試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁福建省廈門市2025屆高三第四次質量檢測數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．復數z=12?iA．?15 B．15 C．2．已知雙曲線C的頂點為A1，A2，虛軸的一個端點為B，若△A1AA．2 B．3 C．2 D．53．在1+2xn的展開式中各二項式系數的和為32，則A．10 B．40 C．80 D．1204．以邊長為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正三角形旋轉一周所得幾何體的體積為（

）A．π B．π2 C．π3 5．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，A．4 B．6 C．8 D．126．廈門某會場座位共有20排，第一排有15個座位，從第二排起，每一排都比前一排多兩個座位．現有一個200人的代表團來該會場參加會議，主辦方需預留前n排座位給該代表團，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．107．已知函數fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2A．12 B．π2 C．1 8．已知集合A=xe2x<ax，A．?∞,2 B．?∞,2二、多選題9．甲、乙兩名籃球運動員連續5場比賽的得分如圖所示，則（

）

A．甲得分的極差大于乙得分的極差B．甲得分的平均數大于乙得分的平均數C．甲得分的中位數大于乙得分的中位數D．甲得分的方差大于乙得分的方差10．如圖，一個漏斗的上面部分可視為長方體ABCD?A′B′CA．A′O⊥ABC．平面AA′P⊥平面BDP11．已知an是首項為a1，公比為q的遞增等比數列，其前n項和為Sn．若對任意的n∈N*，總存在A．?12n不是“可分等比數列” C．若an是“可分等比數列”，則m=n D．若三、填空題12．已知函數fx=?x2,13．A,B,C,D四個人排成一排，當A,14．已知直線l：y?2=0與圓O：x2+y2=4相切于點T，A是圓O上一動點，點P滿足PO四、解答題15．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m=sin(1)求A；(2)若a=2，求16．已知函數fx=1(1)討論fx(2)當a>0時，證明：17．如圖，在多面體ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，平面CD(1)證明：DF//平面(2)若直線EF與底面ABCD的交點為G，直線AG上是否存在點N，使得平面E18．已知橢圓E：x2a2+y(1)求E的方程；(2)過點T3,0且不垂直于y軸的直線與E交于A，B兩點，直線AF與E交于點（i）證明：△F（ii）若點M是△ABC19．在一個不透明的口袋中裝有大小、形狀完全相同的n個小球，將它們分別編號為1,2,3,(1)求PX2=(2)求EX(3)證明：EX附：①若隨機變量X的可能取值為1,2②若隨機變量X=i=答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《福建省廈門市2025屆高三第四次質量檢測數學試題》參考答案題號12345678910答案BACDCCBBBCBCD題號11答案ACD1．B【分析】用復數除法運算求出z=【詳解】z=12?i故選：B.2．A【分析】不妨設雙曲線方程為x2a2?y【詳解】不妨設雙曲線方程為x2不妨取A1?a,0因為△A1A2B所以∠A1BA2=π雙曲線C的離心率e=故選：A3．C【分析】先由二項式系數的和為32求出n的值，再根據二項式的通項即可求得.【詳解】依題意，2n=32則二項式1+2x取r=3，即得x3故選：C.4．D【分析】由題可得旋轉后對應幾何體為兩個同底的圓錐，結合題目數據可得相應體積.【詳解】如圖，正三角形繞AB所在直線為旋轉軸旋轉一周，得到幾何體是兩個同底的圓錐，圓錐的底面半徑為r=OC=故選：D.5．C【分析】將AC用A【詳解】由題可知DC=1因AD則A故選：C.6．C【分析】根據等差數列的求和公式計算判斷即可.【詳解】由題知,前n排座位數依次構成以15為首項，2為公差的等差數列，故前n排座位數之和15n解得：n≥9，故故選：C.7．B【分析】利用f0=12可求得φ；作出二面角的平面角，結合余弦定理和勾股定理可求得C點坐標，由此可得【詳解】∵f0=sinφ記點0,?12為∵A′O⊥OB，DO∴A′D∵CD//x軸，∴CD⊥OD∴CD⊥平面A′OD，又∴CD=∴fx的最小正周期T=故選：B.8．B【分析】先解一元二次不等式求出集合B，然后由A∩B=?可得在x∈(0,1【詳解】由x2?x<0所以B=因為A=xe所以當x∈(0,1令f(x)=e當0<x<14時，f所以f(x)在0所以f(所以a≤2e，即a故選：B9．BC【分析】將甲乙得分由低到高排列，再按照極差、平均數、中位數、方差的定義計算即可.【詳解】甲5場比賽得分由低到高分別為15,乙5場比賽得分由低到高分別為4,則甲的極差為30?15=故甲得分的極差小于乙得分的極差，故A錯誤；甲的平均數15+16+則甲得分的平均數大于乙得分的平均數，故B正確；甲的中位數為18，乙的中位數為16，則甲得分的中位數大于乙得分的中位數，故C正確；甲的方差15?乙的方差4?故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D錯誤.故選：BC10．BCD【分析】分別利用線面、面位置關系的判定定理、性質結合題設條件逐項分析即可判斷.【詳解】對于A，設正方形ABCD邊長為2，由正四棱錐性質可得PO⊥因為A′A⊥面ABC又AO不與AB垂直，故A'對于B，由題PO//AA所以A′O//AP,所以A′O/對于C，因為PO//CC'//A平面AA′P即為平面CC′A′A，因為所以A'A⊥BD所以BD⊥平面CC′A所以平面BDP⊥平面CC′對于D，由C可知CC′與A′P都在平面CC故選：BCD.11．ACD【分析】對于A，取n=2，則不存在m∈N*，使得an≤【詳解】對于A，若an=?因為an<0又因為a2所以不存在正整數m，使得a2所以?1對于B，若an=3所以S1=32<所以不存在正整數m，使得a2≤S對于C，若a1<0，則有Sn≤a1因為an是遞增等比數列，所以q>1因為an≤Sm<下證：對任意n∈N?，當且僅當m反證法：假設存在正整數n，使得當m≤n?取滿足條件的最小正整數n0，此時有m≤n0?則an0?1≤Sn所以對任意n∈N*，當且僅當m對于D，下證：q≥由上可知m=n，即an≤S①當q≥2時，因為qn②當1<q<當n>lo綜上，q≥故選：ACD.12．8【分析】求出f(a)=3【詳解】f(所以f(因為x≤0時，所以a>0，f(故答案為：813．18【分析】采用插空法和捆綁法直接求解即可.【詳解】當A，B不相鄰時，采用插空法，先排其余兩人再讓A，B插空，共有A2當A，B相鄰時，將A,B看作一個整體，并且A在相當于3個人排隊，則不同的排法有A3所以共有12+故答案為：18.14．33/【分析】設Px,y，由題意可得y?2=PA=【詳解】設Px,y直線l：y?2=0與圓O：x2+以P為圓心，PA為半徑的圓恰與l則可得y?2=PA從而可設Px0,則sin∠由于x0216+4所以sin∠PTO=故答案為：33【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據直線與圓的位置關系、距離公式，確定點P的軌跡方程，根據軌跡方程確定動點坐標，從而將所求問題轉化為坐標關系，結合不等式或者函數求解最值即可.15．(1)π(2)6【分析】（1）由m⊥n，得∴a（2）由余弦定理得4=b2【詳解】（1）.∵m⊥n∴a根據正弦定理∴sin∵sinC≠∴2sinA∵0<A<π∴A（2）由余弦定理a2得4=根據基本不等式，bc≤b則b+c≤所以當b=16．(1)當a≤0時，fx在0,+∞上單調遞增；當a>(2)證明見解析【分析】（1）求出f′x，分a≤（2）轉化為證明fxmin≥lna【詳解】（1）fx的定義域為x|x當a≤0時，f′當a>0時，令f′所以x>a時f′0<x<a時綜上所述，當a≤0時，fx當a>0時，fx在a（2）由（1）a>0時，fx在a所以fx要證明fx≥ln即證明12a2令gag′令ha=a所以ha在a∈0,+因為g′所以當0<a<1時當a>1時g′可得ga即fx17．(1)證明見詳解(2)否存在點N，使得平面EBN與平面E【分析】（1）證明平面ABE//平面CD（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面EBN與平面【詳解】（1）取CD中點M，連接F因為△CDF又因為平面CDF⊥平面ABCD，平面所以FM⊥平面因為AE⊥平面AB又因為FM?平面CDF,AE因為四邊形ABCD又因為AB?平面CDF,CD又因為AB∩AE=A,AB因為DF?平面CDF，所以（2）因為AE//FM延長EF交AM的延長線于AM?平面ABCD以A為原點，AB,AB2DC=2設平面ECD的法向量為則n1?DC=0n設AN=λ設平面EBN的法向量為則n2?令z2=2則cosn解得λ=故AN18．(1)x(2)（i）證明見解析；（ii）9【分析】（1）依題意求出a、c，即可求出b，從而得解；（2）（i）設直線AB的方程為x=my+3，Ax1,（ii）設AB的中點為Nx0,y0，求出【詳解】（1）依題意可得e=ca=3所以橢圓方程為x2（2）（i）設直線AB的方程為x=my+由x23+所以Δ=12m所以y1+y若BF⊥x軸，由x=1x23+y2所以AF、B所以kAF+又my所以kAF+又因為B、C均在橢圓上，由橢圓的對稱性可知FB=F（ii）設AB的中點為Nx0,y所以N9所以AB的垂直平分線為y令y=0可得x=所以△AMC令t=m>3，設所以f′所以當3<t<322時所以ft在3,3所以當t=322時所以△AMC19．(1)PX2(2)E(3)證明見詳解【分析】（1）理解X2=4（2）根據題意求出PX（3）求出Pξi=k