（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（每題3分，共15題，45分）1.若復數$z=3+4i$，則$z^2$的值為（）A.$7+24i$B.$724i$C.$7+24i$D.$724i$2.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_4=10$，則公差$d$為（）A.2B.3C.4D.53.若函數$f(x)=x^22x+1$，則$f(x)$的最小值為（）A.0B.1C.1D.24.若矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A^T$的值為（）A.$\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$5.若函數$y=\ln(x^21)$的定義域為（）A.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(\infty,1]\cup[1,+\infty)$C.$(1,1)$D.$[1,1]$6.若$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\sin\theta\cos\theta$的值為（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$7.若函數$f(x)=\frac{1}{x1}$，則$f'(x)$的值為（）A.$\frac{1}{(x1)^2}$B.$\frac{1}{(x1)^2}$C.$\frac{1}{x1}$D.$\frac{1}{x1}$8.若向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(4,5,6)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值為（）A.32B.33C.34D.359.若函數$f(x)=e^x$，則$f'(x)$的值為（）A.$e^x$B.$e^{x}$C.$e^x$D.$e^{x}$10.若矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\det(A)$的值為（）A.2B.2C.1D.111.若函數$f(x)=\ln(x)$，則$f'(x)$的值為（）A.$\frac{1}{x}$B.$\frac{1}{x}$C.$x$D.$x$12.若等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_3=5$，則$a_5$的值為（）A.9B.7C.5D.313.若函數$f(x)=x^33x^2+2x$，則$f'(x)$的值為（）A.$3x^26x+2$B.$3x^26x2$C.$3x^2+6x2$D.$3x^2+6x+2$14.若函數$f(x)=\sin(x)$，則$f'(x)$的值為（）A.$\cos(x)$B.$\cos(x)$C.$\sin(x)$D.$\sin(x)$15.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，則$\vec{a}\times\vec{b}$的值為（）A.$2$B.$2$八、填空題（每題2分，共5題，10分）16.若等差數列an中，a11，公差d2，則a5a_5。17.若函數f(x)x33x22x，則f'(x)f'(x)。18.若矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，則det(A)det(A)。19.若函數yln(x21)的定義域為。20.若向量veca(1,2,3)，vecb(4,5,6)，則vecacdotvecb。九、解答題（每題10分，共5題，50分）21.已知函數f(x)x33x22x，求f(x)的極值。22.已知矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，求A的逆矩陣。23.已知等差數列an中，a11，公差d2，求a5a_5的值。24.已知函數yln(x21)，求其定義域。25.已知向量veca(1,2,3)，vecb(4,5,6)，求vecacdotvecb的值。十、證明題（每題10分，共3題，30分）26.證明等差數列an中，若a11，公差d2，則a5a_5。27.證明函數f(x)x33x22x的極值。28.證明矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix的逆矩陣。十一、計算題（每題10分，共3題，30分）29.計算等差數列an中，a11，公差d2的前n項和。30.計算函數f(x)x33x22x在x1處的導數。31.計算矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix的行列式。十二、應用題（每題10分，共3題，30分）32.應用等差數列an中，a11，公差d2的公式，求解a5a_5。33.應用函數f(x)x33x22x的導數，求解f(x)的極值。34.應用矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix的逆矩陣，求解方程組Axb。十三、分析題（每題10分，共3題，30分）35.分析等差數列an中，a11，公差d2的通項公式。36.分析函數f(x)x33x22x的極值。37.分析矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix的行列式。十四、討論題（每題10分，共3題，30分）38.討論等差數列an中，a11，公差d2的通項公式。39.討論函數f(x)x33x22x的極值。40.討論矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix的逆矩陣。十五、探究題（每題10分，共3題，30分）41.探究等差數列an中，a11，公差d2的通項公式。42.探究函數f(x)x33x22x的極值。43.探究矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix的行列式。一、選擇題答案：1.B2.B3.C4.D5.A6.B7.C8.D9.A10.B11.C12.D13.A14.B15.A二、填空題答案：16.517.3x26x218.219.(1,+∞)20.32三、解答題答案：21.極大值：f(0)2，極小值：f(2)222.A1beginpmatrix2&11.5&0.5endpmatrix23.a5524.定義域：(1,+∞)∪(∞,1)25.vecacdotvecb32四、證明題答案：26.由等差數列通項公式ana1(n1)d，代入a11，d2，得a5a55。27.極值點x0或2，f'(x)3x26x2，f''(x)6x6。當x0時，f''(x)6<0，故f(x)在x0處取得極大值；當x2時，f''(x)6>0，故f(x)在x2處取得極小值。28.det(A)a11a22a12a21，代入Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，得det(A)2。六、應用題答案：32.a5a5533.極大值：f(0)2，極小值：f(2)234.方程組Axb的解為xbeginpmatrixx1x2endpmatrixbeginpmatrixb123b1b22endpmatrix七、分析題答案：35.通項公式ana1(n1)d，代入a11，d2，得an2n136.極值點x0或2，f'(x)3x26x2，f''(x)6x6。當x0時，f''(x)6<0，故f(x)在x0處取得極大值；當x2時，f''(x)6>0，故f(x)在x2處取得極小值。37.det(A)a11a22a12a21，代入Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，得det(A)2。八、討論題答案：38.通項公式ana1(n1)d，代入a11，d2，得an2n139.極值點x0或2，f'(x)3x26x2，f''(x)6x6。當x0時，f''(x)6<0，故f(x)在x0處取得極大值；當x2時，f''(x)6>0，故f(x)在x2處取得極小值。40.det(A)a11a22a12a21，代入Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，得det(A)2。九、探究題答案：41.通項公式ana1(n1)d，代入a11，d2，得an2n142.極值點x0或2，f'(x)3x26x2，f''(x)6x6。當x0時，f''(x)6<0，故f(x)在x0處取得極大值；當x2時，f''(x)6>0，故f(x)在x2處取得極小值。43.det(A)a11a22a12a21，代入Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，得det(A)2。1.等差數列通項公式：ana1(n1)d2.函數極值：f'(x)0，f''(x)>0極小值，f''(x)<0極大值3.矩陣行列式：det(A)a11a22a12a214.矩陣逆矩陣：A11/det(A)beginpmatrixa22&a12a21&a11endpmatrix5.方程組求解：Axb，xA1b6.函數導數：