專題01有理數章末重難點題型（舉一反三）

擊芍點I

考點［科學運改法R近似^

考點2表示相反意義的量

考點3有理數相關囁念

考點4利用新冊

考點5絕對值及儡次乘方的非負性

K典刃分沂II

【考點1科學記數法及近似數】

【方法點撥】（1）科學記數法的表示形式為。XI。的形式，解決此類問題只需確定。與〃的值，其中\<\a\

〈1（）,〃為整數位數減1,如若數帶單位可先將其還原；（2）一般地，一個近似數四舍五入到哪一位，就說

這個數近似到哪一位，也叫做精確到哪一位，但有一個易錯點需注意，如2.019X105很多同學錯誤的認為

這個數是精確到千分位，解決此類問題需將這個數還原成整數201900,這時能確定這個9應在百位上，因

此這個數精確到百位.

［例1］（2018?浙河區校級期中）2018年河南省全年生產總值48055.86億元,數據“4805586億”用科學記

數法表示為（）

A.4.805586x104B.0.4805586x105

C.4.805586x1（）12D.4.805586xl0,3

【變式1-11（2018秋?沐陽縣期末）某種鯨魚的體重約為1.36x105依，關于這個近似數，下列說法正確的是

（）

A.它精確到百位B.它精確到0.01

C.它精確到千分位D.它精確到千位

【變式1-2］（2018?涼州區校級期中）綠水青山就是金山銀山，為了創造良好的生態生活環境，我省2017

年一季度清理垃圾約1.16X10,方，數字1.16xl（）7表示（）

A.1.16億B.116萬C.1160萬D.11.6億

【變式1-3】近似數3.5的準確值。的取值范圍是（)

A.3.45區3.55B.3.4<?<3.6

C.3.45<d<3.55D.3.45<?<3.55

【考點2表示相反意義的量】

【方法點撥】解決此類問題關鍵是明確正負數在題目中的實際意義從而進一步求解.

【例2】（2018秋?襄州區期中）一箱蘋果的重量標識為力0±0.25"千克，則下列每箱蘋果重量中合格的是（）

A.9.70千克B.10.30千克C.9.60千克D.10.21千克

【變式2-1］（2018秋?睢寧縣期中）某糧店出售4種品牌的面粉，袋上分別標有質量為（20±（）.1）依、（20±（）.2）

kg、（20±0.3）kg、（20±0.4）kg,這種合格面粉最多相差（）

A.0.4AgB.0.5kgC.0.6kgD.0.8kg

【變式2-2］（2018秋?慈溪市期中）213路公交車從起點開始經過A,B,C,。四站到達終點，各站上下車

人數如下（上車為正，下車為負）例如（7,-4）表示該站上車7人，下車4人.現在起點站有15人，

4（4,-8）,B（6,-5）,C（7,-3）,D（I,-4）.車上乘客最多時有（）名.

A.13B.14C.15D.16

【變式2-3］（2018秋?封開縣期中）如圖，檢測4個足球，其中超過標準質量的克數記為正數，不足標準質

量的克數記為負數.從輕重的角度看，最接近標準的是（）

A.B.+2.5C.-0.6D.+0,7

【考點3有理數相關概念】

【方法點撥】解決此類問題需理解并熟記有理數相關概念，如①整數和分數統稱為有理數；②正有理數、0

和負有理數亦可稱為有理數；③只有符號不同的兩個數叫做互為相反數；④在數軸上原點的兩旁，離開原

點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數；⑤數軸上表示數。的點與原點的距離叫做數。的絕對

值：⑥一個正數的絕對值是它木身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.

【例3】（2018秋?江城區期中）下列說法中正確的是（）

A.正數和負數統稱為有理數

B.有理數是指整數、分數、正有理數、負有理數和。五類

C.一個有理數不是整數，就是分數

D.整數包括正整數和負整數

7Q??

【變式3-1］（2018秋?常熟市期中）下列各數:1.010010001,—,0,-兀，-2.626626662…，0.12,

433

其中有理數的個數是（）

A.3B.4C.5D.6

【變式3-2】下列說法正確的是（）

A.正數與負數互為相反數

B.符號不同的兩個數互為相反數

C.數軸上原點兩旁的兩個點所表示的數是互為相反數

D.任何一個有理數都有它的相反數

【變式3-3］（2018秋?東臺市期中），下列說法正確的是（）

A.絕對值等于3的數是-3

B.絕對值不大于2的數有±2,±1,0

C.若同="，則C0

D.一個數的絕對值一定大于這個數的相反數

【考點4利用數軸判斷符號】

【方法點撥】解決此類問題需由數軸得知字母所表示的數的正負性，再根據有理數加、減、乘、除、乘方、

絕對值的意義以及數軸上右邊點的數總比左邊的數大判斷即可.

【例4】（2018秋?宿松縣期末）有理數a,b在數軸上的表示如圖所示，則下列結論中：①函V0,②-4

?b,@a+b<Of?a-b<0,⑤。<|臼，正確的有（）

?--------->

.b0a

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式4-1］（2018秋?西城區期末）如圖，數軸上A,B兩點對應的數分別是。和田對于以下四個式子：

①2a-b；②〃+岳③以-同：④也，其中值為負數的是（）

a

3A

0F

A.①②B.③?C.①③D.②④

【變式4-2］（2（）18秋?九龍坡區校級期中）如圖，數軸上A、8兩點分別對應有理數〃、b,則下列結論：①時

<0:②。+6>0；③〃-Q1；④/-從V0,其中正確的有（）

BA

?1-------1?」A

b-10a1

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式4-3］（2018秋?黃陂區期中）有理數a、〃、c在數軸上對應的點的位置，如圖所示：①HMVO；②|a

互為相反數，旦都不為零，c,d互為倒數.

求：2a+2〃+（a+b-3cd）-m的值.

【考點7利用絕對值、乘方的性質求值】

【方法點撥】解決此類問題需熟知一個數的絕對值或乘方是一個正數，那么這個數應該有兩個，需注意進

行分類討論，另外會熟練運用絕對值的意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反

數；0的絕對值是0.包括逆向用法.

【例7】（2018秋?江陰市校級月考）若實數mb滿足。2=16,步|=6,且a■力V0,求a+b的值.

【變式7-1］（2018秋?孝南區月考）已知同=8,護=36,若|a■加求的值.

【變式7-2］（2018秋?江岸區期中）已知|x+4|=5,（1-y）』9,且廠yV（）,求2A?+），的值.

【變式7-3］（2018秋?泰興市校級月考）若同=2,依=3,|d=6,\a+b\=-（a+b）,\b+c\=b+c.

計算a+b-c的值.

【考點8有理數混合運算】

【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握有理數混合運算的先后順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減,

有括號的先算括號里.，值得注意有些題可能會運用運算律進行簡便運算.

【例8】（2019春?黃州區校級月考）計算：

122

(2)(-3)24-2-X(一)+4+22x(—)

33

【變式8-1](2018秋?寶應縣期末)計算:

(1)-15-[-1-(4-22X5)J

(2)-12OI9-(1-1>|3-(-3)2|

【變式8-2](2019春?沙坪壩區校級月考)計算:

4

(1)[(-2)x(--)+(-2)3]—34+(-27).

2019

(2)-1-(1-J-+1)X(-24).

3126

【變式8-3](2018秋?渝中區校級期末)有理數的計算:

2232

(1)-1+(2—+1—)+(3——1-)

5353

(2)-2+(-1)刈9.gx[12-(|)2+$

【考點9有理數混合運算的應用】

【方法點撥】對于應用題理解題意是解決此類題型的關鍵.

[例9]（2018秋?新疆期末）某工廠一周計劃每日生產自行車100輛，山于工人實行輪休，每日上班人數

不一定相等，實際每日生產量與計劃量相比情況如下表（以計劃量為標準，增加的車輛數記為正數，減

少的車輛數記為負數）：

星期二—四五六□

增減/輛-1+3-2+4+7-5-10

（1）生產量最多的一天比生產量最少的一天多生產多少輛？

（2）本周總生產量是多少？比原計劃增加了還是減少了？增減數為多少？

【變式9-1］（2018秋?康巴什校級月考）根據實驗測定：高度每增加1千米，氣溫大約變化量為-6℃,某

登山運動員攀登2切?后，

（1）氣溫有什么變化？

（2）過一會后運動員在攀登途中發回信息，報告他所在高度的氣溫為-15C,如果當時地面溫度為3℃,

求此時該登山運動員攀登了少千米？

【變式9-2］（2018秋?雁塔區校級期末）快遞配送員王叔叔?直在??條南北走向的街道上送快遞，如果規定

向北為正，向南為負，某天他從出發點開始所行走的路程記錄為（長度單位：千米）：+3,-4,+2.+3.-

1,-1>-3

（1）這天送完最后一個快遞時，王叔叔在出發點的什么方向，距離是多少？

（2）如果干叔叔送完快說后，需立即返回出發點，那么他這天送快遞（含返回）共耗油多少升（已知每千

米耗油0.2升）?

【變式9-3】小明是“環保小衛士”，課后他經常關心環境天氣的變化，最近他了解到上周白天的平均氣溫,

如下表（+表示比前一天升了，-表示比前一天下降了.單位：℃）

星期―-二三四五六七

氣溫變化+1.1-0.3+0.2+0.4+1+1.4-().3

已知上周周日平均氣溫是16.9℃,回答下列問題:

（1）這一周哪天的七平均氣溫最高是多少？

（2）計算這一周每天的平均氣溫？

（3）小明了解到本地的平均氣溫同期歷史最高氣溫是17.2C,最低氣溫是4.2℃,用一句話概括本地的

氣溫變化.

【考點10有關數軸的探究題】

【方法點撥】解決此類問題數形結合思想是關鍵.

【例10】（2018秋?海淀區校級期中）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓，有一個公共點與數軸上的

原點重合，兩圓在數軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒兀個單位，大圓的運動速度為每秒2兀個

單

位，

（1）若小圓不動，大圓沿數袖來回滾動，規定大圓向右滾動的時間記為正數，向左滾動時間即為負數，依

次滾動的情況錄如下（單位：秒）：

-1,+2?-4,-2?+3,+6

①第一次滾動后，大圓與數軸的公共點到原點的距離最遠；

②當大圓結束運動時，大圓運動的路程共有多少？此時兩圓與數軸重合的點之間的距離是多少？（結果保

留兀）

（2）若兩圓同時在數軸上各自沿著某一方向連續滾動，滾動一段時間后兩圓與數軸重合的點之間相距9兀,

求此的兩圓與數軸重合的點所表示的數.

【練1（）-1］（2018秋?江岸區校級月考）如圖，數軸上A,8兩點對應的數分別-4,8.有一動點P從點A

出發第一次向左運動1個單位長度；然后在新的位置第二次運動，向右運動2個單位長度；在此位置第

三次運動，向左運動3個單位長度，…按照如此規律不斷地左右運動

（1）當運動到第2018次時，求點所對應的有理數.

（2）點P會不會在某次運動時恰好到達某一個位置，使點P到點B的距離是點2到點A的距離的3倍？

若可能請求出此時點尸的位置，若不可能請說明理由.

??

0B

【練10-2】(2018秋?淮陰區期中)已知在紙面上有一數軸(如圖I),折疊紙面.

(1)若1表示的點與-1表示的點重合，則-4表示的點與表示的點重合；

(2)若-2表示的點與8表示的點重合，回答以下問題：

①16表示的點與—表示的點重合；

②如圖2,若數軸上A、8兩點之間的距離為2018(A在8的左側)，且A、8兩點經折疊后重合，則A、

8兩點表示的數分別是—、—.

(3)如圖3,若〃，和〃表示的點C和點。經折疊后重合，現數軸上P、。兩點之間的距離

為。(P在。的左側)，且P、。兩點經折疊后重合，求P、Q兩點表示的數分別是多少？(用含相，

。的代數式表示)

2018

________________A________________.

I__________________________________1

丁

圖2

a

/------------------'----------------

P、?G%

o〃冽

圖3

【練10-3】(2018秋?海淀區校級期中)下面材料：已知點A、8在數釉上分別表示有理數&b,A、B兩點、

之間的距離表示為|A陰.

當A、8兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1,\AB\=\()B\=\b\=\a-b\

當A、8兩點都不在原點時，

(1)如圖2,點A、4都在原點的右邊，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-\a\=b-a=\a-b\

(2)如圖3,點A、8都在原點的左邊，依用=|0陰-|。4|=網一同=■〃-(-a)=a-b=\a-b\

(3)如圖4,點A、8在原點的兩邊，\AB\=\OA\+\OB\=\a\+\b\=a+(-/?)=a-b=\a-b\

綜上，數軸上A、4兩點的距離|AB|=|a-"

回答下列問題：

（1）數軸上表示-2和-5兩點之間的距離是一；

（2）數軸上表示x和-1的兩點A、3之間的距離是|x+l|,如果|A陰=2,那么x為一；

（3）當代數式|x+l|+L?2|取最小值時，相應的x的取值范圍是—.

A（O）BOAB

------1----------1--------??____________I________

ab0ab

圖1圖2

BAOBOA

iii.iIi.

baob0a

圖3圖4

專題01有理數章末重難點題型（舉一反三）

考點1科學記數法及近似

考點2表示相反意義的量

考點3有理數相關概念

考點4利用數軸判斷符目

考點5絕對值及偶次乘方的非負性

。冽分沂】

【考點1科學記數法及近似數】

【方法點撥】（1）科學記數法的表示形式為。xl伊的形式，解戾此類問題只需確定。與〃的值，其中\<\a\

<10,〃為整數位數減1,如若數帶單位可先將其還原；（2）一般地，一個近似數四舍五入到哪一位，就說

這個數近似到哪一位，也叫做精確到哪一位，但有一個易錯點需注意，如2.019X105很多同學錯誤的認為

這個數是精確到千分位，解決此類問題需將這個數還原成整數20190（）,這時能確定這個9應在百位上，因

此這個數精確到百位.

[例1](2018?獅河區校級期中)2018年河南省全年生產總值48055.86億元，數據“48055.86億“用科學記

數法表示為()

A.4.805586x104B.0.4805586x105

C.4.805586x1()12D.4.805586X|()13

【分析】科學記數法的表示形式為4X10〃的形式，其中15同＜10,〃為整數.確定〃的值時，要看把原

數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值大于10時，〃

是正數；當原數的絕對值小于1時，〃是負數.

【解答】解：48055.86億用科學記數法表示為4.805586X10%

故選：C.

【點評】此題考查科學記數法表示較大的數的方法，準確確定。與〃值是關鍵.

【變式1-1](2018秋?沐陽縣期末)某種鯨魚的體重約為1.36x105依，關于這個近似數，下列說法正確的是

()

A.它精確到百位B.它精確到0.01

C.它精確到千分位D.它精確到千位

【分析】根據近似數的精確度求解.

【解答】解：1.36x105精確到千位.

故選:D.

【點評】本題考查了近似數和有效數字：經過四舍五入得到的數為近似數；從一個數的左邊第一個不是

0的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字.近似數與精確數的接近程度，可以用精

確度表示.一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說法.

【變式1-2](2018?涼州區校級期中)綠水青山就是金山銀山，為了創造良好的生態生活環境，我省2017

年一季度清理垃圾約1.16x107方，數字1.16x107表示()

A.1.16億B.116ZJC.1160)1D.11.6億

【分析】科學記數法的表示形式為4X10〃的形式，其中理同＜10,〃為整數.確定〃的值時，要看把原

數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值＞10時，〃是

正數；當原數的絕對值VI時，〃是負數.

【解答】解:1.16x1()7=11600000=116()萬.

故選：C.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為。xlO"的形式，其中號同〈10,〃

為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

【變式1-3】近似數3.5的準確值。的取值范圍是（）

A.3.45<?<3.55B.3.4W.6

C.3.45<a<3,55D.3.45<?<3.55

【分析】根據四舍五入法，可以得到似數3.5的準確值。的取值范圍，本題得以解決.

【解答】解：近似數3.5的準確值。的取值范圍是3.453/W3.54,

故選：C.

【點評】本題考查近似數和有效數字，解答本題的關鍵是明確近似數和有效數字的含義.

【考點2表示相反意義的量】

【方法點撥】解決此類問題關鍵是明確正負數在題目中的實際意義從而進一步求解.

【例2】（2018秋?襄州區期中）一箱蘋果的重量標識為“10±0.25”千克，則下列每箱蘋果重量中合格的是（）

A.9.7（）千克B.10.3（）千克C.9.60千克D.10.21千克

【分析】根據“10±0.25千克”，可算出合格范圍，再根據合格范圍，選出答案.

【解答】解：???10?0.25=9.75（千克）,10+0.25=10.25（千克），

，合格范圍為：9.75?10.25千克.

故選：O.

【點評】本題考查了正數和負數，計算出合格范圍是解題關鍵.

【變式2-1］（2（）18秋?睢寧縣期中）某糧店出售4種品牌的面粉，袋上分別標有質量為（20±（）.1）依、（20±0.2）

kg、⑵±0.3）依、（20±0.4）kg,這種合格面粉最多相差（）

A.0.4依B.05kgC.0.6kgD.0.8依

【分析】根據題意給出4種品牌的質量波動范圍，并求出任意兩袋質量相差的最大數.

【解答】解：根據題意從中找出兩袋質量波動最大的（20±0.4）kg,則相差0.4-（-0.4）=0.8依.

故選：D.

【點評】本題考查了這止數和發數，有埋數的減法運算時解期關鍵.

【變式2-2］（2018秋?慈溪市期中）213路公交車從起點開始經過A,B,C,。四站到達終點，各站.上下車

人數如下（上車為正，下車為負）例如（7,-4）表示該站上車7人，下車4人.現在起點站有15人，

4（4,-8）,8（6,-5）,C（7,?3）,D（1,-4）.車上乘客最多時有（）名.

A.13B.14C.15D.16

【分析】根據題意可以算出各個階段對應的乘客人數，從而可以解答本題.

【解答】解：由題意可得，

起點到A站之間，車上有15人,

A站到8站之間，車上有：15+4-8=11（人）,

8站到。站之間，車上有：11+6-5=12（人）,

C站到。站之間，車上有：12+7-3=16（人）,

。站到終點之間，車上有：16+1?4=13（人），

由上可得，車上乘客最多有16人,

故選：D.

【點評】本題考查正負數，解答本題的關鍵是明確正負數在題目中的實際意義.

【變式2-3］（2018秋?封開縣期中）如圖，檢測4個足球，其中超過標準質量的克數記為正數，不足標準質

量的克數記為負數.從輕重的角度看，最接近標準的是（）

【分析】求出每個數的絕對值，根據絕對值的大小找出絕對值最小的數即可.

【解答】解：V|-0.6|<|+0.7|<|+2.5|<|-3.5|,

-0.6最接近標準,

故選：C.

【點評】本題考查了絕對值和正數和負數的應用，掌握正數和負數的概念和絕對值的性質是解題的關鍵，

主要考查學生的理解能力，題目具有一定的代表性，難度也不大.

【考點3有理數相關概念】

【方法點撥】解決此類問題需理解并熟記有理數相關概念，如①整數和分數統稱為有理數；②正有理數、0

和負有理數亦可稱為有理數；③只有符號不同的兩個數叫做互為相反數；④在數軸上原點的兩旁，離開

原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數：⑤數軸上表示數。的點與原點的距離叫做數。的

絕對倩：⑥一個正數的絕對值是它本身，一個偵數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.

【例3】（2018秋?江城區期中）下列說法中正確的是（）

A.正數和負數統稱為有理數

B.有理數是指整數、分數、正有理數、負有理數和。五類

C.一個有理數不是整數，就是分數

D.整數包括正整數和負整數

【分析】根據有理數的分類，逐一做出判斷即可.

【解答】解：因為近、視是正數，卻不是有理數，故選項A錯誤；

有理數按定義分為整數和分數，按性質分為正有理數、負有理數和0.故選項B錯誤；

因為整數和分數統稱有理數，所以一個有理數不是整數，就是分數，故選項C正確；

整數包括正整數、負整數和0,由于缺少0故選項。錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查有理數的分類，解題的關鍵是掌握有理數的分類標準，做到不重不漏.

7Q??

【變式3-1］（2018秋?常熟市期中）下列各數：--,1.010010001,—,0,-冗，-2.626626662...,0.12,

433

其中有理數的個數是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】直接利用有理數的概念分析得出答案.

【解答】解：-工，1.（）1（）010001,衛，（），■兀，?2.626626662…，0.1p其中有理數為：-工，1.010（）10001,

433iZ4

且，0,0.19，共5個.

3312

故選：C.

【點評】此題主要考查了有理數的相關概念，正確把握相關定義是解題關鍵.

【變式3-2】下列說法正確的是（）

A.正數與負數互為相反數

B.符號不同的兩個數互為相反數

C.數軸上原點兩旁的兩個點所表示的數是互為相反數

D.任何一個有理數都有它的相反數

【分析】A、8、C可舉反例判斷，。根據相反數的概念解答即可.

【解答】解：A、B、C、如+3和-2不是互為相反數，故本選項錯誤；

。、任何一個有理數都有它的相反數，正確.

故選：O.

【點評】本題考查了相反數的意義，相反數是只有符號不同的兩個數.

【變式3-3］（2018秋?東臺市期中）下列說法正確的是（）

A.絕對值等于3的數是-3

B.絕對值不大于2的數有±2,±1,0

C.若⑷=-〃,則H0

D.一個數的絕對值一定大于這個數的相反數

【分析】利用絕對值的知識分別判斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：A、絕對值等于3的數是3和-3,故錯誤；

B、絕對值不大于2的整數有±2,±1,0,故錯誤；

C、若⑷=-a,則aSO,正確，

。、負數的絕對值等于這個數的相反數，故錯誤，

故選：C.

【點評】本題考查了絕對值的性質，絕對值規律總結：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值

是它的相反數；0的絕對值是（）.

【考點4利用數軸判斷符號】

【方法點撥】解決此類問題需由數軸得知字母所表示的數的正負性，再根據有理數加、減、乘、除、乘方、

絕對值的意義以及數軸上右邊點的數總比左邊的數大判斷即可.

【例4】（2018秋?宿松縣期末）有理數小〃在數軸上的表示如圖所示，則下列結論中：①"V0,②-a>

-力，③a+6V0,④a-bVO,⑤。<|可，正確的有（）

,~b0~a>

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析1根據數軸知〃VOVa,旦|a|V|M，再利用有理數的乘法、加法、減法及絕對值性質等知識點逐

一判斷可得.

【解答】解：由數軸知。VOVa,月

則①HV0,此結論正確；

②此結論錯誤；

③a+b<0,此結論正確；

④a-b>0,此結論錯誤；

⑤aV|〃|,此結論正確；

故選：B.

【點評】本題考瓷的是數軸和絕對值，熟知數軸上右邊的數總比左邊的大及有理數的混合運算法則是解

答此題的關鍵.

【變式4-1］（2018秋?西城區期末〕如圖，數軸上A,8兩點對應的數分別是。和4對于以下四個式子：

①2a②a+乩③|例-|a|：④其其中值為負數的是（）

a

JA

?

03

A.①②B.③?C.①③D.②④

【分析】根據圖示，可得〃V-3,0<?<3,據此逐項判斷即可.

【解答】解：根據圖示，可得〃<-3,0<?<3,

①2。-Q0；

②a+〃VO；

③冏-同>0;

④kvo.

a

故其中值為負數的是②④.

故選：D.

【點評】此題主要考查了絕對值的含義和求法，以及數軸的特征和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵

是判斷出〃、〃的取值范圍.

【變式4-2］（2018秋?九龍坡區校級期中）如圖，數軸上A、3兩點分別對應有理數a、b,則下列結論：①ab

<0；②a+/A（）；③a-/Al；?cr-/?2<0,其中正確的有（）

BA

?1----------1?A

b-10a1

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據數軸的性質，可以得到兩個點表示數的大小關系和符號，根據有理數計算法則可得出結論

【解答】解：-1V0,0<67<1

，①a〃V0,正確

②"〃>0,錯誤

③”Q1,正確

@cr-/V0,正確

故選：C.

【變式4-3］（2018秋?黃陂區期中）有理數〃、b、C在數軸上對應的點的位置，如圖所示：①而CV0：②|。

-b\+\b-c\=\a-c\；③（a-b）Cb-c）Cc-a）>0；?\a\<］-be,以上四個結論正確的有（）個.

aIIIIbIcI、

-101

A.4B.3C.2D.I

【分析】先根據數軸上。、氏c的位置判斷它們的正負、大小，利用乘法的符號法則、有理數的減法法

貝k絕對值的化簡等知識點逐個判斷得結論.

【解答】解：由數軸知：?<-l<O<b<c<\.

Vd<o./?>0,c>0,：.abc<of故①正確；

Vd</?,b<c,a<c,

|tz-b\+\b-c\=b-a+c-b=c-a,

\a-c\=c-ch

，M-b\+\b?c|=I。?c|，故②正確；

*：a<b,bVc,a<Ct

,,a-b<0,b-c<0,c-a>0

(a-/?)Cb-c)(c-a)>0,故③正確；

Vd<-1,，間>1,

V0<Z?<c<l,.\0<^<1,

1-bc<1,

，同>1-he,故④不正確.

故選：B.

【點評】本題考查了數軸上點的特點，有理數乘法的符號法則，有理數的大小比較，絕對值的化簡等知

識點，掌握減法、乘法的符號法則是解決本題的關鍵.

【考點5絕對值及偶次乘方的非負性】

【方法點撥】直接利用絕對值及偶次乘方的非負數的性質分別得出字母的值，進而得出答案.

【例5】(2019春?瑞安市期中)若|"2|+(X+3尹1)2=(),則y'的值為.

【分析】直接利用絕對值以及偶次方的性質分別化簡得出答案.

【解答】解：???|x+2|+(x+3.v+l)2=0,

???.什2=0,x+3y+l=0,

解得：x=-2,y=—,

3

故,=(1)-2=9.

.3

故答案為：9.

【點評】此題主要考查了非負數的性質，正確得出羽y的值是解題關鍵.

【變式5-1](2018秋?蔡甸區期末〕若(x-2)2與|I+2yl互為相反數，則y-x=—.

【分析】直接利用非負數的性質分別得出x,)，的值，進而得出答案.

【解答】解：,??(『2)2與卜+2)，|互為相反數，

.*.A-2=0,x+2y=0,

解得：x=2,y=-1,

故y-x=-1-2=-3.

故答案為：-3.

【點評】此題主要考查了非負數的性質，正確得出x,y的值是解題關鍵.

【變式5-2］（2018秋?濱湖區校級月考）當工時，2-（工+3）2有最大值.

【分析】直接利用偶次方的性質分析得出答案.

【解答】解：當x+3=0時，2-（戶3）2有最大值，

解得：x=-3.

故答案為：=-3.

【點評】此題主要考查了非負數的性質，正確利用偶次方的性質是解題關鍵.

【變式5-3］（2018秋?江南區校級月考）當工=時，-10+bTI有最小值，最小值為.

【分析】直接錄用絕對值的性及分析得出答案.

【解答】解：?斗7|最小為0,

??.當x=l時，?10+lx-1|有最小值，最小值為：70.

故答案為：1,-10.

【點評】此題主要考查了非負數的性質，正確掌握絕對值的性質是解題關鍵.

【考點6利用相反數、倒數、絕對值定義求值】

【方法點撥】解決此類問題需熟知兩個互為相反數的數和為（），兩個互為倒數的數乘積為1，值得注意的是

已知一個數的絕對值為非0的數，那么這個數應該有兩個，此時應注意分類討論，結果往往有兩個.

【例6】（2018秋?富順縣期中）若a,b互為相反數,c,d互為倒數，〃?的絕對值為4.

（1）直接寫出a+b,cd,m的值;

（2）求m+cd+°+人的值.

m

【分析】（1）直接利用互為相反數以及互為倒數和絕對值的定義分別分析得出答案；

（2）利用（1）中所求，代入得出答案.

【解答】解：（1）:小匕互為相反數，c,d互為倒數，，〃的絕對值為4,

a+b=（）,cd=1,m=±4；

（2）由（1）得：

原式=±4+1=5或-3.

【點評】此題主要考查了倒數、相反數、絕對值，正確把握相關定義是解題關鍵.

【變式6-1](2019春?白塔區校級月考)已知a,互為相反數，c,d互為倒數，用的絕對值等于3,求〃P+

(cd+a+b)xm+(cd)刈8的值.

【分析】利用倒數，相反數的性質，以及絕時值的代數意義求出"從cd,機的值，代入原式計算即可

求出值.

【解.答】解：???m〃互為相反數，c,d互為倒數，〃?的絕對值等于3,

a+b=0,cd=I,|m|=3,

當加=-3時，m2+(cd+a+b)>5+(cd)20,8=(-3)2+(1+0)x(-3)+l20l8=9+lx(-3)+1=9+

(-3)+1=7；

2O,8

當加=3時,：.irr+(cd+a+b)xm+(cd)=I3

【點評】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【變式6-2](2018秋?臨洲縣月考)若心。互為相反數，c、d互為倒數，〃的絕對值等于2,則關于x的方

程(〃+〃)/+3c?如'-/戶二。的解是多少？

【分析】直接利用倒數以及絕存值、相反數的定義得出答案.

【解答】解：???。、匕互為相反數，c、d互為倒數，〃的絕對值等于2,

，〃+/?=(),cd=1,p2=4,

(a+b)f+3cd?x-/?=0,

整理得:3A:-4=0,

解得：x=1.

3

【點評】此題主要考查了倒數、相反數、絕對值，正確把握相關定義是解題關鍵.

【變式6-3](2018秋?湖里區校級月考)已知：有理數m所表示的點與-1表示的點距離4個單位，a,b

互為相反數，且都不為零，c,d互為倒數.

求：2a+2b+(a+b-3cd)-tn的值.

【分析】宜接利用相反數以及互為倒數的性質得出“+〃=(),cd=1,進而分類討論得出答案.

【解答】解：???有理數機所表示的點與-1表示的點距離4個單位，

.?./〃=-5或3,

??Z,〃互為相反數，且都不為零，c,d互為倒數，

.*.d+/?=0,cd=1,

當m=-5時，

2a+2b+(.a+b-3cd)-in

=2(a+〃)+(a+Z?)-3cd-m

=-3-(-5)

=2,

當m=3時,

2a+2Z>+(a+b-3cd)-m

=2(a+b)+(a+b)-3cd-tn

=-3-3

=-6

綜上所述：原式=2或-6.

【點評】此題主要考查了倒數與相反數，正確把握相關定義是解題關鍵.

【考點7利用絕對值、乘方的性質求值】

【方法點撥】解決此類問題需熟知一個數的絕對值或乘方是一個正數，那么這個數應該有兩個，需注意進

行分類討論，另外會熟練運用絕對值的意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反

數；0的絕對值是0.包括逆向用法.

【例7】(2018秋?江陰市校級月考)若實數a,b滿足°2=16,依=6,且V0,求a+b的值.

【分析】根據有理數的乘方和絕對值的性質求出。、江再根據a-bVO判斷出。、〃的對應情況，然后

相加即可得解.

【解答】解：???a2=16,步|=6,

.*.d=±4,b=±6,

??Z-bVO,

：.a<hf

，①a=-4,b=6,則a+b=2,

②a=4,b=6,貝l」a+/?=10,

綜上所述，a+b的值等于2或1().

【點評】本題考查了有理數的加法，絕對值的性質，有理數的減法，確定出a、b的值是解題的關鍵.

【變式7-1](2018秋?孝南區月考)已知⑷=8,/=36,若求a+b的值.

【分析】根據絕對值和乘方的意義可得[=±8,b=±6,再山絕對值的性質可得a-%0,進而可確定a、

〃的值，然后可得答案.

【解答】解：丁悶=8,序=36,

??□=±8,/?=±6,

'：\a-b\=b-a,

a-b<0,

?.a=-8,b=-6,則a+b=-14,

a=-8,b=6,a+b=-2,

故答案為：-2或-14.

【點評】此題主要考查了絕對值的性質和有理數的乘方，關鍵是掌握有理數乘方的意義，掌握非正數的

絕對值等于它的相反數.

【變式7-2](2018秋?江岸區期中1已知,+4|=5,(1-y)2=9,且x-)Y0,求2x+y的值.

【分析】根據絕對值和偶次幕律出x，)，的值，進而解答即可.

【解答】解：因為附4|=5,(1-y)2=9,且x?yV0,

所以x=l,y=4,或x=-9,y=-2,

所以2v+y=6或-20.

【點評】本題考查有理數的乘方、絕對值的性質，解題的關鍵是根據絕對值和偶次累得出x,)，的值.

【變式7-3】(2018秋?泰興市校級月考)若同=2,依=3,|ci=6,\a+b\=-(a+b),\b+c\=b+c.

計算a+b-c的值.

【分析】根據題意可以求得。、。、c的值，從而可以求得所求式子的值.

【解答】解：???同=2,依=3,|c|=6,

.*.d=±2,Z?=±3,c=±6,

9：\a+b\=-(?+b),\b+c\=b+c,

/.。+%0,b+c>0,

.*.d=±2,b=-3,e=6,

???當。=2,b=-3,c=6時，

a+b-c=2+(-3)-6=-7>

a=-2,b=-3,c=6時，

a+b-c=-2+(-3)-6=-11.

【點評】本替考查有理數的加減混合運算、絕對值，解答本題的關鍵是明確有理數加減混合運算的計算

方法.

【考點8有理數混合運算】

【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握有理數混合運算的先后順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，

有括號的先算括號里，值得注意有些題可能會運用運算律進行笥便運算.

【例8】(2019春?黃州區校級月考)計算：

,I35

(1))x36

6412

122

(2)(-3)24-2-x(--)+4+22x(--)

【分析】(1)原式利用乘法分配律計算即可求出值；

(2)原式先計算乘方運算，再計算乘除運算，最后算加減運算即可求出值.

【解答】解：(1)原式=-6+27-15=6；

(2)原式=9x_lx(-2)+4-4x(?@)=■圖■?且2+4=-圖.

933333

【點評】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【變式8-1](2018秋?寶應縣期末)計算:

(1)-15-[-I-(4-22X5)]

(2)-i20,9-(i-l)-|3-(-3)2|

【分析】(1)先算乘方，再算乘法，最后算減法；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括

號，要先做括號內的運算；

(2)先算乘方，再算除法，最后算減法；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號和絕對

值，要先做括號和絕對值內的運算.

【蟀答】解：(1)-15-[-1-(4-22X5)]

=-15-I-1-(4-4x5)]

=-15-[-1-(4-20)]

=-15-(-1+16)

=-15-15

=-30：

(2)-I2019-(1?1)引3?(-3)2|

2

=-1-工引3-9|

2

=-1---?6

2

=-1-

12

=-12.

12

【點評】考查了有理數的混合運算，有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運

算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算.進行有理數的混合運算時，注

意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【變式8-2](2019春?沙坪壩區校級月考)計算：

4

(1)[(-2)x(--)+(-2)3]-34+(-27).

(2)-(L-LL)(-24).

312+6X

【分析】(1)原式先計算乘方運算，再計算乘法運算，最后算加減運算即可求出值；

(2)原式利用乘方的意義，以及乘法分配律計算即可求出值.

【解答】解：(1)原式=@?8-81?27=-1131；

33

(2)原式=-1+8-2+4=9.

【點評】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【變式8-3](2018秋?渝中區校級期末)有理數的計算：

2232

(1)-1+(2-+1-)+(3——1-)

5353

(2)-2+(-1)20,94-^X[12-(|)24--]

【分析】(1)去括號，再利用加法交換律和結合律計算可得；

(2)根據有理數的混合運算順序和運算法則計算可得.

【解答】解：(1)原式=-1+22+12+32-12

5353

=-1+6

=5；

(2)原式=-2-IxWx(12-9+9)

499

=-2-2x12

4

=-2-9

=-li.

【點評】本題主要考查有理數的混合運算，解題的關鍵是掌握有理數的混合運算順序和運算法則及其運

算律.

【考點9有理數混合運算的應用】

【方法點撥】對于應用題理解題意是解決此類題型的關鍵.

［例9］（2018秋?新疆期末）某工廠一周計劃每日生產自行車10（）輛，由于工人實行輪休，每日上班人數

不一定相等，實際每日生產量與計劃量相比情況如下表（以計劃量為標準，增加的車輛數記為正數，減

少的車輛數記為負數）：

星期—二三四五六a

增減/輛-1+3-2+4+7-5-10

（1）生產量最多的天比生產量最少的天多生產多少輛？

（2）本周總生產量是多少？比原計劃增加了還是減少了？增減數為多少？

【分析】（1）由表格找出生產量最多與最少的，相減即可得到結果；

（2）根據題意列出算式，計算即可得到結果.

【解答】解：（1）7-（-10）=17（輛）：

（2）100x7+（-1+3-2+4+7-5-10）=696（輛