第30頁（共30頁）2025年高考數學復習新題速遞之集合（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?湖南模擬）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x∈N|2﹣x≥0}，則A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{1，2}2．（2025?小店區校級模擬）設全集U＝Z，A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈N||x|≤2}，則圖中陰影部分表示的集合是（）A．{1} B．{﹣1，2} C．{0，1} D．{﹣1，0，2}3．（2025?昌黎縣校級模擬）已知集合M，N均為U的子集，且M?N，則（?UM）∩（?UN）等于（）A．U B．?UM C．?UN D．?4．（2025?海南模擬）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，則A∩B＝（）A．[﹣1，1] B．[﹣2，2] C．{0，2} D．{﹣2，0，2}5．（2025春?北京校級月考）已知集合M＝{y|y＝2sinx}，N＝Z，則M∩N等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，2} C．{0，1，2} D．[﹣2，2]6．（2025春?秦皇島月考）已知集合A＝{x|3x＜2x}，B＝{x|x2＜1}，則A∩B＝（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．?7．（2025春?陜西月考）已知集合A＝{（x，y）|y＝x2﹣2x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝2x﹣5}，則A∩B的元素個數是（）A．0 B．1 C．2 D．無數8．（2025春?耒陽市月考）已知集合A＝{x|2x＜9}，B＝{x∈N|x≤4}，則集合A∩B中的元素個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?永年區校級開學）已知集合A＝{x|2x﹣3＜3x}，B＝{x|x≥2}，則有（）A．﹣3?A B．0?B C．B?A D．{2}∈B（多選）10．（2025?開封二模）已知集合A＝{x|﹣3＜2x﹣1＜3}，?RB?A，則（）A．﹣1?B B．2∈B C．﹣1∈A∪B D．2∈A∩B（多選）11．（2025?望城區校級模擬）若平面點集，滿足：任意點（x，y）∈M，存在正實數t，都有（tx，ty）∈M，則稱該點集為“t階集”，則下列說法正確的是（）A．若M={(x，y)|y=B．若M＝{（x，y）|y＝2x}是“t階集”，則t為任意正實數 C．若M＝{（x，y）|x2≤4y}是“t階集”，則0＜t≤1 D．若M={(x，y)|y（多選）12．（2024秋?濟源期末）下列關系中，正確的是（）A．0?N B．{0}∈{0，1} C．32∈Q D．?三．填空題（共4小題）13．（2025?嘉定區二模）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，集合B＝{x|1≤x＜4}，則A∩B＝．14．（2025?江西模擬）已知集合A＝{1，3，4，5}，U＝{1，2，3，…，19}，集合U的子集B＝{a1，a2，a3，a4，a5}，若對于任意的1≤i＜j≤5，i，j∈Z，都有|ai﹣aj|?A，則符合條件的集合B的個數為．15．（2025?上海校級模擬）已知集合A＝[﹣1，1]，B＝（0，3），則A∩B＝．16．（2025?衡水模擬）設集合A＝{a，b}，B＝{2a，2a2}，若A＝B，則ab＝．四．解答題（共4小題）17．（2025春?湖南月考）對非空整數集合M及k∈N，定義M⊕k＝{m+t|m∈M，t＝﹣k，﹣k+1，?，k}，對于非空整數集合A，B，定義d（A，B）＝min{k∈N|A?B⊕k，B?A⊕k}．注：min{k∈N|A?B⊕k，B?A⊕k}是指滿足A?B⊕k且B?A⊕k的最小自然數k．（1）設M＝{3，5，7}，請直接寫出集合M⊕1；（2）設A＝{1，2，3，?，80}，d（A，B）＝1，求出非空整數集合B的元素個數的最小值；（3）對三個非空整數集合A，B，C，若d（A，B）＝3且d（B，C）＝1，求d（A，C）的所有可能取值．18．（2024秋?郴州期末）已知集合S＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}，T＝{x|x2≤4}．（1）若S?T，求實數m的取值范圍；（2）若S∩T＝?，求實數m的取值范圍．19．（2024秋?張家港市校級期末）設集合A={（1）若M＝N，A∩B；（2）若M＝R，A∪B，A∩（?RB）．20．（2025?芙蓉區校級模擬）已知集合U＝{a|a＝2m+2n﹣3，m，n∈N}，實數b滿足b2﹣b+1∈{1，3，b}．（1）若集合A＝{a1，a2，a3}，且a1，a2，a3是集合U中最小的三個元素，求集合A；（2）在（1）的條件下，若實數b構成的集合為B，且集合C＝A∪B，若實數p，q∈C，且關于x的方程px2+2x+2q＝0有實數解，請列出所有滿足條件的有序數對（p，q）．

2025年高考數學復習新題速遞之集合（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CBCDAABC二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACBCABCCD一．選擇題（共8小題）1．（2025?湖南模擬）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x∈N|2﹣x≥0}，則A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{1，2}【考點】求集合的交集．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】C【分析】由一元二次不等式與一元一次不等式，求得集合，利用交集，可得答案．【解答】解：因為集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x∈N|x≤2}＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}．故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集運算，屬于基礎題．2．（2025?小店區校級模擬）設全集U＝Z，A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈N||x|≤2}，則圖中陰影部分表示的集合是（）A．{1} B．{﹣1，2} C．{0，1} D．{﹣1，0，2}【考點】Venn圖表示交并補混合運算．【專題】轉化思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】B【分析】先判斷表示的集合，再利用交集和并集的定義求解即可．【解答】解：由題可得：B＝{x∈N||x|≤2}＝{0，1，2}，故A∩B＝{0，1}，A∪B＝{﹣1，0，1，2}，而陰影部分表示的集合是{x|x∈A∪B且x?A∩B}＝{﹣1，2}，故B正確．故選：B．【點評】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題．3．（2025?昌黎縣校級模擬）已知集合M，N均為U的子集，且M?N，則（?UM）∩（?UN）等于（）A．U B．?UM C．?UN D．?【考點】集合交并補混合關系的應用．【專題】轉化思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】C【分析】根據題意作出Venn圖，結合圖形判斷即可．【解答】解：集合M，N均為U的子集，且M?N，作出Venn圖如下：因為（?UM）∩（?UN）＝?U（M∪N）＝?UN．故選：C．【點評】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題．4．（2025?海南模擬）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，則A∩B＝（）A．[﹣1，1] B．[﹣2，2] C．{0，2} D．{﹣2，0，2}【考點】交集及其運算．【專題】計算題；集合思想；定義法；集合；運算求解．【答案】D【分析】分別求得集合A、B，利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故選：D．【點評】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．5．（2025春?北京校級月考）已知集合M＝{y|y＝2sinx}，N＝Z，則M∩N等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，2} C．{0，1，2} D．[﹣2，2]【考點】求集合的交集；正弦函數的定義域和值域．【專題】轉化思想；轉化法；集合；運算求解．【答案】A【分析】根據三角函數的值域，結合集合的交集，可得答案．【解答】解：由N＝Z，M＝{y|y＝2sinx}＝[﹣2，2]，由交集的定義可知，M∩N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故選：A．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．6．（2025春?秦皇島月考）已知集合A＝{x|3x＜2x}，B＝{x|x2＜1}，則A∩B＝（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．?【考點】求集合的交集；解一元二次不等式；由指數函數的單調性求解參數．【專題】轉化思想；轉化法；集合；運算求解．【答案】A【分析】分別求解集合A與集合B，再根據交集的定義求出A∩B．【解答】解：集合B＝{x|x2＜1}，解不等式x2＜1，得到﹣1＜x＜1，即集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，集合A＝{x|3x＜2x}，將不等式3x＜2x變形為3x2x則x＜0，所以集合A＝{x|x＜0}．所以A∩B＝{x|﹣1＜x＜0}，即A∩B＝（﹣1，0）．故選：A．【點評】本題主要考查集合的運算，屬于基礎題．7．（2025春?陜西月考）已知集合A＝{（x，y）|y＝x2﹣2x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝2x﹣5}，則A∩B的元素個數是（）A．0 B．1 C．2 D．無數【考點】求集合的交集．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】B【分析】依題意，A∩B轉換為兩函數圖象交點問題，聯立方程組求解，從而得到答案．【解答】解：聯立y=x2所以A∩B＝{（2，﹣1）}，所以A∩B的元素個數是有1個元素．故選：B．【點評】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題．8．（2025春?耒陽市月考）已知集合A＝{x|2x＜9}，B＝{x∈N|x≤4}，則集合A∩B中的元素個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】求集合的交集；指、對數不等式的解法．【專題】集合思想；綜合法；函數的性質及應用；集合；運算求解．【答案】C【分析】根據指數函數與對數函數的性質，結合交集的概念可得結果．【解答】解：由題意得，A＝{x|2x＜9}＝{x|x＜log29}，B＝{x∈N|x≤4}＝{0，1，2，3，4}，因為log28＜log29＜log216，即3＜log29＜4，所以A∩B＝{0，1，2，3}，所以集合A∩B中的元素個數是4．故選：C．【點評】本題主要考查了對數不等式的解法，考查了集合的交集運算，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?永年區校級開學）已知集合A＝{x|2x﹣3＜3x}，B＝{x|x≥2}，則有（）A．﹣3?A B．0?B C．B?A D．{2}∈B【考點】集合的包含關系判斷及應用．【專題】集合思想；定義法；集合；運算求解．【答案】AC【分析】根據集合的子集關系以及元素與集合的關系即可求解．【解答】解：集合A＝{x|2x﹣3＜3x}＝{x|x＞﹣3}，B＝{x|x≥2}，則﹣3?A，0?B，B?A，{2}?B，即AC正確，BD錯誤．故選：AC．【點評】本題考查集合間關系的應用，屬于基礎題．（多選）10．（2025?開封二模）已知集合A＝{x|﹣3＜2x﹣1＜3}，?RB?A，則（）A．﹣1?B B．2∈B C．﹣1∈A∪B D．2∈A∩B【考點】集合的包含關系的應用．【專題】整體思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】BC【分析】根據集合交并補的運算一一分析即可/【解答】解：A＝{x|﹣3＜2x﹣1＜3}＝{x|﹣1＜x＜2}，對于選項A，若﹣1?B，則﹣1∈?RB，則根據?RB?A有﹣1∈A，顯然矛盾，故選項A錯誤；對于選項B，假設2?B，則2∈?RB，根據?RB?A有2∈A，顯然矛盾，則2∈B，故選項B正確；對于選項C，由A知，﹣1∈B，則﹣1∈A∪B，故選項C正確；對于選項D，顯然2?A，必有2?A∩B，故選項D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查了集合的基本運算，考查了元素與集合的關系，屬于基礎題．（多選）11．（2025?望城區校級模擬）若平面點集，滿足：任意點（x，y）∈M，存在正實數t，都有（tx，ty）∈M，則稱該點集為“t階集”，則下列說法正確的是（）A．若M={(x，y)|y=B．若M＝{（x，y）|y＝2x}是“t階集”，則t為任意正實數 C．若M＝{（x，y）|x2≤4y}是“t階集”，則0＜t≤1 D．若M={(x，y)|y【考點】元素與集合關系的判斷；命題的真假判斷與應用．【專題】集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】ABC【分析】根據“t階集”的定義，逐項進行判定即可．【解答】解：對于A，若M={(x，y)|y=2x}因為t＞0，所以t＝1，故A正確；對于B，若M＝{（x，y）|y＝2x}是“t階集”，則ty＝2tx，則t為任意正實數，故B正確；對于C，若M＝{（x，y）|x2≤4y}是“t階集”，則（tx）2≤4ty，由t＞0得出tx2≤4y，當0＜t≤1時，tx2≤x2≤4y，所以tx2≤4y，當t＞1時，取x＝1，y＝0.25，滿足x2≤4y，但是tx2＝t＞1＝4y，所以為使x2≤4y成立時，tx2≤4y，正實數t的取值范圍是0＜t≤1，故C是正確；對于D，若M={(x，y)|當t=19，y＝4，x＝3時，tx=1故選：ABC．【點評】本題是新定義題型，通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，是中檔題．（多選）12．（2024秋?濟源期末）下列關系中，正確的是（）A．0?N B．{0}∈{0，1} C．32∈Q D．?【考點】判斷兩個集合的包含關系；判斷元素與集合的屬于關系．【專題】整體思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】CD【分析】由元素與集合間的關系可判斷AC，由集合間的包含關系可判斷BD．【解答】解：對于A，由元素與集合之間的關系可得0∈N，故A錯誤；對于B，由集合間的包含關系可得{0}?{0，1}，故B錯誤；對于C，由元素與集合之間的關系可得32∈Q對于D，因為空集是任何集合的子集，所以??{0}，故D正確．故選：CD．【點評】本題主要考查了元素與集合間的關系，考查了集合間的包含關系，屬于基礎題．三．填空題（共4小題）13．（2025?嘉定區二模）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，集合B＝{x|1≤x＜4}，則A∩B＝{x|1≤x≤3}．【考點】求集合的交集．【專題】轉化思想；轉化法；集合；運算求解．【答案】{x|1≤x≤3}．【分析】根據已知條件，結合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，集合B＝{x|1≤x＜4}，則A∩B＝{x|1≤x≤3}．故答案為：{x|1≤x≤3}．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．14．（2025?江西模擬）已知集合A＝{1，3，4，5}，U＝{1，2，3，…，19}，集合U的子集B＝{a1，a2，a3，a4，a5}，若對于任意的1≤i＜j≤5，i，j∈Z，都有|ai﹣aj|?A，則符合條件的集合B的個數為30．【考點】子集的個數．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】30．【分析】根據題意，設bk＝ak+1﹣ak，即可得到B中元素由a1＝2和有序數組（b1，b2，b3，b4）決定，然后分類討論即可得到b1，b2，b3，b4中有2個2，分別計算其對應的情況數，然后相加，即可得到結果．【解答】解：不妨設a1＜a2＜a3＜a4＜a5，再設bk＝ak+1﹣ak，k＝1，2，3，4，則B中元素由a1和有序數組（b1，b2，b3，b4）決定．b1+b2+b3+b4＝a5﹣a1≤19﹣1＝18，bk?{1，3，4，5}，且（b1，b2，b3，b4）中任意相鄰幾個之和也不屬于{1，3，4，5}，否則會出現aj﹣ai∈A，若b1，b2，b3，b4中沒有2或只有1個2，則一定有b1+b2+b3+b4＞18，不符合題意．若b1，b2，b3，b4中有3個2或4個2，不滿足（b1，b2，b3，b4）中任意相鄰幾個之和也不屬于{1，3，4，5}，所以b1，b2，b3，b4中有2個2．考慮（b1，b2，b3，b4）的排列情況和a1的取值情況：若b1，b2，b3，b4由2，2，6，6組成，則B的個數為3×3＝9；若b1，b2，b3，b4由2，2，6，7組成，則B的個數為6×2＝12；若b1，b2，b3，b4由2，2，6，8組成，則B的個數為6×1＝6；若b1，b2，b3，b4由2，2，7，7組成，則B的個數為3×1＝3．故符合條件的集合B的個數為9+12+6+3＝30．【點評】本題考查集合新定義，對于集合新定義，首先要了解集合的特性，包括抽象特性和計算特性，抽象特性是將集合可近似的當作數列或者函數分析，計算特性是將復雜的關系通過找規律利用已學相關知識求解，是中檔題．15．（2025?上海校級模擬）已知集合A＝[﹣1，1]，B＝（0，3），則A∩B＝（0，1]．【考點】求集合的交集．【專題】集合思想；定義法；集合；運算求解．【答案】（0，1]．【分析】利用交集的定義可得出集合A∩B．【解答】解：由集合A＝[﹣1，1]，B＝（0，3），得A∩B＝[﹣1，1]∩（0，3）＝（0，1]．故答案為：（0，1]．【點評】本題考查交集及其運算，是基礎題．16．（2025?衡水模擬）設集合A＝{a，b}，B＝{2a，2a2}，若A＝B，則ab＝12【考點】集合的相等．【專題】整體思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】12【分析】根據給定條件，利用集合元素的特性及集合相等求出a，b．【解答】解：B＝{2a，2a2}中，2a≠2a2，則a≠0且a≠1，而A＝{a，b}，A＝B，a=2a2b=2a，解得b所以ab=故答案為：12【點評】本題主要考查了集合相等條件的應用，屬于基礎題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?湖南月考）對非空整數集合M及k∈N，定義M⊕k＝{m+t|m∈M，t＝﹣k，﹣k+1，?，k}，對于非空整數集合A，B，定義d（A，B）＝min{k∈N|A?B⊕k，B?A⊕k}．注：min{k∈N|A?B⊕k，B?A⊕k}是指滿足A?B⊕k且B?A⊕k的最小自然數k．（1）設M＝{3，5，7}，請直接寫出集合M⊕1；（2）設A＝{1，2，3，?，80}，d（A，B）＝1，求出非空整數集合B的元素個數的最小值；（3）對三個非空整數集合A，B，C，若d（A，B）＝3且d（B，C）＝1，求d（A，C）的所有可能取值．【考點】元素與集合的屬于關系的應用．【專題】綜合題；集合思想；綜合法；集合；數學建模；新定義類．【答案】（1）{2，3，4，5，6，7，8}；（2）27；（3）2或3或4．【分析】（1）設M＝{3，5，7}，結合題設定義直接寫出集合M1；（2）設B有|B|個元素，由B＝{2，5，8，…，77，80}，則A∠B⊕0＝B，證得B|min＝27，再假設|B|＝j≤26得到矛盾，則有|B|＝j≥27，即可得；（3）先證（M⊕k）⊕l?M⊕（k+1），如d（A，B）＝p，d（B，C）＝q，d（A，C）＝r，結合結論得d（A，C）＝r≤d（A，B）+d（B，C）＝p+q，進而有d（A，C）∈{2，3，4}，注意驗證．【解答】解：（1）若M＝{3，5，7}，則由集合新定義可知M⊕1＝{2，3，4}∪{4，5，6}∪{6，7，8}＝{2，3，4，5，6，7，8}．（2）設B有|B|個元素，下證|B|min＝27．一方面．B＝{2，5，8，?，77，80}，則A?B⊕0＝B，所以d（A，B）≠0，即d（A，B）≥1，而B?A⊕1＝{0，1，2，3，4，?，81}，A?B⊕1＝{1，2，3，4，?，81}，這表明了d（A，B）＝1滿足題意，此時|B|=80-23+1=27，故|B根據題目：對非空整數集合M及k∈N，定義M⊕k＝{m+t|m∈M，t＝﹣k，﹣k+1，?，k}，對于非空整數集合A，B，定義d（A，B）＝min{k∈N|A?B⊕k，B?A⊕k}．另一方面：若|B|＝j≤26，不妨設B＝{b1，b2，?，bj}且b1＜b2＜?＜bj，由題意可知A?B⊕1＝{b1﹣1，b1，b1+1}∪{b2﹣1，b2，b2+1}∪?∪{bj﹣1，bj，bj+1}，而B⊕1最多含有3j≤78個元素，當且僅當{bk﹣1，bk，bk+1}（1≤k≤j）兩兩不同且|B|＝j＝26時，等號成立，但這與A有80個元素矛盾，所以|B|＝j≥27．綜上所述：非空整數集合B的元素個數的最小值是27．（3）一方面：先來證明（M⊕k）⊕l?M⊕（k+l），M⊕k＝{m+t|m∈M，t＝﹣k，﹣k+1，?，k}＝{n∈Z|?m∈M，|n﹣m|≤k}，因此只要M1?M2，就有M1⊕k?M2⊕k，而?x∈（M⊕k）⊕l，?p∈M⊕k，|x﹣p|≤l，所以?m∈M，|p﹣m|≤k．所以|x﹣m|＝|x﹣p+p﹣m|≤|x﹣p|+|p﹣m|≤l+k，即?x∈M⊕（k+l），從而（M⊕k）⊕l?M⊕（k+l）．另一方面，如果d（A，B）＝p，d（B，C）＝q，d（A，C）＝r，那么A?B⊕p，B?C⊕q，B⊕p?（C⊕q）⊕p?C⊕（p+q），從而A?C⊕（p+q），同理C?A⊕（p+q），因此由定義可得d（A，C）＝r≤d（A，B）+d（B，C）＝p+q，即d滿足距離的三角不等式；所以d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）＝3+1＝4，d（A，C）≥d（A，B）﹣d（B，C）＝3﹣1＝2，即d（A，C）∈{2，3，4}，取A＝{0}，B＝{3}，C＝{2}，可知d（A，C）＝2可能成立，取A＝{0}，B＝{3}，C＝{2，3}，可知d（A，C）＝3可能成立，取A＝{0}，B＝{3}，C＝{4}，可知d（A，C）＝4可能成立．綜上所述，d（A，C）所有可能取值為2或3或4．【點評】本題考查元素與集合的屬于關系的應用，屬于中等題，18．（2024秋?郴州期末）已知集合S＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}，T＝{x|x2≤4}．（1）若S?T，求實數m的取值范圍；（2）若S∩T＝?，求實數m的取值范圍．【考點】集合的包含關系的應用；集合交集關系的應用．【專題】分類討論；定義法；集合；運算求解．【答案】（1）{m|m＜﹣2或-1（2）{m|m＞3或m＜-【分析】（1）分S＝?和S≠?兩種情況，得到不等式，求出實數m的取值范圍；（2）分S＝?和S≠?，得到不等式，求出答案．【解答】解：（1）集合S＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}，T＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，S?T，當S＝?時，m﹣1＞2m+1，解得m＜﹣2，當S≠?時，m-1≤m的取值范圍為{m|m＜﹣2或-1（2）S∩T＝?，當S＝?時，m﹣1＞2m+1，解得m＜﹣2，當S≠?時，m-1≤解得-2≤m＜-3m的取值范圍為{m|m＞3或m＜-【點評】本題考查集合間關系的應用，屬于中檔題．19．（2024秋?張家港市校級期末）設集合A={（1）若M＝N，A∩B；（2）若M＝R，A∪B，A∩（?RB）．【考點】集合的交并補混合運算．【專題】轉化思想；轉化法；集合；運算求解．【答案】（1）A∩B＝{3，4}；（2）A∪B＝{x|1≤x＜5}，A∩（?RB）＝{x|1≤x≤2}．【分析】（1）解不等式求得集合A，B，由此求得A∩B．（2）根據并集、補集、交集的知識求得正確答案．【解答】解：（1）2≤2x≤16＝24，所以1≤x≤4，所以A＝{x∈M|1≤x≤4}．x-2x-5＜0?(x-2)(x-5)＜0，解得2若M＝N，則A＝{1，2，3，4}，所以A∩B＝{3，4}．（2）?RB＝{x|x≤2或x≥5}，若M＝R，則A＝{x|1≤x≤4}，所以A∩（?RB）＝{x|1≤x≤2}，A∪B＝{x|1≤x＜5}．【點評】本題主要考查集合的混合運算，屬于基礎題．20．（2025?芙蓉區校級模擬）已知集合U＝{a|a＝2m+2n﹣3，m，n∈N}，實數b滿足b2﹣b+1∈{1，3，b}．（1）若集合A＝{a1，a2，a3}，且a1，a2，a3是集合U中最小的三個元素，求集合A；（2）在（1）的條件下，若實數b構成的集合為B，且集合C＝A∪B，若實數p，q∈C，且關于x的方程px2+2x+2q＝0有實數解，請列出所有滿足條件的有序數對（p，q）．【考點】求集合的并集．【專題】集合思想；定義法；集合；運算求解．【答案】（1）A＝{﹣1，0，1}．（2）（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣1），（2，﹣1），（﹣1，0），（1，0），（2，0），（﹣1，1），（﹣1，2）．【分析】（1）根據單調性得到最小的三個元素，得到答案；（2）先求出B＝{0，﹣1，2}，得到C＝{﹣1，0，1，2}，分p＝0和p≠0，結合根的判別式得到滿足的條件，求出所有滿足條件的有序數對．【解答】解：（1）a＝2m+2n﹣3，m，n∈N隨著m，n的增大而增大，又m，n∈N，故集合U中最小的三個元素依次為：20+20﹣3＝﹣1，21+20﹣3＝0，21+21﹣3＝1，∴A＝{﹣1，0，1}．（2）b2﹣b+1∈{1，3，b}，當b2﹣b+1＝1時，b＝0或b＝1，當b＝1時，與元素互異性矛盾，舍去，b＝0滿足要求；當b2﹣b+1＝3時，b＝﹣1或b＝2，兩者均滿足條件；當b2﹣b+1＝b時，b＝1（舍去），綜上，B＝{0，﹣1，2}，C＝A∪B＝{﹣1，0，1}∪{0，﹣1，2}＝{﹣1，0，1，2}，p，q∈C，關于x的方程為px2+2x+2q＝0有實數解，當p＝0時，2x+2q＝0，解得x＝﹣q，滿足要求，∴q＝﹣1，0，1，2均可，滿足條件的有序數對有（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），當p≠0，需滿足Δ＝4﹣8pq≥0，即pq≤1若q＝﹣1，則p＝1，2，滿足條件的有序數對有（1，﹣1），（2，﹣1），若q＝0，則p＝﹣1，1，2，滿足條件的有序數對有（﹣1，0），（1，0），（2，0），若q＝1，則p＝﹣1，滿足條件的有序數對有（﹣1，1），若q＝2，則p＝﹣1，滿足條件的有序數對有（﹣1，2），綜上，滿足條件的有序數對有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣1），（2，﹣1），（﹣1，0），（1，0），（2，0），（﹣1，1），（﹣1，2）．【點評】本題考查函數的單調性、元素的互異性、有序數對等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．

考點卡片1．元素與集合關系的判斷【知識點的認識】1、元素與集合的關系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關系是屬于與不屬于關系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設屬于A，再根據兩偶數的積為4的倍數；兩奇數的積仍為奇數得出矛盾，從而證明要證的結論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數，與4k﹣2不是4的倍數矛盾．2、當m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數，∴（m﹣n）（m+n）為奇數，與4k﹣2是偶數矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據集合的屬性求出相關的參數．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點評：本題考查集合與元素之間的關系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．2．判斷元素與集合的屬于關系【知識點的認識】元素與集合的關系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關系是屬于與不屬于關系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍．驗證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件．符號表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合．【命題方向】驗證元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設屬于A，再根據兩偶數的積為4的倍數；兩奇數的積仍為奇數得出矛盾，從而證明要證的結論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數，與4k﹣2不是4的倍數矛盾．2、當m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數，∴（m﹣n）（m+n）為奇數，與4k﹣2是偶數矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關系的判斷．分類討論的思想．3．元素與集合的屬于關系的應用【知識點的認識】元素與集合的關系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關系是屬于與不屬于關系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．【命題方向】知元素是集合的元素，根據集合的屬性求出相關的參數．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點評：本題考查集合與元素之間的關系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．4．集合的相等【知識點的認識】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時B?A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B．（3）對于兩個有限數集A＝B，則這兩個有限數集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質：①兩個集合的元素個數相等；②兩個集合的元素之和相等；③兩個集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實質是一致的，只是表達方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據．【解題方法點撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個元素都在B中，而且B中的每一個元素都在A中．解題時往往只解答一個問題，忽視另一個問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．【命題方向】通常是判斷兩個集合是不是同一個集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運算相聯系，也可能與函數的定義域、值域聯系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現，有時出現在大題的一小問．5．集合的包含關系判斷及應用【知識點的認識】概念：1．如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質來判斷兩個集合之間的關系．4．有時借助數軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數形結合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關系，可以與函數的定義域，三角函數的解集，子集的個數，簡易邏輯等知識相結合命題．6．判斷兩個集合的包含關系【知識點的認識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質來判斷兩個集合之間的關系．4．有時借助數軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數形結合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，則（）A．A＞BB．B∈AC．A?BD．B?A解：由題意可得，B?A．故選：D．7．集合的包含關系的應用【知識點的認識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質來判斷兩個集合之間的關系．4．有時借助數軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數形結合等方法．【命題方向】設m為實數，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當m＞2m﹣1時，即m＜1時，B＝?，符合題意；當m≥1時，可得-3≤m綜上所述，m≤32，即m故答案為：(-∞，8．子集的個數【知識點的認識】1、子集真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【解題方法點撥】公式計算：若一個集合有n個元素，則它的子集個數為2^n．理解冪集：冪集是一個集合的所有子集組成的集合．【命題方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，當x∈Z時，求A的非空真子集的個數．解：當x∈Z時，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8個元素，∴A的非空真子集的個數為28﹣2＝254個；9．求集合的并集【知識點的認識】由所有屬于集合A或屬于集合B的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算性質：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或屬于B的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命題方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝解：依題意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．10．交集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數的定義域，值域，函數的單調性、復合函數的單調性等聯合命題．11．求集合的交集【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．12．集合交集關系的應用【知識點的認識】兩個或兩個以上的集合中，元素含有待確定的變量，需要通過集合的子集、相等、交集、并集、補集等關系求出變量的取值等問題．【解題方法點撥】求參數的取值或取值范圍的關健，是轉化條件得到相應參數的方程或不等式．本題根據元素與集合之間的從屬關系得到參數的方程，然后通過解方程求解．求解中需注意兩個方面：一是考慮集合元素的無序性，由此按分類討論解答，二是涉及其它知識點例如函數與方程的思想，函數的零點，恒成立問題等等．【命題方向】集合中的參數取值范圍問題，一般難度比較大，幾乎與高中數學的所以知識相聯系，特別是與函數問題結合的題目，涉及恒成立，函數的導數等知識命題，值得重視．13．集合的交并補混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質，借助數軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎題．設全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：（Ⅰ）?U（A∩B）；（Ⅱ）（?UA）∪（?UB）；（Ⅲ）A∩（?UB）．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，∵全集U＝R，∴?U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）（?UA）∪（?UB）＝?U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，∴?UB＝{x|x≤1或x≥5}，∵A＝{x|0≤x＜8}，∴A∩（?UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．14．Venn圖表示交并補混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．Venn圖表示N∩（?UM）為：．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質，借助數軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】如圖，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，則陰影部分表示的集合是（）解：由題意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，故陰影部分表示的集合是?R（M∪N）＝[0，8]．15．集合交并補混合關系的應用【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質，借助數軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∩（?RB）＝A，則實數a的取值范圍是（）解：因為B＝{x|1＜x＜2}，所以?RB＝{x|x≤1或x≥2}，由A＝{x|x≤a}，且A??RB，得a≤1．16．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關系進行轉化判斷．【命題方向】該部分內容是《課程標準》新增加