第7章線段與角的畫法（壓軸30題專練）一．選擇題（共4小題）1．（2021春?東營區校級月考）借助一副三角尺不能畫出的角是（）A．95° B．105° C．120° D．135°【分析】結合一副三角板的度數即可得答案．【解答】解：∵一副三角板的度數分別是：30°，60°，90°和45°，45°，90°，∴60°+45°＝105°，30°+90°＝120°，45°+90＝135°，因此可以拼出105°，120°，135°的角，故選：A．【點評】本題考查了學生對三角板的認知，關鍵在于學生要結合具體圖形答題．2．（2021春?射洪市期末）通過下面幾個圖形說明“銳角α，銳角β的和是銳角”，其中錯誤的例證圖是（）A． B． C． D．【分析】判斷“兩個銳角的和是銳角”什么情況下不成立，即找出兩個銳角的和＞90即可．【解答】解：找出兩個銳角的和是銳角，在什么情況下不成立，故只有C滿足∠a+∠B＞90°，所以銳角a，銳角β的和是銳角是假命題．故選：C．【點評】此題主要考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理3．（2018秋?昆都侖區期末）已知點M在線段AB上，在①AB＝2AM；②BM＝AB；③AM＝BM；④AM+BM＝AB四個式子中，能說明M是線段AB的中點的式子有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據線段中點的定義，借助圖形逐一判斷即可．【解答】解：如圖：∵AB＝2AM，∴點M是線段AB的中點，∵BM＝AB，∴點M是線段AB的中點，∵AM＝BM，∴點M是線段AB的中點，故①②③都能說明點M是線段AB的中點，根據：④AM+BM＝AB，不能判斷點M是線段AB的中點，故選：C．【點評】本題考查了兩點間距離，借助圖形分析是解題的關鍵．4．數形結合A，B，C三個住宅區分別住有某公司職工30人、15人、10人，且這三個住宅區在一條大道上（A，B，C三點共線），如圖所示，已知AB＝100m，BC＝200m，為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在此區間內設一個停靠點，為使所有的人步行到停靠點的路程之和最小，那么該停靠點的位置應設在（）A．點A B．點B C．點A，B之間 D．點B，C之間【分析】此題為數學知識的應用，由題意設一個停靠點，為使所有的人步行到停靠點的路程之和最小，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點間線段最短定理．【解答】解：①以點A為停靠點，則所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），②以點B為停靠點，則所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以點C為停靠點，則所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④當在AB之間停靠時，設停靠點到A的距離是m，則（0＜m＜100），則所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，⑤當在BC之間停靠時，設停靠點到B的距離為n，則（0＜n＜200），則總路程為30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．∴該停靠點的位置應設在點A；故選：A．【點評】此題為數學知識的應用，考查知識點為兩點之間線段最短．二．填空題（共8小題）5．（2021春?浦東新區月考）如圖，把一根繩子對折成線段AB，AB上有一點P，已知AP＝PB，PB＝40cm，則這根繩子的長為120cm．【分析】AP＝xcm，則BP＝2xcm當含有線段AP的繩子最長時，得出方程x+x＝40求出每個方程的解，代入2（x+2x）求出即可【解答】解：設AP＝xcm，則BP＝2xcm，當含有線段AP的繩子最長時，x+x＝40，解得：x＝20，即繩子的原長是2（x+2x）＝6x＝120（cm）；故繩長為120cm．故答案為：120．【點評】本題考查了兩點間的距離，解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．6．一條直街上有5棟樓，按從左至右順序編號為1、2、3、4、5，第k號樓恰好有k（k＝1、2、3、4、5）個A廠的職工，相鄰兩樓之間的距離為50米．A廠打算在直街上建一車站，為使這5棟樓所有A廠職工去車站所走的路程之和最小，車站應建在距1號樓150米處．【分析】假設車站距離1號樓x米，然后運用絕對值表示出總共的距離，繼而分段討論x的取值去掉絕對值，根據數的大小即可得出答案．【解答】解：假設車站距離1號樓x米，則總距離S＝|x|+2|x﹣50|+3|x﹣100|+4|x﹣150|+5|x﹣200|，①當0≤x≤50時，S＝2000﹣13x，最小值為1350；②當50≤x≤100時，S＝1800﹣9x，最小值為900；②當100≤x≤150時，S＝1200﹣3x，最小值為750（此時x＝150）；當150≤x≤200時，S＝5x，最小值為750（此時x＝150）．∴綜上，當車站距離1號樓150米時，總距離最小，為750米．故答案為：150．【點評】本題考查比較線段長短的知識，難度中等，與實際結合較緊，解答本題的關鍵是設出位置后運用分段討論的思想進行解答．7．（2021秋?汝陽縣期末）已知∠AOB＝40°，過O作射線OC，使∠COB＝60°，若射線OD是∠COA的平分線，則∠DOA的度數是50°或10°．【分析】可分兩種情況：當∠BOC與∠AOB在OB的同側時；當∠BOC與∠AOB在OB的異側時，根據角的和差可求解∠AOC的度數，再利用角平分線的定義可求解∠DOA的度數．【解答】解：當∠BOC與∠AOB在OB的同側時，∵∠BOC＝60°，∠AOB＝40°，∴∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝60°﹣40°＝20°，∵OD平分∠AOC，∴∠DOA＝∠AOC＝10°；當∠BOC與∠AOB在OB的異側時，∵∠BOC＝60°，∠AOB＝40°，∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝60°+40°＝100°，∵OD平分∠AOC，∴∠DOA＝∠AOC＝50°，綜上，∠DOA的度數為50°或10°．故答案為：50°或10°．【點評】本題主要考查角的計算，角平分線的定義，分類討論是解題的關鍵．8．（2021秋?金牛區期末）如圖，長方形紙片ABCD，點E在邊AB上，點F、G在邊CD上，連接EF、EG．將∠BEG對折，點B落在直線EG上的點B′處，得折痕EM；將∠AEF對折，點A落在直線EF上的點A′處，得折痕EN．∠FEG＝20°，則∠MEN＝100°或80°．【分析】分兩種情形：當點G在點F的右側；當點G在點F的左側，根據∠MEN＝∠NEF+∠MEG+∠FEG或∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG，求出∠NEF+∠MEG即可解決問題．【解答】解：當點G在點F的右側，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB?∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，∴∠NEF+∠MEG＝（180°?20°）＝80°，∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝80°+20°＝100°；當點G在點F的左側，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB+∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，∴∠NEF+∠MEG＝（180°+20°）＝100°，∴∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG＝100°﹣20°＝80°，綜上，∠MEN的度數為100°或80°，故答案為：100°或80°．【點評】本題考查角的計算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．9．（2021秋?巴彥縣期末）如圖，已知∠AOB＝150°，∠COD＝40°，∠COD在∠AOB的內部繞點O任意旋轉，若OE平分∠AOC，則2∠BOE﹣∠BOD的值為110°．【分析】根據角平分線的意義，設∠DOE＝x，根據∠AOB＝150°，∠COD＝40°，分別表示出圖中的各個角，然后再計算2∠BOE﹣∠BOD的值即可．【解答】解：如圖：∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，設∠DOE＝x，∵∠COD＝40°，∴∠AOE＝∠COE＝x+40°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°﹣2（x+40°）＝70°﹣2x，∴2∠BOE﹣∠BOD＝2（70°﹣2x+40°+x）﹣（70°﹣2x+40°）＝140°﹣4x+80°+2x﹣70°+2x﹣40°＝110°，當角AOC小于80度時，OD在OE左側，同法可得，2∠BOE﹣∠BOD＝110°當OD和OE重合時，同法可得，2∠BOE﹣∠BOD＝110°故答案為：110．【點評】考查角平分線的意義，利用代數的方法解決幾何的問題也是常用的方法，有時則會更簡捷．10．（2021秋?牡丹區期末）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕．若∠ABE＝30°，則∠DBC為60度．【分析】根據折疊思想，通過角的和差計算即可求解．【解答】解：∵BD、BE為折痕，∴BD、BE分別平分∠CBC′、∠ABA′∴∠A′BE＝∠ABE＝30°，∠DBC＝∠DBC′∵∠A′BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC′＝180°∴∠ABE+∠DBC＝90°∴∠DBC＝60°．故答案為60°【點評】本題考查了角的計算，用正確角分線是解決本題的關鍵．11．（2021春?奉化區校級期末）一副三角板AOB與COD如圖1擺放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．當三角板COD繞O點順時針旋轉（從圖1到圖2）．設圖1、圖2中的∠NOM的度數分別為α，β，α+β＝105度．【分析】根據角平分線的意義，以及角的和與差，分別表示出∠MON，然后利用兩個圖形分別計算α、β即可．【解答】解：如圖1，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．∴∠NOB＝∠CON＝∠BOC＝（45°+∠BOD），∠MOD＝∠MOA＝∠AOD＝（60°+∠BOD），∴∠MON＝α＝∠NOB+∠MOD﹣∠BOD＝（45°+60°），如圖2，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．∴∠NOB＝∠CON＝∠BOC＝（45°﹣∠BOD），∠MOD＝∠MOA＝∠AOD＝（60°﹣∠BOD），∴∠MON＝β＝∠NOB+∠MOD+∠BOD＝（45°+60°），∴α+β＝45°+60°＝105°，故答案為：105．【點評】考查角平分線的意義，圖形中角的和與差，等量代換和恒等變形是常用的方法．12．（2020秋?馬鞍山期末）有兩根木條，一根長60厘米，一根長100厘米．如果將它們放在同一條直線上，并且使一個端點重合，這兩根木條的中點間的距離是20cm或80cm．【分析】分兩種情況：兩條線段的另一個端點在重合端點的同旁或異側．【解答】解：若兩條線段的另一個端點在重合端點的同旁，則中點間的距離為50﹣30＝20cm；若兩條線段的另一個端點在重合端點的異側，則中點間的距離為50+30＝80cm．故答案為20cm或80cm．【點評】此題考查兩點間的距離，注意分類討論．三．解答題（共18小題）13．（2017春?浦東新區校級月考）根據圖形填空AB+BC＝AC，AD＝AC+CD，CD＝AD﹣ACBD＝CD+BC＝AD﹣AB．【分析】根據線段的和差關系即可求解．【解答】解：AB+BC＝AC，AD＝AC+CD，CD＝AD﹣ACBD＝CD+BC＝AD﹣AB故答案為：AC，AC，AC，BC，AB．【點評】考查了兩點間的距離，本題是線段長度的加減，是基礎題型．14．（2017春?浦東新區月考）如圖所示，一個點從數軸上的原點開始，先向右移動3單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看到終點表示的數是﹣2，已知點A，B是數軸上的點，請參照下圖并思考，完成下列各題．（1）如果點A表示數3，將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點B表示的數是1，A，B兩點間的距離為2（2）如果點A表示數﹣4，將A點向右移動68個單位長度，再向左移動156個單位長度，那么終點B表示的數是﹣92，A，B兩點間的距離是88．（3）一般地，如果A點表示數為m，將A點向右移動n個單位長度，再向左移動P個單位長度，那么，請你猜想終點B表示什么數？A，B兩點間的距離為多少？【分析】（1）根據數軸上的點向右平移加，向左平移減，可得B點表示的數，根據數軸上兩點間的距離是大數減小數，可得答案；（2）根據數軸上的點向右平移加，向左平移減，可得B點表示的數，根據數軸上兩點間的距離是大數減小數，可得答案；（3）根據數軸上的點向右平移加，向左平移減，可得B點表示的數，根據數軸上兩點間的距離是大數減小數，可得答案．【解答】解：（1）∵點A表示數3，∴將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數是3﹣7+5＝1，A，B兩點間的距離為3﹣1＝2；故答案為：1，2；（2）∵點A表示數﹣4，∴將A點向右移動68個單位長度，再向左移動156個單位長度，那么終點B表示的數是﹣4+68﹣156＝﹣92，A、B兩點間的距離是|﹣4+92|＝88；故答案為：﹣92，88；（3）∵A點表示的數為m，∴將A點向右移動n個單位長度，再向左移動p個單位長度，那么點B表示的數為（m+n﹣p），A，B兩點間的距離為|n﹣p|．【點評】本題考查的是數軸的定義及數軸上兩點之間的距離公式，正確利用數形結合分析是解題關鍵．15．（2012春?普陀區期末）一只螞蟻從點O出發，沿北偏東45°的方向爬行了線段a的長度時碰到障礙物A，原路返回爬行了線段b的長度到達B處，然后向北偏西60°的方向爬行2cm到達C處．（1）畫出螞蟻的爬行路線圖，并標出相關字母．（角度可以用量角器畫出）（2）請用a、b表示線段OB：OB＝a﹣b．（3）∠BOC＝40°．【分析】（1）根據題意要求畫出螞蟻行走路線即可；（2）根據OA＝a，AB＝b，即可表示出OB；（3）用量角器量出∠BOC的度數即可．【解答】解：（1）所畫圖形如下：．（2）∵OA＝a，AB＝b，∴OB＝a﹣b；（3）量得∠BOC＝40°．【點評】本題考查了方向角及量角器的使用，解答本題關鍵是掌握方向角的定義及表示方法．16．（2015春?普陀區期末）如圖，OQ是∠BOC的平分線，（1）用直尺和圓規作∠AOB的平分線OP．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）結合圖形，猜測∠POQ與∠AOC之間的數量關系，然后逐步填空．解：∠POQ與∠AOC之間的數量關系是：∠POQ＝．因為OP是∠AOB的平分線，所以∠POB＝∠AOB，同理，∠BOQ＝∠BOC，于是∠POQ＝∠POB+∠BOQ＝∠AOB+∠BOC＝（∠AOB+∠BOC）＝∠AOC．【分析】（1）根據角平分線的尺規作圖即可得；（2）由OP平分∠AOB知∠AOB、由OQ平分∠BOC知∠BOQ＝∠BOC，根據∠POQ＝∠POB+∠BOQ可得答案．【解答】解：（1）如圖，OP即為所求：（2）∠POQ與∠AOC之間的數量關系是：∠POQ＝，因為OP是∠AOB的平分線，所以∠AOB，同理，∠BOC，于是∠POQ＝∠POB+∠BOQ＝∠AOB∠BOC＝（∠AOB+∠BOC）＝∠AOC，故答案為：∠POB、∠BOQ、∠AOB、∠BOC、∠AOB、∠BOC、∠AOC．【點評】本題主要考查作圖﹣尺規作圖及角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的尺規作圖及角平分線的定義和性質．17．（2009春?青浦區期末）如圖，點A、O、C在一直線上，OE是∠BOC的平分線，∠EOF＝90°，∠1＝（4x+20）°，∠2＝（x﹣10）°．（1）求：∠1的度數；（請寫出解題過程）（2）如以OF為一邊，在∠COF的外部畫∠DOF＝∠COF，問邊OD與邊OB成一直線嗎？請說明理由．【分析】（1）因為OE是∠BOC的平分線所以∠BOC＝2∠2，再根據點A、O、C在一直線上，求出∠1和∠2關于x的關系式，列出等式求出x的值；（2）根據∠EOF＝∠EOC+∠COF＝90°和∠EOC＝∠BOC，∠FOC＝∠DOC，∠BOC+∠DOC＝90°，得出∠BOC+∠DOC＝180°，進而可可判斷邊OD與邊OB成一直線．【解答】解：（1）因為OE是∠BOC的平分線所以∠BOC＝2∠2，因為點A、O、C在一直線上所以∠1+∠BOC＝180°，因為∠1＝（4x+20）°，∠2＝（x﹣10）°，所以（4x+20）+2（x﹣10）＝180，解得：x＝30，∠1＝140°，所以∠1的度數為140°；（2）邊OD與邊OB成一直線，因為∠EOF＝∠EOC+∠COF＝90°又因為∠EOC＝∠BOC，∠FOC＝∠DOC，∠BOC+∠DOC＝90°，即∠BOC+∠DOC＝180°，所以點D、O、B在一直線上，即邊OD與邊OB成一直線．【點評】本題主要考查角的計算和角平分線的知識點，解答本題的關鍵是熟練運用角之間的等量關系，此題難度不大．18．（2021秋?思明區校級期末）如圖，O是直線AB上一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠BOD＝30°，則∠COE＝30°；（2）若∠AOC＝α，求∠DOE＝α（用含α的式子表示）；（3）在∠AOC的內部有一條射線OF，滿足（∠AOC﹣∠AOF）＝2∠AOF+∠BOE，試確定∠AOF與∠DOE的度數之間的關系，并說明理由．【分析】（1）先根據∠COD是直角，∠BOD＝30°，求出∠BOC＝60°，再根據角平分線性質即可得出結論；（2）現根據平角的定義求出∠BOC，再根據角平分線的性質求出∠BOE，再根據∠COD＝90°得出結論；（3）設∠DOE＝x，∠AOF＝y，先根據平角的定義和角平分線的性質求出∠AOC＝2x，∠BOE＝90°﹣x，再根據已知等式得出結論．【解答】解：（1）∵∠COD是直角，∠BOD＝30°，∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝30°，故答案為：30°；（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣α，又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α，故答案為：α；（3）5∠DOE﹣7∠AOF＝270°．理由：設∠DOE＝x，∠AOF＝y，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC，∠BOC＝2∠COE＝2（90°﹣∠DOE），∴∠AOC＝180°﹣2（90°﹣∠DOE）＝180°﹣180°+2∠DOE＝2∠DOE＝2x，∠BOE＝∠COE＝90°﹣∠DOE＝90°﹣x，∵（∠AOC﹣∠AOF）＝2∠AOF+∠BOE，∴（2x﹣y）＝2y+90°﹣x，∴5x﹣7y＝270°，即5∠DOE﹣7∠AOF＝270°．【點評】此題考查的知識點是角平分線的性質及角的計算，關鍵是正確運用好有關性質準確計算角的和差倍分．19．（2021秋?武侯區期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數量關系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運用】（1）如圖1，射線PS不是（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT是（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；（2）如圖2，點O在直線MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉，運動時間為t秒，當射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉，且在旋轉過程中，射線OD平分∠AOB．當射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數．【分析】（1）利用“雙倍和諧線”的意義結合圖形進行判斷即可；（2）①由題意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°，利用分類討論的思想方法分∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC兩種情況討論解答，依據上述等式列出方程，解方程即可求得結論；②由題意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣∠AOD＝70°+2°t，利用分類討論的思想方法分∠＝2∠COD或∠COD＝2∠兩種情況討論解答，依據上述等式列出方程，解方程即可求得結論．【解答】解：（1）∵PS平分∠RPT，∴∠RPS＝∠TPS，∴射線PS不是射線PR，PT的“雙倍和諧線”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR＝2∠TPS．∴射線PT是射線PS，PR的“雙倍和諧線”．故答案為：不是；是；（2）①由題意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°．∵射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”，∴∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC．當∠AOC＝2∠AOB時，如圖，則：90﹣4t＝2×40．解得：t＝．當∠AOB＝2∠AOC時，如圖，則：40＝2（90﹣4t）．解得：t＝．綜上，當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，t的值為或．②由題意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣∠AOD＝70°+2°t．∵當射線OC與射線OA重合時，運動停止，∴此時∠AON＝∠CON．∴90+2t＝4t．∴t＝45．∴當t＝45秒時，運動停止，此時∠AON＝180°．∵射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”，∴∠＝2∠COD或∠COD＝2∠．當∠＝2∠COD時，如圖，即：180°﹣∠CON＝2（∠CON﹣∠DON），則：180﹣4t＝2（4t﹣70﹣2t）．解得：t＝40．∴∠CON＝4°×40＝160°．當∠COD＝2∠時，如圖，即：∠CON﹣∠DON＝2（180°﹣∠CON）．則：4t﹣（70+2t）＝2（180﹣4t）．解得：t＝43．∴∠CON＝4°×43＝172°．綜上，當射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，∠CON的度數為160°或172°．【點評】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義，本題是新定義型，理解并熟練應用新定義是解題的關鍵．20．（2010春?黃浦區校級期末）已知∠AOB＝40°，∠BOC與∠AOB互為補角，OD是∠BOC的平分線，求∠AOD的度數．【分析】①先求出∠BOC的度數，然后根據角平分線的性質可求出∠DOB的度數，繼而能得出∠AOD的度數．②【解答】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC與∠AOB互為補角，∴∠BOC＝140°，又∵OD是∠BOC的平分線，∴∠DOB＝70°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝110°．②∵∠AOB＝40°，∠BOC與∠AOB互為補角，∴∠BOC＝140°，又∵OD是∠BOC的平分線，∴∠DOB＝70°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°．綜上可得∠AOD的度數為110°或30°．【點評】此題考查了補角及角平分線的性質，解答本題的關鍵是掌握互為補角的兩角之和為180°，屬于基礎題．21．（2021秋?孟村縣期末）以直線AB上一點O為端點，在直線AB的上方作射線OC，使∠BOC＝50°，將一個直角三角板DOE的直角頂點放在O處，即∠DOE＝90°，且直角三角板DOE在直線AB的上方．（1）如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE在射線OA上，則∠COD＝40°；（2）如圖2，直角三角板DOE的邊OD在∠BOC的內部．①若OE恰好平分∠AOC，求∠COE和∠BOD的度數；②請直接寫出∠COE與∠BOD之間的數量關系；（3）若，求此時∠BOD的度數．【分析】（1）根據兩個角互為余角，求出∠COD的度數；（2）①根據平角定義先求出∠AOC，根據角平分線的定義得，進而求出∠BOD；②根據角的和差關系求出∠COE與∠BOD之間的數量關系；（3）分兩種情況分別論述：第一種情況，如圖②，當∠COD在∠BOC的內部時，第二種情況，如圖③，當∠COD在∠BOC的外部時，分別計算．【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∴∠DOB＝90°，∵∠BOC＝50°，∴∠COD＝40°，故答案為：40°；（2）如圖②①∵∠BOC＝50°，∴∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∵OE恰好平分∠AOC，∴，∴∠BOD＝180°﹣∠AOE﹣∠DOE＝25°；②∠COE與∠BOD之間的數量關系為：∠COE﹣∠BOD＝40°；∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，∠COD+∠COE＝90°，∴∠BOC﹣∠BOD+∠COE＝90°，∴∠COE﹣∠BOD＝90°﹣∠BOC．∵∠BOC＝50°，∴∠COE﹣∠BOD＝40°；（3）第一種情況，如圖②，當∠COD在∠BOC的內部時，∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，∠BOC＝50°，∴∠COD＝50°﹣∠BOD．∵∠AOE+∠DOE+∠BOD＝180°，∠DOE＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD．∵，∴，∴∠BOD＝30°；第二種情況，如圖③，當∠COD在∠BOC的外部時，∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，∠BOC＝50°，∴∠COD＝∠BOD﹣50°．∵∠AOE+∠DOE+∠BOD＝180°，∠DOE＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD．∵，∴，∴∠BOD＝60°．綜上所述，∠BOD的度數為30°或60°．【點評】本題考查了余角，角平分線的定義，熟練掌握余角，角平分線的定義的應用，分情況討論是解題關鍵．22．（2021秋?陽新縣期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如圖1，求∠CON的度數；（2）將圖1中的∠MON繞點O以每秒20°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，如圖2，若直線ON恰好平分銳角∠AOC，求∠MON所運動的時間t值；（3）在（2）的條件下，當∠AOC與∠NOC互余時，求出∠BOC與∠MOC之間的數量關系．【分析】（1）由角的比值，求解∠AOC的度數，結合∠MON＝∠AON＝90°，利用∠CON＝∠AOC+∠AON可求∠CON的度數；（2）可分兩種情況：射線ON平分∠AOC；直線ON恰好平分銳角∠AOC，計算出ON沿逆時針旋轉的度數，最后求出時間即可；（3）由∠AOC與∠NOC互余，結合圖形推∠BOC與∠MOC之間的數量關系．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，∴∠AOC＝，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°，∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150°；（2）當直線ON平分∠AOC時，如圖，ON'平分∠AOC，逆時針旋轉60度至ON''時，直線ON平分所以t＝3，∵∠AOC＝60°，∴∠AON'＝30°，此時射線ON逆時針旋轉60度，∴∠MON所運動的時間t＝60÷20＝3（s）；如圖②，∵直線ON恰好平分銳角∠AOC，∴ON沿逆時針旋轉的度數為90°+150°＝240°，∴∠MON所運動的時間t＝＝12（s）；綜上，∠MON所運動的時間t值為3s或12s；（3）如圖③所示：∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM與OA重合∴∠BOC與∠MOC互補．如圖②所示：當ON平分∠AOC時，∠AOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝30°，∠MOC＝120°，∠BOC＝120°，∴∠BOC＝∠MOC．綜上所述：∠BOC與∠MOC互補或相等．【點評】本題考查旋轉的問題，掌握逆時針旋轉后的角度，畫出符合題意的圖形是解題關鍵．23．（2021秋?濱海縣期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內部的一條射線，若∠COA＝∠AOB，則我們稱射線OC是射線OA的“友好線”．例如，如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，則∠AOC＝∠AOB，稱射線OC是射線OA的友好線；同時，由于∠BOD＝∠AOB，稱射線OD是射線OB的友好線．【知識運用】（1）如圖2，∠AOB＝120°，射線OM是射線OA的友好線，則∠AOM＝40°；（2）如圖3，∠AOB＝180°，射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒3°的速度順時針旋轉，當射線OD與射線OA重合時，運動停止；①是否存在某個時刻t（秒），使得∠COD的度數是40°，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；②當t為多少秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是另一條射線的友好線．（直接寫出答案）【分析】（1）根據新定義直接可得答案；（2）①分兩種情況：在OC、OD相遇前，180°﹣3t﹣2t＝40°，在OC、OD相遇后，3t+2t﹣180°＝40°，即可解得答案；②分4種情況：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好線時，∠AOC＝∠AOD，即2t＝（180°﹣3t），（Ⅱ）OC是OD的友好線時，∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t﹣2t＝（180°﹣3t），相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好點∠COD＝∠AOC，即3t+2t﹣180°＝×2t，（Ⅳ）OD是OA的友好點，∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t＝×2t，分別解方程即可．【解答】解：（1）∵射線OM是射線OA的友好線，∴∠AOM＝∠AOB＝40°，故答案為：40°；（2）射線OD與射線OA重合時，t＝60（秒），①存在某個時刻t（秒），使得∠COD的度數是40°，有兩種情況：在OC、OD相遇前，180°﹣3t﹣2t＝40°，∴t＝28；在OC、OD相遇后，3t+2t﹣180°＝40°，∴t＝44，綜上所述，當t為28秒或44秒時，∠COD的度數是40°；②相遇之前，（Ⅰ）如圖：OC是OA的友好線時，∠AOC＝∠AOD，即2t＝（180°﹣3t），∴t＝20；（Ⅱ）如圖：OC是OD的友好線時，∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t﹣2t＝（180°﹣3t），∴t＝30；相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好點∠COD＝∠AOC，即3t+2t﹣180°＝×2t，∴t＝，（Ⅳ）OD是OA的友好點，∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t＝×2t，∴t＝，綜上所述，當t為20秒或30秒或秒或秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是另一條射線的友好線．【點評】本題考查角的和差及新定義，解題的關鍵是讀懂新定義，用方程的思想解決問題．24．（2021秋?涼山州期末）如圖，已知線段AB（1）請用尺規按下列要求作圖：①延長線段AB到C，使BC＝AB，②延長線段BA到D，使AD＝AC（不寫畫法，當要保留畫圖痕跡）（2）請直接回答線段BD與線段AC長度之間的大小關系（3）如果AB＝2cm，請求出線段BD和CD的長度．【分析】（1）以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AB的延長線于C，以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交BA的延長線于D；（2）依據圖形，即可得到線段BD與線段AC長度之間的大小關系；（3）依據AB＝2cm，可得AC＝2AB＝4cm，AD＝4cm，進而得出BD＝4+2＝6cm，CD＝2AD＝8cm．【解答】解：（1）如圖所示，BC、AD即為所求；（2）由圖可得，BD＞AC；（3）∵AB＝2cm，∴AC＝2AB＝4cm，∴AD＝4cm，∴BD＝4+2＝6cm，∴CD＝2AD＝8cm．【點評】本題主要考查了兩點間的距離，平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，注意強調最后的兩個字“長度”．25．（2021秋?天門期末）【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美地結合．研究數軸我們發現了許多重要的規律：若數軸上點A、點B表示的數分別為a、b，則A，B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點表示的數為．【問題情境】如圖，數軸上點A表示的數為﹣2，點B表示的數為8，點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒（t＞0）．【綜合運用】（1）填空：①A、B兩點間的距離AB＝10，線段AB的中點表示的數為3；②用含t的代數式表示：t秒后，點P表示的數為﹣2+3t；點Q表示的數為8﹣2t．（2）求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數；（3）求當t為何值時，PQ＝AB；（4）若點M為PA的中點，點N為PB的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．【分析】（1）根據題意即可得到結論；（2）當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數相等列方程得到t＝2，于是得到當t＝2時，P、Q相遇，即可得到結論；（3）由t秒后，點P表示的數﹣2+3t，點Q表示的數為8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到結論；（4）由點M表示的數為＝﹣2，點N表示的數為＝+3，即可得到結論．【解答】解：（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數相等∴﹣2+3t＝8﹣2t，解得：t＝2，∴當t＝2時，P、Q相遇，此時，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，∴相遇點表示的數為4；（3）∵t秒后，點P表示的數﹣2+3t，點Q表示的數為8﹣2t，∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，又PQ＝AB＝×10＝5，∴|5t﹣10|＝5，解得：t＝1或3，∴當：t＝1或3時，PQ＝AB；（4）∵點M表示的數為＝﹣2，點N表示的數為＝+3，∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5．【點評】本題考查了一元一次方程的應用和數軸，解題的關鍵是掌握點的移動與點所表示的數之間的關系，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．26．（2021秋?衛輝市期末）如圖，B是線段AD上一動點，沿A→D以2cm/s的速度運動，C是線段BD的中點，AD＝10cm，設點B運動時間為t秒．（1）當t＝2時，①AB＝4cm．②求線段CD的長度．（2）在運動過程中，若AB的中點為E，則EC的長是否變化？若不變，求出EC的長；若發生變化，請說明理由．【分析】（1）①根據AB＝2t即可得出結論；②先求出BD的長，再根據C是線段BD的中點即可得出CD的長；（2）直接根據中點公式即可得出結論．【解答】解：（1）①∵B是線段AD上一動點，沿A→D以2cm/s的速度運動，∴當t＝2時，AB＝2×2＝4cm．故答案為：4；②∵AD＝10cm，AB＝4cm，∴BD＝10﹣4＝6cm，∵C是線段BD的中點，∴CD＝BD＝×6＝3cm；（2）不變；∵AB中點為E，C是線段BD的中點，∴EB＝AB，BC＝BD，∴EC＝EB+BC＝（AB+BD）＝AD＝×10＝5cm．【點評】本題考查了兩點間的距離，根據已知得出各線段之間的等量關系是解題關鍵．27．（2021秋?松滋市期末）定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角．如圖①所示，若∠COD＝∠AOB，則∠COD是∠AOB的內半角．（1）如圖①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的內半角，則∠BOD＝15°．（2）如圖②，已知∠AOB＝63°，將∠AOB繞點O按順時針方向旋轉一個角度α（0＜α＜63°）至∠COD，當旋轉的角度α為何值時，∠COB是∠AOD的內半角？（3）已知∠AOB＝30°，把一塊含有30°角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點O以3°/秒的速度按順時針方向旋轉，如圖④，問：在旋轉一周的過程中，且射線OD始終在∠AOB的外部，射線OA，OB，OC，OD能否構成內半角？若能，請直接寫出旋轉的時間；若不能，請說明理由．【分析】（1）根據“內半角”的定義，可求出∠COD的度數，再根據∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出結論；（2）由旋轉可分別求出∠BOC和∠AOD的度數，再根據“內半角”的定義，可列出等式，即可求出α的值；（3）由旋轉可知，分四種情況，分別進行討論，根據“內半角”的定義，可求出對應的時間．【解答】解：（1）如圖1，∵∠AOB＝80°，∠COD是∠AOB的內半角，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOC＝25°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝80°﹣25°﹣40°＝15°；故答案為：15°．（2）如圖2，由旋轉可知，∠AOC＝∠BOD＝α，∴∠BOC＝60°﹣α，∠AOC＝60°+α，∵∠COB是∠AOD的內半角，∴∠COB＝∠AOD，即，解得α＝20°，當旋轉的角度α為20°時，∠COB是∠AOD的內半角；（3）能，理由如下，由旋轉可知，∠AOC＝∠BOD＝3°t；根據題意可分以下四種情況：①當射線OC在∠AOB內，如圖4，此時，∠BOC＝30°﹣3°t，∠AOC＝30°+3°t，則∠COB是∠AOD的內半角，∴∠COB＝∠AOD，即30°﹣3°t＝（30°+3°t），解得t＝（秒）；②當射線OC在∠AOB外部，有以下兩種情況，如圖5，圖6，如圖5，此時，∠BOC＝3°t﹣30°，∠AOC＝30°+3°t，則∠COB是∠AOD的內半角，∴∠COB＝∠AOD，即3°t﹣30°＝（30°+3°t），解得t＝30（秒）；如圖6，此時，∠BOC＝360°﹣3°t+30°，∠AOC＝360°﹣3°t﹣30°，則∠AOD是∠BOC的內半角，∴∠AOD＝∠BOC，即360°﹣3°t﹣30°＝（360°﹣3°t+30°），解得t＝90（秒）；③當射線OD在∠AOB內，如圖7，此時，∠BOC＝360°﹣3°t+30°，∠AOC＝30°﹣（360°﹣3°t）＝3°t﹣330°，則∠AOD是∠BOC的內半角，∴∠AOD＝∠BOC，即3°t﹣330°＝（360°﹣3°t+30°），解得t＝（秒）；綜上，在旋轉一周的過程中，射線OA、OB、OC、OD構成內半角時，旋轉的時間分別為：秒；30秒；90秒；秒．【點評】本題屬于新定義類問題，主要考查旋轉中角度的表示，及角度的和差運算；由旋轉正確表達對應的角是本題解題關鍵．28．（2021秋?南川區期末）已知O為直線AB上一點，∠EOF為直角，OC平分∠BOE．（1）如圖1，若∠AOE＝45°，求∠COF的度數；（2）若∠EOF的位置如圖2所示，OD平分∠AOC，且∠AOD＝75°，求∠COF的度數．【分析】（1）由∠AOE＝45°，可以求得∠BOE＝135°，再由OC平分∠BOE，可求得∠COE＝67.5°，∠EOF為直角，所以可得∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝22.5°；（2）由OD平分∠AOC，可得∠AOC＝2∠AOD＝150°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝30°，再根據OC平分∠BOE，可得∠EOC＝∠BOC＝30°，進而得出∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝60°．【解答】解：（1）∵∠