專題2.3.2兩點間的距離公式知識點一：兩點間的距離公式兩點間的距離公式為.知識點詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉化為兩點之間的距離來解決.另外在下一章圓的標準方程的推導、直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷等內容中都有廣泛應用，需熟練掌握.例1．（1）、（2023秋·廣西防城港·高二統考期末）已知點，則為（

）A．5 B． C． D．4【答案】A【分析】由距離公式求解.【詳解】.故選：A（2）、（2022春·安徽滁州·高二?？茧A段練習）已知點且線段的垂直平分線的方程是，則實數的值是（

）A． B． C．3 D．1【答案】C【分析】由題知的中點坐標為，代入方程即可得答案.【詳解】解：由題知線段的中點坐標為，因為點且線段的垂直平分線的方程是所以，將代入直線中，得，解得.故選：C【變式訓練11】、（2023春·江西·高二江西省清江中學?？计谀┮阎c，，則．【答案】【分析】利用兩點間的距離公式計算可得.【詳解】因為，，所以.故答案為：【變式訓練12】、（2023·江蘇·高二假期作業）已知點與點間的距離為，則．【答案】9或【分析】根據兩點間的距離公式列方程求解即可.【詳解】由，得，即，解得或．故答案為：9或.例2．（1）、（2023春·江西·高三校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求點關于直線的對稱點的坐標，由此可得，結合結論兩點之間線段最短可求的最小值.【詳解】設點關于直線的對稱點為，則，解得，所以，所以，當且僅當點為線段與直線的交點時等號成立，所以的最小值是4，故選：B.（2）、（2022秋·高二單元測試）（多選題）已知直線：，：，，以下結論正確的是（

）A．不論為何值時，與都互相垂直B．當變化時，與分別經過定點和C．不論為何值時，與都關于直線對稱D．設為坐標原點，如果與交于點，則的最大值是【答案】ABD【分析】A選項，利用兩條直線垂直的充要條件即可求解；B選項，求出兩直線恒過的點的坐標；C選項，利用點關于直線的對稱點，即可求解；D選項，先求出兩直線的交點的坐標，再用兩點間距離公式，即可求解.【詳解】由于1×a+?a×1=0，所以與互相垂直，故不論為何值時，與都互相垂直；A正確；直線：，當時，，所以恒過點，：，當時，，所以恒過點，故B正確；設直線：上任意一點，則點P關于直線的對稱點為，將點代入直線，可得：，與在直線：上矛盾，故C錯誤；聯立方程組：x?ay+2=0ax+y?2=0，解得：x=2a?2a2+1MO=2a?2a2+1故選：ABD【變式訓練21】、（2022秋·廣東佛山·高二校聯考階段練習）如圖，已知，，從點射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到點P，則光線所經過的路程長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出關于的對稱點和它關于y軸的對稱點,則就是所求的路程長.【詳解】易知直線AB的方程為，設點關于直線AB的對稱點為，則解得即．又點關于y軸的對稱點為，由光的反射規律以及幾何關系可知，光線所經過的路程長．故選：.【變式訓練22】、（2022秋·河北邢臺·高二統考階段練習）已知，，點在直線上移動，則的最小值為.【答案】9【分析】根據點點在直線上，所以可設點的坐標為，利用兩點之間的距離公式可得，結合二次函數求最值即可.【詳解】解：因為點在直線上，所以可設點的坐標為，其中，所以，故當時，取得最小值9.故答案為：9.【變式訓練23】、（2022秋·甘肅嘉峪關·高二?？计谥校┖瘮档淖钚≈凳?【答案】5【分析】依題意可得，設，，，則問題轉化為求點到點，兩點的距離之和的最小值，求出關于軸的對稱點的坐標，則，再根據距離公式求解即可.【詳解】解：因為，設，，，則表示點到點，兩點的距離之和，即，點是軸上的點，則點關于軸的對稱點為，則，所以，所以的最小值是.故答案為：例3．（2022秋·浙江杭州·高二校考期中）若的三個頂點坐標為．(1)求AB邊上中線所在的直線方程；(2)求角AOB的內角平分線所在的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求線段AB的中點坐標，進而可得斜率，根據斜截式求直線方程；（2）先求三邊的長度，進而可判斷為等邊三角形，根據三線合一求直線方程.【詳解】（1）由題意可得：線段AB的中點，則AB邊上中線所在的直線的斜率，故AB邊上中線所在的直線方程為.（2）由題意可得：，即，則為等邊三角形，∴角AOB的內角平分線所在的直線即為AB邊上中線所在的直線，故角AOB的內角平分線所在的直線方程為.【變式訓練31】、（2022秋·北京·高二北京市第三中學校考期中）已知的頂點坐標為，，，M是BC邊上的中點.(1)求AB邊所在的直線方程；(2)求中線AM的長；(3)求過M且以為方向向量的直線方程.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由兩點坐標求出直線AB的斜率，再由點斜式得直線方程；（2）由中點坐標公式求得中點坐標，再由兩點間距離公式計算可得；（3）由(1)知直線AB的斜率