勾股定理的逆定理的應用R·八年級數學下冊命題1

如果直角三角形兩直角邊長分別為

a，b，斜邊長為

c，那么

a2+b2=c2．命題2

如果三角形

ABC的三邊長

a，b，c滿足

a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．復習回顧利用勾股定理的逆定理解決實際問題知識點

例2如圖，某港口

P

位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16

nmile，“海天”號每小時航行

12

nmile.它們離開港口一個半小時后分別位于點

Q、R

處，且相距

30

nmile.

如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？12NEP

QR【思考】1.已知哪些條件？2.需要解決的問題是什么？速度已知時間已知距離已知其中一艘船的航向已知求另一艘船的航向12NEP

QR【分析】通過已知條件可以求出：PQPRQR∠1利用勾股定理的逆定理判斷∠RPQ是否為直角從而確定∠2的度數12NEP

QR解：根據題意，PQ

=

16×1.5

=

24，PR

=

12×1.5

=

18，QR

=

30.因為

242

+

182

=

302，即PQ2

+

PR2

=

QR2，所以∠QPR

=

90°.∠1

=

45°.因此∠2

=

45°，即“海天”號沿西北方向航行.

如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°.求四邊形ABCD

的面積.解：如圖，連接

AC.∵∠B=90°，AB=20，BC

=15，∴AC2=AB2+BC2=202+152=625.∵AD2+CD2=242+72=625，∴AC2=AD2+CD2，∴△ADC

是直角三角形，且∠D

是直角.∴S四邊形ABCD

=S△ABC

+S△ADC=AB·BC+AD·CD

=×20×15+×24×7=234.ABCD轉化思想練習1.如果三條線段長

a，b，c

滿足

a2=c2-b2，這三條線段

組成的三角形是不是直角三角形？為什么？解:

這三條線段組成的三角形是直角三角形.∵a2

=

c2-b2，∴a2

+

b2=

c2，由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.2.說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？

（1）兩條直線平行，內錯角相等；

（2）如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；其逆命題為“內錯角相等，兩直線平行”；這個命題成立.其逆命題為“如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等”；這個命題不成立.如|-3|=|3|，但-3≠3.

（3）全等三角形的對應角相等；

（4）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平

分線上.其逆命題為“對應角相等的兩個三角形全等”；這個命題不成立.其逆命題為“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”；這個命題成立.3.A，B，C

三地的兩兩距離如圖所示，A

地在

B

地

的正東方向，C

地在

B

地的什么方向？解：由圖知：△ABC中，AB=12，BC=5，AC=13.∵AB2+BC2=122+52=144+25=169，∴AB2+BC2=AC2，由勾股定理的逆定理得△ABC為直角三角形，且∠B=90°.∵A

地在

B

地的正東方向，∴C

地在

B

地的正北方向.復習鞏固1.判斷由線段

a，b，c

組成的三角形是不是直角三角形：

（1）a=7，b=24，c=25；∵a2+b2=72+242=49+576=625，c2=252=625，∴a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.習題（2）a=，b=4，c=5；∵b2+c2=42+52=16+24=41，a2=()2=41，∴b2+c2=a2.由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.（3）a=，b=1，c=；∵b2+c2=12+()2=1+=，a2=()2=，∴b2+c2=a2.由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.（4）a=40，b=50，c=60；∵a2+b2=402+502=1600+2500=4100，c2=602=3600，∴a2+b2≠c2.∴這個三角形不是直角三角形.2.下列各命題都成立，寫出它們的逆命題.這些逆命題成立嗎？

（1）同旁內角互補，兩直線平行；其逆命題為“兩直線平行，同旁內角互補”；這個命題成立.（2）如果兩個角是直角，那么它們相等；其逆命題為“如果兩個角相等，那么它們都是直角”；這個命題不成立.（3）全等三角形的對應邊相等；其逆命題為“如果兩個三角形的三組邊對應相等，那么這兩個三角形全等”；這個命題成立.（4）如果兩個實數相等，那么它們的平方相等.其逆命題為“如果兩個實數的平方相等，那么這兩個實數相等”；這個命題不成立.3.小明向東走80m后，

沿另一方向又走了60m，再沿第三個方向走100m回到原地.小明向東走80m后是向哪個方向走的？解：小明的行走路線恰好構成三角形.∵602+802=3600+6400=10000=1002，∴這個三角形是直角三角形.∵小明向東走80m，∴小明又向北或南走60m.綜合運用4.在△ABC

中，AB=13，BC=10，BC邊上的中線

AD=12.求

AC.解：在△ABD中，BD=BC=5.AD=12，AB=13.∵BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2

=132=169，∴BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形且∠ADB=90°.在△ADC

中，∠ADC=90°，由勾股定理得

AC2=AD2+CD2=122+52=132，∴AC=13.5.如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=3，BC=4，CD=12，

AD=13，∠B=90°.求四邊形

ABCD

的面積.解：AB=3，BC=4，∠B=90°，∴由勾股定理得

AC2=AB2+BC2，得

AC==5.又

CD=12，AD=13，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD為直角三角形，∴S四邊形ABCD=S△ABC

+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=36.6.如圖，在正方形

ABCD

中，E是

BC

的中點，F

是

CD

上一點，且

CF=CD.求證∠AEF=90°.證明：設

CF=x，則

EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.

由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，AF2=AD2+DF2=25x2=25x2，∴EF2+AE2=25x2=AF2.由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.拓廣探索7.我們知道3，4，5是一組勾股數，那么3k，4k，5k（k

是正整數）也是一組勾股數嗎？一般地，如果

a，b，

c是一組勾股數，那么

ak，bk，ck（k是正整數）也是

一組勾股數嗎？解：3k，4k，5k

也是一組勾股數.∵(3k)2+(4k)2=9k2+16k2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2.如果a，b，c是一組勾股數，那么ak，bk，ck也是一組勾股數.∵a，b，c