第九講：有理數乘方【課堂引入】《無法實施的獎賞》國際象棋起源于印度。棋盤上共有8行8列構成64個格子。傳說國王要獎賞國際象棋的發明者,他的大宰相西薩·班·達伊爾,問他有什么要求,這位聰明的大宰相的胃口并不是太大,他跪在國王面前說:“皇帝陛下,請在棋盤的第1個子里放上1顆麥粒,在棋盤的第2個格子里放上2顆麥粒,在棋盤的第3個格子里放上4麥粒,在棋盤的第4個格子里放上8顆麥粒,以此類推,每個格子里放的麥粒數都是前格子里放的麥粒數的2倍,直到第64個格子。請都賞給你的仆人吧!”國王聽了很不以為然,說:“愛卿,你的要求并多呀!我一定滿足你的要求!”沒過一會兒,他的糧管就來報告了,“國王,不對呀!我們的整個國家的糧庫的糧食都才能擺到30格,如果滿足他這個要求,我們國家要全國不吃不喝種兩千多年哪!”你知道為什么嗎?下面讓我們來計算一下1、麥粒數目：因為國際象棋的棋盤上共有64個格子,根據發明者的要求,各個格子的麥粒數應該依次是:1,2,22,23,,，，263個。因此發明者所要求的麥粒總數是:1+2+22+23+…+263=2641=18446744073709551615(粒)。這個結果太大了,太恐怖了!!2單位數目麥粒質量的計算:我稱量了1000粒小麥,它們的質量約是40g,通過計算18446744073709551615粒小麥的質量大于7000億噸!!3、與2008年全球小麥產量比較:2008/09年度全球小麥產量將達到創紀錄的6.56億噸,要種植1067年,恐怖嗎?4、給載重量為30噸的大卡車拉要用23300000000輛。【同步知識梳理】1.提出問題：⑴.在小學我們已經學習過，記作，讀作的平方(或的二次方)；，記作，讀作的立方(或的三次方)；那么：(是正整數)呢？⑵.在小學對于字母我們只能取正數．進入中學后，我們學習了有理數，那么還可以取哪些數呢？舉例說明．2.乘方：求個相同因數的積的運算叫做乘方.乘方的結果叫做冪，相同的因數叫做底數，相同因數的個數叫做指數．，記作，讀作的次冪（或的次方）.因此一般地，在中，取任意有理數，取正整數．點撥：應當注意，乘方是一種運算，冪是乘方運算的結果．當看作的次方的結果時，也可以讀作的n次冪．3．我們知道，乘方和加、減、乘、除一樣，也是一種運算，就是表示n個相乘，所以可以利用有理數的乘法運算來進行有理數乘方的運算．4.計算：(1)2=(2)3=(3)4=(4)5=______(+1)2=(+2)3=(+3)4=(+4)5=______(1)橫向觀察：正數的任何次冪都是數；負數的奇次冪是負數，偶次冪是正數；零的任何次冪都是零．(2)縱向觀察：互為相反數的兩個數的奇次冪仍，偶次冪．(3)任何一個數的偶次冪是什么數？5.計算：(1).(3)2=；(3)3=；［(3)］5=；(2).32=；，33=；，(3)5=；點撥：有理數乘方運算的符號法則：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，偶次冪是正數；零的任何次冪都是零．任何一個數的偶次冪都是非負數．用符表示為：（是正整數）①.當時，；②.當時，，；③.當時，；④當是任意有理數時，.⑤6.科學記數法：⑴.口答：①.說出103，103，(10)3的底數、指數、冪．②.計算：101，102，103，104，105，106，1010左邊用10的n次冪表示簡潔明了，且不易出錯，右邊有許多零，很容易發生寫錯的情況，讀的時候也是左易右難，這就使我們想到用10的n次冪表示較大的數，比如一億，一百億等等．但是像太陽的半徑大約是696000千米，光速大約是300000000米／秒，中國人口大約14億等等，我們如何能簡單明了地表示它們呢？這就要用到科學記數法．⑵.的特征：觀察：，，，，，，……點撥：中的n表示n個10相乘，它與運算結果中0的個數相同，比運算結果的數位少1.練習(1)：把下面各數寫成10的冪的形式．1000=，100000000=，100000000000=。練習(2)：指出下列各數是幾位數．103，105，1012，10100.⑶任何一個數都可以表示成整數數位是一位數的數乘以10的n次冪的形式．如：100=1×100=1×102，6000=6×1000=6×103，7500=7.5×1000=7.5×103．⑷科學記數法定義根據上面例子，我們把大于10的數記成的形式，其中是整數數位只有一位的數，n是自然數，這種記數法叫做科學記數法．現在我們只學習絕對值大于10的數的科學記數法，以后我們還要學習其他一些數的科學記數法．說它科學，因為它簡單明了，易讀易記易判斷大小，在自然科學中經常運用．用字母表示數，則，這就是科學記數法．【課堂練習】題型一：有理數乘方的概念例1、（4）3的底數是什么？指數是什么？冪是多少？答案：4；3；64變式訓練：1、（）3表示的意義是（）A．（）×（）×（）B．（）×3 C．D．答案：A2、把（）（）（）（）寫成乘方的形式是（）A． B．（）4 C． D．（）4答案：D3、關于（﹣5）4的說法正確的是（）A．﹣5是底數，4是冪 B．﹣5是底數，4是指數，625是冪 C．﹣5是底數，4是指數，﹣625是冪 D．5是底數，4是指數答案：B題型二：有理數乘方的運算例2、計算：（1）①37；②73；③(－3)4；④(－4)3．（2）①()5；②()3；③(－)4．答案：（1）21873438164(2)例3、設n是自然數，則(?1)A．1或﹣1 B．0 C．﹣1 D．0或1答案：A變式訓練：1、下列各式結果相等的是（）A．﹣22與（﹣2）2 B．與（）3 C．﹣（﹣2）與﹣|﹣2| D．﹣12023與（﹣1）2023答案：D2、下列各對數中，數值相等的是（）A．﹣（﹣3）2與﹣（﹣2）3 B．﹣32與（﹣3）2 C．﹣3×23與﹣32×2 D．﹣23與（﹣2）3答案：D3、下列說法中正確的是（）A．﹣an和（﹣a）n一定是互為相反數 B．當n為奇數時，﹣an和（﹣a）n相等 C．當n為偶數時，﹣an和（﹣a）n相等 D．﹣an和（﹣a）n一定不相等答案：B題型三：簡單的含乘方的混合運算計算：3+22×(－)；答案：變式訓練：1、計算：8+(－3)2×(－2)；答案：102、計算：(－3)2×[]；答案：113、計算：72+2×(－3)2＋(－6)÷(－)2；答案：85題型四：偶次乘方的非負性例5、若a、b有理數，下列判斷：①a2+（b+1）2總是正數；②a2+b2+1總是正數；③9+（a﹣b）2的最小值為9；④1﹣（ab+1）2的最大值是0其中錯誤的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B變式訓練：1、已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，則（x﹣y）2023＝．答案：12、對于|a﹣1|﹣3及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了兩個觀點佳佳的觀點：|a﹣1|﹣3有最小值，最小值為3音音的觀點：﹣（b+3）2+2有最大值，最大值為2對于以上觀點，則（）A．佳佳和音音均正確 B．佳佳正確，音音不正確 C．佳佳不正確，音音正確 D．佳佳和音音均不正確答案：C3、若a、b為整數，且|a﹣2|+（b+3）2024＝1，則ba＝．答案：3;27;4;16題型五：科學記數法的表示例6、用科學記數法表示下列各數：（1）3500；（2）423500；（3）325.05；（4）－1240000．（5）人體中大約有25000000000000個紅細胞。（6）計算8000000×600000000。答案：（1）3.5×103（2）4.235×105（3）3.2505×102（4）1.24×106（5）2.5×1013（6）4.8×1015例7、判斷題：（1）240000用科學記數法表示為24×104（）；（2）3.245×104＝32450000（）；－2.785×105＝－278500（）．答案：××√例8、2020年12月17日，嫦娥5號經歷了往返76萬千米的長途跋涉，順利回家并在我國內蒙古著陸，同時將在月球采集的土壤樣本帶回了地球，這標志著我國探月工程嫦娥5號的任務獲得了圓滿的成功．其中76萬千米用科學記數法可表示為（）A．760000米 B．7.6×108米 C．7.6×107米 D．7.6×109米答案：B變式訓練：1、如圖，是津巴布韋于2009年發行的一張面值為100萬億的津元，但這一張100萬億津元還抵不上1美元的價值，在當地，一張這樣的鈔票也就頂多能買一個面包．“100萬億”可以用科學記數法表示（）A．1×1010 B．1×1012 C．1×1013 D．1×1014答案：D2、據中國政府網報道，截至2021年4月5日，31個省（自治區、直轄市）和新疆生產建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗14280.2萬劑次．下列說法不正確的是（）A．14280.2萬大約是1.4億 B．14280.2萬大約是1.4×108 C．14280.2萬用科學記數法表示為1.42802×104 D．14280.2萬用科學記數法表示為1.42802×108答案：C3、一天有8.64×104秒，一年如果按365天計算，一年有多少秒？(用科學記數法表示)答案：3.1536x107【課堂提升】1、某種細菌在培養過程中，每半小時分裂1次，每次一分為二，若這種細菌由一個分裂到16個，那么這個過程要經過分鐘．答案：1202、一根1m長的繩子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下繩子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的繩子的長度是（）A．m B．m C．m D．m【答案】C【分析】第一次剪去全長的，剩下全長的，第二次剪去剩下的，剩下全長的＝，第三次再剪去剩下的，剩下全長的×＝，如此剪下去……….便可找到答案了.【詳解】解：第一次剪去全長的，剩下全長的，第二次剪去剩下的，剩下全長的＝，第三次再剪去剩下的，剩下全長的×＝，如此剪下去，第8次后剩下的繩子的長為×1＝＝（m）．故選：C．3、下面是一組按規律排列的數：1，2，4，8，16，…，第2020個數應是（

）A． B． C． D．以上答案均不對【答案】A【分析】先把它們寫成底數為2的冪的形式，然后觀察發現規律，即可完成解答.【詳解】解：第1個數為1=20；第2個數為2=21；第3個數為4=22；第4個數8=23；第5個數為16=24；……第2020個數為22019.故選A.4、請通過計算推測的個位數是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】觀察個位數的變化規律：，之后又是，即這四個數循環，再根據2019除以4的結果即可得出答案.【詳解】由可得：等號右邊個位數變化規律為：；，即以每四個數后，又出現，即和第三次出的位置相同則的個位數是8故選：D.【課后鞏固訓練】1、對于式子（4）2，正確的說法是（）4是底數，2是冪B.4是底數，2是冪4是底數，2是指數D.4是底數，2是指數答案：D2、118表示（）A.11個8相乘B.11乘以8C.8個11相乘D.8個11相加答案：C3、一個數的平方一定是（）正數B.負數C.非正數D.非負數答案：D4、計算（1）2023+（1）2024的值等于（）A.0B.1C.1D.2答案：A5、如果一個有理數的偶次冪是非負數，那么這個數是（）正數B.負數C.非負數D.任何有理數答案：D6、若，則=_______________．【答案】1【分析】直接利用偶次方的性質以及絕對值的性質得出a，b的值，進而得出答案．【詳解】由題意得：a－1＝0，b﹣2＝0，解得：a＝1，b＝2，故＝（1﹣2）2015＝－1．故答案為－1．7、計算1.（1）52+122（2）18÷（3）2（3）32（3）3答案：（1）169（2）2（3）188、下列用科學記數法表示的數，原來各是什么數？（1）（2）（3）5.002×104答案：（1）200000000（2）603000（3）500209、用科學記數法表示下列各數（1）8700000（2）50600（3）10000000答案：（1）8.7×106（2）5.06×104（3）1×10710、用科學記數法表示下列各數地球