/熱點必刷題05幾何綜合解答題壓軸50題TOC\o"1-3"\h\u一、翻折綜合問題 2二、旋轉綜合問題 5三、平移綜合問題 13四、創新探究問題 16五、其他壓軸綜合問題（含圓與最值） 22

一、翻折綜合問題1．（2024·四川廣元·一模）在正方形中，，分別為，上兩點，連接，，將沿翻折，得到，連接，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，對角線交于點，連接，，若點落在上，求證：四邊形為菱形；(3)如圖3，若為的中點，連接交于點，連接，，求的值．2．（2024·江蘇淮安·模擬預測）如圖1，中，，，點D是邊的中點，點E是射線上一動點，將沿翻折至．(1)______；______；(2)當點E在線段上運動時．①當點落在上時，求的長；②當時，求的長；(3)如圖2連接，整個運動過程中，當時，直接寫出的長．3．（2024·四川南充·三模）如圖，在菱形中，，，點，分別在，邊上，將沿直線翻折，得對應．(1)如圖，若點與重合，且，與交于點，與交于點，求證：；(2)如圖，若點剛好落在的中點處，求的值；(3)如圖，若點為的中點，求的最小值．4．（2024·山東聊城·三模）【實踐探究】（1）如圖1，在矩形中，，，交于點E，則的值是________；【變式探究】（2）如圖2，在平行四邊形中，，，，交于點E，求的值；【靈活應用】（3）如圖3，在矩形中，，點E，F分別在，上，以為折痕，將四邊形翻折，使得的對應邊恰好經過點D，交于點I，過點D作交于點P．若，且與的面積比為，求的值．

5．（2024·遼寧·模擬預測）如圖1，在矩形中，，，點E在上，連接，把沿直線翻折得到，直線與直線交于點G，連接．(1)當時，求的長．小星看到把沿直線翻折得到，就想到翻折圖形的特征特點，對應邊相等，對應角相等，對應點連線被對稱軸垂直平分，那么他就知道，，，根據，他延長與的延長線相交于點H，可證，，再通過勾股定理即可求出的長．請用小星的方法或自己的方法求的長；(2)當G是的中點時，求的長；(3)如圖2，已知等邊的邊長為6，點D在邊上，連接，把沿直線翻折得到，直線與直線交于點F，若，求的長．6．（2024·遼寧·模擬預測）如圖1，在矩形中，點在直線上，連接，作關于直線的對稱，再作點關于直線的對稱點，連接，．當點恰好落在線段上時，點恰好落在線段上．(1)求的值；(2)如圖2，當點落在線段上，時，求的面積；(3)如圖3，當點在線段上方時，取線段的中點，連接，若，直接寫出的最小值．7．（2024·河南商丘·二模）在數學課上，王老師組織同學們以“正方形紙片的折疊”為主題開展數學活動．王老師對正方形紙片進行如下操作：如圖1，將正方形紙片沿過點的一條直線翻折，使點落在點處，折痕為，請同學們在圖1的基礎上進行探究．【操作發現】（1）如圖2，小明延長交射線于點，連接，過點作的垂線，交的延長線于點，則線段與的數量關系是________．【深入探究】（2）如圖3，小華在圖2的基礎上延長，交的延長線于點，在圖3中是否存在一條線段與相等？若存在，請找出這條線段并給出證明；若不存在，請說明理由．【拓展應用】（3）在（2）的條件下，若正方形紙片的邊長為4，當時，請直接寫出線段的長．二、旋轉綜合問題8．（2024·湖北十堰·一模）已知∶和為兩個全等的等腰直角三角形，，，D為中點，以D為旋轉中心，旋轉，交于點J，分別交，于G，H兩點．(1)如圖①，當時，求證：；(2)如圖②，當點E恰好落在邊上時，連接，求的長；(3)如圖③，時，①求證∶；②直接寫出的值．9．（2024·山東東營·模擬預測）【操作與發現】如圖①，在正方形中，點N，M分別在邊上．連接．．(1)將繞點A順時針旋轉，點D與點B重合，得到．從而可得：．請說明理由．(2)【實踐探究】在圖①條件下，若，則正方形的邊長是．(3)如圖②，在正方形中，點M、N分別在邊上，連接、，，若，求證：M是的中點．(4)【拓展】如圖③，在矩形中，，點M、N分別在邊上，連接，已知，則的長是．10．（2024·貴州貴陽·一模）問題情境：如圖①，點E為正方形內一點，，將繞點B順時針旋轉，得到（點A的對應點為點C），延長交于點F，連接．猜想證明：（1）求證：四邊形是正方形；（2）如圖②，連接，延長交于點G，若E是的中點，請猜想與的數量關系，并加以證明；解決問題：（3）如圖③，若，請直接寫出的長．11．（2024·貴州貴陽·一模）如圖①，在正方形中，點E，F分別為，邊上的點，，連接．某班同學在探究，，之間的數量關系的過程中，發現通過旋轉可將這些分散的線段集中到同一條線段上．(1)將繞點A順時針旋轉得到（如圖②），此時G，B，F三點共線．①的度數為；②若，，求的長．(2)如圖③，在等邊中，點E為三角形內部一點，當點E在何處時，最小，請畫出圖形，并直接寫出此時的度數．12．（2024·湖北恩施·模擬預測）如圖1，和均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接．(1)填空：的度數為______；②線段之間的數量關系為______；(2)如圖2，和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一直線上，為中邊上的高，連接，請判斷的度數及線段之間的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，在中，，，平面上一動點P到點B的距離為4，將線段繞點C順時針旋轉，得到線段，連，則是否有最大值和最小值？若有，直接寫出，不需要說明理由．13．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在等腰直角中，，，點E為的中點，，將線段繞點E順時針旋轉，連接、；點D為中點，連接，直線與直線交于點N．(1)如圖1，若，，求的長；(2)連接并延長至點M，使，連接．①如圖2，若，求證：；②如圖3，當點G、F、B共線時，，連接，，請直接寫出的值．14．（2024·湖北十堰·模擬預測）綜合與實踐

【特殊感知】（1）如圖1，在平行四邊形中，，相交于點O，，，求證：．【變式探究】（2）如圖2，在中，，，在的右側作等邊，取的中點F，連接．①求證：是的垂直平分線；②若，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，，D為上的任意一點，將繞點A逆時針旋轉得到線段，旋轉角為．取的中點P，連接，猜想與的數量關系，并給予證明．15．（2024·江蘇蘇州·一模）圖1，在平面直角坐標系中，的直角邊在軸的正半軸上，且，斜邊，點為線段上一動點．(1)請直接寫出點的坐標；(2)若動點滿足，求此時點的坐標；(3)如圖2，若點為線段的中點，連接，以為折痕，在平面內將折疊，點的對應點為，當時，求此時點的坐標；(4)如圖3，若為線段上一點，且，連接，將線段繞點順時針方向旋轉得線段，連接，當取最小值時，請直接寫出的最小值和此時線段掃過的面積．16．（2024·湖南·模擬預測）如圖，將等腰的斜邊向上平移至（點B和A重合），連接，M為線段上一點（不與點C重合），連接并將其繞點A順時針旋轉至，連接交于點E，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，分別取的中點連接，試探究線段和之間的數量關系，并說明理由．17．（2024·重慶·模擬預測）已知為等邊三角形，D是邊上一點，連接，點E為上一點，連接．(1)如圖1，延長交于點F，若，，求的長；(2)如圖2，將繞點C順時針旋轉到，延長至點H，使得，連接交于點N，求證；(3)如圖3，，點H是上一點，且，連接，點K是上一點，，連接，，將沿翻折到，連接，當的周長最小時，直接寫出的面積．18．（2024·重慶·模擬預測）已知為等邊三角形，，分別為線段，上一點，，與交于點．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，為射線上一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得，連接，若，證明：；(3)如圖3，在（2）的條件下，，為線段上的動點，，隨著的運動而運動，連接，當取得最大值時，直接寫出的面．19．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，在矩形中，，，連接，將繞點順時針旋轉，記旋轉后的三角形為，旋轉角為（且）．(1)在旋轉過程中，當點落在線段上時，求的長；(2)連接，，當時，求的值；(3)在旋轉過程中，若的重心為，則的最小值為______．20．（2024·湖北黃岡·模擬預測）如圖1，正方形和正方形，連接，．(1)[發現]：當正方形繞點A旋轉，如圖2，線段與之間的數量關系是______；位置關系是______；(2)[探究]：如圖3，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，猜想與的數量關系與位置關系，并說明理由；(3)[應用]：在（2）情況下，連接（點E在上方），若，且，，求的長．21．（2024·陜西咸陽·模擬預測）（1）如圖①，在中，，，P為內一點，求的最小值．為了求的最小值，小明是這樣做的：將繞點A順時針旋轉60°得到，則，連接．此時小明發現，且，則為等邊三角形，于是．試著根據小明的思路，求出的最小值．（2）如圖②，某牧場有一塊矩形空地，其中米，米，點E在邊上且米，F為邊上任意一點，點A關于的對稱點為．牧場主欲在四邊形的四條邊上裝上柵欄飼養土雞，并將B點、C點分別作為牛棚和羊棚的入口，若要在矩形內一點P處打一口井，并修建地下管道，，．請問：是否存在一點P，使的值最小？如果存在，請求出的最小值及此時的長；如果不存在，請說明理由．22．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）如圖，已知中，，．D是所在平面內不與點A，C重合任意一點，連接，將線段繞點D順時針旋轉得到線段，連接，，．(1)如圖①，當時，線段與之間的數量關系是______；(2)如圖②，當時，線段與之間有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明；(3)如圖③，當時，線段與之間有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，不需要證明．23．（2024·重慶南岸·模擬預測）在中，，點為直線上一點，連接．

(1)如圖1，點為延長線上一點，若，求線段的長；(2)如圖2，點為延長線上一點，連接并延長到點，連接，把線段繞點逆時針旋轉后得到，若點在的延長線上，連接，求證：；(3)把線段繞著點逆時針旋轉后得到，點為直線左側一點且滿足，當取最小值時，請直接寫出此時的值．24．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，在等腰直角三角形中，，動點在線段上運動，連接．(1)當時，求的值；(2)將線段繞點逆時針旋轉得到線段；將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接、．①判斷線段和的關系并說明理由；②設直線和直線交于點，直線和直線交于點，求面積的取值范圍．三、平移綜合問題25．（2024·河南信陽·一模）綜合實踐課上，老師讓同學們準備矩形紙片，開展數學活動．(1)折一折，畫一畫：操作一：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：為上一點，沿折疊，使點落在上的點處，連接并延長交于點．①______(填數字結果)；②的形狀是______；(2)剪一剪，移一移：操作三：把紙片展平，沿，剪開；操作四：將沿方向平移得到，若交于點，交于點．連接，若，平移距離為，①求；②當為直角三角形時，請直接寫出的值．26．（2024·河北邯鄲·二模）如圖1，在矩形中，，，，垂足為E．F是點E關于的對稱點，連接，．(1)求證：；(2)若將繞點B按順時針方向旋轉，當邊與重合時停止，求邊掃過的面積；(3)將一個與完全重合的透明三角板進行如下操作．①若將三角板沿射線方向平移，如圖2，當點落在邊上時，立刻將繞點順時針旋轉，點H在上，且，若平移的速度為每秒1個單位長度，繞點旋轉的速度為每秒，在整個運動過程中，求出點H在區域（含邊界）內的時長；②若將三角板沿射線方向平移，點H在上，且，如圖3，當點與H點重合時，立刻將繞點逆時針旋轉，當點落在邊上時停止，設旋轉過程中分別交于點P，Q，若，直接寫出旋轉過程中的長（用含d的式子表示）．27．（2024·河北·模擬預測）如圖1，正方形與斜邊為的按如圖所示的方式放在同一平面內，使點與A重合，點D在上，，其中，正方形固定不動．(1)求的長和的度數．(2)將繞點A按順時針方向旋轉，當與重合后，立刻沿射線方向平移，點D在邊上時停止．①求邊旋轉結束時掃過的面積；②求平移結束時，正方形與重疊部分的面積S．(3)如圖2，若將（2）中的旋轉和平移同時進行，設邊與邊的交點為M，邊與邊的交點為N，，，直接寫出在運動過程中的值．（用含a，k的式子表示）28．（2024·河北石家莊·模擬預測）如圖，在矩形中，，，垂足為E．F是點E關于的對稱點，連接，．(1)求證：；(2)求和的長；(3)將一個與完全重合的透明三角板沿射線方向平移．設點在上移動的距離是m．當點F分別落在線段，上時，直接寫出相應的m的值．29．（2024·河南信陽·模擬預測）綜合與實踐[問題背景]在正方形中，，點E為邊上一點，將沿直線折疊，使點D的對應點F恰好落在對角線上．[問題解決]（1）填空：的長為_____；（2）展開后，將沿線段平移，使點F的對應點與點C重合，得到，與交于點M，求線段的長．[拓展探究]（3）將沿射線平移的過程得到，當在區域內的線段的長為1時，直接寫出平移的距離．30．（2024·吉林長春·模擬預測）如圖①，是矩形的對角線，，．將沿射線方向平移到的位置，使為中點，連接，，，，如圖②．(1)求證：四邊形是菱形；(2)四邊形的周長為；(3)將四邊形沿它的兩條對角線剪開，用得到的四個三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫出所有可能拼成的矩形周長．四、創新探究問題31．（2024·湖北武漢·模擬預測）【操作與思考】（1）如圖1，在正方形中，點E，F分別為，邊上的點，且，且繞點A順時針旋轉得到，畫出，并證明；【嘗試與應用】（2）如圖2，正方形邊長為8，點E，F分別為，邊上的點，．交于M，求證；【拓展與創新】（3）如圖3，矩形中，，，點E，F分別為，邊上的點，，交于M．若，直接寫出的長．32．（2024·江西南昌·模擬預測）綜合與實踐特例感知如圖1，在等腰直角三角形中，，點D在邊上（點D不與點A、C重合），連接．將線段繞點D逆時針旋轉得到，連接，過點E作，交的延長線于點F．（1）有以下結論：①；②；③若，則的面積，正確的有________個．（填選項）A．0

B．1

C．2

D．3類比遷移（2）如圖2，以為斜邊，在的下方構造等腰直角三角形，連接，將線段繞點D順時針旋轉得到，連接．求證：．拓展應用（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，H是的中點，連接．①求證：；②若，求的長．33．（2024·湖北武漢·模擬預測）【教材呈現】如圖是某版本九年級上冊數學教材第77頁的部分內容．如圖，在中，點D，E分別是與的中點，根據畫出的圖形，可以猜想：，且．對此，我們可以用演繹推理給出證明．（無需證明）【感知】如圖①，在中，，，是的中線，M，N分別是和的中點，求的長；【應用】如圖②，在中，D，E分別是的中點，連接，將繞點A逆時針旋轉一定的角度，連接，若，求的值；【拓展】如圖③，在等邊三角形中，D是射線上一動點（點D在點C右側），連接，把線段繞點D逆時針旋轉得到線段，連接，F是中點，連接，若，，求的值．34．（2024·內蒙古通遼·模擬預測）【感知】如圖1，在四邊形中，點P在邊上（不與A、B重合），，易證：（不要求證明）．【探究】如圖2，在四邊形中，點P在邊上（點P不與點A、B重合），．（1）求證：；（2）若，求的長．【應用】如圖3，在中，，．點P在邊上（點P不與點A、B重合），連結，作，與邊交于點E．（3）當是等腰三角形時，直接寫出的長35．（2024·江蘇無錫·模擬預測）【教材呈現】如圖，在中，點、分別與的中點．則與的關系是，；

【感知】如圖1，在矩形中，點為的中點，點為邊上一動點，點為的中點，連結、、．，與的數量關系是．【應用】如圖2，在中，，，、是的中線，、分別是和的中點，求的長；【拓展】如圖3，在平行四邊形中，點為邊上一點，連接，點在上，，點是的中點，連接交于點，若點為的中點，，連接，求的值．36．（2024·貴州貴陽·二模）綜合與實踐問題情境：在綜合與實踐課上，老師要求同學們以“折紙中的數學”為主題開展活動．獨立思考：（1）如圖①，將三角形紙片沿折疊，使點落在四邊形內點的位置，則與之間的數量關系為，請說明理由；深入探究：（2）如圖②，若點落在四邊形的邊下方時，試猜想此時與，之間的數量關系，并說明理由；結論運用：（3）如圖③，在四邊形中，，，分別是，邊上的一點，沿將四邊形折疊，點的對應點恰好落在邊上，且，．①的度數為；②若，，求點到的距離．37．（2024·廣東深圳·模擬預測）【幾何探究】【教材呈現】如圖1，，，點是邊上一點，且，若，則；【探究發現】如圖2，在正方形中，點是上動點，點是上一點，且，將繞點逆時針旋轉，點落在射線上的點處，點對應點為點，連接．（1）當點為中點時，求證：為等腰直角三角形；（2）如果點為上任意一點，試探究：與之間的數量關系，寫出你的結論并加以證明；【遷移運用】如圖3，在菱形中，，點是上動點，點是上一點，且，將繞點逆時針旋轉，點落在射線上的點處，點對應點為點，連接，直接寫出與之間的數量關系（用含有的式子表示）．38．（2024·湖北武漢·模擬預測）類比轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，在中，，于點，點是邊上一點，與交于點，過點作交于點，若，求的值．(1)嘗試探究在圖1中，過點作交于點，則和的數量關系是______，的值是______；(2)類比延伸如圖2，在中，，過點作于點，點是邊上一點，與相交于點，過點作交于點，設，，求證：；(3)拓展遷移如圖3，在的條件下，若，直接寫出的值．39．（2024·全國·模擬預測）專題復習課上，老師帶領同學們共同探索“折疊”中的動態變化問題，進一步感悟綜合幾何圖形的解題關鍵是“化繁為簡”．在復雜圖形中分解出特殊（基本）圖形．進而建立圖形要素（線段、基本圖形）的解題關系．已知矩形紙片，，．【操作感知】（1）如圖1，將矩形紙片沿折疊、點C落在點處，設與交于點P，小麗同學關注折疊后得到的，如圖2，利用對稱性及平行關系得；小強同學觀察中，與線段間的關系后，認為可以求得現有圖形中任意線段的長；請你根據同學們的操作觀察和思考，求線段的長．【類比分析】（2）如圖4，E是邊上的一個動點，現將沿直線折疊，點C落在點處，當為多長時，點恰好落在上？【動態探究】（3）如圖5，點E在矩形邊上以．向點B運動，點F在矩形邊上以向點D運動，點C沿著折疊落在點處，過作分別交矩形邊于點，G，求經過后的面積（）．五、其他壓軸綜合問題（含圓與最值）40．（2024·上海奉賢·三模）如圖1，在邊長為6的正方形中，是邊的動點，以為圓心，為半徑作圓，與相切于點，連接并延長交于點，連接，．(1)求證：；(2)如圖2，與相交于點，連接并延長交于點，當滿足時，試判斷與的位置關系并說明理由．41．（2024·重慶渝北·模擬預測）如圖，在中，，于點D，E為上一點，連接．(1)如圖1，若平分，，求線段的長；(2)如圖2，過點E作交的延長線于點F，連接，G為的中點，連接，若，猜想線段之間的數量關系，并證明你的猜想；(3)如圖3，過點D作的垂線交于點H，點P是直線上一動點，連接，將繞A點順時針旋轉得，連接與直線交于點Q，當最小時，請直接寫出的值．42．（2024·黑龍江雞西·二模）在四邊形中，C是邊的中點．(1)如圖1，若平分，，則線段滿足數量關系是；(2)如圖2，平分，平分，若，則線段，，，之間存在怎樣的數量關系？寫出結論并證明；(3)如圖3，，，，若，則線段長度的最大值是．43．（2024·浙江·模擬預測）如圖1，是等邊三角形，點D，點E分別是，上的動點，且滿足，連接，交于點H，以為直徑作交于點F．(1)求證：．(2)如圖2，連接，①若求直徑的長．②若，當時，用含λ的代數式表示a．44．（2024·上海崇明·模擬預測）如圖，是的外接圓，于，交于點，(1)求證：；(2)連結并延長交于點，延長交于，連結交于點，若平分，①若，，求的長．②連結，若，，求：關于的函數關系式及其定義域45．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，為的直徑，弦，連接交于點H，(1)求證：；(2)E為上一點，且，連接分別交于點F、G，求證：；(3)在(2)的條件下，連接交于點M，連接，若四邊形的面積等于22，求的半徑．46．（2024·湖北武漢·模擬預測）問題背景：已知在中，，是的內角的平分線，作，交的延長線于點．(1)如圖1，連接，求證：；(2)嘗試應用：如圖2，如果，求的值；(3)類比拓展：如圖3，，，點在線段上滿足，且與相交于點，若，直接寫出的值．47．（2024·湖北荊門·模擬預測）如圖，是的直徑，點在弧上，點是的內心，連接并延長交弧于點，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線．(2)若點為弧的中點，求證：四邊形是平行四邊形．(3)連接，若的半徑長為5，，求線段的長．48．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，過上的動點作的切線，在上取點（異于點），使得，弦，連接交于點，連接并延長，交于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)記，；的面積分別為，，，當時，求的值；(3)設的半徑為，當時，求四邊形的面積．（用含的式子表示）49．（2024·廣東·模擬預測）綜合運用如圖1，在平面直角坐標系中，矩形的頂點C在原點O處，已知點，，連接，E是上一動點(不與點C，D重合)，過點E作交于點F，過點E作交于G，連接．(1)若，求證：；(2)設，用含a的式子表示的面積，并求出面積的最大值；(3)如圖2，設與交于點M，連接，求線段的取值范圍．50．（2024·湖北·模擬預測）【探索發現】在矩形中，點分別在邊上，為的中點，于點．（1）如圖1，若，則的值為___________；（2）如圖2，若，求的值；（3）【遷移拓展】如圖3，是菱形邊的中點，點在邊上，連接，，分別求和的長．

熱點必刷題05幾何綜合解答題壓軸50題TOC\o"1-3"\h\u一、翻折綜合問題 2二、旋轉綜合問題 27三、平移綜合問題 83四、創新探究問題 102五、其他壓軸綜合問題（含圓與最值） 133

一、翻折綜合問題1．（2024·四川廣元·一模）在正方形中，，分別為，上兩點，連接，，將沿翻折，得到，連接，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，對角線交于點，連接，，若點落在上，求證：四邊形為菱形；(3)如圖3，若為的中點，連接交于點，連接，，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】此題重點考查正方形的性質與幾何翻折變換，結合了全等三角形的判定與性質、菱形的判定、相似三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數等知識．（1）結合翻折和正方形的性質以及，得出，再證明即可；（2）先證，得出，再證即可；（3）設，交于點，正方形的邊長為，得出，再利用得出，再利用得出，，得出，利用三角函數求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，設，交于點，由折疊的性質可得，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴；（2）由折疊，得，，，，，∵，∴，∴，如圖2，設，交于點O，由正方形的性質可得，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形；（3）如圖3，設，交于點，正方形的邊長為，∵為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由折疊的性質可得，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．2．（2024·江蘇淮安·模擬預測）如圖1，中，，，點D是邊的中點，點E是射線上一動點，將沿翻折至．(1)______；______；(2)當點E在線段上運動時．①當點落在上時，求的長；②當時，求的長；(3)如圖2連接，整個運動過程中，當時，直接寫出的長．【答案】(1)，(2)①；②或(3)或【分析】（1）根據，設，則，，在中，由勾股定理得出，可求出，，，然后利用勾股定理求出，利用正切的定義求出即可；（2）①過D作于N，過B作于N，則，由平行線的性質得出，由翻折的性質得出，，利用等腰三角形三線合一的性質得出，，進而得出，利用平行線的判定與性質和等角對等邊得出即可；②分在上方和在下方兩種情況討論，證明，然后利用相似三角形的性質求解即可；（3）分在上方和在下方兩種情況討論，利用三角形面積公式可求出，在中，利用正切的定義和特殊角的三角函數值求出的度數，結合翻折可求出的度數，在和中，設，利用正切的定義可求出，，結合，可得出關于x的方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解∶過C作于G，∵，∴，設，則，，在中，，∴，解得，∴，，，∴，，故答案為：，；（2）解：①過D作于N，過B作于N，∴，∴，∵沿翻折至，點落在上，∴，∵D為的中點，∴，∴，又，∴，同理，∴，∴，∴，∴，∴；②設，則，當在下方時，取中點O，連接，設與相交于M，則，，∵，∴，∴，，又，∴，∴，∴，，即，，解得，，∵，∴，解得，即；當在上方時，取中點O，連接，延長與相交于M，同理可證，∴，，即，，解得，，∴，解得，即；綜上，的長為或；（3）解：當在下方時，過作于M，過E作于N，∵，∴，∴，∴，∴，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴，設，則，，∴，∴∵，∴；在上方時，過作于M，過E作于N，∵，∴，∴，∴，∴，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴，設，則，，∴，∴∵，∴；綜上，的長為或．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，等腰三角形的性質，三角形中位線定理，折疊的性質，相似三角形的判定與性質等知識，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關鍵．3．（2024·四川南充·三模）如圖，在菱形中，，，點，分別在，邊上，將沿直線翻折，得對應．(1)如圖，若點與重合，且，與交于點，與交于點，求證：；(2)如圖，若點剛好落在的中點處，求的值；(3)如圖，若點為的中點，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】（）連接，由折疊性質得：，，得出，再由菱形的性質得，再證明垂直平分即可；（）連接，，過作交延長線于點，過作于點，根據勾股定理和解直角三角形即可求解；（）連接，，由為的中點，則，因而有點在以為圓心，為半徑的圓上，又四邊形是菱形，則，證明是等邊三角形，故有，當三點共線時，最小，最后由勾股定理即可求解．【詳解】（1）如圖，連接，∵，∴，由折疊性質得：，，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴垂直平分，∴；（2）如圖，連接，，過作交延長線于點，過作于點，同（）可得，，∴，由折疊性質可知：，設，則，在中，由勾股定理得：，解得：，∴，同理：，∴，在中，，，∴，由勾股定理得：，∴，∴；（3）如圖，連接，，由折疊性質可知：點為交點，∴，∵為的中點，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴當三點共線時，最小，∴．【點睛】本題考查了菱形的性質，折疊的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理和解直角三角形，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．4．（2024·山東聊城·三模）【實踐探究】（1）如圖1，在矩形中，，，交于點E，則的值是________；【變式探究】（2）如圖2，在平行四邊形中，，，，交于點E，求的值；【靈活應用】（3）如圖3，在矩形中，，點E，F分別在，上，以為折痕，將四邊形翻折，使得的對應邊恰好經過點D，交于點I，過點D作交于點P．若，且與的面積比為，求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據題意證明出，即可得到；（2）作于M，交的延長線于N，由得到，勾股定理求出，然后解直角三角形求出，進而求解即可；（3）解法一：過點E作，垂足為Q，勾股定理求出，得到的面積為．的面積為24，然后證明出，同理可證，設，，，求出，然后由，得到；解法二：延長、交于點M，，由，得到，勾股定理求出，得到的面積為．的面積為24，然后求出，，設，則，列方程得到，然后由相似三角形的性質求解即可．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵∴∴∴∴；（2）作于M，交的延長線于N，∴．∵，∴．∴．∴．∴．即．由題意得，，，．∴，．∴．

（3）解法一：過點E作，垂足為Q，∵翻折，∴，，，，，∴，解得．∴的面積為．的面積為24．∵∴，，∵，∴，∵∴，同理可證．∴設，，．∴．∴．

∴．∴，解得，（舍）．∴．由，得．解法二：延長、交于點M，，

則，即．∵翻折，∴，，，，，∴，解得．∴的面積為．的面積為24．∵，∴．∴，．設，則．∴．解得，（舍）．∴．由，得．【點睛】此題考查了四邊形綜合題，解直角三角形，相似三角形的性質和判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．5．（2024·遼寧·模擬預測）如圖1，在矩形中，，，點E在上，連接，把沿直線翻折得到，直線與直線交于點G，連接．(1)當時，求的長．小星看到把沿直線翻折得到，就想到翻折圖形的特征特點，對應邊相等，對應角相等，對應點連線被對稱軸垂直平分，那么他就知道，，，根據，他延長與的延長線相交于點H，可證，，再通過勾股定理即可求出的長．請用小星的方法或自己的方法求的長；(2)當G是的中點時，求的長；(3)如圖2，已知等邊的邊長為6，點D在邊上，連接，把沿直線翻折得到，直線與直線交于點F，若，求的長．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）延長與的延長線相交于點H，可證，，在中根據勾股定理即可求出的長．（2）延長與的延長線相交于點H，設，則，證明，得，求出，，在中根據勾股定理，，求出x即可；（3）分兩種情況：當點F在線段上時，當點F在延長線上時，根據等邊三角形及相似三角形解決問題【詳解】（1）解：延長與的延長線相交于點H，由翻折得，，，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵∴∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在中，，∴解得或（舍去）；（2）延長與的延長線相交于點H，設，則∵G是的中點，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴解得或（舍去）即；（3）當點F在線段上時，設，，則，，∵是等邊三角形，∴，，由翻折得，，∴，∵，∴，∴，∴，解得或；當點F在延長線上時，設，則，∵是等邊三角形，∴，，由折疊得，，∴，∵，∴，∵，∴∴∴，解得或（舍）．綜上，的長為或或．【點睛】此題考查了矩形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，是綜合性較強的一題，綜合掌握各種圖形的性質，正確引出輔助線分類討論是解題的關鍵．6．（2024·遼寧·模擬預測）如圖1，在矩形中，點在直線上，連接，作關于直線的對稱，再作點關于直線的對稱點，連接，．當點恰好落在線段上時，點恰好落在線段上．(1)求的值；(2)如圖2，當點落在線段上，時，求的面積；(3)如圖3，當點在線段上方時，取線段的中點，連接，若，直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由對稱的性質得出對應的角、線段相等，因此可知為等腰直角三角形，即可得出結論；（2）過點作于點，由對稱的性質得出對應的角、線段相等，，再結合和即可求出的長度，最后利用三角形面積公式即可得出結果；（3）在中，，的長為定值，所以的長越長，即的長越小，再根據對稱的性質轉化為與的關系，因為隨著點的移動，點的軌跡在以點為圓心，長為半徑的圓上，因此當點與點正上方的點重合時，的長有最大值，此時點與點重合，結合圖形即可得出結論．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，由對稱的性質，得，，，，在中，，，．（2）如圖，過點作于點，，，，由對稱的性質，得，，，，，在中，，即，，，，，在中，，．（3）的最小值為，，，，，，即的長為定值，的長越長，那么的值越小，即的長越小，由對稱的性質，得，為線段的中點，，的長越大，即的長越長，則的長越小，如圖，隨著點的移動，點的軌跡在以點為圓心，長為半徑的圓上，如下圖，當點與點正上方的點重合時，的長有最大值，此時點與點重合，，，，的最小值為．【點睛】本題主要考查了動點問題，其中涉及到了矩形的性質、對稱的性質、勾股定理、隱圓、解直角三角形等，掌握上述知識點并熟練應用是解題的關鍵．7．（2024·河南商丘·二模）在數學課上，王老師組織同學們以“正方形紙片的折疊”為主題開展數學活動．王老師對正方形紙片進行如下操作：如圖1，將正方形紙片沿過點的一條直線翻折，使點落在點處，折痕為，請同學們在圖1的基礎上進行探究．【操作發現】（1）如圖2，小明延長交射線于點，連接，過點作的垂線，交的延長線于點，則線段與的數量關系是________．【深入探究】（2）如圖3，小華在圖2的基礎上延長，交的延長線于點，在圖3中是否存在一條線段與相等？若存在，請找出這條線段并給出證明；若不存在，請說明理由．【拓展應用】（3）在（2）的條件下，若正方形紙片的邊長為4，當時，請直接寫出線段的長．【答案】（1）；（2）存在，，證明見解析；（3）4或【分析】（1）根據折疊的性質，得，證出，再根據，和，得出，即可證明；（2）根據正方形性質得出，，證明．得出，即可證明；（3）根據題意，分兩種情況討論．①當點在線段上時，如圖1所示．②當點在的延長線上時，如圖2所示．【詳解】解：（1）．由折疊的性質，得，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．（2）存在，．證明：在正方形中，，，∴．∵，∴．∴．在和中，，∴．∴．∵，∴，即．（3）4或．根據題意，分兩種情況討論．①當點在線段上時，如圖1所示．∵，，∴，．∴．由（1）知，∴．由（2）知，∴．②當點在的延長線上時，如圖2所示．同①可得，．∴．∴．∴．綜上所述，線段的長為4或．【點睛】該題主要考查了折疊的性質，正方形的性質，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點．二、旋轉綜合問題8．（2024·湖北十堰·一模）已知∶和為兩個全等的等腰直角三角形，，，D為中點，以D為旋轉中心，旋轉，交于點J，分別交，于G，H兩點．(1)如圖①，當時，求證：；(2)如圖②，當點E恰好落在邊上時，連接，求的長；(3)如圖③，時，①求證∶；②直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)(3)①見解析②【分析】（1）根據題意得：，，，推出，即，再運用全等三角形的判定即可證得結論；（2）過點作于，可證得，得出，，再運用勾股定理即可求得答案；（3）①過點作于，先證得是等腰直角三角形，可得，，設，則，再證得，利用相似三角形性質即可證得結論；②連接、，過點作于，利用解直角三角形求得，即可求得，再證得，即可求得，進而求得答案．【詳解】（1）證明：如圖①，和為兩個全等的等腰直角三角形，，，，，即，，，，；（2）解：如圖②，過點作于，則，，為等腰直角三角形，，，，，，，，為中點，，，，，，在中，；（3）①證明：如圖③，過點作于，則，為等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，設，，，，，，解得：，，，，，，，，，即，，，；②解：如圖，連接、，過點作于，則，，，，即，，，，，．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉變換的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等，正確地作出輔助線是解題的關鍵．9．（2024·山東東營·模擬預測）【操作與發現】如圖①，在正方形中，點N，M分別在邊上．連接．．(1)將繞點A順時針旋轉，點D與點B重合，得到．從而可得：．請說明理由．(2)【實踐探究】在圖①條件下，若，則正方形的邊長是．(3)如圖②，在正方形中，點M、N分別在邊上，連接、，，若，求證：M是的中點．(4)【拓展】如圖③，在矩形中，，點M、N分別在邊上，連接，已知，則的長是．【答案】(1)見解析(2)12(3)見解析(4)【分析】（1）證明，得出，即可證出．（2）在中，由勾股定理得出，求得，設正方形的邊長為，得出方程，解方程即可求解；（3）設，由（1），由三角函數得出，得出，在中，由勾股定理得出方程：，整理得：，得出，得出，即可得出結論；（4）延長至，使，過作的平行線交的延長線于，延長交于，連接，則四邊形是正方形，同樣的方法在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，由旋轉的性質得：，∴，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，（2）解：在中，由勾股定理得：，則，設正方形的邊長為x，則，∴，解得：，即正方形的邊長是12；故答案為：12；（3）證明：設，由（1）可知，，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，整理得：，∴，∴，即M是的中點；（4）解：延長至P，使，過P作的平行線交的延長線于Q，延長交于E，連接，如圖③所示：則四邊形是正方形，∴，設，則，∵，∴，，，，由（1）得：，在巾，由勾股定理得：，解得：，即的長是8；故答案為：8．【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角函數定義、相似三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和由勾股定理得出方程是解題的關鍵．10．（2024·貴州貴陽·一模）問題情境：如圖①，點E為正方形內一點，，將繞點B順時針旋轉，得到（點A的對應點為點C），延長交于點F，連接．猜想證明：（1）求證：四邊形是正方形；（2）如圖②，連接，延長交于點G，若E是的中點，請猜想與的數量關系，并加以證明；解決問題：（3）如圖③，若，請直接寫出的長．【答案】（1）證明見解析（2），證明見解析（3）【分析】（1）旋轉得到，，，平角得到，即可得證；（2）過點作，證明，得到，進而推出，平行線分線段成比例得到，進而得到，得到為的中點，進而得到垂直平分，即可得出結論；（3）設，則，在中，勾股定理求出的值，進而求出的長，勾股定理求出的長，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】（1）由旋轉可知：，，，又∵，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形；（2），證明如下：過點作，則：，∴，∵正方形，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，由（1）知四邊形為正方形，∴，，∴，，∵E是的中點，∴，∴，∵旋轉，∴，∴，∴為的中點，又∵，∴；（3）∵四邊形為正方形，∴，設，則，在中，，即：，解得：或（舍去）；∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查正方形的判定和性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質，勾股定理等知識點，綜合性強，難度較大，屬于壓軸題，熟練掌握相關性質判定方法，是解題的關鍵．11．（2024·貴州貴陽·一模）如圖①，在正方形中，點E，F分別為，邊上的點，，連接．某班同學在探究，，之間的數量關系的過程中，發現通過旋轉可將這些分散的線段集中到同一條線段上．(1)將繞點A順時針旋轉得到（如圖②），此時G，B，F三點共線．①的度數為；②若，，求的長．(2)如圖③，在等邊中，點E為三角形內部一點，當點E在何處時，最小，請畫出圖形，并直接寫出此時的度數．【答案】(1)①；②(2)畫圖見解析；【分析】（1）①根據旋轉的性質得出，再根據求出結果即可；②證明，得出，設，則，根據勾股定理得出，解方程即可；（2）將繞點B逆時針旋轉得到，連接，證明為等腰直角三角形，得出，證明，根據當、、E、C四個點共線時，最小，得出最小，根據等腰三角形的性質得出．【詳解】（1）解：①∵將繞點A順時針旋轉得到，∴，∵，∴；②∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∵將繞點A順時針旋轉得到，此時G，B，F三點共線，∴，，∵，，∴，∴，設，則，∴，根據勾股定理得：，即，解得：，即．（2）解：將繞點B逆時針旋轉得到，連接，如圖所示：∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴當、、E、C四個點共線時，最小，即最小，根據旋轉可知：，∵等邊中，∴，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，正方形的性質，等邊三角形的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．12．（2024·湖北恩施·模擬預測）如圖1，和均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接．(1)填空：的度數為______；②線段之間的數量關系為______；(2)如圖2，和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一直線上，為中邊上的高，連接，請判斷的度數及線段之間的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，在中，，，平面上一動點P到點B的距離為4，將線段繞點C順時針旋轉，得到線段，連，則是否有最大值和最小值？若有，直接寫出，不需要說明理由．【答案】(1)①；②；(2)，理由見解析(3)存在，的最小值為，的最大值為．【分析】本題主要考查了等邊三角形性質、等腰直角三角形性質、全等三角形判定與性質，旋轉的性質等知識點，握全等三角形判定定理是解題的關鍵掌．（1）①由和均為等邊三角形，可得，故，即得，有，故；②由即得；（2）證明可得，故，而，即得；（3）證明得，可證點D在以點A為圓心，4為半徑的圓上，當D在線段上時，有最小值，求出，即可得的最小值為；當A在線段上時，的最大值為．【詳解】（1）解：①∵和均為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴；故答案為：；②由①知，∴．故答案為：．（2）解：，理由如下：∵和均為等腰直角三角形，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∴，在等腰直角三角形中，為斜邊上的高，∴，∴，∵，∴．（3）解：如圖：∵，∴，在與中，，∴，∴，∵點P到點B的距離是4，∴，∴點D在以點A為圓心，4為半徑的圓上，如圖：當D在線段上時，有最小值，∵，∴，∴此時，即的最小值為；如圖：當A在線段上時，最大，此時，即的最大值為．13．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在等腰直角中，，，點E為的中點，，將線段繞點E順時針旋轉，連接、；點D為中點，連接，直線與直線交于點N．(1)如圖1，若，，求的長；(2)連接并延長至點M，使，連接．①如圖2，若，求證：；②如圖3，當點G、F、B共線時，，連接，，請直接寫出的值．【答案】(1)3(2)①證明見解析

②【分析】（1）連接，過點E作于J．求出，再求出，即可得解；（2）①連接，．先證明四邊形是正方形，得出，設，則，求出，的長，即可得解；②可以假設，．則再求出，證明，即可得解．【詳解】（1）解：如圖1中，連接，過點E作于J．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．（2）解：①如圖2中，連接，．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴E，G，N，F四點共圓，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，設，則，∴，∴，∴，∴，∴．②如圖3中，∵，∴可以假設，．則，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質、旋轉變換，正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、解直角三角形等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．14．（2024·湖北十堰·模擬預測）綜合與實踐

【特殊感知】（1）如圖1，在平行四邊形中，，相交于點O，，，求證：．【變式探究】（2）如圖2，在中，，，在的右側作等邊，取的中點F，連接．①求證：是的垂直平分線；②若，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，，D為上的任意一點，將繞點A逆時針旋轉得到線段，旋轉角為．取的中點P，連接，猜想與的數量關系，并給予證明．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②1；（3）．理由見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質得出，證出，得出，則可得出結論；（2）①延長至，使，連接，，證出，則，由等邊三角形的性質可得出結論；②證出，則可得出答案；（3）延長至，使，連接，，同（2）可知是的中位線，得出，證出，得出，【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，；（2）①證明：延長至，使，連接，，，，，，，為等邊三角形，，為等邊三角形，，，，，垂直平分，，為的中點，，，，，，，是的垂直平分線；②解：由①知是的中位線，，，；（3）解：．理由：延長至，使，連接，，同（2）可知是的中位線，，同（2）可知，，，，將繞點逆時針旋轉得到線段，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，等邊三角形的性質，平行四邊形的性質，三角形中位線定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．15．（2024·江蘇蘇州·一模）圖1，在平面直角坐標系中，的直角邊在軸的正半軸上，且，斜邊，點為線段上一動點．(1)請直接寫出點的坐標；(2)若動點滿足，求此時點的坐標；(3)如圖2，若點為線段的中點，連接，以為折痕，在平面內將折疊，點的對應點為，當時，求此時點的坐標；(4)如圖3，若為線段上一點，且，連接，將線段繞點順時針方向旋轉得線段，連接，當取最小值時，請直接寫出的最小值和此時線段掃過的面積．【答案】(1)(2)(3)(4)的最小值為4，【分析】（1）利用勾股定理求出即可；（2）如圖1中，過點作于點．設，構建方程求出，再利用相似三角形的性質求出即可；（3）如圖2中，設交于點．利用相似三角形的性質求出，再求出，可得結論；（4）如圖3中，以為邊向右作等邊，連接，延長交軸于點，過點作于點．于點，過點作于．證明，推出，推出點在直線上運動，當點與重合時，的值最小．【詳解】（1）解：如圖1中，在中，，，，，；（2）解：如圖1中，過點作于點．，，設，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖2中，設交于點．，，，，由翻折的性質可知，，，，，，，，，，，，，，；（4）解：如圖3中，以為邊向右作等邊，連接，延長交軸于點，過點作于點．于點，過點作于．，，，，，，點在直線上運動，當點與重合時，的值最小，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，的最小值為4，，，是等邊三角形，，即，線段掃過的面積．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．16．（2024·湖南·模擬預測）如圖，將等腰的斜邊向上平移至（點B和A重合），連接，M為線段上一點（不與點C重合），連接并將其繞點A順時針旋轉至，連接交于點E，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，分別取的中點連接，試探究線段和之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)【分析】（1）先得出，再結合旋轉，得，即可證明，即可作答．（2）先在線段取點，連接，使得，再得出，則，通過證明，即可作答．（3）先連接取的中點，連接，運用中位線的判定與性質，得，，結合旋轉性質，得是等腰直角三角形，通過角的運算以及等量代換，得，再運用兩邊成比例，夾角相等，得證，即可作答．【詳解】（1）證明：∵將等腰的斜邊向上平移至（點B和A重合），連接，∴，∴四邊形是平行四邊形，，∵連接并將其繞點A順時針旋轉至，連接交于點E，連接．∴，∴，即，∵，∴；（2）證明：如圖：在線段取點，連接，使得，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，（3）解：如圖：連接取的中點，連接，∵點P，Q分別是的中點，點是的中點，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵連接并將其繞點A順時針旋轉至，連接交于點E，連接．∴，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∵∴是等腰直角三角形，∴，設,則在中，；在中，；∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．即．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，旋轉性質，平行四邊形的判定與性質，中位線的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．17．（2024·重慶·模擬預測）已知為等邊三角形，D是邊上一點，連接，點E為上一點，連接．(1)如圖1，延長交于點F，若，，求的長；(2)如圖2，將繞點C順時針旋轉到，延長至點H，使得，連接交于點N，求證；(3)如圖3，，點H是上一點，且，連接，點K是上一點，，連接，，將沿翻折到，連接，當的周長最小時，直接寫出的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）如圖，過點作于點，利用等腰直角三角形的性質求得再解直角三角形求解即可.（2）如圖，延長到，使連接，過點作，交于點，先后證明，利用三角形全等的性質和線段的和差求解即可.（3）過點分別作的垂線，分別交于點，交于點，作交于點，證明，可得再證明，可得設可得得到當的周長最小值時，的值最小，據此求解即可．【詳解】（1）如圖1，過點作于點，

為等邊三角形，，，，，，，，∴，，，，；（2）證明：如圖，延長到，使，連接，過點作交于點，∵為等邊三角形，∴，，由旋轉的性質得，，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，又∵，，，同理，，，；（3）如圖，過點分別作的垂線，分別交于點，交于點，作，交于點，∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設，則，，，，，的周長，的周長最小值時，的值最小，∴當時，的值最小，此時即點，點重合，如圖4，的面積．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了解直角三角形，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，求二次函數的最值等知識，做出合理的輔助線，學會利用參數構建二次函數解決問題是解題的關鍵．18．（2024·重慶·模擬預測）已知為等邊三角形，，分別為線段，上一點，，與交于點．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，為射線上一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得，連接，若，證明：；(3)如圖3，在（2）的條件下，，為線段上的動點，，隨著的運動而運動，連接，當取得最大值時，直接寫出的面．【答案】(1)2(2)證明見解析(3)【分析】（1）過點作，如圖所示，由等邊三角形性質及全等三角形判定與性質得到，設，則，由，解得，由等腰直角三角形及含的直角三角形性質，設，則，，列方程求解即可得到答案；（2）延長交于，在上取，如圖所示，根據等邊三角形性質、三角形全等的判定與性質，通過構造的、、將線段轉化到一條線上即可得證；（3）將繞點逆時針旋轉，得到，以為底邊，向左作頂角為的等腰，延長到點，使，由，得到，由，得到，由，，得到，即：，在中，，此時，點，重合，，，得到，在中，求出的長，在中，求出的長，即可求解．【詳解】（1）解：過點作，如圖所示：在等邊中，，，在和中，，，，設，則，，解得，在中，，，則，，，在中，設，則，由勾股定理可得，，，解得，則；（2）證明：延長交于，在上取，如圖所示：在等邊三角形中，，，在和中，，，，是的一個外角，，，，，將線段繞點逆時針旋轉得，，，在和中，，，，由知，，則，，，即，是的一個外角，，是的一個外角，，是等邊三角形，則，，，，在和中，，，，；（3）解：將繞點逆時針旋轉，得到，則，，以為底邊，向左作頂角為的等腰，則，延長到點，使，則，連接，，，，，，，，，，，，又，，，，，，即：，，，，即：，在中，，即：，當，，共線時取得最大值，此時，點，重合，，即：，，，，過點，作，交于點，在中，，在中，，在中，，，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，頂角的等腰三角形的性質，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，旋轉的性質，勾股定理解三角形，兩點之間線段最短，解題的關鍵是：連接輔助線，構造比例線段．19．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，在矩形中，，，連接，將繞點順時針旋轉，記旋轉后的三角形為，旋轉角為（且）．(1)在旋轉過程中，當點落在線段上時，求的長；(2)連接，，當時，求的值；(3)在旋轉過程中，若的重心為，則的最小值為______．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）當落在線段上時，由旋轉得，則由勾股定理可得，據此可得答案；（2）分兩種情況，當點與點C在直線的同側，作于點E，則，先證明點B、、D在同一條直線上，求得，由，，求出的長和的長，再求出的長，問題隨之得解；當點B′與點C在直線的異側，作交的延長線于點E，則，證明點B、、D在同一條直線上，依據第一情況的方法即可求解；（3）在上截取，則，作于點H，在上截取，連接FG、，則，由，H為的中點，點G為的重心，證明，可得，取的中點O，連接交于點P，連接，則，即可得點G在以點O為圓心、半徑為的圓上運動，根據，即，可得，當時，的長最小，求出的長即可．【詳解】（1）解：∵四邊形矩形，，，∴，，，如圖1，當落在線段上時，由旋轉得，∴，；（2）如圖2，點與點C在直線的同側，作于點E，則，由旋轉得，，∵，∴，∴點B、、D在同一條直線上，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴；如圖3，點B′與點C在直線的異側，作交的延長線于點E，則，由旋轉得，，∵，∴，∴與重合，∴點B、、D在同一條直線上，∵，∴，，∴，，∴，∴，綜上所述，值為3或．（3）解：如圖4，在上截取，則，作于點H，在上截取，連接、，則，∵，∴H為的中點，∴為的中線，∴點G為的重心，∵，，∴，∴，取的中點O，連接交于點P，連接，則，∴點G在以點O為圓心、半徑為的圓上運動，∵，即，∴，∴，∴當時，的長最小，∵OC，∴，∴的最小值是，故答案為：．【點睛】此題重點考查矩形的性質、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數、解直角三角形、“兩點之間，線段最短”、數形結合與分類討論數學思想的運用等知識與方法，此題難度較大，屬于考試壓軸題．20．（2024·湖北黃岡·模擬預測）如圖1，正方形和正方形，連接，．(1)[發現]：當正方形繞點A旋轉，如圖2，線段與之間的數量關系是______；位置關系是______；(2)[探究]：如圖3，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，猜想與的數量關系與位置關系，并說明理由；(3)[應用]：在（2）情況下，連接（點E在上方），若，且，，求的長．【答案】(1)，，理由見解析(2)，，理由見解析；(3)8．【分析】（1）證明，后證明即可；（2）延長，交于點H，交于點K，．根據（1）的證明方法，類似證明即可．（3）設與交的交點為M，根據平行四邊形的判定和性質，勾股定理，結合．解答即可．【詳解】（1），．理由如下：延長，交于點N，交于點P，∵四邊形，四邊形是正方形，∴，，，在和中，，∴．∴，，∵，，∴，∴，∴．故且．（2）解：，．理由如下：延長，交于點H，交于點I，∵四邊形，四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．故且．（3）解：設與交的交點為M，∵，∴，在中，，∴，根據勾股定理得：，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，由（2）知，，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，三角形相似判定和性質，勾股定理，熟練掌握三角形相似的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．21．（2024·陜西咸陽·模擬預測）（1）如圖①，在中，，，P為內一點，求的最小值．為了求的最小值，小明是這樣做的：將繞點A順時針旋轉60°得到，則，連接．此時小明發現，且，則為等邊三角形，于是．試著根據小明的思路，求出的最小值．（2）如圖②，某牧場有一塊矩形空地，其中米，米，點E在邊上且米，F為邊上任意一點，點A關于的對稱點為．牧場主欲在四邊形的四條邊上裝上柵欄飼養土雞，并將B點、C點分別作為牛棚和羊棚的入口，若要在矩形內一點P處打一口井，并修建地下管道，，．請問：是否存在一點P，使的值最小？如果存在，請求出的最小值及此時的長；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，的最小值為300，的長為米【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定及性質，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的性質，特殊角三角函數，相似三角形的判定及性質．（1）連接，由旋轉的性質得到，，，再由勾股定理得即可解答．（2）連接，作點A關于的對稱點，則點的軌跡為弧，將繞點B順時針旋轉60°得到，連接，，，．由旋轉的性質得，，，，當E，，P，，C五點共線時，取得最小值，過點作于點H，交于點M，證得為等邊三角形，再由特殊角的三角函數得到，米，則，再根據勾股定理得的值，設交于點N，過點B作于點Q，易證，即可解答．【詳解】解：（1）如圖①，連接．根據小明的思路可知，，，則．∵，，在中，，當C，P，，E四點共線時取得最小值，的最小值為．（2）存在．∵點A，關于對稱，米，點在以點E為圓心，50米為半徑的圓弧上．如圖②，連接，作點A關于的對稱點，則點的軌跡為弧．由（1）同理可得，將繞點B順時針旋轉60°得到，連接，，，．由旋轉的性質得，，，為等邊三角形，，∵，米．當E，，P，，C五點共線時，取得最小值，最小值為，此時點為與弧的交點．過點作于點H，交于點M．∵，為等邊三角形，米．∵，，，（米），在中，（米）．易得米，米，則（米），（米），在中，（米），（米），的最小值為300．設交于點N，過點B作于點Q．，，，即，米，米，米，，，，，米，易知當取得最小值時，，在中，（米）．答：的最小值為300，此時的長為米．22．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）如圖，已知中，，．D是所在平面內不與點A，C重合任意一點，連接，將線段繞點D順時針旋轉得到線段，連接，，．(1)如圖①，當時，線段與之間的數量關系是______；(2)如圖②，當時，線段與之間有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明；(3)如圖③，當時，線段與之間有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，不需要證明．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）當時，，．，和都是等邊三角形，得到，，再證明，得到．（2）過點A作于點G，設，過點D作于點H，設，利用等腰三角形的性質，三角形的相似判定和性質，三角函數的應用，計算解答即可．（３）設，設，利用等腰三角形的性質，三角形的相似判定和性質，計算解答即可．【詳解】（1）證明：當時，∵，．，，∴和都是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴∴．故答案為：．（2）解：．理由如下：過點A作于點G，設，當時，∵，．，，∴，，，∴，∴，∴，∴，，，過點D作于點H，設，同理可證，，，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：．理由如下：當時，設，設，∵，．，，∴，，∴，∴，∴，∴，同理可證，∴，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，三角形相似的判定和性質，三角函數的應用，等腰直角三角形的性質，熟練掌握三角形全等的判定和性質，三角形相似的判定和性質，三角函數的應用是解題的關鍵．23．（2024·重慶南岸·模擬預測）在中，，點為直線上一點，連接．

(1)如圖1，點為延長線上一點，若，求線段的長；(2)如圖2，點為延長線上一點，連接并延長到點，連接，把線段繞點逆時針旋轉后得到，若點在的延長線上，連接，求證：；(3)把線段繞著點逆時針旋轉后得到，點為直線左側一點且滿足，當取最小值時，請直接寫出此時的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據勾股定理，得，得到，利用勾股定理，得到計算線段的長；（2）過點B作于點B，交于點M，在上截取，連接，，再，利用勾股定理，線段和解答即可．（3）把線段繞著點逆時針旋轉后得到，點為直線左側一點且滿足，當取最小值時，請直接寫出此時的值．【詳解】（1）解：∵，，∴，解得，∵，∴，∴．（2）證明：過點B作于點B，交于點M，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在上截取，連接，∵∴，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴，∵，∴，故．

（3）解：構造等邊，以O為圓心，以為半徑構造，在左側圓弧上任取一點E，連接，根據圓周角定理，得，延長交于點G，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故點M的軌跡是直線，根據垂線段最短，得過點O作于點T，交圓于點Q，當E與Q重合，M與T重合時，取得最小值，

設，

則，，∵，∴，∴，∴，∴，設，∴．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，圓周角定理，三角形全等的判定和性質，三角函數的應用，垂線段最短，熟練掌握三角函數的應用，全等三角形的應用，最值的確定是解題的關鍵．24．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，在等腰直角三角形中，，動點在線段上運動，連接．(1)當時，求的值；(2)將線段繞點逆時針旋轉得到線段；將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接、．①判斷線段和的關系并說明理由；②設直線和直線交于點，直線和直線交于點，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)①，理由見解析②【分析】（1）過點作，三線合一，結合勾股定理求出的長，利用正切的定義，進行求解即可；（2）①將繞點旋轉得到，連接，證明四邊形為正方形，得到，證明，，，進而得到點在直線上運動，，證明，即可得出結論；②取的中點，連接，過點作，連接，易得點在以為直徑的圓上運動，得到當三點共線時，取得最小值，此時面積最小，當最大時，面積最大，進行求解即可．【詳解】（1）解：過點作，∵等腰直角三角形中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）①，理由如下：將繞點旋轉得到，連接，則：，∴，，延長交于點，∵將線段繞點逆時針旋轉得到線段，∴，∴三點共線，，，∵，，∴四邊形為正方形，∴，∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴點在直線上運動，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，即：，∴；綜上：；②取的中點，連接，過點作，連接，由①知：四邊形為正方形，∴，∴，∵，∴點在以為直徑的圓上運動，∴，，當三點共線，且在中間時，取得最小值，當三點共線，且在中間時，取得最大值，此時，四邊形為矩形，∴，∴最小為，最大為，∵，∴當最小時，，最小；當最大時，，最大；∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，正方形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，解直角三角形等知識點，綜合性強，難度大，屬于壓軸題，熟練掌握相關知識點，合理添加輔助線，構造特殊圖形，是解題的關鍵．三、平移綜合問題25．（2024·河南信陽·一模）綜合實踐課上，老師讓同學們準備矩形紙片，開展數學活動．(1)折一折，畫一畫：操作一：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：為上一點，沿折疊，使點落在上的點處，連接并延長交于點．①______(填數字結果)；②的形狀是______；(2)剪一剪，移一移：操作三：把紙片展平，沿，剪開；操作四：將沿方向平移得到，若交于點，交于點．連接，若，平移距離為，①求；②當為直角三角形時，請直接寫出的值．【答案】(1)①；②等邊三角形(2)①；②或【分析】（1）先判斷出，由操作一的折疊知，，，，由操作二的折疊知，，，，進而得出，求出，最后用直角三角形的兩銳角互余即可得出結論；（2）①分別求得兩個三角形的面積，即可求解；②先求出，進而得出，再分兩種情況：、當時，先判斷出，再判斷出，即可得出答案；、當時，先判斷出，再求出，，即可求出答案．【詳解】（1）解：①四邊形是矩形，，由操作一的折疊知，，，，由操作二的折疊知，，，，，在中，，，故答案為：．②，，，，在中，，由操作二的折疊知，，，，，是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；（2）①由（1）知，是等邊三角形，根據平移可得，，是等邊三角形，，，平移距離為，則，，，，，，故答案為：．②在中，，，，由操作四的平移知，，由（）知，，是直角三角形，或，、當時，如圖，則，由平移知，，，，，，，，由操作二折疊知，，，，，，，，，，由操作四的平移知，，，即平移的距離；、當時，如圖，則，由平移知，，，，是等邊三角形，在中，，在中，，，，，即平移的距離或，故答案為：或．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數，等邊三角形的判定和性質，平移的性質，用分類討論的思想是解決最后一問的關鍵．26．（2024·河北邯鄲·二模）如圖1，在矩形中，，，，垂足為E．F是點E關于的對稱點，連接，．(1)求證：；(2)若將繞點B按順時針方向旋轉，當邊與重合時停止，求邊掃過的面積；(3)將一個與完全重合的透明三角板進行如下操作．①若將三角板沿射線方向平移，如圖2，當點落在邊上時，立刻將繞點順時針旋轉，點H在上，且，若平移的速度為每秒1個單位長度，繞點旋轉的速度為每秒，在整個運動過程中，求出點H在區域（含邊界）內的時長；②若將三角板沿射線方向平移，點H在上，且，如圖3，當點與H點重合時，立刻將繞點逆時針旋轉，當點落在邊上時停止，設旋轉過程中分別交于點P，Q，若，直接寫出旋轉過程中的長（用含d的式子表示）．【答案】(1)證明見解析(2)(3)①；②【分析】（1）根據軸對稱的性質得到，，又由即可證明；（2）利用矩形的性質和含30度角的直角三角形，求出的長及，利用扇形面積公式即可求解；（3）①根據題意，可知點H在區域內可分為兩段：當點H落在邊上和當落在線段上，進行求解即可；②繞點逆時針旋轉得到，點落在邊上的處，交于點，交于點，過點P作的垂線，垂足為，由題意得出，解直角三角形求出，再求出，證明，利用相似的性質求出，由即可求解．【詳解】（1）證明：∵F是點E關于的對稱點，∴，，∵，∴；（2）解：如圖，邊與重合時，點A的對應點為，矩形中，，，，，，，，，，，，，邊掃過的面積是以的長為半徑，圓心角為的扇形的面積，邊掃過的面積為：；（3）解：①根據題意，可知點H在區域內可分為兩段：當點H落在邊上時，如圖，∵，，∴，∴；此時平移的時間為（秒）；當落在線段上時，如圖，由①得，，則；此時從B到的平移時間為6秒；∵，∴，∴繞點順時針旋轉時，當旋轉到經過點H時，記此時的對應點為M，∵，，∴在直角三角形中，，∴，∵，∴，∴旋轉時點H在區域（含邊界）內的時長為（秒）；綜上，在整個運動過程中，點H在區域（含邊界）內的時長為（秒）；②如圖，繞點逆時針旋轉得到，點落在邊上的處，交于點，交于點，過點P作的垂線，垂足為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，