第十八章第3課平行四邊形的判定(1)——邊數學(人教版)八年級下冊(1)平行四邊形的判定(1)：兩組對邊分別?

?的四邊形是平行四

邊形.(2)平行四邊形的判定(2)：兩組對邊分別?

?的四邊形是平行四

邊形.(3)平行四邊形的判定(3)：一組對邊?

?的四邊形是平行四

邊形.平行

相等

平行且相等

基礎預習知識點1

平行四邊形有關邊的判定方法1.(2023·衡陽)如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，添加下列條件不

能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是(

C

)A.AD＝BCB.AB∥DCC.AB＝DCD.∠A＝∠CC知識點講練知識點2

用兩組對邊分別平行或相等判定平行四邊形2.如圖，在四邊形

ABCD中，∠1＝∠2，AD∥BC.求證：四邊形ABCD是

平行四邊形.證明：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.?又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.?證明：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.知識點3

用一組對邊平行且相等判定平行四邊形3.(原創題)如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠1＝∠2.求證：(1)△ABD≌△CDB；

∴△ABD≌△CDB(AAS).(2)四邊形ABCD是平行四邊形.(2)由(1)知，△ABD≌△CDB，∴AD＝CB.又∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.4.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別是

E，F，DE＝BF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：∵DE＝BF，∴DE＋EF＝BF＋EF，即DF＝BE.∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠ABE.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.

∴△CDF≌△ABE(ASA)，∴CD＝AB.又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.考向1

利用平行四邊形的性質與判定證明平行四邊形5.如圖，在?ABCD中，連接AC，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E，

F，連接DE，BF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴BE∥DF.

∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形.考

向考向2

分類討論思想6.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(3，0)，B(－1，0)，C(0，2)，

則以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標為?

?

?

?.(4，2)或

(－4，2)或(2，－2)

解：(1)∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，

∵△AED是等邊三角形，∴∠EAD＝60°，∴∠CAE＝∠EAD＋∠DAC＝90°.

(2)證明：∵F是等邊△ABC邊AB的中點，D是邊BC的中點，∴CF＝AD，CF⊥AB.∵△AED是等邊三角形，∴AD＝ED，∴CF＝ED.

∴∠BAD＝∠EAG，∴ED⊥AB，∴CF∥ED.∴四邊形CDEF是平行四邊形.熱點練中考熱點2

動點問題8.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，

點P

從點A向D以1cm/s的速度運動，到點D即停止；點Q從點C向B以2cm/s

的速度運動，到點B即停止；點P，Q同時出發，設運動時間為t

s.(1)用含t的代數式表示：AP＝?

?；DP＝?

?；BQ＝?

?.tcm

(12－t)cm

(15－2t)cm

(2)當t為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？解：(2)根據題意有AP＝tcm，CQ＝2tcm，PD＝(12－t)cm，BQ＝(15

－2t)cm.?

∵AD∥BC，∴當AP＝BQ時，四邊形APQB是平行四邊形.?

∴t＝15－2t，解得t＝5.?

∴t＝5s時，四邊形APQB是平行四邊形.?解：(2)根據題意有AP＝tcm，CQ＝2tcm，PD＝(12－t)cm，BQ＝(15－2t)cm.

∵AD∥BC，∴當AP＝BQ時，四邊形APQB是平行四邊形.∴t＝15－2t，解得t＝5.∴t＝5s時，四邊形APQB是平行四邊形.8.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，

點P

從點A向D以1cm/s的速度運動，到點D即停止；點Q從點C向B以2cm/s

的速度運動，到點B即停止；點P，Q同時出發，設運動時間為t

s.(3)當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？解：(3)如圖，∵AD∥BC，即PD∥CQ，?

∴當PD＝QC時，四邊形PDCQ是平行四邊形.?

即12－t＝2t，解得t＝4，?

∴當t＝4s時，四邊形PDCQ是平行四邊形.?解：(3)如圖，∵AD∥BC，即PD∥CQ，∴當PD＝QC時，四邊形PDCQ是平行四邊形.即12－t＝2t，解得t＝4，∴當t＝4s時，四邊形PDCQ是平行四邊形.8.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，

點P

從點A向D以1cm/s的速度運動，到點D即停止；點Q從點C向B以2cm/s

的速度運動，到點B即停止；點P，Q同時出發，設運動時間為t

s.1.根據所標數據，下列一定為平行四邊形的是(

D

)ABCDD基礎鞏固2.如圖，點A，D，C，B在同一條直線上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF.求證：(1)△ADE≌△BCF；

證明：(1)∵AC＝BD，∴AC－CD＝BD－CD，即AD＝BC.∵AE∥BF，∴∠A＝∠B.在△ADE和△BCF中，

∴△ADE≌△BCF(SAS).(2)四邊形DECF是平行四邊形.證明：(2)由(1)得△ADE≌△BCF，?

∴DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，?

∴∠EDC＝∠FCD，?

∴DE∥CF，?

∴四邊形DECF是平行四邊形.?證明：(2)由(1)得△ADE≌△BCF，∴DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，∴∠EDC＝∠FCD，∴DE∥CF，∴四邊形DECF是平行四邊形.2.如圖，點A，D，C，B在同一條直線上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF.求證：

解：(1)證明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥EC.

∴四邊形ABCE是平行四邊形.

∴AB＝2，∴S?ABCE＝AB·AC＝2×4＝8.

4.如圖，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等邊三角形，求證：四邊形

ADEF是平行四邊形.

證明：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴∠DBE＋∠EBA＝∠ABC＋∠EBA＝60°，DB＝AB，BE＝BC.∴∠DBE＝∠ABC.在△DBE和△ABC中，

∴△DBE≌△ABC(SAS)，∴DE＝AC.又∵△ACF是等邊三角形，∴AF＝AC，∴DE＝AF.同理可得EF＝AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形.5.如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊

△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF.(1)求證：△AEF≌△BAC；

解：(1)證明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC.∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB＝AE，AB＝2AF，∴AF＝BC.在Rt△AFE和Rt△BCA中，

∴Rt△AEF≌Rt△BAC(HL).(2)四邊形ADFE是平行四邊形嗎？請說明理由.解：(2)四邊形ADFE是平行四邊形.理由如下：?

∵△ACD是等邊三角形，?

∴∠DAC＝60°，AC＝AD，?

∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，?

∴AD⊥AB.?

又∵EF⊥AB，?

∴EF∥AD.?

由(1)得△AEF≌△BAC，?解：(2)四邊形ADFE是平行四邊形.理由如下：∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝