2.2從位移的合成到向量的加減法6種常見考法歸類課程標準學習目標借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規則，理解其幾何意義1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及其運算律；2.掌握向量加法運算法則，能熟練進行加法運算；3.掌握數的加法與向量的加法的聯系與區別.4.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義；5.掌握向量減法的運算及其幾何意義，能熟練地進行向量的加減運算；6.能將向量的減法運算轉化為向量的加法運算.知識點01向量的加法定義求兩個向量和的運算，稱為向量的加法向量加法的三角形法則前提已知兩個不共線的向量a，b，在平面內任取一點A.作法作AB＝a，BC＝b，連接AC結論有向線段AC表示的向量即為a與b的和，記作a+b，即a＋b＝AB+BC＝圖形向量加法的平行四邊形法則前提已知兩個不共線的向量a，b，在平面內任取一點O.作法作OA＝a，OB＝b，以OA，OB為鄰邊作?OACB.結論以O為起點的向量OC就是向量a與b的和，即OC＝a+b．圖形規定對于零向量與任一向量a，我們規定a＋0＝0＋a＝a注：1.在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發的不共線向量．2．三角形法則與平行四邊形法則的適用條件法則適用條件三角形法則平行四邊形法則兩向量位置關系兩向量共線或不共線均可只適用于兩向量不共線的情況兩向量起點、終點的特點一個向量的終點為另一個向量的起點兩向量起點相同【即學即練1】如圖，已知向量，，求作向量．知識點02向量加法的運算律1．交換律：a＋b＝b+a2．結合律：(a＋b)＋c＝a+(b+c）注：1.當兩個向量共線時，向量加法的交換律和結合律也成立．2．我們可以從位移的物理意義理解向量加法的交換律：一質點從點A出發，方案①先走過的位移為向量a，再走過的位移為向量b，方案②先走過的位移為向量b，再走過的位移為向量a，則方案①②中質點A一定會到達同一終點．3．多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行，如(a+b)＋(c+d)＝(b+d)＋(a+c)；a+【即學即練2】化簡：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).【即學即練3】向量﹒化簡后等于（）A. B.0 C. D.【即學即練4】化簡下列各式：①；②；③；④．其中結果為的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【即學即練5】如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.知識點03向量的減法 1．定義：向量a減向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)．2．幾何意義：如圖，設OA＝a，OB＝b，故a－b＝BA，則a－b＝a＋(－b)＝OA+BO＝BC+CA＝BA，即a－b表示為從向量b的終點B指向被減向量【即學即練6】如圖，在各小題中，已知，分別求作．【即學即練7】如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c．【即學即練8】化簡eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0題型一：向量加法法則的應用例1．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知下列各組向量，，求作.(1)；(2)；(3)‘(4)變式1．（22-23高一·全國·隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

變式2．（21-22高一·江蘇·課后作業）如圖所示，求：(1)；(2)；(3)；(4).變式3．（21-22高一下·全國·課前預習）如圖，為邊長為1的正六邊形，O為其幾何中心.(1)化簡；(2)化簡；(3)化簡；(4)求向量的模.【方法技巧與總結】用三角形法則求向量和，關鍵是抓住“首尾相連”，和向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點，平行四邊形法則注意“共起點”，且兩種方法中，第一個向量的起點可任意選取，可在某一個向量上，也可在其它位置．兩向量共線時，三角形法則仍適用，平行四邊形法則不適用．題型二：向量的加法運算例2．（22-23高一下·新疆·期末）化簡下列各式:(1)(2)變式1．（21-22高一下·全國·課前預習）化簡(1)；(2).變式2．（2020高一·全國·專題練習）化簡：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.變式3．（20-21高一下·全國·課時練習）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點.（1）；（2）；（3）；（4）.變式4．（21-22高一·江蘇·課后作業）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD//BC，則＋＋＝.變式5．（2023高一·全國·課時練習）如圖所示，點分別為的三邊的中點.求證：(1)；(2).變式6．（2018高一下·全國·專題練習）如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC中點．求證：．

【方法技巧與總結】向量加法運算律的應用原則及注意點(1)應用原則：利用代數方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相接”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序．(2)注意點：①三角形法則強調“首尾相接”，平行四邊形法則強調“起點相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量轉化，達到“首尾相連”的目的．題型三：向量加法的實際應用例3．（20-21高一·全國·課時練習）一質點從點出發，先向北偏東方向運動了到達點，再從點向正西方向運動了到達點，又從點向西南方向運動了到達點，試畫出向量、、以及．變式1．（21-22高一·全國·課時練習）在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發，沿垂直于水流的航線到達對岸，那么船行進方向應指向何處？實際航速為多少？變式2．（21-22高一·全國·課前預習）一架救援直升飛機從地沿北偏東60°方向飛行了40km到達地，再由地沿正北方向飛行40km到達地，求此時直升飛機與地的相對位置.變式3．（22-23高一·全國·課堂例題）如圖，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大.

【方法技巧與總結】應用向量解決平面幾何問題的基本步驟(1)表示：用向量表示有關量，將所要解答的問題轉化為向量問題．(2)運算：應用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關向量進行運算，解答向量問題．(3)還原：根據向量的運算結果，結合向量共線、相等等概念回答原問題．題型四：向量的加減綜合運算例4．（23-24高一·全國·假期作業）化簡

變式1．（21-22高一·全國·課前預習）化簡：(1)；(2).變式2．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化簡下列各式：(1)；(2)；(3)；變式3．（2023高一·全國·專題練習）化簡：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．變式4．（22-23高一·全國·課前預習）化簡下列各式：(1)(＋)＋()；(2)；(3)；(4)；(5)【方法技巧與總結】向量加、減法運算的基本方法(1)利用相反向量統一成加法(相當于向量求和)；(2)運用減法公式AB?AC＝(3)運用輔助點法，利用向量的定義將所有向量轉化為以一確定點為起點的向量，使問題轉化為有共同起點的向量問題．題型五：用已知向量表示未知向量例5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形中，，，用、表示向量、.變式1．（20-21高一·全國·課時練習）如圖所示，，，.(1)用表示；(2)用表示.變式2．（21-22高一·全國·課前預習）如圖所示，四邊形是平行四邊形，是該平行四邊形外一點，且，，，試用向量、、表示向量與.變式3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，解答下列各題：(1)用表示；(2)用表示；(3)用表示；(4)用表示.【方法技巧與總結】解決這類問題時，要根據圖形的幾何性質，正確運用向量的加法、減法以及共線(相等)向量，要注意向量的方向及運算式中向量之間的關系．當運用三角形法則時，要注意兩個向量起點的位置，當兩個向量共起點時，可以考慮向量的減法．常用結論：任意一個非零向量一定可以表示為兩個不共線向量的和(差)，即AM＝AB＋BM以及AB＝NB－NA(M，N均是與AB在同一平面內的任意點)．題型六：向量加減法的綜合應用例6．（20-21高一·全國·課時練習）證明：當向量，不共線時，(1)；(2)．變式1．（20-21高一下·上海·課時練習）試用向量方法證明：平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和.變式2．（23-24高一下·內蒙古通遼·期中）在中，已知，且，，求，.變式3．（23-24高一·全國·課時練習）若是所在平面內一點，且滿足，試判斷的形狀.變式4．（23-24高一·全國·課時練習）如圖，質點A受到力和的作用，已知，與正東北方向的夾角為30°；，與正東方向的夾角為60°，求下列兩個向量的大小和方向：（1）；（2）.變式5．（23-24一年級·全國·課時練習）如圖，在平行四邊形中，設,,則(1)當,滿足什么條件時，與垂直?(2)當,滿足什么條件時，?(3)與可能是相等向量嗎?(4)當,滿足什么條件時，平分與所夾的角?【方法技巧與總結】(1)平行四邊形中有關向量的以下結論，在解題中可以直接使用：①對角線的平方和等于四邊的平方和，即a+b2+a?b2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|(2)一般將向量放在具體的幾何圖形中，常見的有三角形、四邊形(平行四邊形、矩形、菱形)及正六邊形等．一、單選題1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）向量（

）A． B．C． D．2．（23-24高一下·全國·課前預習）在四邊形ABCD中，，則（）A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四邊形3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（）A． B．C． D．4．（2024高一下·全國·專題練習）如果一架飛機向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機飛行的路程為，位移為，那么（

）A． B．C． D．與不能比大小5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F，G，H，則（

）A． B． C． D．6．（2024高一下·全國·專題練習）下列等式不正確的是(

)①；②；③.A．②③ B．② C．① D．③7．（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）已知向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題8．（22-23高一下·河南新鄉·階段練習）化簡以下各式，結果為的有（

）A． B．C． D．9．（22-23高一下·廣東佛山·階段練習）若平行四邊形的對角線與相交于點O，則下列結論正確的是（

）．A． B．C． D．10．（22-23高一下·湖南懷化·期中）下列各式中結果一定為零向量的是（

）A． B．C． D．11．（21-22高一·全國·課時練習）在平行四邊形中，下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．12．（21-22高一下·江蘇鹽城·期中）給出下列四個結論，其中正確的結論是（

）A．若線段，則向量B．若向量，則線段C．若向量與共線，則線段D．若向量與反向共線，則三、填空題13．（2024高一下·全國·專題練習）已知、為非零向量，則下列命題中真命題的序號是.①若，則與方向相同；②若，則與方向相反；③若，則與有相等的模；④若，則與方向相同．14．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知O為平行四邊形ABCD內一點，，，，則.

15．（23-24高三上·北京西城·期中）已知，，，，，則.16．（2023高三·全國·專題練習）若為非零向量，則不等式中等號成立的條件是；不等式中等號成立的條件是．四、解答題17．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且，試用向量表示向量.18．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，，，，試求：.

19．（22-23高一下·湖北·階段練習）如圖，E，F，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，，，，，用，表示下列各式．(1)；(2)．20．（21-22高二·全國·課時練習）如圖，已知四面體ABCD，點E，F分別是BC，CD的中點，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡后的結果所對應的向量．(1)；(2)；(3)．21．（21-22高一·湖南·課時練習）如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，試用，，表示向量，，，及．2.2從位移的合成到向量的加減法6種常見考法歸類課程標準學習目標借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規則，理解其幾何意義1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及其運算律；2.掌握向量加法運算法則，能熟練進行加法運算；3.掌握數的加法與向量的加法的聯系與區別.4.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義；5.掌握向量減法的運算及其幾何意義，能熟練地進行向量的加減運算；6.能將向量的減法運算轉化為向量的加法運算.知識點01向量的加法定義求兩個向量和的運算，稱為向量的加法向量加法的三角形法則前提已知兩個不共線的向量a，b，在平面內任取一點A.作法作AB＝a，BC＝b，連接AC結論有向線段AC表示的向量即為a與b的和，記作a+b，即a＋b＝AB+BC＝圖形向量加法的平行四邊形法則前提已知兩個不共線的向量a，b，在平面內任取一點O.作法作OA＝a，OB＝b，以OA，OB為鄰邊作?OACB.結論以O為起點的向量OC就是向量a與b的和，即OC＝a+b．圖形規定對于零向量與任一向量a，我們規定a＋0＝0＋a＝a注：1.在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發的不共線向量．2．三角形法則與平行四邊形法則的適用條件法則適用條件三角形法則平行四邊形法則兩向量位置關系兩向量共線或不共線均可只適用于兩向量不共線的情況兩向量起點、終點的特點一個向量的終點為另一個向量的起點兩向量起點相同【即學即練1】如圖，已知向量，，求作向量．【解析】（1）平移，使其起點與起點重合，再應用平行四邊形法則，作出，如下圖示：（2）平移，使其終點與起點重合，再以的起點為起點，的終點為終點作，如下圖示：知識點02向量加法的運算律1．交換律：a＋b＝b+a2．結合律：(a＋b)＋c＝a+(b+c）注：1.當兩個向量共線時，向量加法的交換律和結合律也成立．2．我們可以從位移的物理意義理解向量加法的交換律：一質點從點A出發，方案①先走過的位移為向量a，再走過的位移為向量b，方案②先走過的位移為向量b，再走過的位移為向量a，則方案①②中質點A一定會到達同一終點．3．多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行，如(a+b)＋(c+d)＝(b+d)＋(a+c)；a+【即學即練2】化簡：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).【解析】(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.【即學即練3】向量﹒化簡后等于（）A. B.0 C. D.【解析】,故選D.【即學即練4】化簡下列各式：①；②；③；④．其中結果為的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】對于①：，對于②：，對于③：，對于④：，所以結果為的個數是，故選：B【即學即練5】如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.【解析】(1)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)eq\o(AO,\s\up6(→))(3)eq\o(AD,\s\up6(→))(4)知識點03向量的減法 1．定義：向量a減向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)．2．幾何意義：如圖，設OA＝a，OB＝b，故a－b＝BA，則a－b＝a＋(－b)＝OA+BO＝BC+CA＝BA，即a－b表示為從向量b的終點B指向被減向量【即學即練6】如圖，在各小題中，已知，分別求作．【解析】將的起點移到同一點，再首尾相接，方向指向被減向量，如圖，，(1)(2)(3)(4)【即學即練7】如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c．【解析】如圖，以A為起點分別作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝B．連接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))，再以點C為起點作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝c．連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→)).則向量eq\o(DB,\s\up6(→))即為所求作的向量a－b－c．【即學即練8】化簡eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0【解析】(1)解法一：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．解法二：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．題型一：向量加法法則的應用例1．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知下列各組向量，，求作.(1)；(2)；(3)‘(4)【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)作圖見解析(4)作圖見解析【分析】應用向量的性質，將，作平移處理，使一個向量起點與另一個的起點或終點重合，結合三角形或平行四邊形法則畫出，注意共線向量只需將一個向量起點平移至另一個向量的終點，再連接兩向量的另一個起點和終點即可.【詳解】（1）將的起點移至的終點，即可得，如下圖：（2）將的起點移至的終點，即可得，如下圖：（3）以，為頂點作平行四邊形，應用平行四邊形法則可得，如下圖：（4）將的起點移至的終點，應用三角形法則可得，如下圖：變式1．（22-23高一·全國·隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】詳見解析【分析】向量，，不共線中隱含著向量，，均為非零向量，因為零向量與任何一個向量都是共線的，利用三角形法則或平行四邊形法則作圖.【詳解】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作，，則，再作，則，即.

解法二：（平行四邊形法則）因為向量，，不共線，如下圖所示，在平面內任取一點O，作，，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線，再作，以，為鄰邊作平行四邊形，則.

變式2．（21-22高一·江蘇·課后作業）如圖所示，求：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法則直接計算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.變式3．（21-22高一下·全國·課前預習）如圖，為邊長為1的正六邊形，O為其幾何中心.(1)化簡；(2)化簡；(3)化簡；(4)求向量的模.【答案】(1)(2)(3)(4)2【分析】（1）根據平行四邊形法則直接求解即可；（2）根據，進行求解即可；（3）根據，結合加法法則求解即可；（4）根據，結合加法法則求解得，進而得模.【詳解】（1）解：根據向量的平行四邊形法則得；（2）解：根據題意，，所以；（3）解：因為，所以；（4）解：因為，所以，所以【方法技巧與總結】用三角形法則求向量和，關鍵是抓住“首尾相連”，和向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點，平行四邊形法則注意“共起點”，且兩種方法中，第一個向量的起點可任意選取，可在某一個向量上，也可在其它位置．兩向量共線時，三角形法則仍適用，平行四邊形法則不適用．題型二：向量的加法運算例2．（22-23高一下·新疆·期末）化簡下列各式:(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）應用向量加法運算律化簡即可.【詳解】（1）原式.（2）原式變式1．（21-22高一下·全國·課前預習）化簡(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）按照向量加法的運算律直接計算即可.【詳解】（1）=（2）==.變式2．（2020高一·全國·專題練習）化簡：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.【答案】①；②；③【解析】根據加法的三角形運算法則和基本規律首尾相連求解.【詳解】①＋＝+＝；②＋＋＝＋＋＝；③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.【點睛】本題主要考查平面向量的加法運算，其規律是首尾相連，同時注意加法運算結果是向量，屬于中檔題.變式3．（20-21高一下·全國·課時練習）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】【分析】根據向量加法法則計算．【詳解】（1）由平行四邊形法則，；（2）由向量加法的三角形法則，；（3）由向量加法法則得，；（4）由向量加法法則得，．故答案為：；；；．變式4．（21-22高一·江蘇·課后作業）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD//BC，則＋＋＝.【答案】【分析】利用向量的加法運算即得.【詳解】＋＋.故答案為：.變式5．（2023高一·全國·課時練習）如圖所示，點分別為的三邊的中點.求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由向量加法的三角形法則，得到，即可作出證明；.（2）由向量加法的平行四邊形法則，得到，進而作出證明.【詳解】（1）證明：由向量加法的三角形法則，因為，所以.（2）證明：由向量加法的平行四邊形法則，因為，所以.變式6．（2018高一下·全國·專題練習）如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC中點．求證：．

【答案】證明見解析【分析】根據已知可得，.進而根據向量加法的多邊形法則表示出，相加即可得出證明.【詳解】因為E，F分別是AD，BC中點，所以，，.因為，，所以，.【方法技巧與總結】向量加法運算律的應用原則及注意點(1)應用原則：利用代數方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相接”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序．(2)注意點：①三角形法則強調“首尾相接”，平行四邊形法則強調“起點相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量轉化，達到“首尾相連”的目的．題型三：向量加法的實際應用例3．（20-21高一·全國·課時練習）一質點從點出發，先向北偏東方向運動了到達點，再從點向正西方向運動了到達點，又從點向西南方向運動了到達點，試畫出向量、、以及．【答案】作圖見解析【分析】根據題意可作出向量、、以及.【詳解】根據題意，、、以及的示意圖如下圖所示：變式1．（21-22高一·全國·課時練習）在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發，沿垂直于水流的航線到達對岸，那么船行進方向應指向何處？實際航速為多少？【答案】船的航行方向與水流方向成，船的實際航速為【分析】如圖所示，表示水流的速度，表示船實際航行的速度，表示船行駛的速度，在中，可得,從而得，，即可得答案.【詳解】解：設表示水流的速度，表示船實際航行的速度，表示船行駛的速度，則四邊形為平行四邊形.所以，，因為，于是，所以，，故船的航行方向與水流方向成，船的實際航速為.變式2．（21-22高一·全國·課前預習）一架救援直升飛機從地沿北偏東60°方向飛行了40km到達地，再由地沿正北方向飛行40km到達地，求此時直升飛機與地的相對位置.【答案】直升飛機位于地北偏東30°方向，且距離地km處【分析】根據向量加法的三角形法則及勾股定理即可求解.【詳解】如圖所示，設，分別是直升飛機的位移，則表示兩次位移的合位移，即.在中，.在中，，，即此時直升飛機位于地北偏東30°方向，且距離地km處.變式3．（22-23高一·全國·課堂例題）如圖，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大.

【答案】分析答案見解析，OA受力最大【分析】根據題意利用向量加法的平行四邊形法則，畫出圖形，結合圖形利用直角三角形的邊角關系得出拉力最大的是OA．【詳解】設OA，OB，OC三根繩子所受的力分別為，，，則.因為，的合力為，所以.如圖在平行四邊形中，

因為，，所以，，即，.故細繩OA受力最大.【方法技巧與總結】應用向量解決平面幾何問題的基本步驟(1)表示：用向量表示有關量，將所要解答的問題轉化為向量問題．(2)運算：應用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關向量進行運算，解答向量問題．(3)還原：根據向量的運算結果，結合向量共線、相等等概念回答原問題．題型四：向量的加減綜合運算例4．（23-24高一·全國·假期作業）化簡

【答案】【詳解】解：變式1．（21-22高一·全國·課前預習）化簡：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據向量加法和減法的運算法則即可求解；（2）根據向量加法和減法的運算法則即可求解；【詳解】（1）解：；（2）解：.變式2．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化簡下列各式：(1)；(2)；(3)；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、減法法則計算即得.【詳解】（1）；（2）；（3）.變式3．（2023高一·全國·專題練習）化簡：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)；(3)(4)(5)(6)【分析】由向量的三角形法則求解即可.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.變式4．（22-23高一·全國·課前預習）化簡下列各式：(1)(＋)＋()；(2)；(3)；(4)；(5)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】根據平面向量線性運算法則及運算律計算可得.【詳解】（1）法一：原式；法二：原式；（2）法一：原式法二：原式（3）方法一：；方法二：；（4）（5）【方法技巧與總結】向量加、減法運算的基本方法(1)利用相反向量統一成加法(相當于向量求和)；(2)運用減法公式AB?AC＝(3)運用輔助點法，利用向量的定義將所有向量轉化為以一確定點為起點的向量，使問題轉化為有共同起點的向量問題．題型五：用已知向量表示未知向量例5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形中，，，用、表示向量、.【答案】，【分析】根據平面向量加、減法的定義計算可得.【詳解】依題意，.變式1．（20-21高一·全國·課時練習）如圖所示，，，.(1)用表示；(2)用表示.【答案】(1)；(2).【分析】利用向量減法與加法的規則即可用表示，用表示【詳解】（1）.（2）.變式2．（21-22高一·全國·課前預習）如圖所示，四邊形是平行四邊形，是該平行四邊形外一點，且，，，試用向量、、表示向量與.【答案】，【分析】利用平面向量的線性運算可得出向量與關于向量、、的表達式.【詳解】解：由平面向量的減法可得，.變式3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，解答下列各題：(1)用表示；(2)用表示；(3)用表示；(4)用表示.【答案】(1).(2)(3)(4)【分析】（1）由向量的加法運算求解即可；（2）由向量的減法運算和相反向量的定義求解即可；（3）由向量的加法運算求解即可；（4）由向量的加法運算和相反向量的定義求解即可；【詳解】（1）因為.（2）因為.（3）因為.（4）因為.【方法技巧與總結】解決這類問題時，要根據圖形的幾何性質，正確運用向量的加法、減法以及共線(相等)向量，要注意向量的方向及運算式中向量之間的關系．當運用三角形法則時，要注意兩個向量起點的位置，當兩個向量共起點時，可以考慮向量的減法．常用結論：任意一個非零向量一定可以表示為兩個不共線向量的和(差)，即AM＝AB＋BM以及AB＝NB－NA(M，N均是與AB在同一平面內的任意點)．題型六：向量加減法的綜合應用例6．（20-21高一·全國·課時練習）證明：當向量，不共線時，(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）設，，以為鄰邊作一個平行四邊形，則在中利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得答案；（2）在中，利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得答案【詳解】（1）如圖所示，設，，且向量，不共線，以為鄰邊作一個平行四邊形，則，在中，因為，所以，因為，所以，所以.（2）由（1）向量，不共線，在中，因為，所以，因為，所以，所以．變式1．（20-21高一下·上海·課時練習）試用向量方法證明：平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和.【答案】證明見解析【分析】利用，，兩邊平方求和，根據向量運算法則證得結論.【詳解】證明：設平行四邊形，即證得結論.變式2．（23-24高一下·內蒙古通遼·期中）在中，已知，且，，求，.【答案】4，.【分析】由題意可知是邊長為4的等邊三角形，利用向量加法、減法的幾何意義即可求解.【詳解】中，，由于，，所以是等邊三角形，即.∴.設中點為，根據向量和的平行四邊形法則，，所以，.變式3．（23-24高一·全國·課時練習）若是所在平面內一點，且滿足，試判斷的形狀.【答案】直角三角形【分析】由向量的加法法則得出，可得出以、為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線相等，可判斷出平行四邊形的形狀，從而得出的形狀.【詳解】，，，以、為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度相等，此平行四邊形為矩形，.是直角三角形.【點睛】本題考查利用和向量和差向量模的關系判斷三角形的形狀，解題的關鍵是要弄清楚相應平行四邊形的形狀，考查推理能力，屬于中等題.變式4．（23-24高一·全國·課時練習）如圖，質點A受到力和的作用，已知，與正東北方向的夾角為30°；，與正東方向的夾角為60°，求下列兩個向量的大小和方向：（1）；（2）.【答案】（1）大小為N，方向為東偏南15°；（2）大小為N，方向為東偏北75°.【分析】根據平行四邊形法則作出示意圖，進而根據平面向量的加法法則和減法法則得到答案.【詳解】根據平行四邊形法則作出圖形，由題意，四邊形是正方形，如圖所示.（1）如圖，，，所以的方向為東偏南15°.（2）如圖，，，所以的方向為東偏北75°.變式5．（23-24一年級·全國·課時練習）如圖，在平行四邊形中，設,,則(1)當,滿足什么條件時，與垂直?(2)當,滿足什么條件時，?(3)與可能是相等向量嗎?(4)當,滿足什么條件時，平分與所夾的角?【答案】(1)(2)(3)不可能相等(4)【分析】根據向量加減法的幾何意義，利用平行四邊形、矩形、菱形的性質即可得出答案.【詳解】（1）由向量加減法的幾何意義可知，，，當時，，即平行四邊形的相鄰邊長相等，故平行四邊形為菱形，而菱形的對角線與互相垂直，所以與互相垂直，故.（2）當時，，即平行四邊形的對角線長相等，此時平行四邊形為矩形，所以，即時，.（3）不可能相等，因為平行四邊形的對角線方向不同，所以與的方向一定不同，故不可能是相等向量.（4）當時，由（1）可知平行四邊形為菱形，而菱形的對角線會平分，即會平分與所夾的角，故.【方法技巧與總結】(1)平行四邊形中有關向量的以下結論，在解題中可以直接使用：①對角線的平方和等于四邊的平方和，即a+b2+a?b2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|(2)一般將向量放在具體的幾何圖形中，常見的有三角形、四邊形(平行四邊形、矩形、菱形)及正六邊形等．一、單選題1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）向量（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法則及向量加法的運算律即可求解.【詳解】由，故B正確.故選：B.2．（23-24高一下·全國·課前預習）在四邊形ABCD中，，則（）A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四邊形【答案】D【分析】運用同起點的向量加法的平行四邊形法則易得.【詳解】對于同起點的向量的和一般通過作平行四邊形得到，由可知，由A，B，C，D構成的四邊形一定是平行四邊形.故選：D.3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（）A． B．C． D．【答案】C【分析】結合圖形，用、表示出、和即可.【詳解】因為是的中點，所以.故選：C4．（2024高一下·全國·專題練習）如果一架飛機向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機飛行的路程為，位移為，那么（

）A． B．C． D．與不能比大小【答案】A【分析】根據向量的合成即可求解.【詳解】路程是數量，位移是向量，從而，由位移的合成易得，故.故選：A.5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F，G，H，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平行四邊形法則即可求.【詳解】以，為鄰邊作平行四邊形，可知為所作平行四邊形的對角線，故由平行四邊形法則可知對應的向量即所求向量．故選：B6．（2024高一下·全國·專題練習）下列等式不正確的是(

)①；②；③.A．②③ B．② C．① D．③【答案】B【分析】根據向量加法的運算律判斷即可.【詳解】對于①，，正確；對于②，，錯誤；對于③，，正確.故選：B7．（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）已知向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的加法的幾何意義求解即得.【詳解】向量滿足，則，當且僅當同向時取等號；，當且僅當反向時取等號，所以的取值范圍是.故選：B二、多選題8．（22-23高一下·河南新鄉·階段練習）化簡以下各式，結果為的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據向量的線性運算求解即可.【詳解】對A，，故A正確；對B，，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：ABD9．（22-23高一下·廣東佛山·階段練習）若平行四邊形的對角線與相交于點O，則下列結論正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】BCD【分析】作出圖形，根據平行四邊形的性質和平面向量的線性運算即可求解.【詳解】作出圖形，如圖所示：因為四邊形為平行四邊形，所以，故選項A錯誤；因為四邊形為平行四邊形，所以為的中點，則，故選項B正確；因為四邊形為平行四邊形，所以，故選項C正確；因為四邊形為平行四邊形，所以，故選項D正確；故選：BCD.10．（22-23高一下·湖南懷化·期中）下列各式中結果一定為零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用向量的加法運算，結合零向量的意義逐項計算判斷作答.【詳解】對于A，，A是；對于B，，不一定是零向量，B不是；對于C，，