PAGE5-第四節數系的擴充與復數的引入[考綱傳真]1.理解復數的概念，理解復數相等的充要條件.2.了解復數的代數表示法及其幾何意義.3.能進行復數代數形式的四則運算，了解兩個詳細復數相加、減的幾何意義．1．復數的有關概念(1)復數的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫復數，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數，若b≠0，則a＋bi為虛數，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數．(2)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復數的模：向量eq\o(OZ,\s\up12(→))的模r叫做復數z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．復數的幾何意義復數z＝a＋bieq\O(一一對應)復平面內的點Z(a，b)eq\O(一一對應)平面對量eq\o(OZ,\s\up12(→))＝(a，b)．3．復數的運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復數加法的運算定律復數的加法滿意交換律、結合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[常用結論]1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a∈C，則a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數z為純虛數．()(3)復數z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部為bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0沒有解．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改編)設復數z滿意eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2A[eq\f(1＋z,1－z)＝i，則z＝eq\f(i－1,1＋i)＝i，∴|z|＝1.]3．設i是虛數單位，則復數eq\f(2i,1－i)在復平面內所對應的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限B[∵eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2i－2,2)＝i－1，∴該復數對應的點(－1,1)位于其次象限．]4．(教材改編)在復平面內，向量eq\o(AB,\s\up12(→))對應的復數是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up12(→))對應的復數是－1－3i，則向量eq\o(CA,\s\up12(→))對應的復數是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD[∵eq\o(CA,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故選D.]5．(教材改編)已知(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，則z＝________.2＋i[由(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i得eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,5)＝2－i.∴z＝2＋i.]復數的有關概念1．(2024·福州四校聯考)假如復數z＝eq\f(2,－1＋i)，則()A．z的共軛復數為1＋i B．z的實部為1C．|z|＝2 D．z的實部為－1D[∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i，∴z的實部為－1，故選D.]2．(2024·江西九校聯考)設(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是實數，i為虛數單位，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋i))＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.eq\r(5)D[由x＋2xi＝x＋yi，x，y∈R，則y＝2x，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋i))＝|2＋i|＝eq\r(5)，故選D.]3．假如復數eq\f(m2＋i,1＋mi)是純虛數，那么實數m等于()A．－1 B．0C．0或1 D．0或－1D[eq\f(m2＋i,1＋mi)＝eq\f(m2＋i1－mi,1＋mi1－mi)＝eq\f(m2＋m＋1－m3i,1＋m2)，因為此復數為純虛數，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m＝0，,1－m3≠0，))解得m＝－1或0，故選D.][規律方法]解決復數概念問題的方法及留意事項1復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應當滿意的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿意的方程不等式組即可.2解題時肯定要先看復數是否為a＋bia，b∈R的形式，以確定實部和虛部.復數的代數運算【例1】(1)(2024·全國卷Ⅱ)eq\f(1＋2i,1－2i)＝()A．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iB．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC．－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)iD．－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i(2)(2024·山西八校聯考)已知a，b∈R，i為虛數單位，若3－4i3＝eq\f(2－bi,a＋i)，則a＋b等于()A．－9B．5C．13 D．9(3)已知復數z滿意：(z－i)(1＋2i)＝i3(其中i為虛數單位)，則復數z的虛部等于()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(2,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)(1)D(2)A(3)C[(1)eq\f(1＋2i,1－2i)＝eq\f(1＋2i1＋2i,1－2i1＋2i)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，故選D.(2)由3－4i3＝eq\f(2－bi,a＋i)得，3＋4i＝eq\f(2－bi,a＋i)，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－4＝2，,4a＋3＝－b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－11，))故a＋b＝－9，故選A.(3)z＝eq\f(i3,1＋2i)＋i＝eq\f(－i,1＋2i)＋i＝eq\f(－i－2,5)＋i＝－eq\f(2,5)＋eq\f(4,5)i，故選C.][規律方法]復數的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，留意要把i的冪寫成最簡形式.(1)(2024·湖北重點中學聯考)已知復數z滿意(z－i)·(1＋i)＝2－i，則eq\x\to(z)·z＝()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)(2)(2024·皖南八校聯考)設i是虛數單位，且i2019＝eq\f(i－k,ki－1)，則實數k＝()A．2 B．1C．0 D．－1(1)B(2)C[(1)由已知，得z＝eq\f(2－i,1＋i)＋i＝eq\f(2－i1－i,1＋i1－i)＋i＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i＋i＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，則eq\x\to(z)·z＝|z|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，故選B.(2)因為i2019＝i504×4＋3＝i3＝－i，所以－i＝eq\f(i－k,ki－1)，可得k＋i＝i－k，∴k＝0，故選C.]復數的幾何意義【例2】(1)(2024·北京高考)在復平面內復數eq\f(1,1－i)的共軛復數對應的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限(2)在復平面內與復數z＝eq\f(2i,1＋i)所對應的點關于實軸對稱的點為A，則A對應的復數為()A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i(3)若復數(1－i)(a＋i)在復平面內對應的點在其次象限，則實數a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)(1)D(2)B(3)B[(1)eq\f(1,1－i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(i,2)，其共軛復數為eq\f(1,2)－eq\f(i,2)，對應點位于第四象限，故選D.(2)因為z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝i(1－i)＝1＋i，所以點A的坐標為(1，－1)，其對應的復數為1－i.(3)因為復數(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在復平面內對應的點在其次象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.][規律方法]對復數幾何意義的理解及應用1復數z、復平面上的點Z及向量EQ\o(OZ,\s\up12(→))相互聯系，即z＝a＋bia，b∈R?Za，b?EQ\o(OZ,\s\up12(→)).2由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀.(1)如圖，在復平面內，復數z1，z2對應的向量分別是eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，則復數z1·z2對應的點位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限(2)若復數z滿意|z－i|≤eq\r(2)(i為虛數單位)，則z在復平面內所對應的圖形的面積為________．(1)D(2)2π[(1)由已知eq\o(OA,\s\up12(→))＝(－2，－1)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所對應的點為(1，－2)，在第四象限．(2)設z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤eq\r(2)得|x＋(y－1)i|≤eq\r(2)，所以eq\r(x2＋y－12)≤eq\r(2)，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在復平面內所對應的圖形是以點(0,1)為圓心，以eq\r(2)為半徑的圓及其內部，它的面積為2π.]1．(2024·全國卷Ⅰ)設z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝()A．0B.eq\f(1,2)C．1D.eq\r(2)C[因為z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C.]2．(2024·全國卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋iD[(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.]3．(2024·全國卷Ⅲ)復平面內表示復數z＝i(－2＋i)的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴復數z＝－1－2i所對應的復平面內的點為Z(－1，－2)，位于第三象限．故選C.]4．(2024·全國卷Ⅰ)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則|x＋yi|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2B[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2)，故選B.]5．(2024·全國卷Ⅲ)若z＝1＋2i，則eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝()A．1B．－1