/專題22與二次函數相關的壓軸題解答題1．（2022·湖北鄂州）某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．其中原點O為FH的中點，FH=2OF=，例如，拋物線y＝x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．

(1)【基礎訓練】請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程：，．(2)【技能訓練】如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點P到準線l的距離為6，求點P的坐標；(3)【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升華】古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：＝＝．后人把這個數稱為“黃金分割”把點C稱為線段AB的黃金分割點．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點F（0，1），準線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側的拋物線上一點．當＝時，請直接寫出△HME的面積值．2．（2022·江蘇無錫）已知二次函數圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數圖像上的兩個動點（點C在點D的左側），且．(1)求該二次函數的表達式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2022·山西）綜合與探究：如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；(2)當是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；(3)連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．4．（2022·四川宜賓）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點，其頂點為點D，連結AC．(1)求這條拋物線所對應的二次函數的表達式及頂點D的坐標；(2)在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標；(3)在（2）的條件下，將點D向下平移5個單位得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．5．（2022·湖北恩施）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與y軸交于點．(1)直接寫出拋物線的解析式．(2)如圖，將拋物線向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C．判斷以B、C、Q三點為頂點的三角形是否為直角三角形，并說明理由．(3)直線BC與拋物線交于M、N兩點（點N在點M的右側），請探究在x軸上是否存在點T，使得以B、N、T三點為頂點的三角形與相似，若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．(4)若將拋物線進行適當的平移，當平移后的拋物線與直線BC最多只有一個公共點時，請直接寫出拋物線平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標．6．（2022·廣西玉林）如圖，已知拋物線：與x軸交于點A，（A在B的左側），與y軸交于點C，對稱軸是直線，P是第一象限內拋物線上的任一點．(1)求拋物線的解析式；(2)若點D為線段的中點，則能否是等邊三角形？請說明理由；(3)過點P作x軸的垂線與線段交于點M，垂足為點H，若以P，M，C為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．7．（2022·廣西）已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．(1)求點A，點B的坐標；(2)如圖，過點A的直線與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接，設點P的縱坐標為m，當時，求m的值；(3)將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍．8．（2022·福建）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線經過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；(3)如圖，OP交AB于點C，交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．9．（2022·貴州黔東南）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點，，與軸交于點，連接．(1)求此拋物線的解析式；(2)已知點是第一象限內拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為點，交直線于點，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；(3)已知點是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．10．（2022·湖南長沙）若關于x的函數y，當時，函數y的最大值為M，最小值為N，令函數，我們不妨把函數h稱之為函數y的“共同體函數”．(1)①若函數，當時，求函數y的“共同體函數”h的值；②若函數（，k，b為常數），求函數y的“共同體函數”h的解析式；(2)若函數，求函數y的“共同體函數”h的最大值；(3)若函數，是否存在實數k，使得函數y的最大值等于函數y的“共同體函數”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．11．（2022·湖北武漢）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的頂點為A，與y軸交于點C，線段軸，交該拋物線于另一點B．(1)求點B的坐標及直線的解析式：(2)當二次函數的自變量x滿足時，此函數的最大值為p，最小值為q，且．求m的值：(3)平移拋物線，使其頂點始終在直線上移動，當平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點時，設此時拋物線的頂點的橫坐標為n，請直接寫出n的取值范圍．12．（2022·內蒙古通遼）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線方程為．(1)求拋物線的解析式；(2)點為拋物線上一點，若，請直接寫出點的坐標；(3)點是拋物線上一點，若，求點的坐標．13．（2022·山東煙臺）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．(1)求拋物線的表達式；(2)D是第二象限內拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標；(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．14．（2022·山東聊城）如圖，在直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，對稱軸為直線，頂點為點D．(1)求二次函數的表達式；(2)連接DA，DC，CB，CA，如圖①所示，求證：；(3)如圖②，延長DC交x軸于點M，平移二次函數的圖象，使頂點D沿著射線DM方向平移到點且，得到新拋物線，交y軸于點N．如果在的對稱軸和上分別取點P，Q，使以MN為一邊，點M，N，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點Q的坐標．15．（2022·黑龍江齊齊哈爾）綜合與探究如圖，某一次函數與二次函數的圖象交點為A（-1，0），B（4，5）．(1)求拋物線的解析式；(2)點C為拋物線對稱軸上一動點，當AC與BC的和最小時，點C的坐標為；(3)點D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點，過點D作DE⊥x軸，交線段AB于點E，求線段DE長度的最大值；(4)在（2）條件下，點M為y軸上一點，點F為直線AB上一點，點N為平面直角坐標系內一點，若以點C，M，F，N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標．16．（2022·湖南）如圖，已知拋物線的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，點為拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數表達式及點的坐標；(2)若四邊形為矩形，．點以每秒1個單位的速度從點沿向點運動，同時點以每秒2個單位的速度從點沿向點運動，一點到達終點，另一點隨之停止．當以、、為頂點的三角形與相似時，求運動時間的值；(3)拋物線的對稱軸與軸交于點，點是點關于點的對稱點，點是軸下方拋物線圖像上的動點．若過點的直線與拋物線只有一個公共點，且分別與線段、相交于點、，求證：為定值．17．（2022·內蒙古包頭）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，點B的坐標是，頂點C的坐標是，M是拋物線上一動點，且位于第一象限，直線與y軸交于點G．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，N是拋物線上一點，且位于第二象限，連接，記的面積分別為．當，且直線時，求證：點N與點M關于y軸對稱；(3)如圖2，直線與y軸交于點H，是否存在點M，使得．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．18．（2022·廣西梧州）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x，y軸交于點A，B，拋物線恰好經過這兩點．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點C的坐標是，將繞著點C逆時針旋轉90°得到，點A的對應點是點E．①寫出點E的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上；②若點P是y軸上的任一點，求取最小值時，點P的坐標．19．（2022·遼寧錦州）如圖，拋物線與x軸交于兩點（A在B的左側），與y軸交于點，點P在拋物線上，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點P在第四象限，點D在線段上，連接并延長交x軸于點E，連接，記的面積為，的面積為，當時，求點P的坐標；(3)如圖2，若點P在第二象限，點F為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸l與線段交于點G，當時，求點P的橫坐標．20．（2022·遼寧）如圖，拋物線交x軸于點和，交y軸于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)D是直線上方拋物線上一動點，連接交于點N，當的值最大時，求點D的坐標；(3)P為拋物線上一點，連接，過點P作交拋物線對稱軸于點Q，當時，請直接寫出點P的橫坐標．21．（2022·遼寧營口）在平面直角坐標系中，拋物線經過點和點，與y軸交于點C，點P為拋物線上一動點．(1)求拋物線和直線的解析式；(2)如圖，點P為第一象限內拋物線上的點，過點P作，垂足為D，作軸，垂足為E，交于點F，設的面積為，的面積為，當時，求點P坐標；(3)點N為拋物線對稱軸上的動點，是否存在點N，使得直線垂直平分線段？若存在，請直接寫出點N坐標，若不存在，請說明理由．22．（2022·四川廣安）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，其中點B坐標為（0，－4），點C坐標為（2，0）．(1)求此拋物線的函數解析式．(2)點D是直線AB下方拋物線上一個動點，連接AD、BD，探究是否存在點D，使得△ABD的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．(3)點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得△PAB為直角三角形，請求出點P的坐標．23．（2022·海南）如圖1，拋物線經過點，并交x軸于另一點B，點在第一象限的拋物線上，交直線于點D．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)當點P的坐標為時，求四邊形的面積；(3)點Q在拋物線上，當的值最大且是直角三角形時，求點Q的橫坐標；(4)如圖2，作交x軸于點，點H在射線上，且，過的中點K作軸，交拋物線于點I，連接，以為邊作出如圖所示正方形，當頂點M恰好落在y軸上時，請直接寫出點G的坐標．24．（2022·內蒙古呼和浩特）如圖，拋物線經過點和點，與軸的另一個交點為，連接、．(1)求拋物線的解析式及點的坐標；(2)如圖1，若點是線段的中點，連接，在軸上是否存在點，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點是第一象限內拋物線上的動點，過點作軸，分別交、軸于點、，當中有某個角的度數等于度數的2倍時，請求出滿足條件的點的橫坐標．25．（2022·吉林）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（，是常數）經過點，點．點在此拋物線上，其橫坐標為．(1)求此拋物線的解析式；(2)當點在軸上方時，結合圖象，直接寫出的取值范圍；(3)若此拋物線在點左側部分（包括點）的最低點的縱坐標為．①求的值；②以為邊作等腰直角三角形，當點在此拋物線的對稱軸上時，直接寫出點的坐標．26．（2022·黑龍江哈爾濱）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線經過點，點，與y軸交于點C．(1)求a，b的值；(2)如圖1，點D在該拋物線上，點D的橫坐標為，過點D向y軸作垂線，垂足為點E．點P為y軸負半軸上的一個動點，連接、設點P的縱坐標為t，的面積為S，求S關于t的函數解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，連接，點F在上，過點F向y軸作垂線，垂足為點H，連接交y軸于點G，點G為的中點，過點A作y軸的平行線與過點P所作的x軸的平行線相交于點N，連接，，延長交于點M，點R在上，連接，若，，求直線的解析式．27．（2022·湖北宜昌）已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．直線由直線平移得到，與軸交于點．四邊形的四個頂點的坐標分別為，，，．(1)填空：______，______；(2)若點在第二象限，直線與經過點的雙曲線有且只有一個交點，求的最大值；(3)當直線與四邊形、拋物線都有交點時，存在直線，對于同一條直線上的交點，直線與四邊形的交點的縱坐標都不大于它與拋物線的交點的縱坐標．①當時，直接寫出的取值范圍；②求的取值范圍．28．（2022·四川達州）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象經過點，，與y軸交于點C．(1)求該二次函數的表達式；(2)連接，在該二次函數圖象上是否存在點P，使？若存在，請求出點P的坐標：若不存在，請說明理由；(3)如圖2，直線l為該二次函數圖象的對稱軸，交x軸于點E．若點Q為x軸上方二次函數圖象上一動點，過點Q作直線，分別交直線l于點M，N，在點Q的運動過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．29．（2022·重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．30．（2022·江蘇蘇州）如圖，在二次函數（m是常數，且）的圖像與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點的坐標（用數字或含m的式子表示），并求的度數；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內二次函數（m是常數，且）的圖像上，始終存在一點P，使得，請結合函數的圖像，直接寫出m的取值范圍．/

專題22與二次函數相關的壓軸題解答題1．（2022·湖北鄂州）某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．其中原點O為FH的中點，FH=2OF=，例如，拋物線y＝x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．

(1)【基礎訓練】請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程：，．(2)【技能訓練】如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點P到準線l的距離為6，求點P的坐標；(3)【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升華】古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：＝＝．后人把這個數稱為“黃金分割”把點C稱為線段AB的黃金分割點．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點F（0，1），準線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側的拋物線上一點．當＝時，請直接寫出△HME的面積值．【答案】(1)（0，），，(2)，4）或（，4）(3)(4)或【分析】（1）根據交點和準線方程的定義求解即可；（2）先求出點P的縱坐標為4，然后代入到拋物線解析式中求解即可；（3）如圖所示，過點B作BD⊥y軸于D，過點A作AE⊥y軸于E，證明△FDB∽△FHC，推出，則，點B的縱坐標為，從而求出，證明△AEF∽△BDF，即可求出點A的坐標為（，），再把點A的坐標代入拋物線解析式中求解即可；（4）如圖，當E為靠近點F的黃金分割點的時候，過點M作MN⊥l于N，則MN=MF，先證明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，設點M的坐標為（m，），則，求出，然后根據黃金分割點的定義求出，則；同理可求當點E是靠近H的黃金分割點時△HME的面積．(1)解：由題意得拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程分別為（0，），，故答案為：（0，），，(2)解：由題意得拋物線y＝x2的準線方程為，∵點P到準線l的距離為6，∴點P的縱坐標為4，∴當時，，解得，∴點P的坐標為（，4）或（，4）；(3)解：如圖所示，過點B作BD⊥y軸于D，過點A作AE⊥y軸于E，由題意得點F的坐標為F（0，）直線l的解析式為：y＝﹣，∴，，∴△FDB∽△FHC，∴，∵BC=2BF，∴CF=3BF，∴，∴，∴，∴點B的縱坐標為，∴，解得（負值舍去），∴，∵，∴△AEF∽△BDF，∴，∴，∵，∴，∴EF=2，∴，∴點A的坐標為（，），∴，∴，∴，解得（負值舍去）；(4)解：如圖，當E為靠近點F的黃金分割點的時候，過點M作MN⊥l于N，則MN=MF，∵在Rt△MNH中，，∴∠MHN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴NH=MN，設點M的坐標為（m，），∴，∴，∴HN=2，∵點E是靠近點F的黃金分割點，∴，∴；同理當E時靠近H的黃金分割點點，，∴，∴，綜上所述，或【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質與判定，黃金分割等，正確理解題意是解題的關鍵．2．（2022·江蘇無錫）已知二次函數圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數圖像上的兩個動點（點C在點D的左側），且．(1)求該二次函數的表達式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)1(3)，，【分析】（1）二次函數與y軸交于點，判斷，根據，即二次函數對稱軸為，求出b的值，即可得到二次函數的表達式；（2）證明，得到，即，設，點D在第一象限，根據點的坐標寫出長度，利用求出t的值，即可，的值，進一步得出tan∠CDA的值；（3）根據題目要求，找出符合條件的點C的位置，在利用集合圖形的性質，求出對應點C的坐標即可。(1)解：∵二次函數與y軸交于點，∴，即，∵，即二次函數對稱軸為，∴，∴，∴二次函數的表達式為．(2)解：如圖，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，設：，點D在第一象限，∴，，，∴，解得：（舍），（舍），當時，，∴，，∴，∵在中，∴(3)解：存在，如圖，（2）圖中關于對稱軸對稱時，，∵點D的坐標為，∴此時，點C的坐標為，如圖，當點C、D關于對稱軸對稱時，此時AC與AD長度相等，即，當點C在x軸上方時，過點C作CE垂直于x軸，垂足為E，∵，點C、D關于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設點C的坐標為，∴，，∴解得：，（舍），此時，點C的坐標為，當點C在x軸下方時，過點C作CF垂直于x軸，垂足為F，∵，點C、D關于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設點C的坐標為，∴，，∴解得：（舍），，此時，點C的坐標為，綜上：點C的坐標為，，．【點睛】本題考查二次函數的綜合問題，運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．3．（2022·山西）綜合與探究如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；(2)當是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；(3)連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，點C的坐標為；(2)(3)存在；m的值為4或【解析】【分析】（1）令中y和x分別為0，即可求出A，B，C三點的坐標，利用待定系數法求直線BC的函數表達式；（2）過點C作于點G，易證四邊形CODG是矩形，推出，，，再證明，推出，由等腰三角形三線合一的性質可以得出，則，由P點在拋物線上可得，聯立解出m，代入二次函數解析式即可求出點P的坐標；（3）分點F在y軸的負半軸上和點F在y軸的正半軸上兩種情況，畫出大致圖形，當時，，由（2）知，用含m的代數式分別表示出OF，列等式計算即可．(1)解：由得，當時，，∴點C的坐標為．當時，，解得．∵點A在點B的左側，∴點A，B的坐標分別為．設直線BC的函數表達式為，將，代入得，解得，∴直線BC的函數表達式為﹒(2)解：∵點P在第一象限拋物線上，橫坐標為m，且軸于點D，∴點P的坐標為，，∴．∵點B的坐標為，點C的坐標為，∴，．過點C作于點G，則．∵，∴四邊形CODG是矩形，∴，，．∴．∵，∴．∴，即，

∴．在中，∵，∴．∴，∴解得（舍去），∴．當時，﹒∴點P的坐標為．(3)解：存在；m的值為4或．分兩種情況，①當點F在y軸的負半軸上時，如下圖所示，過點P作直線軸于點H，∵過點P作直線，交y軸于點F，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，由（2）知，．

根據勾股定理，在中，，在中，，當時，，∵，∴，∴，解得或，∵點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，∴；②當點F在y軸的正半軸上時，如下圖所示，同理可得，，，，，∴∴，解得或，∵點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，∴；綜上，m的值為4或【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數、一次函數、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第三問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數式表示出OF是解題的關鍵．4．（2022·四川宜賓）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點，其頂點為點D，連結AC．(1)求這條拋物線所對應的二次函數的表達式及頂點D的坐標；(2)在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標；(3)在（2）的條件下，將點D向下平移5個單位得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．【答案】(1)，頂點D的坐標為(2)或(3)【解析】【分析】（1）用待定系數法求解二次函數解析式，再化成頂點式即可得出頂點坐標；（2）先用待定系數法求直線AC解析式為，再過點F作于點G，證，得，設F點的坐標為，則G點的坐標為，所以，即可求出或，從而求得點F坐標；（3），是平移得得點M的坐標為，則（2）知點與點關于對稱軸對稱，連結，對稱軸于點H，連結、，過點作于點N，交對稱軸于點P，則，，．在中，，則在中，，所以，所以為最小值，根據，所以，即可求出．(1)解：∵拋物線經過點，，，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：=-(x-1)2+4，∴頂點D的坐標為；(2)解：設直線AC的解析式為：，把點，代入得：，，∴直線AC解析式為：，過點F作于點G，∵以A、C、E、F四點為頂點的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，∴，AC=EF，又∵，∴∴，∴，設F點的坐標為，則G點的坐標為，∴，∴或，當時，，∴，當時，∴，∴或；(3)解：由題意，得點M的坐標為，由題意知：點與點關于對稱軸對稱，連結，對稱軸于點H，連結、，過點作于點N，交對稱軸于點P，則，，．在中，，則在中，∴，又∵∴為最小值，又∵，∴，∴求得的最小值為．【點睛】本題考查用待定系數法求函數解析式，二次函數圖象性質，平行四邊形的性質，解直角三角形，利用軸對稱求最小值，本題屬二次函數綜合題目，掌握二交次函數圖象性質和靈活運用是解題的關鍵．5．（2022·湖北恩施）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與y軸交于點．(1)直接寫出拋物線的解析式．(2)如圖，將拋物線向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C．判斷以B、C、Q三點為頂點的三角形是否為直角三角形，并說明理由．(3)直線BC與拋物線交于M、N兩點（點N在點M的右側），請探究在x軸上是否存在點T，使得以B、N、T三點為頂點的三角形與相似，若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．(4)若將拋物線進行適當的平移，當平移后的拋物線與直線BC最多只有一個公共點時，請直接寫出拋物線平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標．【答案】(1)(2)以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形，理由見解析(3)存在，或，(4)最短距離為，平移后的頂點坐標為【分析】（1）待定系數法求二次函數解析式；（2）分別求得B、C、Q的坐標，勾股定理的逆定理驗證即可求解；（3）由，故分兩種情況討論，根據相似三角形的性質與判定即可求解；（4）如圖，作且與拋物線只有1個交點，交軸于點，過點作于點，則是等腰直角三角形，作于，進而求得直線與的距離，即為所求最短距離，進而求得平移方式，將頂點坐標平移即可求解．(1)解：∵拋物線與y軸交于點∴拋物線解析式為(2)以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：的頂點坐標為依題意得，平移后的拋物線解析式為令，解得令，則，即以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形(3)存在，或，理由如下，，，是等腰直角三角形設直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，聯立解得，，，是等腰直角三角形，設直線的解析式為,直線的解析式為當時，設的解析式為，由NT過點則解得的解析式為，令解得，②當時，則即解得綜上所述，或(4)如圖，作，交軸于點，過點作于點，則是等腰直角三角形，作于直線的解析式為設與平行的且與只有一個公共點的直線解析式為則整理得：則解得直線的解析式為，即拋物線平移的最短距離為，方向為方向∴把點P先向右平移EF的長度，再向下平移FC的長度即得到平移后的坐標平移后的頂點坐標為，即【點睛】本題是二次函數綜合，考查了相似三角形的性質，求二次函數與一次函數解析式，二次函數圖象的平移，勾股定理的逆定理，正確的添加輔助線以及正確的計算是解題的關鍵．6．（2022·廣西玉林）如圖，已知拋物線：與x軸交于點A，（A在B的左側），與y軸交于點C，對稱軸是直線，P是第一象限內拋物線上的任一點．(1)求拋物線的解析式；(2)若點D為線段的中點，則能否是等邊三角形？請說明理由；(3)過點P作x軸的垂線與線段交于點M，垂足為點H，若以P，M，C為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．【答案】(1)(2)不能，理由過程見詳解(3)(1,4)或者()【分析】（1）根據拋物線對稱軸即可求出b，再根據拋物線過B點即可求出C，則問題得解；（2）假設△POD是等邊三角形，過P點作PN⊥OD于N點，根據等邊三角形的性質即可求出P點坐標，再驗證P點是否在拋物線上即可求證；（3）先根據PH⊥BO，求得∠MHB=90°，根據（2）中的結果求得OC=4，根據B點(2,0)，可得OB=2，則有tan∠CBO=2，分類討論：第一種情況：△BMH∽△CMP，即可得，即P點縱坐標等于C點縱坐標則可求出此時P點坐標為(1,4)；第二種情況：△BMH∽△PMC，過P點作PG⊥y軸于點G，先證明∠GCP=∠OBC，即有tan∠GCP=2，即有2GC=GP，設GP=a，則GC=，即可得PH=OG=+4，則有P點坐標為(a,+4)，代入到拋物線即可求出a值，則此時P點坐標可求．(1)∵的對稱軸為，∴，即b=2，∵過B點(2,0)，∴，∴結合b=2可得c=4，即拋物線解析式為：；(2)△POD不可能是等邊三角形，理由如下：假設△POD是等邊三角形，過P點作PN⊥OD于N點，如圖，∵當x=0時，，∴C點坐標為(0,4)，∴OC=4，∵D點是OC的中點，∴DO=2，∵在等邊△POD中，PN⊥OD，∴DN=NO=DO=1，∵在等邊△POD中，∠NOP=60°，∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°=，∴P點坐標為(,1)，經驗證P點不在拋物線上，故假設不成立，即△POD不可能是等邊三角形；(3)∵PH⊥BO，∴∠MHB=90°，根據（2）中的結果可知C點坐標為(0,4)，即OC=4，∵B點(2,0)，∴OB=2，∴tan∠CBO=2，分類討論第一種情況：△BMH∽△CMP，∴∠MHB=∠MPC=90°，∴，∴即P點縱坐標等于C點縱坐標，也為4，當y=4時，，解得：x=1或者0，∵P點在第一象限，∴此時P點坐標為(1,4)，第二種情況：△BMH∽△PMC，過P點作PG⊥y軸于點G，如圖，∵△BMH∽△PMC，∴∠MHB=∠MCP=90°，∴∠GCP+∠OCB=90°，∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠GCP=∠OBC，∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，∵PG⊥OG，∴在Rt△PGC中，2GC=GP，設GP=a，∴GC=，∴GO=+OC=+4，∵PG⊥OG，PH⊥OH，∴可知四邊形PGOH是矩形，∴PH=OG=+4，∴P點坐標為(a,+4)，∴，解得：a=或者0，∵P點在第一象限，∴a=，∴，此時P點坐標為()；∵△BMH與△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，∴△PCM中，當∠CPM為直角時，若∠PCM=∠BMH，則可證△PCM是等腰直角三角形，通過相似可知△BMH也是等腰直角三角形，這與tan∠CBO=2相矛盾，故不存在當∠CPM為直角時，∠PCM=∠BMH相等的情況；同理不存在當∠PCM為直角時，∠CPM=∠BMH相等的情況，綜上所述：P點坐標為：(1,4)或者()．【點睛】本題考查了求解拋物線解析式、二次函數的圖像與性質、等邊三角形的判定、相似三角形的性質、解直角三角形等知識，掌握二次函數的圖像與性質是解答本題的關鍵．7．（2022·廣西）已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．(1)求點A，點B的坐標；(2)如圖，過點A的直線與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接，設點P的縱坐標為m，當時，求m的值；(3)將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)A（-1，0），B（3，0）(2)-3(3)或或【分析】（1）令，由拋物線解析式可得，解方程即可確定點A，點B的坐標；（2）由拋物線解析式確定其對稱軸為，可知點P（1，m），再將直線l與拋物線解析式聯立，解方程組可確定點C坐標，由列方程求解即可；（3）根據題意先確定點M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，根據一元二次方程的根的判別式為可知，然后分情況討論時以及結合圖像分析a的取值范圍．(1)解：拋物線解析式，令，可得，解得，，故點A、B的坐標分別為A（-1，0），B（3，0）；(2)對于拋物線，其對稱軸為，∵點P為拋物線對稱軸上的一點，且點P的縱坐標為m，∴P（1，m），將直線l與拋物線解析式聯立，可得，可解得或，故點C坐標為（4，-5），∴，，當時，可得，解得；(3)將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，結合（1），可知M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，其判別式為，①當時，解得，此時拋物線與線段MN只有一個交點；②當即時，解方程，可得，即，，若時，如圖1，由，可解得，此時有，且，解得；②當時，如圖2，由，可解得，此時有，且，解得；綜上所述，當拋物線與線段MN只有一個交點時，a的取值范圍為或或．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，包括求二次函數與x軸的交點、利用二次函數解決圖形問題等知識，解題關鍵是熟練運用數形結合和分類討論的思想分析問題．8．（2022·福建）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線經過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；(3)如圖，OP交AB于點C，交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或（3，4）(3)存在，【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）待定系數法求得直線AB的解析式為，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．過點B作BE⊥PM，垂足為E．可得，設，則．由，解方程求得的值，進而即可求解；（3）由已知條件可得，進而可得，過點分別作軸的垂線，垂足分別，交于點，過作的平行線，交于點，可得，設，，則，根據可得，根據，根據二次函數的性質即可求的最大值．(1)解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以拋物線的解析式為．(2)設直線AB的解析式為，將A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以直線AB的解析式為．過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．過點B作BE⊥PM，垂足為E．所以．因為A（4，0），B（1，4），所以．因為△OAB的面積是△PAB面積的2倍，所以，．設，則．所以，即，解得，．所以點P的坐標為或（3，4）．(3)記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．則如圖，過點分別作軸的垂線，垂足分別，交于點，過作的平行線，交于點，，設直線AB的解析式為．設，則整理得時，取得最大值，最大值為【點睛】本題考查了二次函數綜合，待定系數法求解析式，面積問題，相似三角形的性質與判定，第三問中轉化為線段的比是解題的關鍵．9．（2022·貴州黔東南）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點，，與軸交于點，連接．(1)求此拋物線的解析式；(2)已知點是第一象限內拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為點，交直線于點，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；(3)已知點是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在這樣的點（2，1）或或，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形(3)存在點的坐標為（4，1）或（-2，1）或或．【分析】（1）根據拋物線的對稱軸是直線，可得a=-1，再把點代入，即可求解；（2）先求出，設點N（m，-m+3），可得，，再分三種情況討論：當AC=AN時，當AC=CN時，當AN=CN時，即可求解；（3）設點E（1，n），點F（s，t），然后分兩種情況討論：當BC為邊時，當BC為對角線時，即可求解．(1)解：∵拋物線的對稱軸是直線，∴，解得：a=-1，∵拋物線過點，∴，解得：c=3，∴拋物線解析式為；(2)解：存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．理由如下：令y=0，則，解得：，∴點A的坐標為（-1，0），∴OA=1，當x=0時，y=3，∴點C的坐標為（0，3），即OC=3，∴，設直線BC的解析式為，把點B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為，設點N（m，-m+3），∴MN=-m+3，AM=m+1，∴，，當AC=AN時，，解得：m=2或0（舍去），∴此時點N（2，1）；當AC=CN時，，解得：或（舍去），∴此時點N；當AN=CN時，，解得：，∴此時點N；綜上所述，存在這樣的點（2，1）或或，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形；(3)解：存在，理由如下：∵點B（3，0），C（0，3），∴OB=OC，∴BC，設點E（1，n），點F（s，t），當BC為邊時，點C向右平移3個單位向下平移3個單位得到點B，同樣E（F）向右平移3個單位向下平移3個單位得到點F（E），且BE=CF（CE=BF），如圖，∴或，解得：或，∴此時點F的坐標為（4，1）或（-2，1）；當BC為對角線時，BC=EF，且EF與BC的中點重合，如圖，，解得：或，∴此時點F的坐標為或；綜上所述，存在點的坐標為（4，1）或（-2，1）或或．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合題，熟練掌握二次函數的圖象和性質，等腰三角形的性質，矩形的性質，并利用分類討論思想解答是解題的關鍵是解題的關鍵．10．（2022·湖南長沙）若關于x的函數y，當時，函數y的最大值為M，最小值為N，令函數，我們不妨把函數h稱之為函數y的“共同體函數”．(1)①若函數，當時，求函數y的“共同體函數”h的值；②若函數（，k，b為常數），求函數y的“共同體函數”h的解析式；(2)若函數，求函數y的“共同體函數”h的最大值；(3)若函數，是否存在實數k，使得函數y的最大值等于函數y的“共同體函數”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①；②時，，時，(2)(3)時，存在【分析】（1）①根據新定義結合正比例函數的性質即可求解；②根據新定義結合一次函數的性質即可求解；（2）根據新定義結合反比例函數的性質列出，根據二次函數的性質即可求解；（3）根據新定義結合二次函數的性質即可求解．(1)解：①當時，則，即，，，隨的增大而增大，，②若函數，當時，，，，當時，則，，綜上所述，時，，時，，(2)解：對于函數，，，函數在第一象限內，隨的增大而減小，，解得，當時，，，∵當時，隨的增大而增大，當時，取得最小值，此時取得最大值，最大值為；(3)對于函數，，拋物線開口向下，時，隨的增大而增大，時，隨的增大而減小，當時，函數y的最大值等于，在時，①當時，即時，，，，的最小值為（當時），若，解得，但，故不合題意，故舍去；②當時，即時，，，，的最小值為（當時），若，解得，但，故不合題意，故舍去③當時，即時，，i)當時，即時對稱軸為，，拋物線開口向上，在上，當2時，有最小值，解得ii)當時，即時，，，，對稱軸為，，拋物線開口向上，在上，當2時，有最小值，解得綜上所述，時，存在．【點睛】本題考查了函數新定義，要掌握一次函數，反比例數，二次函數的性質，難點在于分類討論時，的取值范圍的取舍．11．（2022·湖北武漢）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的頂點為A，與y軸交于點C，線段軸，交該拋物線于另一點B．(1)求點B的坐標及直線的解析式：(2)當二次函數的自變量x滿足時，此函數的最大值為p，最小值為q，且．求m的值：(3)平移拋物線，使其頂點始終在直線上移動，當平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點時，設此時拋物線的頂點的橫坐標為n，請直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)B（2，-3），直線AC為：y=-x-3；(2)m=或m=；(3)n=或1＜n≤4；【分析】（1）求得拋物線與y軸交點C，再由對稱軸x=1求得點B坐標，由點A、C坐標待定系數法求直線AC解析式即可；（2）利用二次函數的對稱性分情況討論：①當m+2≤1時，x=m時取最大值，x=m+2時取最小值，②當m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1時，x=m時取最大值，x=1時取最小值，③當m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1時，x=m+2時取最大值，x=1時取最小值，④當m≥1時，x=m+2時取最大值，x=m時取最小值；根據列方程求解即可；（3）過點A作直線AE⊥BC于E，作直線AF⊥y軸于F，根據坐標特征求得AECF是正方形，于是點A沿直線AC平移時，橫縱坐標平移距離相等；結合圖形可得設拋物線向左平移到與直線AB只有1個交點時與射線BA也只有一個交點，由平移后的拋物線與直線BA聯立求值即可；當拋物線由點A向右平移至左半部分過點B時，與射線BA也只有一個交點，將B點坐標代入平移后的拋物線計算求值即可；(1)解：，∴頂點坐標A（1，-4），對稱軸x=1，當x=0時y=-3，即C（0，-3），點B、C關于對稱軸x=1對稱，則B（2，-3），設直線AC：y=kx+b，由A（1，-4），C（0，-3），可得，解得：∴直線AC為：y=-x-3；(2)解：①當m+2≤1時，即m≤-1時，x=m時取最大值，x=m+2時取最小值，∴，解得：，不符合題意；②當m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1時，即-1＜m＜0時，x=m時取最大值，x=1時取最小值，∴，解得：m=，或m=（舍去），③當m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1時，即0＜m＜1時，x=m+2時取最大值，x=1時取最小值，∴，解得：m=，m=（舍去），④當m≥1時，x=m+2時取最大值，x=m時取最小值，∴，解得：，不符合題意；m=0時，二次函數在0≤x≤2上最大值-3，最小值-4，-3-（-4）=1不符合題意；綜上所述：m=或m=；(3)解：由題意作圖如下，過點A作直線AE⊥BC于E，作直線AF⊥y軸于F，由A（1，-4）、B（2，-3）可得直線AB解析式為：y=x-5，∵C（0，-3），∴F（0，-4），E（1，-3），∵AF=1，AE=1，CF=1，CE=1，∠AEC=90°，∴四邊形AECF是正方形，∴∠CAE=∠CAF=45°，根據對頂角相等，可得當點A沿直線AC平移m長度時，橫坐標平移m?cos45°，縱坐標平移m?cos45°，即點A沿直線AC平移時，橫縱坐標平移距離相等，設拋物線向左平移m單位后，與直線AB只有1個交點，則令△=0，解得：m=，∴n=1-=，由圖象可得當拋物線由點A向右平移至左半部分過點B時，與射線BA只有一個交點，設拋物線向右平移m單位后，左半部分過點B，則B（2，-3）在拋物線上，，解得：m=0（舍去）或m=3，∴1＜n≤4，綜上所述n=或1＜n≤4；【點睛】本題考查了一次函數和二次函數的綜合，根據二次函數的對稱性求最值，二次函數的平移，三角函數等知識；數形結合，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題關鍵．12．（2022·內蒙古通遼）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線方程為．(1)求拋物線的解析式；(2)點為拋物線上一點，若，請直接寫出點的坐標；(3)點是拋物線上一點，若，求點的坐標．【答案】(1)y=-x2+4x-3(2)(,)或(,)或（,）或(,)(3)(,)【分析】（1）先根據一次函數解析式求出點B、C坐標；再代入，求出b、c即可求解；（2）過點A作AN⊥BC于N，過點P作PM⊥BC于M，過點P作PEBC，交y軸于E,交拋物線于p1,p2，過點E作EF⊥BC于F，先求出AN=，再根據兩三角形面積關系，求得PM=，從而求得CE=1，則點P是將直線BC向上或向下平移1個單位與拋物線的交點，聯立解析式即可求出交點坐標；（3）過點Q作AD⊥CQ于D，過點D作DF⊥x軸于F財富點C作CE⊥DF于E，證△CDE≌△DAD（AAS），得DE=AF，CE=DF，再證四邊形OCEF是矩形，得OF=CE，EF=OC=3，然后設DE=AF=n，則CE=DF=OF=n+1，DF=3-n，則n+1=3-n，解得：n=1，即可求出D(2,-2),用待定系數法求直線CQ解析式為y=x-3，最后聯立直線與拋物線解析式，求出交點坐標即可求解．(1)解：對于直線BC解析式y=x-3，令x=0時，y=-3，則C(0,-3)，令y=0時，x=3，則B(3,0)，把B(3,0)，C(0,-3)，分別代入，得，解得：，∴求拋物線的解析式為：y=-x2+4x-3；(2)解：對于拋物線y=-x2+4x-3，令y=0，則-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3,∴A(1,0)，B(3,0)，∴OA=1，OB=3，AB=2，過點A作AN⊥BC于N，過點P作PM⊥BC于M，如圖，∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，∴OB=OC=3，AB=2，∴∠ABC=∠OCB=45°，∴AN=，∵，∴PM=，過點P作PEBC，交y軸于E，過點E作EF⊥BC于F，則EF=PM=，∴CE=1∴點P是將直線BC向上或向下平移1個單位，與拋物線的交點，如圖P1，P2，P3，P4，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴直線BC解析式為：y=x-3，∴平移后的解析式為y=x-2或y=x-4,聯立直線與拋物線解析式，得或，解得：，，，，∴P點的坐標為(,)或(,)或（,）或(,)．(3)解：如圖，點Q在拋物線上，且∠ACQ=45°，過點Q作AD⊥CQ于D，過點D作DF⊥x軸于F，過點C作CE⊥DF于E，∵∠ADC=90°，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴CD=AD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，∴△CDE≌△DAD（AAS），∴DE=AF，CE=DF，∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，∴四邊形OCEF是矩形，∴OF=CE，EF=OC=3，設DE=AF=n，∵OA=1，∴CE=DF=OF=n+1∴DF=3-n，∴n+1=3-n解得：n=1，∴DE=AF=1，∴CE=DF=OF=2，∴D(2,-2),設直線CQ解析式為y=px-3，把D(2,-2)代入，得p=,∴直線CQ解析式為y=x-3，聯立直線與拋物線解析式，得解得：，（不符合題意，舍去），∴點Q坐標為(,).【點睛】本題屬二次函數與一次函數綜合題目，考查了用待定系數法求函數解析式，一次函數圖象平行，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，熟練掌握一次函數與二次函數的圖象性質是解題的關鍵．13．（2022·山東煙臺）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．(1)求拋物線的表達式；(2)D是第二象限內拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標；(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4(2)S最大＝，D（﹣，5）(3)存在，Q（﹣2，）【分析】（1）先求得A，C，B三點的坐標，將拋物線設為交點式，進一步求得結果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根據點D和點E坐標可表示出DE的長，進而表示出三角形ADC的面積，進而表示出S的函數關系式，進一步求得結果；（3）根據菱形性質可得PA＝PC，進而求得點P的坐標，根據菱形性質，進一步求得點Q坐標．(1)解：當x＝0時，y＝4，∴C（0，4），當y＝0時，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵對稱軸為直線x＝﹣1，∴B（1，0），∴設拋物線的表達式：y＝a（x﹣1）?（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣1）?（x+3）＝﹣x2﹣x+4；(2)如圖1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝OA＝?（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝＝＝6，∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，∴當m＝﹣時，S最大＝，當m＝﹣時，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；(3)設P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝，∴P（﹣1，），∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，∴Q（﹣2，）．【點睛】本題考查了二次函數及其圖象性質，勾股定理，菱形性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握相關二次函數和菱形性質14．（2022·山東聊城）如圖，在直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，對稱軸為直線，頂點為點D．(1)求二次函數的表達式；(2)連接DA，DC，CB，CA，如圖①所示，求證：；(3)如圖②，延長DC交x軸于點M，平移二次函數的圖象，使頂點D沿著射線DM方向平移到點且，得到新拋物線，交y軸于點N．如果在的對稱軸和上分別取點P，Q，使以MN為一邊，點M，N，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點Q的坐標．【答案】(1)(2)見解析(3)點或(5，-8)【分析】（1）根據拋物線對稱軸和點C坐標分別確定b和c的值，進而求得結果；（2）根據點A，D，C坐標可得出AD，AC，CD的長，從而推出三角形ADC為直角三角形，進而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，從而得出結論；（3）先得出y1的頂點，進而得出先拋物線的表達式，從而求得M和N的坐標，點M，N，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形分為?MNQP和?MNPQ，根據M，N和點P的橫坐標可以得出Q點的橫坐標，進而求得結果．(1)解：由題意得，，∴，∴二次函數的表達式為：；(2)證明：∵當時，，∴，由得，，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；(3)解：如圖，作軸于E，作軸于F，∴，∴，∴，∴，，∴，∴的關系式為：，由得，或，∴，當時，，∴，設，當四邊形是平行四邊形時，∴，，∴Q點的橫坐標為，當時，，∴，當四邊形是平行四邊形時，同理可得：點Q橫坐標為：5，當時，，∴，綜上所述：點或（5，）．【點睛】本題考查了求二次函數的表達式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質和分類等知識，解決問題的關鍵熟練掌握有關基礎知識．15．（2022·黑龍江齊齊哈爾）綜合與探究如圖，某一次函數與二次函數的圖象交點為A（-1，0），B（4，5）．(1)求拋物線的解析式；(2)點C為拋物線對稱軸上一動點，當AC與BC的和最小時，點C的坐標為；(3)點D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點，過點D作DE⊥x軸，交線段AB于點E，求線段DE長度的最大值；(4)在（2）條件下，點M為y軸上一點，點F為直線AB上一點，點N為平面直角坐標系內一點，若以點C，M，F，N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標．【答案】(1)(2)（1，2）(3)(4)【分析】（1）將A（-1，0），B（4，5）代入得到關于m，n的二元一次方程組求解即可；（2）拋物線的對稱軸為，求出直線AB與對稱軸的交點即可求解；（3）設，則，則，根據二次函數的性質求解即可；（4）根據題意畫出圖形，分情況求解即可．(1)解：將A（-1，0），B（4，5）代入得，，解這個方程組得，拋物線的解析式為：；(2)解：如圖，設直線AB的解析式為：，把點A（-1，0），B（4，5）代入，得，解得，直線AB的解析式為：，由（1）知拋物線的對稱軸為，點C為拋物線對稱軸上一動點，，當點C在AB上時，最小，把x=1代入，得y=2，點C的坐標為（1，2）；(3)解：如圖，由（2）知直線AB的解析式為y=x+1設，則，則，當時，DE有最大值為，(4)解：如圖，直線AB的解析式為：y=x+1，直線與y軸的交點為D（0，1），，，若以點C，M，F，N為頂點的四邊形是正方形，分情況討論：①過點C作軸于點，則為等腰直角三角形，過點C作，則四邊形為正方形，依題意，知D與F重合，點的坐標為（1，1）；②以為中心分別作點F，點C點的對稱點，連接，則四邊形是正方形，則點的坐標為（-1，2）；③延長到使，作于點，則四邊形是正方形，則的坐標為（1，4）；④取的中點，的中點，則為正方形，則的坐標為，綜上所述，點N的坐標為：【點睛】本題考查了用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，二次函數的性質，正方形的判定，根據題意正確畫圖是解本題的關鍵．16．（2022·湖南）如圖，已知拋物線的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，點為拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數表達式及點的坐標；(2)若四邊形為矩形，．點以每秒1個單位的速度從點沿向點運動，同時點以每秒2個單位的速度從點沿向點運動，一點到達終點，另一點隨之停止．當以、、為頂點的三角形與相似時，求運動時間的值；(3)拋物線的對稱軸與軸交于點，點是點關于點的對稱點，點是軸下方拋物線圖像上的動點．若過點的直線與拋物線只有一個公共點，且分別與線段、相交于點、，求證：為定值．【答案】(1)；頂點為(2)或(3)見解析【分析】（1）設二次函數表達式為：，將、代入，進行計算即可得，根據二次函數的性質即可得；（2）依題意，秒后點的運動距離為，則，點的運動距離為，分情況討論：①當時，②當時，進行解答即可得；（3）根據對稱的性質得，根據直線與拋物線圖像只有一個公共點，即可得，利用待定系數法可得直線的解析式為：，直線的解析式為：，聯立，結合已知，解得：，同理可得：，運用三角函數求出GH，GK即可得．(1)解：設二次函數表達式為：，將、代入得：，解得，，拋物線的函數表達式為：，又，，頂點為；(2)解：依題意，秒后點的運動距離為，則，點的運動距離為．①當時，，解得；②當時，，解得；綜上得，當或時，以、、為頂點的三角形與相似；(3)解：點關于點的對稱點為點，，直線與拋物線圖像只有一個公共點，只有一個實數解，△，即：，解得：，利用待定系數法可得直線的解析式為：，直線的解析式為：，聯立，結合已知，解得：，同理可得：，則：，，，的值為．【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定與性質，函數與方程的關系，一元二次方程根的判別式等知識，聯立兩函數關系求出點和的橫坐標是解題的關鍵．17．（2022·內蒙古包頭）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，點B的坐標是，頂點C的坐標是，M是拋物線上一動點，且位于第一象限，直線與y軸交于點G．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，N是拋物線上一點，且位于第二象限，連接，記的面積分別為．當，且直線時，求證：點N與點M關于y軸對稱；(3)如圖2，直線與y軸交于點H，是否存在點M，使得．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在，【分析】（1）利用待定系數法求解拋物線的解析式即可；（2）如圖．過點M作軸，垂足為D．當與都以為底時，可得．再求解，，直線的解析式為．直線的解析式為，可得．從而可得答案；（3）過點M作軸，垂足為E．設，則．由，可得．同理可得．再利用，建立方程方程即可．(1)解：∵拋物線與x軸交于點，頂點為，∴解得∴該拋物線的解析式為．(2)證明：如圖．過點M作軸，垂足為D．當與都以為底時，∵，∴．當時，則，解得．∵，∴，∴．設點M的坐標為，∵點M在第一象限，∴，∴，∴．設直線的解析式為，∴解得∴直線的解析式為．設直線的解析式為，∵直線，∴，∴，∵，∴．∴直線的解析式為，將其代入中，得，∴，解得．∵點N在第二象限，∴點N的橫坐標為，∴，∴．∵，∴點N與點M關于y軸對稱．(3)如圖．存在點M，使得．理由如下：過點M作軸，垂足為E．∵，∴．∵，∴，∴．在和中，∵，∴，∴．∵，∴，在和中，∵，∴，∴．∵，∴，∴．當時，，∴．∴存在點，使得．【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解拋物線的解析式，一次函數的解析式，二次函數的性質，二次函數與一次函數的交點坐標問題，銳角三角函數的應用，作出適當的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．18．（2022·廣西梧州）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x，y軸交于點A，B，拋物線恰好經過這兩點．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點C的坐標是，將繞著點C逆時針旋轉90°得到，點A的對應點是點E．①寫出點E的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上；②若點P是y軸上的任一點，求取最小值時，點P的坐標．【答案】(1)(2)①點E在拋物線上；②（0，）【分析】（1）先求出A、B坐標，然后根據待定系數法求解即可；（2）①根據旋轉的性質求出EF=AO=3，CF=CO=6，從而可求E的坐標，然后把E的坐標代入（1）的函數解析式中，從而判斷出點E是否在拋物線上；②過點P作PQ⊥AB于Q，證明△ABO∽△PBQ，從而求出，則可判斷當P，E，Q三點共線，且EP⊥AB時，取最小值，然后根據待定系數法求直線EP解析式，即可求出點P的坐標．(1)解：當x=0時，y=-4，當y=0時，，∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入拋物線，得，∴，∴拋物線解析式為；(2)①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋轉知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x軸的距離為6-3=3，∴點E的坐標為（6，3），當x=3時，，∴點E在拋物線上；②過點P作PQ⊥AB于Q，又∠AOB=90°，∴∠AOB=∠PQB，在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，∴由勾股定理得：AB=5，∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，∴△ABO∽△PBQ，∴，∴，∴，∴，∴當P，E，Q三點共線，且EP⊥AB時，取最小值，∵EP⊥AB，∴設直線EP解析式為，又E（6，0），∴，∴，∴直線EP解析式為，當x=0時，y=，∴點P坐標為（0，）．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數函數解析式，相似三角形的判定與性質等，解第（2）題第②問的關鍵是正確作出點P的位置．19．（2022·遼寧錦州）如圖，拋物線與x軸交于兩點（A在B的左側），與y軸交于點，點P在拋物線上，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點P在第四象限，點D在線段上，連接并延長交x軸于點E，連接，記的面積為，的面積為，當時，求點P的坐標；(3)如圖2，若點P在第二象限，點F為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸l與線段交于點G，當時，求點P的橫坐標．【答案】(1)(2)(3)點P的橫坐標為【分析】（1）將將、兩點代入即可求解；（2）設點，由，可得即可求解；（3）作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x軸，連接PC交x軸于點H，設，PC的表達式為：，由P，C代入得，PC的表達式，由可表示PQ、PB，分別求EF、CF，由，PQ⊥BC，CE⊥l，證即可求解；(1)解：將、兩點代入得，，解得：∴拋物線的解析式為：(2)由可得，設點則∵，∴∴解得：（舍去）∴(3)如圖，作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x軸，連接PC交x軸于點H，設，PC的表達式為：，將P，C代入得，解得：PC的表達式為：，將y=0代入得，，即，∴∵∴∵∴∵由題可知，∴將代入得，，∴∴∵，PQ⊥BC，CE⊥l，∴∴∴解得：（舍去）．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合應用，一次函數的應用，三角形的相似，勾股定理，掌握相關知識正確構造輔助線是解題的關鍵．20．（2022·遼寧）如圖，拋物線交x軸于點和，交y軸于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)D是直線上方拋物線上一動點，連接交于點N，當的值最大時，求點D的坐標；(3)P為拋物線上一點，連接，過點P作交拋物線對稱軸于點Q，當時，請直接寫出點P的橫坐標．【答案】(1)(2)(3)點P的橫坐標為或或或【分析】（1）把點和代入解析式求解即可；（2）過點D作DH∥y軸，交AC于點H，由（1）設，直線AC的解析式為，然后可求出直線AC的解析式，則有，進而可得，最后根據可進行求解；（3）由題意可作出圖象，設，然后根據題意及k型相似可進行求解．(1)解：把點和代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；(2)解：過點D作DH∥y軸，交AC于點H，如圖所示：設，直線AC的解析式為，由（1）可得：，∴，解得：，∴直線AC的解析式為，∴，∴，∵DH∥y軸，∴，∴，∵，∴當時，的值最大，∴；(3)解：由題意可得如圖所示：分別過點C、Q作垂線，交過點P作y軸的平行線于點G、H，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，設點，由題意可知：拋物線的對稱軸為直線，，∴，∴，當時，解得：，當時，解得：綜上：點P的橫坐標為或或或．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合、三角函數及相似三角形的性質與判定，熟練掌握二次函數的綜合、三角函數及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．21．（2022·遼寧營口）在平面直角坐標系中，拋物線經過點和點，與y軸交于點C，點P為拋物線上一動點．(1)求拋物線和直線的解析式；(2)如圖，點P為第一象限內拋物線上的點，過點P作，垂足為D，作軸，垂足為E，交于點F，設的面積為，的面積為，當時，求點P坐標；(3)點N為拋物線對稱軸上的動點，是否存在點N，使得直線垂直平分線段？若存在，請直接寫出點N坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為，直線的解析式為，(2)(3)存在【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）設，則，中，，證明，根據相似三角形的性質以及建立方程，解方程即可求解；（3）設直線交軸于點，設交于點，連接，，，證明是等腰直角三角形，則設，則，，根據列出方程，即可求解．(1)解：拋物線經過點和點，，解得，拋物線解析式為，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，(2)如圖，設直線與軸交于點，由，令,得，則，，，設，則，，，，，，，中，，設的面積為，的面積為，，，，即，設，則，，解得或（舍），當時，，(3)設直線交軸于點，設交于點，連接，，，如圖，由，令，得，則設過直線的解析式為，解得過直線的解析式為，是等腰直角三角形是等腰直角三角形直線垂直平分線段是等腰直角三角形，，設，則，，解得（舍）即【點睛】本題考查了二次函數綜合，解直角三角形，相似三角形的性質與判定，二次函數線段問題，掌握以上知識是解題的關鍵．22．（2022·四川廣安）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，其中點B坐標為（0，－4），點C坐標為（2，0）．(1)求此拋物線的函數解析式．(2)點D是直線AB下方拋物線上一個動點，連接AD、BD，探究是否存在點D，使得△ABD的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．(3)點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得△PAB為直角三角形，請求出點P的坐標．【答案】(1)(2)（-2，-4）(3)P點坐標為：（-1，3），（-1，-5），，【分析】（1）直接將B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（2）先求出直線AB關系式為：，直線AB平移后的關系式為：，當其與拋物線只有一個交點時，此時點D距AB最大，此時△ABD的面積最大，由此即可求得D點坐標；（3）分三種情況討論，①當∠PAB=90°時，即PA⊥AB，則設PA所在直線解析式為：，將A（-4,0）代入得，解得：，此時P點坐標為：（-1,3）；②當∠PBA=90°時，即PB⊥AB，則設PB所在直線解析式為：，將B（0，-4）代入得，，此時P點坐標為：（-1,-5）；③當∠APB=90°時，設P點坐標為：，由于PA所在直線斜率為：，PB在直線斜率為：，=-1，則此時P點坐標為：，．(1)解：將B（0，-4），C（2，0）代入，得：，解得：，∴拋物線的函數解析式為：．(2)向下平移直線AB，使平移后的直線與拋物線只有唯一公共點D時，此時點D到直線AB的距離最大，此時△ABD的面積最大，∵時，，，∴A點坐標為：（-4,0），設直線AB關系式為：，將A（-4,0），B（0，-4），代入，得：，解得：，∴直線AB關系式為：，設直線AB平移后的關系式為：，則方程有兩個相等的實數根，即有兩個相等的實數根，∴，即的解為：x=-2，將x=-2代入拋物線解析式得，，∴點D的坐標為：（-2，-4）時，△ABD的面積最大；(3)①當∠PAB=90°時，即PA⊥AB，則設PA所在直線解析式為：，將A（-4,0）代入得，，解得：，∴PA所在直線解析式為：，∵拋物線對稱軸為：x=-1，∴當x=-1時，，∴P點坐標為：（-1，3）；②當∠PBA=90°時，即PB⊥AB，則設PB所在直線解析式為：，將B（0，-4）代入得，，∴PA所在直線解析式為：，∴當x=-1時，，∴P點坐標為：（-1，-5）；③當∠APB=90°時，設P點坐標為：，∴PA所在直線斜率為：，PB在直線斜率為：