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夯基專題15空間角與空間距離考向一空間角考向一空間角1.異面直線所成的角定義:設(shè)是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點作直線,把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角).2.直線與平面所成的角平面的一條與平面α交于點B,AO⊥α于點O,OB即為直線AB在平面α上的射影,直線AB與其投影OB所成的銳角∠ABO,叫做直線AB和平面α所成的角.3.二面角在二面角α?l?β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α,β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA,OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB,叫做二面角α?l?β幾何法求空間各種角的大小一般都轉(zhuǎn)化為平面角來計算,求空間角的計算步驟:一作、二證、三計算.求異面直線所成的角,常用平移轉(zhuǎn)化,求直線與平面所成的角,常用射影轉(zhuǎn)化法。二面角的平面角的作法有三種,即定義法、垂線法、垂面法.向量法求解時通常借助直線方向向量與平面法向量進(jìn)行求解.【典例精講】例1.(2023·遼寧省阜新市·模擬題)中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體.該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).在如圖所示的“曲池”中,AA1⊥平面A1B1C1D1,記弧AB、弧DC的長度分別為l1(1)證明:A1(2)若AA1=4AD,求直線CE
解:(1)證明:延長A1D1,B1C所以A1D連接D1E,O1E,因為E為弧A1故A1D因為AA1⊥平面A1B1C又A1D1?平面因為D1E∩DD1=D又DE?平面DD1(2)解:以D1為坐標(biāo)原點,D1O1為x軸,D1E為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D1xyz,
則則CE=(?32,設(shè)平面DEB1的法向量為則3y0+4cos?CE故直線CE與平面DEB1所成角的正弦值為2319.
例2(2023·安徽省·模擬題·多選)在棱長為2的正方體ABCD?AA.異面直線AB1與CD所成角的為45°
B.異面直線A1B1與AC1所成角的為45°
C.直線AC1與平面ABB1A1所成角的正弦值為33
D.二面角C1?AD?B的大小為45°
解:對于A,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,CD//AB,
所以異面直線AB1與CD所成角為∠BAB1(或其補(bǔ)角),
在等腰直角△ABB1中,∠BAB1=45°,故A正確;
對于B,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,A1B1//AB,
所以異面直線A1B1與AC1所成角為∠C1AB(或其補(bǔ)角),
連接BC1,
在正方體ABCD?A1B1C1D1中,AB⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,
所以AB⊥BC1,
在Rt△ABC1中,AC1=2【拓展提升】練11(2022·浙江省·同步練習(xí))已知四邊形ABCD滿足AD//BC,BA=AD=DC=12BC=a,E是BC的中點,將△BAE沿著AE翻折成△B1AE,使平面B1(1)求四棱錐B??(2)求平面ADB??1與平面解:(1)取AE的中點M,連接B1M,則B1M⊥AE,
∵BA=AD=DC=12BC=a,E是BC的中點,
∴△ABE為等邊三角形,∴B1M=32a,
又∵平面B1AE⊥平面AECD,
且平面B1AE∩平面AECD=AE,B1M?平面B1AE,
∴B1M⊥面AECD,
∴四棱錐B1?AECD的體積:
V=13×32a×a×a×sinπ3=a34.
(2)連接MD,分別以ME,MD,MB1為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
則E(a2,0,0),C(a,32a,0),A(?a2,0,0),D(0,32a,0),B1(0,0,32a),
EC=(a2,3a2,0),EB1=(?a2,0,3a2(1)若OA⊥OB,求證:BC⊥O(2)若?AOB為等邊三角形,求二面角A?O1解:(1)證明:由圓柱的性質(zhì)得:
OO1⊥OB
因為
OA∩OO1=O
,OA,OO1?平面OO因為
O1A?平面OO1A
因為
OC⊥平面ABO1
,
O所以
OC⊥O1又因為
OC∩OB=O
,OB,OC?平面BOC,
所以
O1A⊥平面BOC因為
BC?平面BOC
,
所以
BC⊥O1(2)過點
A
作
AM⊥OB
垂足為
M
,過
M
作
MN⊥O1B
于
N
,連接
由已知
O1O⊥平面ABO
,所以
平面BO1O⊥平面ABO
,又平面BO1O∩平面ABO=OB
,AM⊥BO,AM?平面ABO,
所以AM⊥平面所以
AM⊥BO1
,
又MN⊥O1B,AM∩MN=M,AM,MN?平面AMN,
所以
BO所以
BO1⊥AN
,所以
∠ANM
為二面角
又因為
?AOB
為等邊三角形,
AO=23所以
AM=3
,在直角三角形
BO1O
中,
因為?BMN~?BO1O
,所以BMBO1=MN在直角三角形
AMN
中,
AN=9+所以
cos∠ANM=MNAN考向二空間距離考向二空間距離【核心知識】點到平面的距離與直線到平面的距離=1\*GB2⑴點P到直線l的距離設(shè)AP=a,u是直線l的單位方向向量,則向量AP在直線l上的投影向量AQ=a=2\*GB2⑵點P到平面α的距離若平面α的法向量為n,平面α內(nèi)一點為A,則平面α外一點P到平面α的距離d=AP=3\*GB2⑶線面間距離、面面間距離與線線間、點線間距離常常可以相互轉(zhuǎn)化.【典例精講】(2023·江西省·單元測試·多選)已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1,點E、O分別是A1BA.點A到直線BE的距離是55
B.點O到平面ABC1D1的距離為24
C.平面A1BD與平面B解:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1所以BA=(?1,0,0),設(shè)∠ABE=θ,則cos?θ=|BA?故A到直線BE的距離d1=|BA易知C1平面ABC1D則點O到平面ABC1D1的距離A1設(shè)平面A1BD的法向量為則n?A令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1)所以點D1到平面A1BD因為平面A1BD//平面所以平面A1BD與平面B1CD所以平面A1BD與平面B1CD因為AP=34又AB=(1,0,0),則AP所以點P到AB的距離d4=故選BC.
例4.(2023·福建省·模擬題)如圖,在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中,E為線段D(1)求點A1到直線B(2)求直線FC1到直線(3)求點A1到平面A(4)求直線FC1到平面A解:(1)如圖,連接A1E,B1D1,過點A1作A1G⊥B1E交B1E于G,
在直角三角形A1ED1中,
A1E=A1D12+D1E2=12+(12)2=52,
在直角三角形D1B1E中,
B1E=D1B12+D1E2=(2)2+(12)2=32,
因為直線A1B1⊥平面AA1D1D,A1E?平面AA1D1D,
所以A1B1⊥A1E,
因為S△A1EB1=12A1E?A1B1=12B1E?A1G,
所以A1E?A1B1=B1E?A1G,
所以52×1=32A1G,
所以A1G=53,
故點A1到直線B1E的距離為53.
(2)如圖,連接B1D1,C1E,AF,EF,在平面AEF中,作FH⊥AE,H為垂足,
因為E,F(xiàn)分別為DD1,BB1的中點,
所以D1E=BF,
又D1C1=AB,∠C【拓展提升】練21.(2023·河北省滄州市·聯(lián)考題·多選題)如圖,在正四棱錐P?ABCD中,PA=AB=22,M,N分別是PB,PD的中點,則下列說法正確的是(
)
A.MN⊥AC B.直線AM和CN所成角的余弦值是23
C.點B到直線AN的距離是663 D.點M到平面解:A:連接BD,M,N分別為PB,PD的中點,即MN為中位線,則MN//BD,由P?ABCD為正四棱錐,故ABCD為正方形,則BD⊥AC,所以MN⊥AC,對;B:過C作CG//BD,交AB延長線于G,若F為CG中點,連接MF,AF,又CD//AB,即CD//BG,則BGCD為平行四邊形,故CF=12CG=而MN//BD且MN=12BD,故MN//CF且MN=CF所以CN//MF且CN=MF,故直線AM和CN所成角,即為∠AMF或其補(bǔ)角,PA=AB=22及正四棱錐的性質(zhì)知:側(cè)面為等邊三角形,底面為正方形,且棱長均為所以AM=CN=MF=6,cos∠AMF=AM2+MF2C:?ABN中AN=6,AB=22所以PD⊥PB,則BN=所以cos∠BAN=8+6?102×2所以點B到直線AN的距離是ABsinD:由上分析知:MN=12BD=2,若O為底面中心,則O為BD連接PO,交MN為E,則PO⊥BD,則PO⊥MN,又MN⊥AC,PO∩AC=O,PO,AC?
平面PAC,所以MN⊥
平面PAC,即MN⊥
平面AEC,易知:VM?ANC令M到平面ACN的距離為?,則13由AN=NC=6,AC=4,則?ANC中AC上的高為由AE=EC,OE=12PO=所以?=故選:ABC.練22(2023·山西省太原市·單元測試)如圖,棱長為3的正方體的頂點A在平面α上,三條棱AB,AC,AD都在平面α的同側(cè),若頂點B,C到平面α的距離分別為2
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