離心率為2．設過的直線交的右支于、兩點,其中在第一象限．

(1)求的標準方程；(2)若直線、分別交直線于、兩點,證明：為定值；(3)是否存在常數,使得恒成立？若存在,求出的值；否則,說明理由．【解析】（1）由題可得,故可得,則,故的標準方程為.（2）由（1）中所求可得點A,的坐標分別為,又雙曲線漸近線為,顯然直線的斜率不為零,故設其方程為,,聯立雙曲線方程可得：,設點的坐標分別為,則,,；又直線方程為：,令,則,故點的坐標為；直線方程為：,令,則,故點的坐標為；則故為定值.（3）當直線斜率不存在時,對曲線,令,解得,故點的坐標為,此時,在三角形中,,故可得,則存在常數,使得成立；當直線斜率存在時,不妨設點的坐標為,,直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,則,,假設存在常數,使得成立,即,則一定有,也即；又；；又點的坐標滿足,則,故；故假設成立,存在實數常數,使得成立；綜上所述,存在常數,使得恒成立.21.（12分）設函數.(1)從下面兩個條件中選擇一個,求實數的取值范圍；①當時,；②在上單調遞增.(2)當時,證明：函數有兩個極值點,且隨著的增大而增大.【解析】（1）令,則,所以,則,令,則,選①：當時,因為時,,所以在上單調遞增,又,所以當時,,說明在上單調遞增,所以,符合題意；當時,,當時,,所以在上單調遞減,又,所以當時,,說明在上單調遞減,所以當時,,此時不符合題意；綜上,實數的取值范圍.選②：在上單調遞增,所以在上恒成立,當時,,所以在上遞增,又,所以當時,,所以在上單調遞減,不符合題意；當時,當時,,所以在上單調遞減,當時,,所以在上單調遞增,從而,由在上恒成立,得,令,說明在單調遞增,在單調遞減,所以,當且僅當時取得等號,故.綜上,實數的取值范圍.（2）當時,當時,在上單調遞減,又,當時,,說明在上單調遞增,當時,,說明在上單調遞減,所以為極大值點.由（1）有,則,所以當時,有,所以當時,,所以使得.當時,,當時,,所以為極小值點,綜上,函數有兩個極值點；其中滿足,所以,設,則,由（1）知,所以單調遞增,所以隨著的增大而增大,又,所以,故隨著的增大而增大.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.22．[選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）在直角坐標系xOy中,曲線的方程為．曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求曲線和曲線的極坐標方程；(2)若射線（,）交曲線于點P,直線與曲線和曲線分別交于點M、N,且點P、M、N均異于點O,求面積的最大值．【解析】（1）把,代入,得