數字信號處理教程習題

1.關于離散時間信號與系統的習題-題目：已知離散時間信號\(x[n]=2\delta[n]+3\delta[n-1]-4\delta[n-2]\)，求\(y[n]=x[n]x[n]\)（其中\(\)表示卷積運算）。-解答：-根據卷積公式\(y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[n-m]\)。-當\(n=0\)時：-\(y[0]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[-m]\)-\(x[0]=2\)，\(x[-1]=0\)，\(x[-2]=0\)-\(y[0]=x[0]x[0]=2\times2=4\)-當\(n=1\)時：-\(y[1]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[1-m]\)-\(x[0]=2\)，\(x[1]=3\)-\(y[1]=x[0]x[1]+x[1]x[0]=2\times3+3\times2=12\)-當\(n=2\)時：-\(y[2]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[2-m]\)-\(x[0]=2\)，\(x[1]=3\)，\(x[2]=-4\)-\(y[2]=x[0]x[2]+x[1]x[1]+x[2]x[0]=2\times(-4)+3\times3+(-4)\times2=-9\)-當\(n\neq0,1,2\)時，\(y[n]=0\)。-所以\(y[n]=4\delta[n]+12\delta[n-1]-9\delta[n-2]\)。2.離散傅里葉變換（DFT）相關習題-題目：設\(x[n]=\{1,2,3,4\}\)，\(n=0,1,2,3\)，求\(X[k]=DFT\{x[n]\}\)。-解答：-根據DFT公式\(X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{nk}\)，其中\(N=4\)，\(W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}\)。-當\(k=0\)時：-\(X[0]=\sum_{n=0}^{3}x[n]W_4^{n\times0}=\sum_{n=0}^{3}x[n]=1+2+3+4=10\)-當\(k=1\)時：-\(W_4=e^{-j\frac{2\pi}{4}}=e^{-j\frac{\pi}{2}}=-j\)-\(X[1]=\sum_{n=0}^{3}x[n]W_4^{n\times1}=1\times1+2\times(-j)+3\times(-1)+4\timesj=-2+2j\)-當\(k=2\)時：-\(W_4^{2}=e^{-j\pi}=-1\)-\(X[2]=\sum_{n=0}^{3}x[n]W_4^{n\times2}=1\times1+2\times(-1)+3\times1+4\times(-1)=-2\)-當\(k=3\)時：-\(W_4^{3}=e^{-j\frac{3\pi}{2}}=j\)-\(X[3]=\sum_{n=0}^{3}x[n]W_4^{n\times3}=1\times1+2\timesj+3\times(-1)+4\times(-j)=-2-2j\)-所以\(X[k]=\{10,-2+2j,-2,-2-2j\}\)，\(k=0,1,2,3\)。3.離散時間系統的頻率響應習題-題目：已知離散時間系統的差分方程為\(y[n]-0.5y[n-1]=x[n]\)，求該系統的頻率響應\(H(e^{j\omega})\)。-解答：-對差分方程兩邊進行\(z\)變換，設\(Y(z)\)為\(y[n]\)的\(z\)變換，\(X(z)\)為\(x[n]\)的\(z\)變換。-得到\(Y(z)-0.5z^{-1}Y(z)=X(z)\)。-則系統函數\(H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)。-令\(z=e^{j\omega}\)，則頻率響應\(H(e^{j\omega})=\frac{1}{1-0.5e^{-j\omega}}\)-進一步化簡\(H(e^{j\omega})=\frac{1}{1-0.5\cos\omega+j0.5\sin\omega}\)-其幅度響應\(\vertH(e^{j\omega})\vert=\frac{1}{\sqrt{(1-0.5\cos\omega)^2+(0.5\