第4講排列組合應用四年級春季第4講排列組合應用四年級春季知識點知識點排列組合應用（四下）方法精講方法精講一、 熟練區分排列和組合．二、 熟練掌握排列和組合之間的聯系．三、 掌握排列中的重復問題．課堂例題課堂例題比賽中的排列組合1、9支球隊進行足球比賽：（1）如果實行單循環制，即每兩隊之間恰好比賽一場．每場比賽后，勝方得3分，負方不得分，平局雙方各得1分，那么一共要舉行多少場比賽？9支隊伍的得分總和最多為多少？（2）如果實行雙循環制，即每兩隊之間分主、客場．那么一共要舉行多少場比賽？【答案】

6場，108分；72場【解析】

區分單循環制和雙循環制，（1）單循環是9支球隊中選取2支隊伍即可，2支隊伍不需要排序，是組合問題，即場比賽．如果是分出勝負的則一場比賽會得3分，如果不分勝負則一場比賽會得2分，所以如果要讓得分最多，那么36場都應該是分出勝負的，即分．（2）雙循環制是9支球隊中選取2支隊伍后要排序，分主客場的，是排列問題，即場比賽．也可以根據第一問場比賽得到，因為單循環制的時候兩支隊伍比賽一場，而雙循環是比賽兩場，所以是2倍的關系．幾何中的排列組合2、如圖所示，從端點O出發的射線共有7條，圖中一共有_________個銳角？PP1P7P2P5P6P3P4O【答案】

21【解析】

組合共有．3、圖中兩條直線上各有4個點，請問：以這8個點為頂點可以畫出多少個三角形？【答案】

62個【解析】

個三角形．4、如右圖，在一個扇形的兩條半徑以及弧線上共有7個點，以這些點為頂點可畫出________個三角形．【答案】

34【解析】

任意選取三個點，共有個三角形．其中選取底邊上的三個點，不能構成三角形．因此共有個三角形．一組人分成兩隊5、（1）6個人，平均分為甲、乙兩組，每組3人，共有多少種分法？（2）6個人，平均分為兩組，每組3人，共有多少種分法？【答案】

20，10【解析】

（1）分組的時候，兩組是有名稱區別的，先給甲組選人，再給乙組選人，共種分法．（2）分組的時候，兩個組完全對等，沒有區別，例如先選出1，2，3一組，剩下4，5，6一組和先選出4，5，6一組，剩下1，2，3一組是重復的，所以共種分法．排列組合的區別與聯系6、在新學期的班會上，大家要從11名候選人中選出班干部．（1）選出三人組成班委會，一共有多少種選法？（2）從剩下的候選人中，再選出三人分別擔任語文、數學、英語的課代表，一共有多少種選法？【答案】

165種；336種【解析】

（1）從11名候選人中選取3個人即可，3個人之間是沒有區別的，是組合問題，即種選法；（2）從剩下的8個人中選取3個人分別擔任三科的課代表，3個人之間是有區別的，所以3個人需要排序，是排列問題，即種選法．7、周末大掃除，老師要從10名男生和10名女生中選出5名留下打掃衛生．（1）如果隨意選擇，一共有多少種選擇方法？（2）如果老師決定選出2名男生和3名女生，一共有多少種選擇方法？【答案】

15540種；5400種【解析】

（1）隨意選擇，即從所有人中隨便選出來5個人即可，種選擇方法；（2）首先從10名男生中選取2名男生，再從10名女生中選取3名女生，這是一個分步的過程，所以一共有種選擇方法．8、高思城堡從20個精靈中挑選出5個人，讓其中3個人擔任守護精靈，另外2個人擔任先鋒精靈．那么一共有多少種不同的結果？【答案】

155040種【解析】

兩種做法：第一種從20個人中選出5個人，再從5個人中選擇3個人做守護精靈，另外2個人自然是先鋒精靈，即種不同的結果；第二種方法從20個人中選擇3個人作為守護精靈，再從剩下的17個人中選擇2個人作為先鋒精靈，即種不同的結果．9、圍棋興趣小組一共有8名同學，請問：（1）如果從中選3名同學在第二天的早上、中午、晚上分別做值日，共有多少種選法？（2）如果從中選出3名同學去參加一次全市比賽，共有多少種選法？【答案】

336；56【解析】

（1）從8名同學中選3名同學在早上、中午、晚上做值日，那么選出的這三人改變順序為不同種選法，為排列問題，種選法．（2）從8名同學中選3人參加比賽，改變這三人的順序任為一種選法，為組合問題，種選法．10、魔法學校有10名魔法師競選精靈魔法師，競選過程：10進5、5進3、3進1．那么一共有多少種不同的選舉過程？【答案】

7560種【解析】

從10名魔法師中選取5名，再從5名中選取3名，再從3名魔法師中選取1名，是一個分步的過程，即種不同的選舉過程．11、王老師帶著小高、卡莉婭、萱萱一行四人去參加一次聚會，主持人要求每個人領取一個彩球，這些球的顏色各不相同，共有12個．（1）小高是第一個取球的人，他一共選出了4個球，準備回頭分給大家，那么一共有多少種選法？（2）小高回到座位后，把這4個球分給大家，一共有多少種分法？（3）最后他們四人手中拿到的球一共有多少種可能？【答案】

495種；24種；11880種【解析】

（1）只需要從12個不同的球中選出來4個，不需要排列，是組合問題，即種選法；（2）把4個球分給大家，這四個球會分給不同的人，所以需要排序，是組合問題，即種分法；（3）其實這一問就是按照上面的兩個步驟完成后的方法數，分步是用乘法原理，即種可能；另外一種做法就是從12個球中選出來4個，排列即排列問題，即種可能．圓周排列12、父母和四個孩子圍圓桌而坐，若父、母要相鄰而坐，有_____________種不同的坐法．【答案】

48【解析】

先看成是5個元素的圓周排列，再將父母排列，總的方法數是．13、從6個學生中選出4人，圍圓桌而坐，有_____________種不同的坐法．【答案】

90【解析】

先從6個人中挑選4個，總的方法數是，4個人再進行圓周排列總的方法數是．14、從7個人中選出5個人圍著圓桌坐成一圈，有多少種不同的坐法?【答案】

504種【解析】

圓桌問題的兩種做法，第一種：7個人中選出來5個人按照一定順序去排列，這是一個排列問題，即；圓桌是可以旋轉的，如果這5個人的順序是ABCDE、BCDEA、CDEAB、DEABC、EABCD這五種排序的方法其實都是一種坐法，所以一共有種不同的坐法；第二種：先從7個人中選出5個人，有種方法，再把選出的5個人排在圓桌上，有種方法，一共有種方法．

隨堂練習隨堂練習1、棋王爭霸賽在8名選手間展開：（1）如果實行單循環賽制，共要進行多少場比賽？（2）如果實行雙循環賽制，共要進行多少場比賽？【答案】

28場；56場．【解析】

（1）單循環是8名選手中選取2名選手即可，2名選手不需要排序，是組合問題，即場比賽．（2）雙循環制是8名選手中選取2名選手后要排序，分主客選手，是排列問題，即場比賽．也可以根據第一問場比賽得到，因為單循環制的時候兩名選手中比賽一場，而雙循環是比賽兩場，所以是2倍的關系．2、一次廚藝大賽中，主辦方給定的菜譜中有7道菜，請問：（1）如果要求從這7道菜中選做2道菜，共有多少種不同的選法？（2）如果要求從這7道菜中選做1道作為主菜，另外1道作為副菜，共有多少種不同的選法？【答案】

21種；42種【解析】

（1）種選法．（2）種選法．3、先從10名同學中選出3人作為班委，再在這3人中確定出班長、學習委員和生活委員（一人只能擔任一個職位），共有多少種不同的可能？【答案】

720種【解析】

兩種方法，第一種：先從10個人選出3個人不排序，即，接下來給這三個人排序，即，這是一個分步的過程，所以共有種不同的可能；第二種：從10個人中選出3個人，需要排序，即排列問題，種不同的可能．4、老師要從9名男生和7名女生中挑出4人參加數學競賽，共有多少種不同的選擇方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？【答案】

1820種；588種【解析】

（1）隨意選擇，即從所有人中隨便選出來4人即可，種選擇方法；（2）首先從9男生中選取3男生，再從7女生中選取1女生，這是一個分步的過程，所以一共有種選擇方法．課后作業課后作業1、8名同學每兩人都握手一次，一共要握手________次．【答案】

28【解析】

每兩個人之間只需要握手一次，所以是不分順序的，是組合問題，共握手次．2、8名同學每個人都給其他人打一次電話，共需要打________次電話．【答案】

56【解析】

每兩個人之間都要打兩次電話，是分順序的，是排列問題，共要打個電話．3、午飯時，小高要從7個菜中選出1個作為主菜、另1個作為副菜，共有________種不同的選法．【答案】

42【解析】

小高從7個菜中選擇2個菜分別做主菜和副菜，是分順序的，是排列問題，共有種不同的選法．4、晚飯時，墨莫要從7個菜中選2個來吃，共有________種不同的選法．【答案】

21【解析】

墨莫從7個菜中選擇2個菜，是不分順序的，是組合問題，共有種不同的選法．5、小高從5件不同的禮物中選出2件送給爸爸、媽媽，共有________種不同的送法．【答案】

20【解析】

小高從5件禮物中選擇2個禮物送給爸爸、媽媽，是分順序的，是排列問題，共有種不同的送法．6、從8名男生和5名女生中選2名男生、1名女生參加植樹活動，共有________種不同的選擇方法．【答案】

140【解析】

8名男生選2人，有種；5名女生選1人，有種；一共有種．7、從8個人中選出4人圍坐在一張圓桌旁，共有________種不同的坐法．【答案】

420【解析】

從8個人中選出4個人，有種方法．再把選出來的4個人排在圓桌上，有種方法，一共有70×6=420種方法．8、如果讓你從10本不同的書中挑3本，共有多少種不同的挑法？挑出書之后，要把這3本書分給爸爸、媽媽和你各一本，共有多少種不同的分法？最后每人手中拿到的書共有多少種可能？【答案】

120種；6種；720種【解析】

（1）10本挑3本，種；（2）3本分給3個人，種；（3）最后拿到的書有種可能．9、小高從5件不同的禮物中選出2件作為節日禮物，請問一共有多少種不同的選法？【答案】

10【解析】

小高從5件禮物中選擇2個禮物，是不分順序的，是組合問題，共有種不同的選法．10、將五把互不相同的鑰匙穿