專題08角度中的動態模型角度的動態（旋轉）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內容，對考生的綜合素養要求較高。絕大部分學生對角度旋轉問題信心不足，原因就是很多角度旋轉問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數形結合思想等結合得很緊密，思考性強，難度大。本專題重點研究與角有關的旋轉模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）。【模型解讀】1、角度旋轉模型解題步驟：①找——根據題意找到目標角度；②表——表示出目標角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度×時間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變小：目標角=起始角—速度×時間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。變小：目標角=起始角—速度×時間；變大：目標角=速度×時間—起始角③列——根據題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉角度取值范圍。2、常見的三角板旋轉模型：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。總之不管這個角如何旋轉，它的角度大小是不變的，旋轉的度數就是組成角的兩條射線旋轉的度數（角平分線也旋轉了同樣的度數）。抓住這些等量關系是解題的關鍵，三角板只是把具體的度數隱藏了起來。模型1、旋轉中的求值模型例1．（2023?高新區七年級期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側：（1）保持∠AOB不動，將∠COD繞點O旋轉至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分鐘5°的速度繞點O逆時針方向旋轉，∠AOB按每分鐘2°的速度也繞點O逆時針方向旋轉，OC旋轉到射線ON上時都停止運動，設旋轉t分鐘，計算∠MOC﹣∠AOD（用t的代數式表示）．（3）保持∠AOB不動，將∠COD繞點O逆時針方向旋轉n°（n≤360），若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．例2．（2023·重慶八中七年級期末）一副三角板按如圖1所示放置，邊在直線上，．(1)求圖1中的度數；(2)如圖2，將三角板繞點O順時針旋轉，轉速為，同時將三角板繞點O逆時針旋轉，轉速為，當旋轉到射線上時，兩三角板都停止轉動．設轉動時間為．①在范圍內，當時，求t的值；②如圖3，旋轉過程中，作的角平分線，當時．直接寫出時間的值．模型2、旋轉中的定值模型例1．（2023·成都市石室聯合中學七年級月考）已知，，平分，平分.（1）如圖，當、重合時，求的值；（2）若從上圖所示位置繞點以每秒的速度順時針旋轉秒（），在旋轉過程中的值是否會因的變化而變化，若不發生變化，請求出該定值；若發生變化，請說明理由.例2．（2023?碑林區七年級月考）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請直接寫出結論：直線ON（平分或不平分）∠AOC．（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為．（直接寫出結果）（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉，請探究，當ON始終在∠AOC的內部時（如圖3），∠AOM與∠NOC的差是否發生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請舉例說明．模型3、旋轉中的探究類模型（判斷角的數量之間的關系）例1．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點是直線上一點，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數（用含的代數式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．例2．（2022·廣東七年級期中）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，則∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關系，并說明理由；（3）如圖（b），若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關系，請說明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關系，請說明理由．模型4、旋轉中的分類討論模型例1．（2023·四川·成都七中七年級階段練習）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且，，，以點O為端點作射線OP，OQ分別與射線OF，OC重合．射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉，轉速為，射線OQ從OC處開始繞點O順時針勻速旋轉，（射線OQ旋轉至與射線OF重合時停止），兩條射線同時開始旋轉、（旋轉速度＝旋轉角度旋轉時間）。（1）當射線OP平分時，求它旋轉的時間．（2）若射線OQ的轉速為，請求出當時，射線OP旋轉的時間．（3）若當時，射線OQ旋轉到的位置恰好將分成度數比為1：2的兩個角，求此時射線OQ的旋轉速度．例2．（2022·成都市七中育才學校七年級月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個頂點重合于點，與重合，且，，，．將三角板繞著點逆時針旋轉一周，旋轉過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數．（1）當三角板繞點旋轉至如圖2的位置時，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點旋轉過程中，的度數還有其他可能嗎？如果有，請研究證明結論，若沒有，請說明理由．（3）類比拓展：當的度數為時，其他條件不變，在旋轉過程中，請直接寫出的度數．（用含的式子來表示）課后專項訓練1．（2022·廣西欽州·期末）如圖，直線與相交于點，一直角三角尺的直角頂點與點重合，平分，現將三角尺以每秒的速度繞點順時針旋轉，同時直線也以每秒的速度繞點順時針旋轉，設運動時間為秒（），當平分時，的值為（）A． B． C．或 D．或2．（2023秋·重慶開州·七年級統考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結論：

①在圖1的情況下，在內作，則平分；②在旋轉過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數為3次；④的角度恒為．其中正確的結論個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023秋·河南許昌·七年級統考期末）線段的計算和角的計算有緊密聯系，它們之間的解法可以互相遷移．下面是某節課的學習片段，請完成探索過程：(1)課上，老師提出問題：如圖①，點O是線段上一點，C、D分別是線段、的中點，當時，求線段的長度．下面是小澤根據老師的要求進行的分析及解答過程，請你補全解答過程：未知線段

已知線段……因為C，D分別是線段、的中點，所以，________，________，因為，所以________，

線段中點的定義線段的和、差等式的性質(2)小澤舉一反三，發現有些角度的計算也可以用相似的方法進行轉化如圖②，已知，是角內部的一條射線，，分別是，的平分線．求的度數．請同學們嘗試解決該問題．

(3)同組的小麗同學很善于思考，她提出新的問題：如果（2）中其他條件不變，將射線繞點O旋轉到的外部，則的度數是________．4．（2023秋·湖北武漢·七年級統考期末）已知，．平分，平分．(1)如圖1，當重合時，求的值；(2)如圖2，當從圖1所示位置繞點O以每秒3°的速度順時針旋轉t秒時（），在旋轉過程中的值是否會因t的變化而變化？若不發生變化，請求出該定值：若發生變化，請說明理由．(3)在（2）的條件下，當時，求t的值．5．（2023秋·四川成都·七年級統考期末）已知，從的頂點O引出一條射線，射線在的內部，將射線繞點O逆時針旋轉形成．(1)如圖1，若，比較和的大小，并說明理由；(2)作射線，射線為的平分線，設．①如圖2，當，若射線恰好平分，求的度數；②當時，請探究與之間的數量關系．6．（2023·江蘇·七年級專題練習）如圖1，射線OC在的內部，圖中共有3個角：、、，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是的“定分線”．（1）一個角的平分線_________這個角的“定分線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，若，且射線PQ是的“定分線”，則________(用含a的代數式表示出所有可能的結果）；（3）如圖2，若=48°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒8°的速度逆時針旋轉，當PQ與PN成90°時停止旋轉，旋轉的時間為t秒；同時射線PM繞點P以每秒4°的速度逆時針旋轉，并與PQ同時停止．當PQ是的“定分線”時，求t的值．7．（2023秋·湖北黃石·七年級統考期末）已知，，平分，平分．（本題中的角均為大于且小于等于的角）．(1)如圖，當、重合時，求的度數；(2)當從如圖所示位置繞點O沿順時針方向旋轉，且時，直接寫出n的取值范圍．(3)當從如圖所示位置繞點O沿順時針方向旋轉時，的值是否為定值？若是定值，求出的值；若不是，請說明理由．8．（2023春·重慶沙坪壩·七年級校考開學考試）平面上順時針排列射線，，，射線分別平分，（題目中所出現的角均小于）．(1)如圖1，若，則___________，___________；(2)如圖2，探究與的數量關系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，將繞點O以每秒的速度順時針旋轉，同時將繞點O以每秒逆時針旋轉，若旋轉時間為t秒，當時，直接寫出t的值．9．（2023秋·四川成都·七年級統考期末）已知，是內部的一條射線，且．(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數；(2)如圖2所示，是直角，從點O出發在內引射線，滿足，若平分，求的度數；(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發，并分別以每秒和每秒的速度繞著點O逆時針旋轉，和分別只在和內部旋轉，運動時間為t秒．①直接寫出和的數量關系；②若，當，求t的值．

10．（2022·安徽亳州·七年級期末）如圖（）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．(1)若，則________°；若∠ACB=130°，則_________°．(2)如圖（b）所示，若兩個同樣的三角板，將銳角的頂點A疊放在一起，則與有何數量關系，請說明理由．(3)如圖（c）所示，已知，（，都是銳角）．若把它們的頂點O疊放在一起，則與有何數量關系，直接寫出結論．11．（2022·山東·煙臺市福山區教學研究中心期中）如圖，將一副三角板放到一起可以擦除怎樣的數學火花呢？福山區某學校兩個數學興趣小組對一副三角板進行了以下兩種方式的擺放組合．已知一副三角板重合的頂點記為點O，作射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，來研究一下45°三角板不動，30°三角板繞重合的頂點O旋轉時，∠EOF的度數如何變化．【A組研究】在同一平面內，將這副三角板的的兩個銳角頂點重合（圖中點O），此時∠AOB=45°，∠COD=30°將三角板OCD繞點O轉動．（1）如圖①，當射線OB與OC重合時，則∠EOF的度數為___________；（2）如圖②，將∠COD繞著點O順時針旋轉，設，∠EOF的度數是否發生變化？如果不變，請根據圖②求出∠EOF的度數；如果變化，請簡單說明理由．【B組研究】在同一平面內，將這副直角三角板中的一個直角頂點和一個銳角頂點重合(圖中點O)，此時∠AOB=90°，∠COD=30°，將三角板OCD繞點O轉動．（3）如圖③，當三角板OCD擺放在三角板AOB內部時，則∠EOF的度數為___________；（4）如圖④，當三角板OCD轉動到三角板AOB外部，設∠BOC=β，∠EOF的度數是否發生變化？如果不變，請根據圖④求出∠EOF的度數；如果變化，請簡單說明理由．12．（2022·貴州遵義·七年級期末）【閱讀理解】在學習《角的比較與運算》內容時，教材設置這樣的一個探究：借助三角尺拼出15°，75°的角，即通過一副三角尺可以拼出一些特殊度數的角．(1)【實踐】在度數分別為①135°，②120°，③105°，④25°的角中，小明同學利用一副三角尺拼不出來的是__________．（填序號）(2)【操作】七（1）班數學學習小組用一副三角尺進行拼角．如圖1，巧巧把30°和90°的角拼在一起，如圖2，嘉琪把60°和90°的角拼在一起，他們兩人各自所拼的兩個角均在公共邊OC的異側，并在各自所拼的圖形中分別作出的平分線OE和的平分線OF．【探究】通過上述操作，巧巧計算出圖1中的，請你直接寫出圖2中的__________°．(3)【發現】當有公共頂點的兩個角和有一條邊重合，且這兩個角在公共邊的異側時，這兩個角的平分線的夾角的度數是__________（用含，的代數式表示）．(4)【拓展】巧巧把圖1中的三角尺AOB繞點O順時針旋轉90°到圖3的位置，使O，D，B三點在同一條直線上，并求出了的度數為．嘉琪把圖2中的三角尺AOB繞點O順時針旋轉90°到圖4的位置，使O，D，B三點在同一條直線上．請你仿照巧巧的做法，求出圖4中的度數．(5)【歸納】根據上述探究，可以歸納出：當有公共頂點的兩個角和有（其中）有一條邊重合，且這兩個角在公共邊的同側時，這兩個角的平分線的夾角的度數是__________（用含，的代數式表示）．13．（2022·四川成都·七年級期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數量關系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點O在直線MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉，運動時間為t秒，當射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉，且在旋轉過程中，射線OD平分∠AOB．當射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數．14．（2022·四川成都·七年級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，OM，ON，ON始終在OM的右側，∠BOC=112°，∠MON=α．(1)如圖1，當α=70°，OM平分∠BOC時，求∠NOB的度數；(2)如圖2，當OM與OB邊重合，ON在OB的下方時，α=80°，將∠MON繞O點按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉n（0°＜n＜180°），使射線ON與∠BOC的角平分線形成夾角為30°，求此時旋轉一共用了多少秒；(3)當∠MON在直線AB上方時，若α=90°，點F在射線OB上，射線OF繞點O順時針旋轉n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，請直接寫出此時n的值．15．（2022·廣東茂名·七年級期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分別平分∠AOC、∠BOD．（1）如圖1，OC在∠AOB內部時，∠AOD+∠BOC＝，∠BOD﹣∠AOC＝；（2）如圖2，OC在∠AOB內部時，求∠MON的度數；（3）如圖3，∠AOB，∠COD的邊OA、OD在同一直線上，將∠AOB繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉直至OB邊第一次與OD邊重合為止，整個運動過程時間記為t秒．若∠MON＝5∠BOC時，求出對應的t值及∠AOD的度數．16．（2022·安徽·宿城第一初級中學七年級期中）以直線上一點為端點作射線，使，將一個直角三角板的直角頂點放在處，即．(1)如圖1，若直角三角板的一邊放在射線上，則______；(2)如圖2，將直角三角板繞點順時針轉動到某個位置，①若恰好平分，則______；②若在內部，請直接寫出與的數量關系為______；(3)將直角三角板繞點順時針轉動（與重合時為停止）的過程中，恰好有，求此時的度數．17．（2022秋·遼寧大連·七年級校考期末）閱讀材料：（1）【特例感知】如圖1，已知線段cm，cm，點C和點D分別是，的中點．若cm，則______cm；（2）【知識遷