第5章復數章末十五種?？碱}型歸類復數的概念1．（2024·浙江溫州·二模）已知z∈C，則“z2∈RA．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件2．（2024高一·全國·專題練習）給出下列命題：①若a∈R，則(a+1)i②若a,b∈R且a>b，則a+i③若a,b∈C，則復數a+bi④i的平方等于?1.其中正確命題的序號是（）A．① B．②C．③ D．④3．（20-21高一下·全國·課后作業(yè)）下列命題中：①若x,y∈C②純虛數集相對于復數集的補集是虛數集；③若z1?z正確命題的個數是（）A．0 B．1C．2 D．34．（多選）（21-22高一·全國·課后作業(yè)）下列命題中，不正確的是（

）A．1?ai(a∈R)是一個復數 B．形如C．兩個復數一定不能比較大小 D．若a>b，則a+5．（多選）（21-22高一·全國·課后作業(yè)）（多選）已知z1A．若z1=z2，則z1C．若z1>z2，則z1復數的實部與虛部6．（23-24高一下·廣東梅州·期中）復數z=1+3A．1，1 B．1，i C．?13，53 D．7．(多選)（23-24高一下·廣東茂名·期中）設復數z=3?A．z的實部為1 B．復數z的虛部是2C．復數z的模為5 D．在復平面內，復數z對應的點在第四象限8．（23-24高一下·安徽·期中）已知復數z的實部為5，虛部為-1，則z1+i9．（22-23高一下·浙江嘉興·階段練習）復數z=1+2i1?i，其中i為虛數單位，則10．（2024高一·全國·專題練習）已知復數z=3x?x2?x(1)若f(x)=8，且x>0，求復數iz(2)當f(x)取得最小值時，求復數z的實部．復數相等求參數11．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知i為虛數單位，x,y為實數，若x+yi+2=3?4A．2 B．3 C．4 D．512．（2024·全國·模擬預測）已知1+ib=ai?1+2A．x2?1=0 B．x2+x=2 C．13．（21-22高三上·陜西延安·期中）已知a，b∈R，復數z1=?1+ai，z2=b?3A．1 B．2 C．－2 D．－414．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）定義：復數b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的轉置復數，已知a,b∈R，i是虛數單位，若a+2i15．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）已知z1=m2+m+1+m2+m?4復數類型求參數16．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）復數z=a2?b2A．a≤0 B．a<0且C．a>0且a≠b D．a>0且a=17．（2018·江西·一模）若a∈R，則“a=2”是復數“z=aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件18．（23-24高一下·北京·階段練習）設a∈R，復數z=1?ia+i.若復數z是純虛數，則a=；若復數z19．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）實數m取什么值時，復數z=m(1)實數？(2)純虛數？20．（2024高一·全國·專題練習）已知z=sinA+ksinA+cosA?1i，A為△ABC的一個內角．若不論共軛復數問題21．（2024高三·全國·專題練習）已知1+i2z=2+A．1 B．i C．12 D．22．（2024·全國·模擬預測）復數z滿足2+iz=i（A．1?2i B．1+2i C．?1+2i23．（多選）（23-24高一下·湖北武漢·期中）設z,zA．若|z|=2，則z2=4 B．若zC．若z2≠0，則z1z2=24．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）復數z=2i1?i25．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）已知復數z1=4+mi(1)求復數z1(2)若z2=z1(1?復數的模26．（23-24高一下·廣東茂名·期中）若復數z=2?bib∈A．0 B．2 C．8 D．227．（23-24高一下·山西·期中）已知z為復數，則“z的實部大于0”是“1?z1+zA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件28．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）已知Z1=?1+3A．4 B．1 C．2 D．不確定29．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知復數z1,z2在復平面內所對應的點分別為A．22 B．1 C．2 30．（23-24高一下·河北·期中）若|a+11i|=55(a∈R)復數的坐標表示31．（2024高一下·全國·專題練習）（1）復平面內的原點0,0表示實數，（2）實軸上的點2,0表示實數，（3）虛軸上的點0,?1表示純虛數，（4）點?2,3表示復數.32．（22-23高一下·福建寧德·期中）已知復數z=?3+i，則在復平面內復數z對應的點在第33．（20-21高一下·重慶渝中·期中）復數z=m2+5m+6+m34．（2024高三·全國·專題練習）設復數z＝a＋bi（a，b∈R，i為虛數單位）在復平面內對應的點為M，則“點M在第四象限”是“ab<0”的條件35．（2022高一·全國·專題練習）在復平面內，若復數z=m(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線y＝x上．復數與向量36．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復平面內的點A，B分別對應的復數為z1=2+i和z2=?1?237.（23-24高一下·河南·期中）已知復數z滿足z?1?i=2，i為虛數單位，z在復平面上對應的點為Z，定點M?1,0，O38．（23-24高一下·山東棗莊·期中）在復平面內復數z1，z2所對應的點為Z1，Z2，(1)z1=4?3i，z2=?5?4(2)設z1=a+bi，z2=c+dia,b,c,d∈R39．（23-24高一下·浙江紹興·期中）已知復數z1=1+2i，z2=3?4(1)若復數z1+λz(2)求OA在OB上的投影向量.40．（2024高一下·全國·專題練習）設復數z1,z2對應的向量為OZ1，OZ2，O為坐標原點，且z1=?1+3幾何圖形問題41.（22-23高一下·河北保定·期中）已知復數z1=2+i是關于x的方程x2+px+q=0（p，q∈R）的一個根，若復平面內滿足z?z1A．π B．16π C．25π 42.（22-23高一下·上海虹口·期末）設復數z的共軛復數是z，且z=1，又復數z對應的點為Z,A?1,0與B0,1為定點，則函數fA．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形43.（21-22高一下·廣東深圳·期中）復數z滿足z=1，則復數zA．圓 B．點 C．線段 D．直線44.（多選）（22-23高一下·四川成都·階段練習）已知i是虛數單位，z是復數，則下列敘述正確的是（

）A．若m∈R，則z=m+1+mB．z=2+3i是關于x的方程xC．z?D．若z≤1，則在復平面內z對應的點Z的集合確定的圖形面積為45.（多選）（21-22高一下·廣東廣州·期中）設復數z在復平面上對應的點為Z，i為虛數單位，則下列說法正確的是（

）A．滿足|z|＝1，且z?2B．若|z－1|＝1，則z＝2或0或1＋i或1－iC．2≤z<3D．非零復數z1，z2，對應的點分別為Z1，Z2，O為坐標原點，若復數的四則運算46.（23-24高一下·云南昆明·階段練習）設復數z1,z2在復平面內的對應點關于實軸對稱，若z1A．2?i B．?2?i C．?2+i47.（23-24高一下·安徽·期中）在復平面內，復數3+iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限48.（23-24高一下·廣東江門·階段練習）復數z在復平面內對應的點的坐標為?1,2，則ziA．?2+i B．2+i C．?2?i49．（23-24高一下·四川達州·期中）已知復數z1,z(1)求z1(2)求2z50.（23-24高一下·四川成都·期中）在復數范圍內有關于x的方程x2(1)求該方程的根；(2)求xx?1(3)有人觀察到x?1x2+x+1=0，得復數方程問題51．（23-24高一下·陜西西安·期中）已知方程x2+4+ix+4+ai=0A．2?2i B．2+2i C．?2+2i52．（23-24高一下·重慶長壽·階段練習）若?12+32i是關于x的實系數方程A．15?35i B．1553.（23-24高一下·廣東江門·期中）計算：2?i3?454.（23-24高一下·上?！て谥校┤魖是方程x2+x+1=0的一個虛數根，則z=55.（23-24高一下·福建莆田·期中）已知復數z滿足z=2，(1)求復數z；(2)若z是關于x的實系數方程x2+bx+2=0的一個復數根，求(3)若復數z的實部大于0，設z,z3,z?復數的三角形式與運算56．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）復數z=sinA．cos195°+C．cos15°+57．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）如果θ∈π2,A．2B．2C．2D．258.（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）若z=cosθ+isinθ（i為虛數單位），則θ=59.（22-23高一·全國·隨堂練習）計算：(1)1+i(2)1?3(3)cos7θ+60.（22-23高一·全國·隨堂練習）將復數3?3i對應的向量旋轉歐拉公式問題61．（22-23高一下·安徽·階段練習）歐拉公式eix=cosx+A．eπ2iC．e5i在復平面內對應的點位于第二象限 62．（2023·福建福州·模擬預測）歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ由瑞士數學家歐拉發(fā)現(xiàn)，其將自然對數的底數e，虛數單位iA．i B．1 C．22i 63．（22-23高一下·廣東深圳·期中）歐拉公式exA．eπ3i對應的點位于第二象限 C．eπ6i的共軛復數為12?64.（多選）（22-23高一下·江蘇蘇州·期中）歐拉公式exA．e2π3i對應的點位于第二象限C．eπi3+i的模長等于1265.（22-23高一下·安徽合肥·期末）歐拉公式exi=cosx+isinx（i為虛數單位，復數范圍內的因式分解66．（21-22高三下·上海浦東新·期中）在復數范圍內分解因式：x2?2x+2=67．（20-21高一下·山西呂梁·期中）在復數范圍內，將多項式x4?16分解成為一次因式的積，則x468．（20-21高一下·上?！ふn后作業(yè)）（1）在實數集中分解因式：x4?x（2）在復數集中分解因式：x4?x2?6=69.（21-22高一·全國·課后作業(yè)）在復數范圍內分解因式：(1)x4(2)x470.（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）利用公式a2(1)x2(2)a4(3)a2(4)x2復數運算相關概念問題71．（多選）（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知z1,zA．|B．|C．z1D．若|z1|=172．（多選）（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復數z1,z2是關于A．z1=zC．z1?z2=173．（多選）（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）設z1A．z12=z12 B．若z1274．（多選）（23-24高一下·湖北武漢·期中）下面四個命題中的真命題為（

）A．若復數z滿足1z∈RB．若復數z滿足z=1C．已知z1,z2D．已知z1,z275．（多選）（23-24高一下·安徽合肥·期中）設z1,zA．z1+zC．z1+z第5章復數章末十五種?？碱}型歸類復數的概念1．（2024·浙江溫州·二模）已知z∈C，則“z2∈RA．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【分析】根據復數的概念及充分、必要條件的定義判定即可.【詳解】易知z=i?z故選：B2．（2024高一·全國·專題練習）給出下列命題：①若a∈R，則(a+1)i②若a,b∈R且a>b，則a+i③若a,b∈C，則復數a+bi④i的平方等于?1.其中正確命題的序號是（）A．① B．②C．③ D．④【答案】D【分析】利用復數的概念逐一判斷各個命題即得.【詳解】對于復數a+bi（a,b∈R），當a=0且b≠0在①中，若a=?1，則(a+1)i不是純虛數，①在②中，兩個虛數不能比較大小，②錯誤；在③中，只有當a,b∈R時，復數a+bi的實部才為a，虛部為b，③在④中，i的平方等于?1，④正確.故選：D3．（20-21高一下·全國·課后作業(yè)）下列命題中：①若x,y∈C②純虛數集相對于復數集的補集是虛數集；③若z1?z正確命題的個數是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】A【分析】根據復數的概念及復數相等判斷各命題.【詳解】對于①，因為x,y∈C，取x=i,y=?i，則x+yi對于②，純虛數集相對于復數集的補集是實數集合和虛數集中的非純虛數集，故②錯誤；對于③，因為z1,z2,z3∈C，若z1?z22故選：A.4．（多選）（21-22高一·全國·課后作業(yè)）下列命題中，不正確的是（

）A．1?ai(a∈R)是一個復數 B．形如C．兩個復數一定不能比較大小 D．若a>b，則a+【答案】BCD【分析】根據復數的概念逐項分析即得.【詳解】由復數的定義可知A命題正確；形如a+bi(b∈R)的數，當若兩個復數全是實數，則可以比較大小，故C命題錯誤；兩個虛數不能比較大小，故D命題錯誤．故選：BCD．5．（多選）（21-22高一·全國·課后作業(yè)）（多選）已知z1A．若z1=z2，則z1C．若z1>z2，則z1【答案】BCD【分析】根據復數的定義以及復數模的概念對選型分別判斷即可.【詳解】若z1>z2，則z1,z因為兩個虛數之間只有等與不等，不能比較大小，所以D項不正確；當兩個復數不相等時，它們的模有可能相等，比如1?i≠1+i因為當兩個復數相等時，模一定相等，所以A項正確．故選:BCD．復數的實部與虛部6．（23-24高一下·廣東梅州·期中）復數z=1+3A．1，1 B．1，i C．?13，53 D．【答案】A【分析】由復數代數形式的運算化簡即可.【詳解】z=1+3所以數z=1+3故選：A.7．(多選)（23-24高一下·廣東茂名·期中）設復數z=3?A．z的實部為1 B．復數z的虛部是2C．復數z的模為5 D．在復平面內，復數z對應的點在第四象限【答案】ACD【分析】先根據復數的除法運算求出復數，再根據復數的實部和虛部的定義即可判斷AB；根據復數的模的計算公式即可判斷C；根據復數的幾何意義即可判斷D.【詳解】z=3?所以z的實部為1，虛部為?2，故A正確，B錯誤；z=在復平面內，復數z對應的點為1,?2，在第四象限，故D正確.故選：ACD.8．（23-24高一下·安徽·期中）已知復數z的實部為5，虛部為-1，則z1+i【答案】13【分析】根據題意，得到z=5?i，由復數的運算法則z【詳解】由復數z的實部為5，虛部為?1，可得z=5?i則z1+i=故答案為：13.9．（22-23高一下·浙江嘉興·階段練習）復數z=1+2i1?i，其中i為虛數單位，則【答案】3【分析】利用復數的乘法運算法則以及復數實部的定義求解.【詳解】z=1+2i1?i=1?故答案為：3．10．（2024高一·全國·專題練習）已知復數z=3x?x2?x(1)若f(x)=8，且x>0，求復數iz(2)當f(x)取得最小值時，求復數z的實部．【答案】(1)6；(2)?3【分析】（1）由復數的實部、虛部的運算，可得f(x)=x2+2x，再結合題意可得x=2（2）先求出函數取最小值時x對應的值，再代入即可得解.【詳解】（1）依題意，f(x)=3x+(x2?x)=x2+2x，由f(x)=8，得則z=6?2i，iz=i（2）由（1）知，f(x)=(x+1)2?1，則當x=?1此時，z=?3?2i，所以z的實部為?3復數相等求參數11．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知i為虛數單位，x,y為實數，若x+yi+2=3?4A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由復數相等可列出方程組求解.【詳解】由題意x+yi所以x+2=3y=2y?4，解得x=1,y=4，所以x+y=5故選：D.12．（2024·全國·模擬預測）已知1+ib=ai?1+2A．x2?1=0 B．x2+x=2 C．【答案】A【分析】先根據復數相等求解出a,b，然后再判斷出能滿足條件的方程即可.【詳解】因為1+ib=ai所以b=?ab=a+2，所以a=?1因此所選方程的兩根為±1，僅有x2故選：A.13．（21-22高三上·陜西延安·期中）已知a，b∈R，復數z1=?1+ai，z2=b?3A．1 B．2 C．－2 D．－4【答案】B【分析】根據復數相等的定義列方程求解即可．【詳解】解：由z2z2∵z∴?1=b解得a=3b=?1∴a+b=2．故選：B．14．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）定義：復數b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的轉置復數，已知a,b∈R，i是虛數單位，若a+2i【答案】?2+i【分析】先根據復數相等得到a,b，求出z和轉置復數.【詳解】由a+2i=1?bi，得a=1,b=?2故復數z=1?2i的轉置復數是?2+故答案為：?2+15．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）已知z1=m2+m+1+m2+m?4【答案】充分不必要【分析】根據充分條件，必要條件的定義即得.【詳解】當z1=z2時，必有m2+m+1=3且顯然“m=1”是“z1故答案為：充分不必要.復數類型求參數16．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）復數z=a2?b2A．a≤0 B．a<0且C．a>0且a≠b D．a>0且a=【答案】A【分析】考查復數相關概念問題，根據實數和虛數概念求解即可.【詳解】若復數z=a2?b2則有a+a=0，故選：A.17．（2018·江西·一模）若a∈R，則“a=2”是復數“z=aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據純虛數的概念進行判斷即可.【詳解】若a=2，則z=4i若z=a2?4+(a+2)i為純虛數，a∈R，則有所以，當a∈R時，“a=2”是復數“z=故選：C18．（23-24高一下·北京·階段練習）設a∈R，復數z=1?ia+i.若復數z是純虛數，則a=；若復數z【答案】-11【分析】由復數是純虛數或實數的充要條件即可列式求解.【詳解】z=1?ia+i=a+1+1?ai對于第二空：若復數z在復平面內對應的點位于實軸上，則1?a=0，解得a=1.故答案為：-1；1.19．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）實數m取什么值時，復數z=m(1)實數？(2)純虛數？【答案】(1)m=?1或6；(2)m=3.【分析】（1）（2）利用實數、純虛數的定義列式求解即得.【詳解】（1）復數z=m2?2m?3+m2?5m?6所以當m=?1或m=6時，復數z是實數.（2）由復數z是純虛數，得m2?2m?3=0且m2所以當m=3時，復數z是純虛數.20．（2024高一·全國·專題練習）已知z=sinA+ksinA+cosA?1i，A為△ABC的一個內角．若不論【答案】(0,+∞).【分析】根據z為實數，求得k=1?cosA【詳解】∵z是實數，A∈(0,π)，sinA≠0，∴又1?cosAsinA=∴tanA2∈0,+∴當k>0時，不論A為何值，總存在k使得z是實數，故k的取值范圍為(0,+∞).共軛復數問題21．（2024高三·全國·專題練習）已知1+i2z=2+A．1 B．i C．12 D．【答案】A【分析】利用復數的乘方及復數除法運算求出復數z，再求出z即可得解.【詳解】由1+i2z=2+則z=12故選：A22．（2024·全國·模擬預測）復數z滿足2+iz=i（A．1?2i B．1+2i C．?1+2i【答案】B【分析】根據復數的除法運算和共軛復數定義計算即可【詳解】由題知，復數z=2+故選:B．23．（多選）（23-24高一下·湖北武漢·期中）設z,zA．若|z|=2，則z2=4 B．若zC．若z2≠0，則z1z2=【答案】BC【分析】根據復數的模的定義和復數的乘法法則判斷A，根據共軛復數的定義判斷B，結合復數的運算法則及復數的模的定義判斷C，結合純虛數的定義判斷D.【詳解】設z=x+yi，z1=a+bi，對于A，取x=0,y=2，則z=2i，|z|=2，z對于B，由z1=z2，可得a=m,b=?n，所以z2對于C，因為z1=a+bi所以z1所以z1所以z1z2所以z1對于D，由z+z=0，可得2x=0，所以因為y可能為0，所以z不一定為純虛數，D錯誤，故選：BC.24．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）復數z=2i1?i【答案】1?i/【分析】根據復數的除法運算求出復數z，可得z=?1?i，即可求出【詳解】由題意得z=2i1?可得z2=i故答案為：1?25．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）已知復數z1=4+mi(1)求復數z1(2)若z2=z1(1?【答案】(1)4+2i(2)z2=?1?2i，【分析】（1）根據共軛復數的定義和復數的乘法運算，結合純虛數的定義，即可求得結果；（2）根據（1）中所求z1，結合復數的除法運算，求得z2，再求z2【詳解】（1）z1=4+mi，則z1=4?m又其為純虛數，故4?2m=0,8+m≠0，解得m=2，故（2）z2=z則z2=?12+復數的模26．（23-24高一下·廣東茂名·期中）若復數z=2?bib∈A．0 B．2 C．8 D．2【答案】D【分析】根據復數的有關概念即可得到結論【詳解】因為復數2?bib∈R由題意可得?b+2=0，解得b=2,z故選：D27．（23-24高一下·山西·期中）已知z為復數，則“z的實部大于0”是“1?z1+zA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設出復數z的代數形式，利用模的定義變形給定不等式，再利用充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】設z=x+yi，x,y∈R，則所以z的實部大于0是|1?z||1+z|故選：C28．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）已知Z1=?1+3A．4 B．1 C．2 D．不確定【答案】C【分析】分別求出Z1,Z【詳解】因為Z1所以Z1所以Z1故選：C.29．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知復數z1,z2在復平面內所對應的點分別為A．22 B．1 C．2 【答案】A【分析】由復數的幾何意義和復數的模長公式求解即可.【詳解】由復數的幾何意義可得z1所以z2故選：A.30．（23-24高一下·河北·期中）若|a+11i|=55(a∈R)【答案】2【分析】根據復數的幾何意義可得a2【詳解】由題意得，a+11i=a2+121故答案為：2復數的坐標表示31．（2024高一下·全國·專題練習）（1）復平面內的原點0,0表示實數，（2）實軸上的點2,0表示實數，（3）虛軸上的點0,?1表示純虛數，（4）點?2,3表示復數.【答案】02?i?2+3i【分析】根據復平面內復數的表示逐個寫出答案即可.【詳解】由復數的幾何意義知：原點0,0表示實數0；實軸上的點2,0表示實數2；虛軸上的點0,?1表示純虛數?i；點?2,3表示復數?2+3故答案為：0；2；?i；?2+332．（22-23高一下·福建寧德·期中）已知復數z=?3+i，則在復平面內復數z對應的點在第【答案】二【分析】根據復數的幾何意義分析即可.【詳解】復數z=?3+i在復平面內復數z對應的點為?3,1故答案為：二33．（20-21高一下·重慶渝中·期中）復數z=m2+5m+6+m【答案】?2或?【分析】由條件可得m2【詳解】因為復數z=(m所以m2+5m+6=0，解得m=?2故答案為：?2或?334．（2024高三·全國·專題練習）設復數z＝a＋bi（a，b∈R，i為虛數單位）在復平面內對應的點為M，則“點M在第四象限”是“ab<0”的條件【答案】充分不必要【詳解】解析：由點M在第四象限，得a>0，b<0，故ab<0，充分性成立；由ab<0，得a>0，b<0，或a<0，b>0，故點M在第二象限或第四象限，必要性不成立．【考查意圖】充分、必要條件的判定．35．（2022高一·全國·專題練習）在復平面內，若復數z=m(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線y＝x上．【答案】(1)m＝2或m＝－1；(2)－1＜m＜1；(3)m＝2.【分析】（1）由題可得m2（2）由題可知m2（3）由題可得m2【詳解】（1）∵復數z=m2?m?2由題意得m2解得m＝2或m＝－1.（2）由題意得m∴?1<m<2m<1∴－1＜m＜1.（3）由題得m2∴m＝2.復數與向量36．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復平面內的點A，B分別對應的復數為z1=2+i和z2=?1?2【答案】3+3【分析】首先得到A2,1，B?1,?2，即可求出【詳解】因為復平面內的點A，B分別對應的復數為z1=2+i所以A2,1，B所以BA=所以向量BA對應的復數為3+3i故答案為：3+337.（23-24高一下·河南·期中）已知復數z滿足z?1?i=2，i為虛數單位，z在復平面上對應的點為Z，定點M?1,0，O【答案】?3【分析】根據給定條件，利用復數模的幾何意義，結合向量數量積的運算律及定義法求出向量的數量積求解即得.【詳解】依題意，點Z的軌跡是復平面上以點Q(1,1)為圓心，2為半徑的圓，OZ?OM=(QZ?OM=|所以OZ?OM的最小值為故答案為：?338．（23-24高一下·山東棗莊·期中）在復平面內復數z1，z2所對應的點為Z1，Z2，(1)z1=4?3i，z2=?5?4(2)設z1=a+bi，z2=c+dia,b,c,d∈R【答案】(1)z1z(2)證明見解析，OZ【分析】（1）利用復數代數形式的乘法法則求出z1z2，再由復數的幾何意義可得O（2）利用復數運算規(guī)律分別求出OZ1?OZ2、【詳解】（1）因為z1=4?3i則z1又Z14,?3，所以OZ1=所以OZ（2）因為z1所以z1可得z1因為OZ所以OZ1?因此z=ad+bc所以OZ當且僅當ad=bc時取等號，此時向量OZ1,39．（23-24高一下·浙江紹興·期中）已知復數z1=1+2i，z2=3?4(1)若復數z1+λz(2)求OA在OB上的投影向量.【答案】(1)(?∞,?(2)(?【分析】（1）由已知可得z1+λz2=1+3λ+(2?4λ)（2）由OA·OB|OB|【詳解】（1）復數z1=1+2i則z1因為復數z1+λz2在復平面內對應的點在第二象限，則有所以實數λ的取值范圍為?∞（2）依題意OA=(1,2)，OB所以OA·OB=1×3+2×(?4)=?5所以OA在OB上的投影向量為OA·40．（2024高一下·全國·專題練習）設復數z1,z2對應的向量為OZ1，OZ2，O為坐標原點，且z1=?1+3【答案】?【分析】根據復數的三角表示的幾何意義及運算法則計算即可.【詳解】依題意得?1+3所以z=2=2=2cos幾何圖形問題41.（22-23高一下·河北保定·期中）已知復數z1=2+i是關于x的方程x2+px+q=0（p，q∈R）的一個根，若復平面內滿足z?z1A．π B．16π C．25π 【答案】A【分析】先由z1是方程的根求出p，q【詳解】∵z1=2+i是關于x的方程x2+px+q=0∴2+i2+p2+i+q=0（∴3+2p+q=04+p=0，解得p=?4∴z?z如圖所示復平面內，復數z和z1=2+i表示的點為Z和Z1，表示的向量為則由復數減法的幾何意義，復數z?z1表示的向量為若z?z1=1∴點Z的集合圖形M是以Z1為圓心，半徑為1∴M圍成的面積為S=π故選：A.42.（22-23高一下·上海虹口·期末）設復數z的共軛復數是z，且z=1，又復數z對應的點為Z,A?1,0與B0,1為定點，則函數fA．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】設z=cosθ+isinθ，根據模長公式fz的表達式，從而可確定當f【詳解】∵z=1，∴設z+1z?i則fz∴當θ+π4=2kπ+則fz最大值為2此時z=cos2kπZA=|ZA|2=2則ZA=故選：D.43.（21-22高一下·廣東深圳·期中）復數z滿足z=1，則復數zA．圓 B．點 C．線段 D．直線【答案】A【分析】設z=x+yi,【詳解】設z=x+yi,則由z=1可得x所以復數z對應的點在復平面內表示的圖形是圓.故選：A44.（多選）（22-23高一下·四川成都·階段練習）已知i是虛數單位，z是復數，則下列敘述正確的是（

）A．若m∈R，則z=m+1+mB．z=2+3i是關于x的方程xC．z?D．若z≤1，則在復平面內z對應的點Z的集合確定的圖形面積為【答案】ABC【分析】由純虛數的定義即可判斷A選項；將z=2+3i代入方程x2?4x+13=0，驗證左右兩邊是否相等即可判斷B選項；記z=a+bi,a,b∈R，分別計算出z?z，z2，z【詳解】對于A選項：若z=m+1+m2?2m?3即z不可能是純虛數，正確；對于B選項：(2+3i即z=2+3i是關于x的方程x對于C選項：設z=a+bi,a,b∈R，則z=a?biz=a2對于D選項：z≤1，即a2+b2其面積為π×故選:ABC45.（多選）（21-22高一下·廣東廣州·期中）設復數z在復平面上對應的點為Z，i為虛數單位，則下列說法正確的是（

）A．滿足|z|＝1，且z?2B．若|z－1|＝1，則z＝2或0或1＋i或1－iC．2≤z<3D．非零復數z1，z2，對應的點分別為Z1，Z2，O為坐標原點，若【答案】ACD【分析】根據已知條件找出Z的軌跡，從而判斷A,B;找出復數Z表示的區(qū)域計算面積，從而判斷C;z1＝a+bi，z2=c+di,分別計算|OZ1|【詳解】解：對于A,因為|z|＝1，所以Z的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓；而z?2?2i=1表示到點(2,對于B,由|z－1|＝1可知Z的軌跡是以（1,0）為圓心，1為半徑的圓,此時Z有無數個，故錯誤；對于C,由2≤z<3可知Z的軌跡是以（0,0）為圓心，3為半徑的圓中去掉一個以2為半徑的同心圓后的圓環(huán)，所以S=(9-4)π=5對于D,設z1＝a+bi，z2=c+di,因為z1=iz2，所以

a=?d,b=c,所以|OZ1|2=a故選：ACD.復數的四則運算46.（23-24高一下·云南昆明·階段練習）設復數z1,z2在復平面內的對應點關于實軸對稱，若z1A．2?i B．?2?i C．?2+i【答案】A【分析】設z1=a+bia,b∈R，即可得到z2【詳解】設z1=a+bia,b∈R，則又復數z1,z2在復平面內的對應點關于實軸對稱，則所以z2所以z1+z又(z1?所以z1故選：A.47.（23-24高一下·安徽·期中）在復平面內，復數3+iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復數的乘法化簡，再由復數的幾何意義判斷對應的點所在象限.【詳解】3+i1?4i=3?12i故選：D.48.（23-24高一下·廣東江門·階段練習）復數z在復平面內對應的點的坐標為?1,2，則ziA．?2+i B．2+i C．?2?i【答案】A【分析】利用復數的幾何意義及共軛復數的定義、除法運算法則計算即可.【詳解】由題意可知z=?1+2i故選：A49．（23-24高一下·四川達州·期中）已知復數z1,z(1)求z1(2)求2z【答案】(1)3(2)3【分析】（1）利用復數和乘除運算法則計算即可；（2）設z2=a+bia,b∈R，由已知可求得z1?z【詳解】（1）z1=3?i（2）設z2=a+bi因為z1?z2∈R2z1=4故2z1+50.（23-24高一下·四川成都·期中）在復數范圍內有關于x的方程x2(1)求該方程的根；(2)求xx?1(3)有人觀察到x?1x2+x+1=0，得【答案】(1)x1=?(2)±(3)?1【分析】（1）根據求根公式即可求解復數根.（2）對目標式子變形，代入即可求值.（3）由于xx+12024+【詳解】（1）因為Δ=則在復數范圍內由求根公式可得方程x2+x+1=0的根為則x1=?1（2）因為x2+x+1=0，所以x2由（1）知x=?12±（3）因為x2+x+1=0，所以所以x=1復數方程問題51．（23-24高一下·陜西西安·期中）已知方程x2+4+ix+4+ai=0A．2?2i B．2+2i C．?2+2i【答案】B【分析】首先代入實數根，即可求得a,b的值，即可求解復數z和其共軛復數.【詳解】由題意可知，b2+4+即b2則b2+4b+4=0a+b=0所以z=2?2i，z故選：B52．（23-24高一下·重慶長壽·階段練習）若?12+32i是關于x的實系數方程A．15?35i B．15【答案】D【分析】根據虛根成對原理得到另一個復數根為?12?32【詳解】因為?12+32則另一個復數根為?1所以?12+32所以z=a+bi故選：D53.（23-24高一下·廣東江門·期中）計算：2?i3?4【答案】2【分析】由復數的除法和復數的乘方，化簡計算.【詳解】2?i故答案為：254.（23-24高一下·上海·期中）若z是方程x2+x+1=0的一個虛數根，則z=【答案】?【分析】根據公式法求出一元二次方程的解可得z=?1【詳解】由題意知，Δ=1?4=?3=3所以方程的根為x=?1±即z=?12?故答案為：?55.（23-24高一下·福建莆田·期中）已知復數z滿足z=2，(1)求復數z；(2)若z是關于x的實系數方程x2+bx+2=0的一個復數根，求(3)若復數z的實部大于0，設z,z3,z?【答案】(1)z=1+i或(2)?2或2(3)2【分析】（1）設復數的代數形式，由題設列出方程組，解之即得復數z；（2）根據實系數一元二次方程的根的特點，利用韋達定理易求b的值；（3）先求出z,z3,z?z3【詳解】（1）設z=a+bi，a,b∈R,由z=2可得：a2聯(lián)立①②，解得a=1b=1或a=?1b=?1，故z=1+i（2）當z=1+i時，依題可知，z=1?i由韋達定理，z+z=?b=2，z?z當z=?1?i時，z=?1+i由韋達定理，z+z=?b=?2，z?z（3）由上分析，因z的實部大于0，故z=1+i則z3=依題意得，A(1,1),B(?2,2),C(3,?1),則設∠BAC=θ,則cosθ=AB?于是△ABC的面積為12復數的三角形式與運算56．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）復數z=sinA．cos195°+C．cos15°+【答案】D【分析】根據復數的三角形式結合誘導公式即可.【詳解】z=sin故選：D.57．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）如果θ∈π2,A．2B．2C．2D．2【答案】A【分析】根據復數的三角形式公式，利用復數的乘法以及三角函數的運算，可得答案.【詳解】因為1+i=2所以1+icosθ?故選：A.58.（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）若z=cosθ+isinθ（i為虛數單位），則θ=【答案】充分不必要【分析】根據充要條件的知識及復數的運算法則即可得解.【詳解】當θ=πz=cos所以z2當θ取0，此時θ≠π+2kπ,k∈Z所以z2=1推不出綜上：θ=π+2kπ故答案為：充分不必要.59.（22-23高一·全國·隨堂練習）計算：(1)1+i(2)1?3(3)cos7θ+【答案】(1)2(2)2(3)cos【分析】根據復數三角表示的乘法和除法的運算法則，進行適當變形和整理逐一計算即可得出（1）~（3）的結果.【詳解】（1）1+=2=2=2（2）1?==（3）cos=60.（22-23高一·全國·隨堂練習）將復數3?3i對應的向量旋轉【答案】?2【分析】利用歐拉公式表達出原復數，利用旋轉即可得出旋轉后所得向量對應的復數.【詳解】由題意，33?旋轉?π3后，變?yōu)椤嘈D后所得向量對應的復數為?23歐拉公式問題61．（22-23高一下·安徽·階段練習）歐拉公式eix=cosx+A．eπ2iC．e5i在復平面內對應的點位于第二象限 【答案】D【分析】由歐拉公式，代入對應x的值，即可判斷A和C；由eix=cosx+【詳解】對于A：由歐拉公式得eπ2i對于B：由eix=兩式聯(lián)立得eix=cosx+所以sinx=對于C：由歐拉公式得，e5i=cos因為5∈(3所以cos5>0,所以e5對于D：(cos故選：D．62．（2023·福建福州·模擬預測）歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ由瑞士數學家歐拉發(fā)現(xiàn)，其將自然對數的底數e，虛數單位iA．i B．1 C．22i 【答案】D【分析】由歐拉公式化簡復數z，再由復數的定義即可得出答案.【詳解】因為z=e因為eπ4i故選：D.63．（22-23高一下·廣東深圳·期中）歐拉公式exA．eπ3i對應的點位于第二象限 C．eπ6i的共軛復數為12?【答案】D【分析】根據歐拉公式結合復數在復平面內對應的點的特征、純虛數的概念、復數的模長公式、以及共軛復數的概念逐項分析即可得出結論.【詳解】對于A：eπ3i對于B：eπ2i對于C：eπ6i=cos對于D：eπi故選：D.64.（多選）（22-23高一下·江蘇蘇州·期中）歐拉公式exA．e2π3i對應的點位于第二象限C．eπi3+i的模長等于12【答案】ABC【分析】根據歐拉公式結合復數在復平面內對應的點的特征、純虛數的概念、復數的模長公式、以及共軛復數的概念逐項分析即可得出結論.【詳解】對于A：e2∴e2π對于B：eπ2i對于C：eπi所以eπi對于D：eπ6i=cos故選：ABC.65