名師課件3.1數系的擴充和復數的概念名師：羅靜知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測自然數→分數→負數→整數→有理數→無理數→實數對因生產和科學發展的需要而逐步擴充數集的過程進行概括：知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測探究一：數系的擴充重點知識★對于實系數一元二次方程

沒有實數根.我們能否將實數集進行擴充，使得在新的數集中，該問題能得到圓滿解決呢？對因生產和科學發展的需要而逐步擴充數集的過程進行概括自然數→分數→負數→整數→有理數→無理數→實數●活動一回顧舊知，回顧數集的擴充過程知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測對于實系數一元二次方程沒有實數根，我們能否將實數集進行擴充，使得在新的數集中，該問題能得到圓滿解決呢？最根本的問題是要解決－1的開平方問題.即一個什么樣的數，它的平方會等于－1.我們引入一個新數i，它的平方等于－1.●活動二類比舊知，探究數系的擴充.我們說，實系數一元二次方程沒有實數根.實際上，就是在實數范圍內，沒有一個實數的平方會等于負數.解決這一問題，其本質就是解決一個什么問題呢？知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測把實數和新引進的數i像實數那樣進行運算，并希望運算時有關的運算律仍成立，你得到什么樣的數？根據前面討論結果，我們引入一個新數i，i叫做虛數單位，并規定：①虛數單位i的平方等于-1，即；②i的周期性：，,,；③實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍然成立.●活動三類比探究，研究新數i的運算性質有了前面的討論，引入新數i，可以說是水到渠成的事.這樣，就可以解決前面提出的問題（-1可以開平方，而且-1的平方根是±i）.知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測重點、難點知識★▲探究二：復數的概念

根據虛數單位i的第③條性質，i可以與實數b相乘，再與實數a相加.由于滿足乘法交換律及加法交換律，從而可以把結果寫成a+bi這樣，數的范圍又擴充了，出現了形如a＋bi(a，b∈R)的數，我們把它們叫做復數.復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi，(其中a，b∈R)，這一表示形式叫做復數的代數形式，其中a、b分別叫做復數z的實部與虛部.當且僅當b=0時,它是實數;當且僅當a=0且b=0時,它是實數0;當b≠0時,叫做虛數;當a=0且b≠0時,叫做純虛數.●活動一理解概念，復數的代數形式怎樣表示一個復數？對于復數a＋bi(a，b∈R):知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測復數m＋ni的實部、虛部一定是m、n嗎？●活動二剖析概念不一定，只有當m∈R，n∈R，則m、n才是該復數的實部、虛部.a=c且b=d，即實部與虛部分別相等時，這兩個復數相等.如果兩個復數不全是實數，那么它們不能比較大小.對于復數a+bi和c+di(a,b,c,d∈R)，你認為滿足什么條件時，這兩個復數相等？任意兩個實數可以比較大小，復數呢？知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系是怎樣的？純虛數集復數集實數集虛數集復數z＝a＋bi，(其中a，b∈R)包括：●活動三完善知識體系知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測例1實數m取什么值時z=(m+1)+(m-1)i是（1）實數（2）虛數（3）純虛數?點撥：本題是對實數、虛數、純虛數概念的考查.因為m∈R,所以(m-1)∈R，(m+1)∈R，由z=a+bi是實數、虛數、純虛數的條件可以確定m的值.(1)當m-1=0，即m=1時，復數z是實數；●活動四復數基本概念、復數的代數形式、復數充要條件的應用詳解：(2)當m-1≠0即m≠1時，復數z是虛數；(3)當m+1=0，

m-1≠0即m=-1時，復數z是純虛數.知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測點撥：本題考查復數相等的充要條件.對于復數a+bi和c+di(a,b,c,d∈R)當且僅當a=c且b=d，即實部與虛部分別相等時，這兩個復數相等.例2已知

＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值.詳解：由復數相等的定義得

，解得：x＝3（負值舍），

所以x＝3為所求.知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測∴z1＜z2時，實數m的取值為m＝1.點撥：本題考查對復數概念的理解.如果兩個復數不全是實數，那么它們不能比較大小.例3設z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1＜z2，求實數m的取值范圍.詳解：由于z1＜z2，m∈R，∴z1∈R且z2∈R，當z1∈R時，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.當z2∈R時，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，∴當m＝1時，符合題意，此時z1＝2，z2＝6，滿足z1＜z2.知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測重點、難點知識★▲探究三：復數的幾何意義這里面體現的是“數”、“形”互換的思想.任何一個復數z=a+bi,都可以由一個有序實數對（a，b）唯一確定.因為有序實數對（a，b）與平面直角坐標系中的點一一對應，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應.復數z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應復平面內的點Z(a，b).●活動一類比實數的幾何意義，探究復數的幾何意義若把a,b看成有序實數對（a，b），則（a，b）與復數a+bi是怎樣的對應關系？有序實數對（a，b）與平面直角坐標系中的點是怎樣的對應關系？（一一對應關系）實數可以用數軸上的點來表示：知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測●活動一類比實數的幾何意義，探究復數的幾何意義如圖：復數z=a+bi可以用點Z（a,b）（復數的幾何形式）來表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.yxabz=a+biO

顯然，實軸上的點都表示實數，虛軸上的點（除了原點）都表示純虛數.知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測(2)由位于直線y=x上，得，即.例4實數m取什么值時，復平面內表示復數的點，(1)位于第四象限(2)位于y=x上？(1)由位于第四象限，得解得詳解：點撥：本題考查復數的幾何意義即復數z=a+bi與點Z（a,b）一一對應.復數z=a+bi表示的點坐標為，分別由條件求解即可得.知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測復數的向量形式.以原點O為始點的向量，規定：相等的向量表示同一個復數.復平面內的點Z（a，b）一一對應復數z=a+bi●活動二類比探究復數的另外一個幾何意義除了用平面里的點表示復數，還可以用什么表示復數？還可以用向量！設復平面內的點Z（相對于原點來說）也可以由向量唯一確定.反之，也成立.因此，復數z=a+bi與也是一一對應的（實數0與零向量對應），這是復數的另一種幾何意義.復數z，點Z(a,b)，三者關系如下：向量的模叫做復數的模,記作或.由模的定義知:利用復數的幾何意義，由|z|<4知，z在復平面內對應的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(不包括邊界)，由z＝3＋ai知z對應的點在直線x＝3上，所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合.由圖可知：●活動三探究復數的模的幾何意義例5已知復數z＝3＋ai，且|z|<4，求實數a的取值范圍.詳解：方法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|2＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴方法二：點撥：本題考查復數的幾何意義即復數的模及考查數形結合思想.知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測(1)方法一：|z|＝2說明復數z在復平面內對應的點Z到原點的距離為2，這樣的點Z的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.例6設z∈C，在復平面內對應點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.詳解：方法二：設z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故點Z對應的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測點撥：解決復數的模的幾何意義的問題，應把握兩個關鍵點：1.|z|表示點Z到原點的距離，可依據|z|滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形；2.利用復數的模的概念，把模的問題轉化為幾何問題來解決例6設z∈C，在復平面內對應點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.詳解：(2)不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2及該圓內部所有點的集合.不等式|z|≥1的解集是圓|z|＝1及該圓外部所有點的集合.這兩個集合的交集，就是滿足條件1≤|z|≤2的點的集合.

如圖中的陰影部分，所求點的集合是以O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環，并且包括圓環的邊界.知識梳理知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測(4)復數的模復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的向量為OZ，則OZ的模叫做復數z的模，記作|z|，且|z|＝.(1)復數的分類：復數z=a＋bi，a，b∈R)(2)復數相等的充要條件設a，b，c，d都是實數，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.(3)復數與點、向量間的對應①復數z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應復平面內的點Z(a，b)；②復數z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應平面向量OZ＝(a，b).重難點突破知識回顧問題探究課堂小結隨堂檢測（2）對于復數相等的問題.必須保證實部和虛部都分別