第7講函數的奇偶性期末大總結目錄速覽第一部分：必會知識結構導圖第二部分：考點梳理知識方法技巧大總結第三部分：必會技能常考題型及思想方法大歸納必會題型一：函數奇偶性的定義與判斷必會題型二：利用奇偶性求值及范圍必會題型三：由奇偶性求函數解析式必會題型四：抽象函數的奇偶性必會題型五：奇偶性與單調性綜合第一部分：知識結構導圖速看第二部分：考點梳理知識方法技巧大總結1．函數的奇偶性(1)奇函數：圖像關于原點對稱的函數叫奇函數，f(x)為奇函數?f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＋f(x)＝0]；(2)偶函數：圖像關于y軸對稱的函數叫偶函數，f(x)為偶函數?f(－x)＝f(x)[或f(－x)－(x)＝0]．2．函數對稱性(1)若函數y＝f(x)對x∈R滿足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)則函數關于直線x＝a對稱；注意：若對x∈R滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱[注x＝eq\f((a＋x)＋(b－x),2)＝eq\f(a＋b,2)]．(2)若函數y＝f(x)對x∈R滿足f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)則函數關于點(a，0)對稱；注意：若對x∈R滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則函數關于點(eq\f(a＋b,2)，0)對稱[注x＝eq\f((a＋x)＋(b－x),2)＝eq\f(a＋b,2)]．3．奇偶性的判斷方法(1)定義法：函數的定義域關于原點對稱的情況下滿足f(－x)＝±f(x)或f(－x)±f(x)＝0或eq\f(f(－x),f(x))＝±1(f(x)≠0)之一函數有奇偶性．(2)圖像法：函數圖象關于原點(y軸)?函數為奇(偶)函數(3)分析法：定義域關于原點對稱時，奇×偶＝奇；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；(4)復合函數F(x)＝f[g(x)]的奇偶性(有偶則偶，無偶為奇)：①若g(x)為偶函數，f(x)為偶函數，則F(x)為偶函數；②若g(x)為奇函數，f(x)為奇函數，則F(x)為奇函數；③若g(x)為奇函數，f(x)為偶函數，則F(x)為偶函數；④若g(x)為偶函數，f(x)為奇函數，則F(x)為偶函數．[名師點睛]分段函數的奇偶性可根據定義分區間討論也可根據函數圖象的對稱性加以判斷．4．函數奇偶性的特性(1)定義域含零的奇函數，必過原點[即f(0)＝0]；(2)若f(x)是偶函數，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)；(3)奇函數在y軸兩側相對稱的區間單調性相同，偶函數在y軸兩側相對稱的區間單調性相反；(4)在原點對稱的區間內，奇函數的最大值M與最小值N之和為零．第三部分：必會技能?？碱}型及思想方法大歸納必會題型一：函數奇偶性的定義與判斷1．(2022·北京·北二外附屬中學高一期中)下列函數中，既是偶函數又在0，+∞上單調遞增的是A．y=log2xC．y=-x2+1【答案】B【分析】根據函數的單調性、奇偶性確定正確答案．【解析】y=log2x的定義域是0，+y=x+1是偶函數，且在0，y=-x2+1是偶函數，在0y=1x是偶函數，在0，故選：B2．(2022·廣東·福田外國語高中高一期中)下列函數是偶函數且在0，+∞上單調遞增的函數是(A．fx=x2-x B．f【答案】C【分析】分析選項的奇偶性和在0，【解析】對于A，fx=xfx=x2-x=對于B，fx=2f-x=2-x-對于C，fx=2fx=2對于D，fx=x當x>0時，fx為減函數，故D故選：C．3．(2022·浙江·鎮海中學高一期中)下列判斷正確的是(

)A．函數fx=1既是奇函數又是偶函數 B．函數C．函數fx=1+x1-x1+x【答案】D【分析】根據奇偶性的定義和性質，逐項判斷即可．【解析】對于A，x∈R，所以f-x=1=fx≠-f對于B，函數fx=xx所以f-x=-xx2-1對于C，函數fx=1+x1-x1+x定義域滿足1-x1+x≥0?-1<x≤1，定義域對于D，函數fx=1所以f-x=12-x故選：D．4．已知函數f(x(1)若函數g(x)(2)當a＝2時，先用定義法證明函數f((3)若對任意x∈(2，3)，都有2x[答案](1)g(x)為奇函數，證明見解析；(2)[分析](1)由奇偶函數定義即可證明；(2)任取x1，x2∈[1(3)參變分離得a<x+[詳解](1)因為g(定義域為(-∞，且g(-x)＝(2)當a＝2時，任取x1，有fx因為x1所以fx1-所以函數f(x)在(3)x∈(2，3)根據對勾函數性質，h(x)＝x+1x+32在必會題型二：利用奇偶性求值及范圍1．定義在R上的偶函數fx，滿足f12=0，且在0，+A．x0<x<12或-12C．x0<x<12或x<-12【答案】D【分析】由條件結合偶函數的性質求f-12，判斷函數在區間-【解析】因為函數fx是偶函數，在0，+所以f-12當x>12或x<-12時，fx又當x>0，xfx<0可化為fx當x<0時，不等式xfx<0可化為fx所以不等式xfx<0的解集為x-故選：D．2．(2022·吉林·四平市第一高級中學高三階段練習)已知函數fx是定義在R上的奇函數，若當x∈-∞,0時，fx=x2A．-∞,0 B．0,+∞ C．-【答案】D【分析】首先根據奇函數的性質，求出m的值，再結合解析式，判斷出單調性，然后利用奇偶性以及單調性即可求解．【解析】因為fx是定義在R上的奇函數，則必有f(0)=0，代入fx=又因為當x∈-∞,0時，y=x2、y=3-x均為減函數，則fx=x2+3-x-1f(x)在R上為減函數，則有x-1>1，解得x>2，即x∈2,+故選：D3．(2022·江蘇·常州田家炳高中高一期中)已知fx=ax4+a+b+2【答案】0【分析】根據偶函數的定義域對稱，fx=f-x，即可列方程求解a,b【解析】已知fx=ax4且x∈R，所以f-x=ax4-a+b+2x+b=fx故答案為：0．4．(2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學高一期中)已知函數f(x)=ax+b1+x2是定義在(1)求fx(2)判斷函數fx在-1【答案】(1)f(x)=(2)fx在-1【分析】(1)根據奇函數的性質，結合代入法進行求解即可；(2)根據單調性的定義進行判斷證明即可．【解析】(1)根據題意，f(x)=ax+b1+x則有a(-x)+b1+(-x)2=-ax+b1+x2∵f1=1，∴a1+1=a2=1，解可得(2)fx在-1，1則fx∵-1≤x1<x2≤1，則有1+x則有fx1-fx2<0，即f必會題型三：由奇偶性求函數解析式1．(2022·甘肅·玉門油田第一中學高一期中)已知定義在-∞，0∪0，+∞上的奇函數fx，當x>0時，A．-x2+x+1 B．-x2+x-1【答案】A【分析】根據x<0，則-x>0，由條件可求出f(-x)的解析式，再利用奇函數的性質可求出f(x)的解析式【解析】當x<0時，-x>0，則f-x又因為fx是定義在-所以fx故選：A2．(2020·河南·鶴壁市鶴山區高級中學高一階段練習)若定義在R上的偶函數fx和奇函數gx滿足fx-2gxA．11 B．6 C．10 D．12【答案】A【分析】利用函數的奇偶性得到關于函數fx和gx的另一個式子，將所得式子和已知式子相加可得函數fx【解析】因為fx-2g因為fx是R上的偶函數，gx是所以f-x＝f所以f-x-2g所以2fx＝4x故選：A．3．(2022·黑龍江·虎林市高級中學高一期中)已知定義在m-5，1-2m上的奇函數fx，當x≥0時，fx=【答案】-8【分析】根據定義域的對稱性，求得m=-4，再結合函數的奇偶性和題設條件，得到f(-4)=-f(4)，即可求解．【解析】由題意，定義在[m-5,1-2m]上的奇函數f(x)可得m-5=-(1-2m)，解得m=-4又由當x≥0時，f(x)=x所以f(-4)=-f(4)=-4故答案為：-8．4．(2022·上海·復旦附中高一期中)函數y＝fx是定義在R上的奇函數，且fx＝x2【答案】f【分析】根據奇函數的定義f-x【解析】∵函數y＝fx是定義在R上的奇函數，?x<0，-x>0又f-x＝∴fx＝-f-x＝∴fx＝-f故答案為：fx必會題型四：抽象函數的奇偶性1．[多選](2022·江蘇省響水中學高一期中)定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，當x<0時，f(x)>0，則函數f(x)滿足(

)A．f(0)=0 B．y=f(x)是奇函數C．f(x)在[m，n]上有最大值f(n) D．f(x-1)>0【答案】AB【分析】由抽象函數滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0可得f(0)，利用奇偶性，單調性的定義可推導函數的奇偶性和單調性，可求函數在區間m，n上的最大值，利用單調性解不等式【解析】因為定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得f(0)=2f(0)，即f(0)=0，A令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，函數為奇函數，B正確，設?x1<x2由題，f(x1)=f(所以f(x1)>f(x2)，函數不等式f(x-1)>0可化為f(x-1)>f(0)，由f(x)在R上單調遞減，所以x-1<0，即x<1，不等式解集為-∞，1故選：AB．2．(2022·海南·海口中學高一期中)已知函數fx的定義域為R，且滿足：fx+fy=2fx+y2fA．f3=1 BC．fx為偶函數 D．f【答案】C【分析】利用賦值法令x=3,y=1，求得f3=-1，判斷A;令x=y=1，可求得f(0)=1，繼而求出f12=0，判斷B;令y=-x,可推得f-x=f【解析】令x=3,y=1，則f3+f1則f3=-1，令x=y=1，則2f令x=1,y=0，則f1+f0則f12=0令y=-x，則fx+f-x故f-x=fx，f令x=1,y=-1，則f1+f-1由于f-1≠-f(1)，故fx故選：C．3．[多選](2022·浙江臺州·模擬預測)已知定義在R上的函數fx，滿足：?x，y∈R，fx+y=fxA．函數fx一定為B．函數fxC．當x>0時，fx>1，則fxD．當x<0時，fx<1，則fx【答案】BC【分析】對于AB：令x=y=0，結合奇偶性的定義即可求解；對于CD：利用單調性的定義結合已知條件求解即可【解析】對于AB：令x=y=0，則f0所以f0=0或當f0令y=0，則fx=f則f-x所以此時fx故A錯誤，B正確；對于C：當x>0時，fx>1，則又f1所以f0≠0，則設x1>x2，則所以fx由于fx+y取y=-x，得f0所以fx則當x∈-∞，0時，所以fx則fx在R上單調遞增，故C對于D：設x1<x2，則所以fx則fx在R上單調遞增，故D故選：BC4．(2022·遼寧·鳳城市第一中學高一期中)定義在R上的函數fx滿足：?x，y∈R，fx-y=fx(1)判斷函數fx(2)判斷函數fx(3)若對任意的t∈1，2，存在x∈6，【答案】(1)奇函數，證明見解析(2)函數fx在R(3)-【分析】(1)根據所給關系式令x=y=0，即可求出f0，再y=x，即可得到f-x與(2)利用定義法證明，根據所給關系式及奇偶性得到fx-y=fx-fy(3)根據函數的單調性與奇偶性得到3x2+3tx≥-3x-7m，參變分離可得-73m≥x2+tx+x，令【解析】(1)解：fx證明：因為fx的定義域為R，且對?x，y∈R，令x=y=0，則f0=f0令y=x，則fx+f-x所以函數fx(2)解：fx在R證明：設x1，x2∈R且則fx當x>0時，fx<0，所以當x1所以fx1-fx2<0，即(3)解：由f3x2由于函數fx為奇函數，則f由于函數fx在R上為減函數，則3x2令gt=x由已知，有gt在區間1，2令hx=x2+3x=x+32故-73m≥54，解得m≤-必會題型五：奇偶性與單調性綜合1．[多選](2021·浙江·高一期中)已知函數fx=xx+1A．fx為奇函數B．fxC．fx在R上是增函數D．fx2【答案】ACD【分析】利用函數奇偶性的定義判斷出fx為奇函數，A正確，B求出fx在0，+∞上單調遞增，結合函數奇偶性得到fx根據函數奇偶性和單調性解不等式，得到D正確．【解析】fx=xx+1定義域為故fx為奇函數，A正確，B當x>0時，fx=xx+1在0，根據fx為奇函數，得到fx在R上是增函數，因為fx為奇函數，故fx2又fx在R上是增函數，所以x解得：-∞，-2故選：ACD2．已知定義在-3，3的函數y=fx+1-2是奇函數，且對任意兩個不相等的實數x1，x2∈[1?A．1，32 B．1，2 C【答案】B【分析】根據函數為奇函數得到fx+1+f-x+1【解析】x∈-3，3y=fx+1-2是奇函數，故f函數關于點1，2中心對稱，取x=0得到f1x1fx故函數在[1?，4]f2x+f故f2x≤fx+1，故考慮定義域：-2≤2x≤4-2≤1-x≤4，解得綜上所述：1≤x≤2故選：B3．(2022·山東泰安·高三期中)函數f(x)=2x2ex+A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數的奇偶性與特殊的函數值對選項逐一判斷，【解析】由題意得f(-x)=2(-x)2e-x+ef(2)=8e2故選：A4．定義在R上的奇函數fx滿足f2=3，且函數gx=fx-2x【答案】-【分析】由fx為奇函數，然后說明gx=fx-2x為奇函數，又【解析】因為fx為R所以f-x由gxg-x所以gx又函數gx在0由對稱性可知，gx在R又因為f2所以g所以fx-1即gx-1所以x-1<-2?x<-1，故答案為：-∞5．(2022·北京市第十七中學高一期中)已知函數fx=ax+b1+x(1)確定函數fx(2)用定義證明fx在0,1(3)解不等式f【答案】(1)fx=x1+【分析】(1)先由函數的奇偶性得到b=0，然后由f1(2)利用函數單調性定義證明；(3)將f(x-1)+f(x)<0，轉化為f(x-1)<-f(x)=f(-x)，利用單調性求解．【解析】(1)由題意可得f0=0所以fx(2)證明：設0<x則f(x∵0<x∴0<x1x2<1則f(x1)-f(所以函數f(x)是增函數．