/2025年上海市高考模擬測試卷02一、填空題1．集合，則.2．已知，則．3．已知正數滿足，則的最小值為.4．直線與直線的夾角大小等于.(結果用反三角函數值表示).5．在一次期末考試中某學校高三全部學生的數學成績服從正態分布，若，且，則.6．已知為偶函數，若，則．7．為了增強法治觀念，甲、乙兩位老師在共所學校中各自選所學校開展普法講座.在甲、乙一共選擇了所不同的學校的條件下，恰有一位老師選擇學校開展講座的概率為.8．如圖，在△中，，，與交于點，，，，則的值為.9．對于給定的復數，若滿足的復數對應的點的軌跡是橢圓，則的取值范圍是10．已知A、、、是半徑為1的球面上的四點，且這四點中任意兩點間的距離都相等，則點A到平面的距離為.11．某園區有一塊三角形空地（如圖），其中，，，現計劃在該空地上選三塊區域種上三種不同顏色的花卉，為了劃分三種花卉所在的區域且澆灌方便和美觀，需要在空地內建一個正三角形形狀的水池，要求正三角形的三個頂點分別落在空地的三條邊界上（如圖），則水池面積的最小值為．12．已知數列是給定的等差數列，其前項和為，若，且當與時，取得最大值，則的值為.二、單選題13．已知為正數，則“”是“”的（

）.A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件14．兩位跳水運動員甲和乙，某次比賽中的得分如下表所示，則正確的選項為（

）第一跳第二跳第三跳第四跳第五跳甲85.59686.475.994.4乙79.58095.794.0586.4A．甲和乙的中位數相等，甲的平均分小于乙B．甲的平均分大于乙，甲的方差大于乙C．甲的平均分大于乙，甲的方差等于乙D．甲的平均分大于乙，甲的方差小于乙15．為異面直線，且所成角為，過空間一點作直線，直線與均異面，且所成角均為，若這樣的共有四條，則的范圍為（

）A． B．C． D．16．設定義域為的函數，函數的導函數是.

對于，函數在上存在極值點.

記.

則中的函數一定不具有的性質是（

）A．B．C．函數在上為嚴格增函數D．函數是偶函數三、解答題17．如圖所示，圓錐的頂點為P，底面中心為O，母線，且．(1)求圓錐的體積；(2)求二面角的大小（結果用反三角表示）．18．已知.(1)函數的最小正周期是，求，并求此時的解集；(2)已知，，求函數，的值域.19．某科技公司為確定下一年度投入某種產品的研發費，需了解年研發費x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：百件）和年利潤（單位：萬元）的影響，現對近6年的年研發費和年銷售量（，2，…，6）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

12.52223.5157.5168004.51254270表中，.(1)根據散點圖判斷與哪一個更適宜作為年研發費x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產品的年利潤，根據（2）的結果，當年研發費為多少時，年利潤z的預報值最大？附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，.20．已知雙曲線的中心在坐標原點，左焦點與右焦點都在軸上，離心率為，過點的動直線與雙曲線交于點、．設．(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若點、都在雙曲線的右支上，求的最大值以及取最大值時的正切值；（關于求的最值．某學習小組提出了如下的思路可供參考：①利用基本不等式求最值；②設為，建立相應數量關系并利用它求最值；③設直線l的斜率為k，建立相應數量關系并利用它求最值）.(3)若點在雙曲線的左支上（點不是該雙曲線的頂點，且，求證：是等腰三角形．且邊的長等于雙曲線的實軸長的2倍．21．若函數是其定義域內的區間上的嚴格增函數，而是上的嚴格減函數，則稱是上的“弱增函數”.若數列是嚴格增數列，而是嚴格減數列，則稱是“弱增數列”.(1)判斷函數是否為上的“弱增函數”，并說明理由（其中是自然對數的底數）；(2)已知函數與函數的圖像關于坐標原點對稱，若是上的“弱增函數”，求的最大值；(3)已知等差數列是首項為4的“弱增數列”，且公差d是偶數.記的前項和為，設是正整數，常數，若存在正整數和，使得且，求所有可能的值.

2025年上海市高考模擬測試卷02一、填空題1．集合，則.【答案】【分析】根據集合的交集運算和補集運算即可解出.【解析】∵，∴，∴.故答案為：2．已知，則．【答案】【分析】由題意利用同角三角函數的基本關系，求得要求式子的值．【解析】∵tanα=3，∴sinα?cosα.故答案為.【點睛】本題主要考查同角三角函數的基本關系，屬于基礎題．3．已知正數滿足，則的最小值為.【答案】12【分析】利用基本不等式求解即可.【解析】因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為12.故答案為：12.4．直線與直線的夾角大小等于.(結果用反三角函數值表示).【答案】【分析】先分別求出兩條直線的斜率，再套用夾角公式即可求出答案.【解析】直線與直線的斜率分別為0和2，設它們的夾角為，所以，則.故答案為：.5．在一次期末考試中某學校高三全部學生的數學成績服從正態分布，若，且，則.【答案】/【分析】由正態分布曲線對稱性和可知，再利用正態分布曲線的性質可求得.【解析】由知：；，.故答案為：.6．已知為偶函數，若，則．【答案】或【分析】由導數判斷出的單調性，當，求解方程，結合偶函數的性質，即可求得的值．【解析】因為為偶函數，所以，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，若，，解得，由為偶函數得，當時，，故的值為或，故答案為：或．7．為了增強法治觀念，甲、乙兩位老師在共所學校中各自選所學校開展普法講座.在甲、乙一共選擇了所不同的學校的條件下，恰有一位老師選擇學校開展講座的概率為.【答案】/【分析】記事件：甲、乙一共選擇了所不同的學校進行普法，事件：恰有一位老師選擇學校開展普法講座，根據條件，利用古典概率公式求得，，再由條件概率公式，即可求解.【解析】記事件：甲、乙一共選擇了所不同的學校進行普法，事件：恰有一位老師選擇學校開展普法講座，因為，，所以，故答案為：.8．如圖，在△中，，，與交于點，，，，則的值為.【答案】2【分析】令，，利用平面向量的基本定理知：，，將其轉化為的線性關系，可求，再由已知條件，應用數量積的運算律求即可.【解析】令，，而，，∴，得，∴，又，∴，，，∴.故答案為：2【點睛】關鍵點點睛：設，，應用平面向量基本定理求的線性關系求參數，利用向量數量積的運算律求.9．對于給定的復數，若滿足的復數對應的點的軌跡是橢圓，則的取值范圍是【答案】.【分析】利用橢圓的定義，判斷出在復平面對應的點的軌跡方程，作出圖形，結合圖形得出的取值范圍.【解析】由于滿足條件的復數對應的點的軌跡是橢圓，則，即復數在復平面內對應的點到點的距離小于，所以，復數在復平面內對應的點的軌跡是以點為圓心，半徑長為的圓的內部，的取值范圍是，故答案為.【點睛】本題考查復數的幾何意義，考查復數對應的點的軌跡方程，結合橢圓的定義加以理解，考查數形結合思想，屬于中等題.10．已知A、、、是半徑為1的球面上的四點，且這四點中任意兩點間的距離都相等，則點A到平面的距離為.【答案】【分析】根據題意可以補成正方體來研究，再用等體積法計算距離即可.【解析】由于A、B、C、D這四點中任意兩點間距離相等，所以這四點構成一個正四面體，可以補成正方體，如圖所示，

設正四面體的棱長為，則正方體棱長，根據正四面體的外接球與正方體外接球是一樣的，直徑，則，已知球半徑，則，解得，先求正四面體的體積，可以看做長方體體積減去4個全等的直三棱錐體積，即，又可把正四面體底面看作是由四個全等的等邊三角形三棱錐，每個底面積，由等體積法得，，解得.故答案為：.11．某園區有一塊三角形空地（如圖），其中，，，現計劃在該空地上選三塊區域種上三種不同顏色的花卉，為了劃分三種花卉所在的區域且澆灌方便和美觀，需要在空地內建一個正三角形形狀的水池，要求正三角形的三個頂點分別落在空地的三條邊界上（如圖），則水池面積的最小值為．【答案】【分析】設，，則，在中由正弦定理得到，即可得到，再利用輔助角公式及面積公式計算可得；【解析】解：如圖，設，，因為，，所以，，所以，因為，，所以，在中，由正弦定理，，即，所以，因為，所以，所以，所以，其中，所以，，所以面積的最小值為．故答案為：12．已知數列是給定的等差數列，其前項和為，若，且當與時，取得最大值，則的值為.【答案】21【分析】不妨設數列的公差大于零，不妨取，則，設，再分和兩種情況討論，可得出的值，再討論，即可求出，即可得解.【解析】不妨設數列的公差大于零，由于，得，且時，，時，，不妨取，則，設，若，則，此時式子取不了最大值；若，則，又時，，因為，此時式子取不了最大值；因此這就說明必成立.若，則，這也就說明不成立，因此，所以.故答案為：.二、單選題13．已知為正數，則“”是“”的（

）.A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【分析】根據給定條件，當時，利用指數函數的單調性即可判斷，當時，分類討論，最后利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【解析】當時，所以為增函數，所以，當時，當時，則，當時，則，此時；所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A.14．兩位跳水運動員甲和乙，某次比賽中的得分如下表所示，則正確的選項為（

）第一跳第二跳第三跳第四跳第五跳甲85.59686.475.994.4乙79.58095.794.0586.4A．甲和乙的中位數相等，甲的平均分小于乙B．甲的平均分大于乙，甲的方差大于乙C．甲的平均分大于乙，甲的方差等于乙D．甲的平均分大于乙，甲的方差小于乙【答案】B【分析】計算出兩者的中位數，平均分和方差，比較后得到結論.【解析】甲的比賽得分從小到大排序為，選擇第三個數作為中位數，甲的平均分為，甲的方差為，乙的比賽得分從小到大排序為，選擇第三個數作為中位數，乙的平均分為，乙的方差為，甲和乙的中位數相等，因為，故甲的平均分大于乙的平均數，因為，所以甲的方差大于乙的方差.故選：B15．為異面直線，且所成角為，過空間一點作直線，直線與均異面，且所成角均為，若這樣的共有四條，則的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設平面上兩條直線分別滿足，則相交，且夾角為，討論的取值范圍，從而確定c的情況以及條數，即可得答案.【解析】設平面上兩條直線分別滿足，則相交，設交點為，且夾角為，如圖示：過空間中一點作直線，若直線與均異面，且所成角均為，則直線與直線所成角均為，當時，不存在這樣的直線，當時，這樣的直線只有一條，當時，這樣的直線有兩條，當時，這樣的直線有三條，當時，這樣的直線有四條，當時，這樣的直線只有一條.所以的范圍為.故選：A.16．設定義域為的函數，函數的導函數是.

對于，函數在上存在極值點.

記.

則中的函數一定不具有的性質是（

）A．B．C．函數在上為嚴格增函數D．函數是偶函數【答案】D【分析】分別給出選項ABC的例子，證明滿足題意條件且具備選擇支的性質，再假設函數是偶函數，推出矛盾，說明D不成立，即可得到答案.【解析】A項，定義域為，且滿足.存在極值點，則，且，且對，有；且；滿足，故，故選項A有可能成立；B項，定義域為，且存在極值點，又，，且對，有；且；滿足，故，可知選項B，C均有可能成立.假設選項D成立，即是偶函數，則是奇函數，所以.設，，則.從而對任意有，故，但這對不成立，所以選項D不可能成立.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于對相應選項給出恰當的函數例子.三、解答題17．如圖所示，圓錐的頂點為P，底面中心為O，母線，且．(1)求圓錐的體積；(2)求二面角的大小（結果用反三角表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓錐的高，進而利用錐體體積公式得到答案；（2）作出輔助線，得到為二面角的平面角，求出各邊長，得到，得到答案.【解析】（1）圓錐的高，則圓錐的體積為；（2）取的中點，連接，因為，所以⊥，⊥，由圖可知，二面角為銳角，故為二面角的平面角，因為，所以，故，則，故，故.18．已知.(1)函數的最小正周期是，求，并求此時的解集；(2)已知，，求函數，的值域.【答案】(1)，或；(2).【分析】（1）利用正弦函數的周期公式求出，再求出方程的解集即得.（2）利用二倍角公式及輔助角公式求出，再利用正弦函數性質求出值域即可.【解析】（1）依題意，，解得，則，由，得，解得或，即或所以的解集為或.（2）依題意，，，當時，，則有，，所以函數，的值域為.19．某科技公司為確定下一年度投入某種產品的研發費，需了解年研發費x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：百件）和年利潤（單位：萬元）的影響，現對近6年的年研發費和年銷售量（，2，…，6）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

12.52223.5157.5168004.51254270表中，.(1)根據散點圖判斷與哪一個更適宜作為年研發費x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產品的年利潤，根據（2）的結果，當年研發費為多少時，年利潤z的預報值最大？附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，.【答案】(1)；(2)；(3)30萬元.【分析】（1）由散點圖可以判斷更適宜作為年研發費x的回歸方程類型；（2）令，建立y關于的線性回歸方程，再利用最小二乘法求出y關于μ的線性回歸方程即得解；（3）求出，再利用導數求函數的最值得解.【解析】（1）由散點圖可以判斷更適宜作為年研發費x的回歸方程類型.（2）令，所以.，，所以y關于μ的線性回歸方程，因此，關于x的回歸方程為.（3）由（2）可知，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.所以當研發費為30萬元時，年利潤z的預報值最大.20．已知雙曲線的中心在坐標原點，左焦點與右焦點都在軸上，離心率為，過點的動直線與雙曲線交于點、．設．(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若點、都在雙曲線的右支上，求的最大值以及取最大值時的正切值；（關于求的最值．某學習小組提出了如下的思路可供參考：①利用基本不等式求最值；②設為，建立相應數量關系并利用它求最值；③設直線l的斜率為k，建立相應數量關系并利用它求最值）.(3)若點在雙曲線的左支上（點不是該雙曲線的頂點，且，求證：是等腰三角形．且邊的長等于雙曲線的實軸長的2倍．【答案】(1)(2)，(3)證明見解析【分析】（1）根據離心率求出，即可求出漸近線方程；（2）方法1、設，，則利用基本不等式求出的最大值；方法2、設，其中，則，求得，當且僅當時，取得最大值；方法3、設直線為，聯立方程組得到，從而化簡得到，得到取得最大值，此時可得，則軸且，求出，即可求出，再利用二倍角公式求出；（3）設直線的方程為，，，聯立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，依題意可得，即可求出，從而求出，再根據雙曲線的定義得到，即可得證.【解析】（1）解：設雙曲線方程為，焦距為，由離心率，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.（2）解：由（1）可得，，所以雙曲線的方程為，方法1、設，，因為點都在雙曲線的右支上，所以，所以，當且僅當時取等號，即；當時，所以，所以軸且，又由雙曲線的方程為，即，由，解得，可知，因為，所以，所以.方法2、因為點都在雙曲線的右支上，設，其中，則，則，當且僅當時，取得最大值，即；當時，所以，所以軸且，又由雙曲線的方程為，即，由，解得，可知，因為，所以，所以.方法3、設直線的方程為，聯立方程組，整理得，設，，可得且，，可得，因為點都在雙曲線的右支上，可得異號，所以，解得，可得，整理得，當且僅當時，取得最大值，最大值為；當時，所以，所以軸且，又由雙曲線的方程為，即，由，解得，可知，因為，所以，所以.（3）解：設直線的方程為，聯立方程組，整理得，設，，可得且，，由，可得，故，又因為同號，所以，即，所以，解得，此時直線的斜率的絕對值為，可知直線與雙曲線的兩支都相交，因為，所以，則，它等于雙曲線實軸長的倍，此時，所以是等腰三角形.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算判別式；（3）利用一元二次方程根與系數的關系，列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為和（或和）的形式；（5）代入韋達定理，列出方程進行求解.21．若函數是其定義域內的區間上的嚴格增函數，而是上的嚴格減函數，則稱是上的“弱增函數”.若數列是嚴格增數列，而是嚴格減數列，則稱是“弱增數列”.(1)判斷函數是否為上的“弱增函數”，并說明理由（其中是自