2025年應用統計學專業研究生入學考試試卷及答案一、填空題（每空1分，共10分）

1.統計學是研究數據的_______、_______、_______和_______的學科。

2.樣本量越大，抽樣誤差_______。

3.概率分布分為_______分布和_______分布。

4.離散型隨機變量的期望值（期望）用符號_______表示。

5.假設檢驗的零假設用符號_______表示。

6.相關系數r的取值范圍是_______。

7.在一元線性回歸模型中，誤差項的方差稱為_______。

8.隨機變量的分布函數F(x)滿足_______、_______、_______和_______。

9.獨立同分布的隨機變量X，若E(X)存在，則E(X^n)等于_______。

10.假設檢驗的備擇假設用符號_______表示。

二、選擇題（每題2分，共10分）

1.下列哪個不是統計學的分支？

A.描述統計學

B.推斷統計學

C.應用統計學

D.經濟統計學

答案：D

2.下列哪個不是概率分布的類型？

A.離散型概率分布

B.連續型概率分布

C.離散型隨機變量

D.連續型隨機變量

答案：D

3.下列哪個不是假設檢驗的步驟？

A.提出假設

B.選擇檢驗方法

C.確定顯著性水平

D.計算統計量

答案：D

4.下列哪個不是相關系數的性質？

A.r的取值范圍是[-1,1]

B.r=1表示完全正相關

C.r=-1表示完全負相關

D.r=0表示沒有線性關系

答案：A

5.下列哪個不是線性回歸模型的性質？

A.線性回歸模型是多元的

B.線性回歸模型是線性的

C.線性回歸模型是可識別的

D.線性回歸模型是唯一的

答案：A

6.下列哪個不是分布函數的性質？

A.F(x)單調不減

B.F(x)右連續

C.F(x)≤1

D.F(x)≥0

答案：C

7.下列哪個不是隨機變量的性質？

A.隨機變量的取值是隨機的

B.隨機變量的取值是確定的

C.隨機變量的取值是唯一的

D.隨機變量的取值是可預測的

答案：B

8.下列哪個不是假設檢驗的類型？

A.單樣本假設檢驗

B.雙樣本假設檢驗

C.單因素方差分析

D.雙因素方差分析

答案：C

9.下列哪個不是線性回歸模型的假設？

A.殘差項獨立同分布

B.殘差項與自變量不相關

C.殘差項的方差為常數

D.殘差項的均值為0

答案：C

10.下列哪個不是概率分布的例子？

A.二項分布

B.正態分布

C.負二項分布

D.指數分布

答案：C

三、判斷題（每題2分，共10分）

1.統計學是一門應用數學的分支。（）

答案：√

2.抽樣誤差可以完全消除。（）

答案：×

3.概率分布可以描述隨機變量的所有可能取值及其發生的概率。（）

答案：√

4.假設檢驗的目的是確定樣本數據是否支持原假設。（）

答案：×

5.相關系數r的絕對值越大，表示兩個變量之間的線性關系越強。（）

答案：√

6.線性回歸模型中，自變量與因變量之間存在線性關系。（）

答案：√

7.分布函數可以描述隨機變量的取值范圍及其發生的概率。（）

答案：√

8.獨立同分布的隨機變量，其期望值和方差相等。（）

答案：×

9.假設檢驗的備擇假設是對原假設的否定。（）

答案：√

10.概率分布可以描述隨機變量的所有可能取值及其發生的概率。（）

答案：√

四、簡答題（每題5分，共25分）

1.簡述統計學的基本概念。

答案：統計學是一門研究數據的收集、整理、分析和解釋的學科。統計學的基本概念包括：總體、樣本、變量、數據、概率分布、期望、方差、協方差、相關系數等。

2.簡述抽樣誤差和抽樣分布的關系。

答案：抽樣誤差是指樣本統計量與總體參數之間的差異。抽樣分布是指樣本統計量的概率分布。抽樣誤差與抽樣分布的關系是：抽樣誤差越大，抽樣分布的方差越大；抽樣誤差越小，抽樣分布的方差越小。

3.簡述假設檢驗的基本步驟。

答案：假設檢驗的基本步驟包括：提出假設、選擇檢驗方法、確定顯著性水平、計算統計量、作出決策。

4.簡述相關系數的性質。

答案：相關系數的性質包括：r的取值范圍是[-1,1]，r=1表示完全正相關，r=-1表示完全負相關，r=0表示沒有線性關系。

5.簡述線性回歸模型的性質。

答案：線性回歸模型的性質包括：線性回歸模型是多元的，線性回歸模型是線性的，線性回歸模型是可識別的，線性回歸模型是唯一的。

五、計算題（每題10分，共50分）

1.從一批產品中隨機抽取10件，其重量如下（單位：kg）：2.5、2.7、2.8、2.9、3.0、3.1、3.2、3.3、3.4、3.5。求這批產品的平均重量、方差和標準差。

答案：平均重量=3.0kg，方差=0.025kg2，標準差=0.158kg。

2.設隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2)，其中μ=50，σ=10。求P(X≤60)、P(X≥40)、P(40≤X≤60)。

答案：P(X≤60)=0.8413，P(X≥40)=0.1587，P(40≤X≤60)=0.6826。

3.設隨機變量X和Y相互獨立，且X服從正態分布N(μ?,σ?2)，Y服從正態分布N(μ?,σ?2)。求X+Y的分布類型、期望和方差。

答案：X+Y服從正態分布N(μ?+μ?,σ?2+σ?2)，E(X+Y)=μ?+μ?，Var(X+Y)=σ?2+σ?2。

4.設隨機變量X和Y相互獨立，且X服從二項分布B(n,p)，Y服從泊松分布P(λ)。求X+Y的分布類型、期望和方差。

答案：X+Y服從負二項分布NB(n,p,λ)，E(X+Y)=np+λ，Var(X+Y)=np(1-p)+λ。

5.設隨機變量X和Y相互獨立，且X服從均勻分布U(a,b)，Y服從指數分布E(λ)。求X+Y的分布類型、期望和方差。

答案：X+Y服從伽馬分布Γ(k,θ)，E(X+Y)=kθ，Var(X+Y)=kθ2。

六、綜合題（每題15分，共30分）

1.某工廠生產一批產品，其重量服從正態分布N(μ,σ2)。已知該批產品的平均重量為3.0kg，標準差為0.1kg。現從該批產品中隨機抽取10件，求這10件產品的重量不超過3.1kg的概率。

答案：P(X≤3.1)=0.9772。

2.某公司生產的產品合格率服從二項分布B(n,p)。已知該公司生產的100件產品中有90件合格，求該批產品的合格率p。

答案：p=0.9。

3.某城市居民月收入服從正態分布N(μ,σ2)。已知該城市居民月收入的平均值為5000元，標準差為1000元。求該城市居民月收入在4000元至6000元之間的概率。

答案：P(4000≤X≤6000)=0.6826。

4.某批產品的重量服從正態分布N(μ,σ2)。已知該批產品的平均重量為3.0kg，標準差為0.1kg。現從該批產品中隨機抽取10件，求這10件產品的重量方差大于0.01kg2的概率。

答案：P(Var(X)>0.01)=0.1587。

本次試卷答案如下：

一、填空題

1.數據收集、數據整理、數據分析、數據解釋

2.越小

3.離散型、連續型

4.E(X)

5.H?

6.[-1,1]

7.殘差方差

8.單調不減、右連續、F(x)≤1、F(x)≥0

9.E(X^n)

10.H?

二、選擇題

1.D

2.D

3.D

4.A

5.A

6.C

7.B

8.C

9.C

10.C

三、判斷題

1.√

2.×

3.√

4.×

5.√

6.√

7.√

8.×

9.√

10.√

四、簡答題

1.總體：研究對象的全體。

樣本：從總體中隨機抽取的一部分。

變量：研究對象的各種特征。

數據：通過觀察或實驗得到的具體數值。

概率分布：描述隨機變量所有可能取值及其發生的概率。

期望：隨機變量的平均值。

方差：隨機變量取值與其期望值之差的平方的期望值。

協方差：兩個隨機變量取值之差的乘積的期望值。

相關系數：衡量兩個隨機變量線性關系強度的指標。

2.抽樣誤差是指樣本統計量與總體參數之間的差異。抽樣分布是指樣本統計量的概率分布。抽樣誤差與抽樣分布的關系是：抽樣誤差越大，抽樣分布的方差越大；抽樣誤差越小，抽樣分布的方差越小。

3.假設檢驗的基本步驟包括：

提出假設：根據問題提出原假設和備擇假設。

選擇檢驗方法：根據問題選擇合適的檢驗方法。

確定顯著性水平：確定犯第一類錯誤（拒絕正確假設）的概率。

計算統計量：根據樣本數據計算統計量。

作出決策：根據統計量和顯著性水平作出是否拒絕原假設的決策。

4.相關系數r的性質包括：

r的取值范圍是[-1,1]。

r=1表示完全正相關。

r=-1表示完全負相關。

r=0表示沒有線性關系。

5.線性回歸模型的性質包括：

線性回歸模型是多元的。

線性回歸模型是線性的。

線性回歸模型是可識別的。

線性回歸模型是唯一的。

五、計算題

1.平均重量=(2.5+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.3+3.4+3.5)/10=3.0kg

方差=[(2.5-3.0)2+(2.7-3.0)2+(2.8-3.0)2+(2.9-3.0)2+(3.0-3.0)2+(3.1-3.0)2+(3.2-3.0)2+(3.3-3.0)2+(3.4-3.0)2+(3.5-3.0)2]/9=0.025kg2

標準差=√0.025=0.158kg

2.P(X≤60)=Φ((60-50)/10)=Φ(1)=0.8413

P(X≥40)=1-Φ((40-50)/10)=1-Φ(-1)=1-0.1587=0.8413

P(40≤X≤60)=Φ((60-50)/10)-Φ((40-50)/10)=Φ(1)-Φ(-1)=0.8413-0.1587=0.6826

3.X+Y服從正態分布N(μ?+μ?,σ?2+σ?2)，E(X+Y)=μ?+μ?，Var(X+Y)=σ?2+σ?2

4.X+Y服從負二項分布NB(n,p,λ)，E(X+Y)=np+λ，Var(X+Y)=np(1-p)+λ

5.X+Y服從伽馬分布Γ(k,θ)，E(X+Y)=kθ，Var(X+Y)=kθ2

六、綜合題

1.P(X≤3.1)=Φ((3.1-3.0)/0.1)=Φ(1)=0.8