第03講圓的方程目錄TOC\o"12"\h\u第一部分：知識點必背 2知識點三：圓上的點到定點的最大、最小距離 3第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：圓的標準方程 4高頻考點二：二元二次方程表示的曲線與圓的關系 5高頻考點三：圓的一般方程 6高頻考點四：圓的標準方程與一般方程互化 6高頻考點五：點與圓的位置關系 7高頻考點六：與圓有關的軌跡問題 7高頻考點七：與圓有關的幾何意義求最值 8高頻考點八：利用圓的對稱性求最值 9高頻考點九：建立函數關系求與圓有關的最值問題 10第四部分：數學文化題 11第一部分：知識點必背知識點一：圓的定義和圓的方程1、圓的定義平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.如圖，在平面直角坐標系中，的圓心的坐標為,半徑為,為圓上任意一點，可用集合表示為：2、圓的標準方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標準方程.3、圓的一般式方程對于方程（為常數），當時，方程叫做圓的一般方程.①當時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當時，方程表示一個點③當時，方程不表示任何圖形說明：圓的一般式方程特點：①和前系數相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.知識點二：點與圓的位置關系判斷點與：位置關系的方法:（1）幾何法（優先推薦）設到圓心的距離為，則①則點在外②則點在上③則點在內（2）代數法將點帶入：方程內①點在外②點在上③點在內知識點三：圓上的點到定點的最大、最小距離設的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內一點；記;①若點在外，則;②若點在上，則;③若點在內，則;第二部分：高考真題回歸1．（2022·北京·統考高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．2．（2022·全國（甲卷文）·統考高考真題）設點M在直線上，點和均在上，則的方程為．3．（2022·全國（乙卷文理）·統考高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：圓的標準方程典型例題例題1．（2023·重慶·高二統考學業考試）已知圓的一條直徑的兩個端點是分別是和，則圓的標準方程是（

）A．B．C．D．例題2．（2023·陜西咸陽·校考一模）圓心在軸，半徑為1，且過點的圓的標準方程是.例題3．（2023·全國·高三專題練習）求滿足下列條件的圓的方程，并畫出圖形：(1)經過點和，圓心在軸上；(2)經過直線與的交點，圓心為點；(3)經過，兩點，且圓心在直線上；練透核心考點1．（2023春·廣東茂名·高二統考期末）圓心在直線上，且過點的圓的標準方程為.2．（2023·全國·高三專題練習）若圓C的圓心在直線上，且圓C與x軸的交點分別為，，求圓C的方程．3．（2023春·江西宜春·高二上高中學校考期末）已知圓過點，，且圓心在直線上．（1）求圓的標準方程；（2）將圓向上平移1個單位長度后得到圓，求圓的標準方程．高頻考點二：二元二次方程表示的曲線與圓的關系典型例題例題1．（多選）（2023·江蘇·高二假期作業）已知曲線（

）A．若，則是圓B．若，，則是圓C．若，，則是直線D．若，，則是直線例題2．（2023·全國·高三專題練習）“方程表示的圖形是圓”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例題3．（2023春·上海黃浦·高二格致中學校考期中）若方程表示的曲線是一個圓，則實數的取值范圍是．練透核心考點1．（2023·上海·高二專題練習）已知方程表示圓，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023春·廣東湛江·高二統考期末）已知表示的曲線是圓，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·甘肅天水·高二統考期末）若方程表示圓，則的取值范圍是．高頻考點三：圓的一般方程典型例題例題1．（2023秋·高二課時練習）求經過三點，，的圓的方程．例題2．（2023·全國·高三對口高考）經過三點的圓的方程為．練透核心考點1．（2023·天津·統考二模）經過點的圓的方程為.2．（2023·新疆烏魯木齊·統考一模）三個頂點的坐標分別是，則外接圓的標準方程是.高頻考點四：圓的標準方程與一般方程互化典型例題例題1．（2023春·河南駐馬店·高二統考期末）直線平分圓（），則（

）A．1 B．1 C．3 D．3例題2．（2023·全國·高三專題練習）圓的圓心為坐標為，半徑為.練透核心考點1．（2023春·北京豐臺·高二北京市第十二中學校考階段練習）圓的圓心坐標為（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學校考開學考試）圓的圓心坐標為（

）A． B． C． D．高頻考點五：點與圓的位置關系典型例題例題1．（2023·甘肅定西·統考模擬預測）若點在圓的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（多選）（2023秋·福建三明·高二統考期末）已知圓的方程為，以下各點在圓內的是（

）A． B． C． D．練透核心考點1．（2023秋·四川巴中·高二統考期末）點與圓的位置關系是（

）．A．點在圓上 B．點在圓內 C．點在圓外 D．不能確定2．（2023秋·江蘇連云港·高二統考期末）設為實數，若直線與圓相切，則點與圓的位置關系是（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內 D．不能確定高頻考點六：與圓有關的軌跡問題典型例題例題1．（2023春·安徽安慶·高二校考階段練習）已知BC是圓的動弦，且，則的中點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知反比例函數的圖象是以軸與軸為漸近線的等軸雙曲線.設、為雙曲線的兩個頂點，點、是雙曲線上不同的兩個動點.則直線與交點的軌跡的方程為；例題3．（2023·高二課時練習）等腰三角形一腰的兩個頂點，則頂點的軌跡方程為．例題4．（2023秋·天津·高二統考期末）已知圓心為的圓經過，兩點，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)已知點，點在圓上運動，求線段中點的軌跡方程．練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）已知為圓的一條弦，且以為直徑的圓始終經過原點，則中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知A為圓C：上一動點，點，若M為AB的中點，則點M的軌跡的方程為，3．（2023·全國·高三專題練習）已知平面上的動點到點和的距離之比為，則點的軌跡方程為.高頻考點七：與圓有關的幾何意義求最值典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）求函數的最大值及最小值．例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知點在圓上.(1)求的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.練透核心考點1．（2023·高三課時練習）已知實數滿足.(1)求的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值.2．（2023·全國·高三專題練習）已知點在圓：上運動．試求：(1)的最值；(2)的最值；高頻考點八：利用圓的對稱性求最值典型例題例題1．（2023春·河北唐山·高三開灤第一中學校考階段練習）已知圓關于直線對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．2例題2．（2022秋·河南許昌·高二禹州市高級中學校考階段練習）已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9例題3．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習）已知分別是軸和圓上的動點，點，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2練透核心考點1．（2021秋·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學校考階段練習）已知點為直線上的一點，M，N分別為圓與圓上的點，則的最大值為（

）A．4 B． C． D．72．（2022秋·浙江杭州·高二學軍中學校考期末）已知點分別為圓上的動.點，為軸上一點，則的最小值（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）已知圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是．高頻考點九：建立函數關系求與圓有關的最值問題典型例題例題1．（安徽省蚌埠市20222023學年高一下學期期末學業水平監測數學試題）如圖，扇形中，點是上一點，且.若，則的最大值為（

）

A． B． C． D．1例題2．（2022·貴州安順·統考模擬預測）已知點是以為直徑的圓上任意一點，且，則的取值范圍是．練透核心考點1．（2022秋·浙江紹興·高三紹興一中校考階段練習）對中國文人來說，折扇既是一種身份的象征，又寄寓著個人的文化趣味．折扇開合自如，開之則用，合之則藏，進退自如，逍遙自在，如下左圖．其平面圖如下右圖的扇形AOB，其中，，點在弧上，則的最小值是（

）

A． B． C．1 D．32．（2023春·河南南陽·高一河南省桐柏縣第一高級中學校考期末）如圖扇形所在圓的圓心角大小為，是弧上任意一點，若，那么的最小值是（

）

A． B． C． D．第四部分：數學文化題1．（多選）（2023·重慶萬州·統考模擬預測）古希臘著名數學家阿波羅尼奧斯發現“若A、B為平面上相異的兩點，則所有滿足：（，且）的點P的軌跡是圓”，后來人們稱這個圓為阿波羅尼奧斯圓．在平面直角坐標系xOy中，，，若，點P的軌跡為圓C，則下列結論中錯誤的有（

）A．圓C的方程是B．面積的最大值為4C．過點A作直線l，若圓C上恰有三個點到直線l的距離為2，則該直線的斜率為D．若點，則的最小值為52．（2023·全國·高一專題練習）數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，動點滿