頁2010年四川省綿陽市中考數學試卷（教師版）一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）1．（3分）是的（）A．相反數 B．倒數 C．絕對值 D．算術平方根【微點】實數的性質．【思路】和為0的兩數為相反數，由此即可求解．【解析】解：∵0，∴是的相反數．故選：A．【點撥】本題主要考查了相反數的概念：兩個相反數它們符號相反，絕對值相同．2．（3分）對右圖的對稱性表述，正確的是（）A．軸對稱圖形 B．中心對稱圖形 C．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 D．既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形【微點】軸對稱圖形；中心對稱圖形．【思路】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解析】解：由圖形的對稱性知右圖不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故選：B．【點撥】掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．①軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；②中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．3．（3分）“4?14”青海省玉樹縣7.1級大地震，牽動了全國人民的心，社會各界踴躍捐款捐物，4月20日央視賑災晚會共募得善款21.75億元．把21.75億元用科學記數法表示為（）A．2.175×108元 B．2.175×107元 C．2.175×109元 D．2.175×106元【微點】科學記數法—表示較大的數．【思路】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于1時，n是正數；當原數的絕對值小于1時，n是負數．【解析】解：21.75億元即2175000000用科學記數法表示為2.175×109元．故選：C．【點撥】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）如圖，幾何體上半部為正三棱柱，下半部為圓柱，其俯視圖是（）A． B． C． D．【微點】簡單組合體的三視圖．【思路】俯視圖是從物體上面看到的圖形，應把所看到的所有棱都表示在所得圖形中．【解析】解：從上面看，正三棱柱的俯視圖是正三角形，圓柱的俯視圖是圓，且正三角形在圓內．故選：C．【點撥】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵．注意所有的看到的棱都應表現在三視圖中．5．（3分）要使有意義，則x應滿足（）A．x≤3 B．x≤3且x C．x＜3 D．x≤3【微點】分式有意義的條件；二次根式有意義的條件．【思路】根據被開方數大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．【解析】解：由題意得，，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x，所以，x≤3．故選：D．【點撥】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數是非負數．6．（3分）有大小兩種船，1艘大船與4艘小船一次可以載乘客46名，2艘大船與3艘小船一次可以載乘客57人、綿陽市仙海湖某船家有3艘大船與6艘小船，一次可以載游客的人數為（）A．129 B．120 C．108 D．96【微點】二元一次方程組的應用．【思路】應先算出1艘大船的載客量，一艘小船的載客量．等量關系為：1艘大船的載客量+4×一艘小船的載客量＝46；2×1艘大船的載客量+3×一艘小船的載客量＝57．【解析】解：設1艘大船的載客量為x人，一艘小船的載客量為y人．由題意可得：，解得，∴3x+6y＝96．∴3艘大船與6艘小船，一次可以載游客的人數為96人．故選：D．【點撥】解題關鍵是弄清題意，找到合適的等量關系．難點是設出相應的未知數．7．（3分）下列各式計算正確的是（）A．m2?m3＝m6 B． C． D．（a＜1）【微點】同底數冪的乘法；二次根式的乘除法．【思路】根據同底數冪的乘法法則、二次根式和立方根的化簡等分別判斷．【解析】解：A、m2?m3＝m5，故選項錯誤；B、，故選項錯誤；C、，故選項錯誤；D、正確．故選：D．【點撥】正確理解同底數冪的乘法法則、二次根式和立方根的化簡等是解答問題的關鍵．8．（3分）張大娘為了提高家庭收入，買來10頭小豬．經過精心飼養，不到7個月就可以出售了，下表為這些豬出售時的體重：體重/Kg116135136117139頻數21232則這些豬體重的平均數和中位數分別是（）A．126.8，126 B．128.6，126 C．128.6，135 D．126.8，135【微點】頻數（率）分布表；加權平均數；中位數．【思路】根據平均數和中位數的概念直接求解，再選擇正確選項．【解析】解：平均數＝（116×2+135×1+136×2+117×3+139×2）÷10＝126.8；數據按從小到大排列：116，116，117，117，117，135，136，136，139，139，∴中位數＝（117+135）÷2＝126．故選：A．【點撥】考查平均數和中位數的概念．平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數．找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數或兩個數的平均數為中位數．9．（3分）甲盒子中有編號為1、2、3的3個白色乒乓球，乙盒子中有編號為4、5、6的3個黃色乒乓球．現分別從每個盒子中隨機地取出1個乒乓球，則取出乒乓球的編號之和大于6的概率為（）A． B． C． D．【微點】列表法與樹狀圖法．【思路】列舉出所有情況，看取出乒乓球的編號之和大于6的情況占總情況的多少即可．【解析】解：列樹狀圖得：共有9種情況，編號之和大于6的有6種，所以概率是．故選：C．【點撥】如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）．10．（3分）如圖，梯形ABCD的對角線AC、BD相交于O，G是BD的中點．若AD＝3，BC＝9，則GO：BG＝（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．11：20【微點】梯形．【思路】根據梯形的性質容易證明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性質即可得到DO：BO的值，再利用G是BD的中點即可求出題目的結果．【解析】解：∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴DO：BO＝AD：BC＝3：9，∴DOBD，BOBD，∵G是BD的中點，∴BG＝GDBD，∴GO＝DG﹣ODBDBDBD，∴GO：BG＝1：2．故選：A．【點撥】此題主要考查了梯形的性質，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性質解決問題．11．（3分）如圖，在一個三角點陣中，從上向下數有無數多行，其中各行點數依次為2，4，6，…，2n，…，請你探究出前n行的點數和所滿足的規律、若前n行點數和為930，則n＝（）A．29 B．30 C．31 D．32【微點】規律型：圖形的變化類．【思路】對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．通過分析找到各部分的變化規律后用一個統一的式子表示出變化規律是此類題目中的難點．【解析】解：設前n行的點數和為s．則s＝2+4+6+…+2nn（n+1）．若s＝930，則n（n+1）＝930．∴（n+31）（n﹣30）＝0．∴n＝﹣31或30．故選：B．【點撥】主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．12．（3分）如圖，等腰梯形ABCD內接于半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝（）A． B． C． D．【微點】勾股定理；等腰梯形的性質．【思路】利用等腰梯形的性質和勾股定理的有關知識來解決此類題．【解析】解：過點B作BE⊥AD于E，過O作OF⊥CB，連接OB，∵OF⊥CB，∴BFBC＝1，∴OE＝1，設AE＝x，∵OA、OB是⊙O的半徑，∴OB＝OA＝x+1，根據勾股定理，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，得12﹣x2＝（x+1）2﹣12，整理，得2x2+2x﹣1＝0，解得x，故OA＝AE+OE1．故選：A．【點撥】本題主要考查等腰梯形的性質的應用，以及勾股定理的運用．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）13．（4分）因式分解：x3y﹣xy＝xy（x﹣1）（x+1）．【微點】提公因式法與公式法的綜合運用．【思路】首先提取公因式xy，再運用平方差公式進行二次分解．【解析】解：x3y﹣xy，＝xy（x2﹣1）…（提取公因式）＝xy（x+1）（x﹣1）．…（平方差公式）故答案為：xy（x+1）（x﹣1）．【點撥】本題考查用提公因式法和公式法進行因式分解的能力，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．14．（4分）如圖，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，G、H分別為CF、CE的中點，則∠1＝145度．【微點】平行線的性質；三角形中位線定理．【思路】根據平行線的性質求得∠AFC＝∠A＝60°，再根據三角形的外角的性質求得∠E＝35°，再根據三角形的中位線定理的位置關系得到GH∥EF，從而求解．【解析】解：∵AB∥CD，∠A＝60°，∴∠AFC＝∠A＝60°．又∠C＝25°，∴∠E＝35°，∵G、H分別為CF、CE的中點，∴GH∥EF，∴∠1+∠E＝180°，∴∠1＝145°．【點撥】此題綜合運用了平行線的性質、三角形的外角的性質和三角形的中位線定理．15．（4分）已知菱形ABCD的兩條對角線相交于點O，若AB＝6，∠BDC＝30°，則菱形的面積為18．【微點】菱形的性質；特殊角的三角函數值．【思路】先求出菱形的兩對角線的長，再根據菱形的面積等于兩對角線乘積的一半．【解析】解：∵AB＝6，∠BDC＝30°，∴AC＝2×6sin30°＝6，BD＝2×6cos30°＝6，所以菱形面積6×618．故答案為：18．【點撥】本題利用菱形的面積等于對角線乘積的一半求解，利用三角函數求出對角線是解題的關鍵．16．（4分）在5月汛期，重慶某沿江村莊因洪水而淪為孤島．當時洪水流速為10千米/時，張師傅奉命用沖鋒舟去救援，他發現沿洪水順流以最大速度航行2千米所用時間，與以最大速度逆流航行1.2千米所用時間相等．請你計算出該沖鋒舟在靜水中的最大航速為40千米/時．【微點】分式方程的應用．【思路】設該沖鋒舟在靜水中的最大航速為x千米/時．等量關系：洪水順流以最大速度航行2千米所用時間與以最大速度逆流航行1.2千米所用時間相等，根據等量關系列式．【解析】解：設該沖鋒舟在靜水中的最大航速為x千米/時．根據題意，得，即2（x﹣10）＝1.2（x+10），解得x＝40．經檢驗，x＝40是原方程的根．所以該沖鋒舟在靜水中的最大航速為40千米/時．故答案為：40．【點撥】此題中用到的公式有：路程＝速度×時間，順流速＝靜水速+水流速，逆流速＝靜水速﹣水流速．17．（4分）如圖，一副三角板拼在一起，O為AD的中點，AB＝a．將△ABO沿BO對折于△A′BO，M為BC上一動點，則A′M的最小值為．【微點】翻折變換（折疊問題）．【思路】根據折疊的性質知AB＝A′B＝a；而O是Rt△ABD斜邊AD的中點，則有AO＝OB，由此可證得△ABO是等邊三角形，那么∠A′BO＝∠ABO＝60°，進而可求出∠A′BM＝15°；當A′M最小時，A′M⊥BC，此時△A′BM是直角三角形，取A′B的中點N，連接MN，那么∠A′NM＝30°，A′N＝MNA′Ba；過M作A′B的垂線，設垂足為H，在Rt△MNH中，根據∠A′NM的度數即可表示出NH，MH的長，進而可求出A′H的長，即可在Rt△A′MH中，根據勾股定理求出A′M的長．【解析】解：由折疊的性質知：AB＝A′B＝a，∠ABO＝∠A′BO；∵O是Rt△ABD斜邊AD的中點，∴OA＝OB，即△ABO是等邊三角形；∴∠ABO＝∠A′BO＝60°；∵∠ABD＝90°，∠CBD＝45°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝135°，∴∠A′BM＝135°﹣120°＝15°；易知當A′M⊥BC時，A′M最短；過M作MH⊥A′B于H，取A′B的中點N，連接MN，如右下圖；在Rt△A′BM中，N是斜邊A′B的中點，則BN＝NM＝A′Na，∠B＝∠NMB＝15°；∴∠A′NM＝30°；∴MHMNa，∴NHa；∴A′H＝A′N﹣NHa；由勾股定理得：A′Ma．故答案為：a．【點撥】此題主要考查了折疊的性質、直角三角形的性質以及勾股定理的應用，能夠正確的構建出含特殊角的直角三角形是解答此題的關鍵．18．（4分）若實數m滿足m2m+1＝0，則m4+m﹣4＝62．【微點】完全平方公式；負整數指數冪．【思路】首先根據已知條件求出m的值，然后將所求代數式配成完全平方式，再將m的值整體代入計算．【解析】解：m2m+1＝0，m2+1m，即m；原式＝m4m4+22＝（m2）2﹣2＝[（m）2﹣2]2﹣2＝（10﹣2）2﹣2＝62．故答案為：62．【點撥】本題用到了兩次完全平方公式，能夠正確的對形如a2的式子進行配方是解答此類題的關鍵．三、解答題（共7小題，滿分90分）19．（12分）（1）計算：（﹣2010）0+（sin60°）﹣1﹣|tan30°|；（2）先化簡：，若結果等于，求出相應x的值．【微點】分式的混合運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．【思路】（1）題涉及到：零指數冪、特殊角的三角函數值、負整數指數冪、絕對值、立方根5個知識點，可針對各知識點分別進行計算，然后再按實數的運算規則進行求解；（2）首先將所給的式子化簡，然后根據代數式的結果列出關于x的方程，求出x的值．【解析】解：（1）原式＝12＝12＝12＝3；（2）原式；由，得：x（x﹣3）＝2，解得x．【點撥】本題考查了實數的運算及分式的化簡計算．在分式化簡過程中，首先要弄清楚運算順序，先去括號，再進行分式的乘除．20．（12分）已知關于x的一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2的兩實數根為x1，x2（1）求m的取值范圍；（2）設y＝x1+x2，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．【微點】根的判別式；根與系數的關系；一次函數的性質．【思路】（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△＝b2﹣4ac≥0，建立關于m的不等式，可求出m的取值范圍；（2）根據根與系數的關系可得出x1+x2的表達式，進而可得出y、m的函數關系式，根據函數的性質及（1）題得出的自變量的取值范圍，即可求出y的最小值及對應的m值．【解析】解：（1）將原方程整理為x2+2（m﹣1）x+m2＝0；∵原方程有兩個實數根，∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4m2＝﹣8m+4≥0，得m；（2）∵x1，x2為一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2＝0的兩根，∴y＝x1+x2＝﹣2m+2，且m；因而y隨m的增大而減小，故當m時，取得最小值1．【點撥】此題是根的判別式、根與系數的關系與一次函數的結合題．牢記一次函數的性質是解答（2）題的關鍵．21．（12分）綿陽農科所為了考察某種水稻穗長的分布情況，在一塊試驗田里隨機抽取了50個谷穗作為樣本，量得它們的長度（單位：cm）、對樣本數據適當分組后，列出了如下頻數分布表：穗長4.5≤x＜55≤x＜5.55.5≤x＜66≤x＜6.56.5≤x＜77≤x＜7.5頻數481213103（1）在圖1、圖2中分別出頻數分布直方圖和頻數折線圖；（2）請你對這塊試驗田里的水稻穗長進行分析；并計算出這塊試驗田里穗長在5.5≤x＜7范圍內的谷穗所占的百分比．【微點】頻數（率）分布表；頻數（率）分布直方圖；頻數（率）分布折線圖．【思路】（1）根據表中給的信息直接畫出頻數分布直方圖和頻數折線圖；（2）由頻數分布直方圖和頻數折線圖，得出谷穗長度大部分落在5cm至7cm之間，其它區域較少．長度在6≤x＜6.5范圍內的谷穗個數最多，有13個，而長度在4.5≤x＜5，7≤x＜7.5范圍內的谷穗個數很少，總共只有7個．【解析】解：（1）畫條形圖時，長方形的高度是每一組的頻數；畫折線圖時，點的橫坐標是每組中兩個數的平均數，如4.5≤x＜5，橫坐標是（4.5+5）÷2＝4.75，點的縱坐標是每組的頻數，如（4.75，4）、（5.25，8）、（5.75，12）、（6.25，13）、（6.75，10）、（7.25，3）．（2）由（1）可知谷穗長度大部分落在5cm至7cm之間，其它區域較少．長度在6≤x＜6.5范圍內的谷穗個數最多，有13個，而長度在4.5≤x＜5，7≤x＜7.5范圍內的谷穗個數很少，總共只有7個．這塊試驗田里穗長在5.5≤x＜7范圍內的谷穗所占百分比為（12+13+10）÷50＝70%．【點撥】本題考查讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力；利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．22．（12分）如圖，已知正比例函數y＝ax（a≠0）的圖象與反比例函數（k≠0）的圖象的一個交點為A（﹣1，2﹣k2），另一個交點為B，且A、B關于原點O對稱，D為OB的中點，過點D的線段OB的垂直平分線與x軸、y軸分別交于C、E．（1）寫出反比例函數和正比例函數的解析式；（2）試計算△COE的面積是△ODE面積的多少倍？【微點】反比例函數與一次函數的交點問題；相似三角形的判定與性質．【思路】（1）把A的坐標代入反比例函數解析式，即可得到關于k的方程，從而求得k的值．得到反比例函數解析式以及A的坐標，再利用待定系數法即可求得正比例函數解析式；（2）證明△COE與△ODE相似，求得相似比，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求解．【解析】解：（1）由圖知k＞0，a＞0，∵點A（﹣1，2﹣k2）在圖象上，∴2﹣k2＝﹣k，即k2﹣k﹣2＝0，解得k＝2（k＝﹣1舍去），得反比例函數為．此時A（﹣1，﹣2），代入y＝ax，解得a＝2，∴正比例函數為y＝2x．（2）過點B作BF⊥x軸于F．∵A（﹣1，﹣2）與B關于原點對稱，∴B（1，2），即OF＝1，BF＝2，得OB．由圖，易知Rt△OBF∽Rt△OCD，∴OB：OC＝OF：OD，而OD∴OC2.5．由Rt△COE∽Rt△ODE，得．所以△COE的面積是△ODE面積的5倍．【點撥】本題主要考查了待定系數法求函數解析式，并且運用了相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方．23．（14分）如圖，八一廣場要設計一個矩形花壇，花壇的長、寬分別為200m、120m，花壇中有一橫兩縱的通道，橫、縱通道的寬度分別為3xm、2xm．（1）用代數式表示三條通道的總面積S；當通道總面積為花壇總面積的時，求橫、縱通道的寬分別是多少？（2）如果花壇綠化造價為每平方米3元，通道總造價為3168x元，那么橫、縱通道的寬分別為多少米時，花壇總造價最低？并求出最低造價．（以下數據可供參考：852＝7225，862＝7396，872＝7569）【微點】二次函數的應用．【思路】（1）根據等量關系“三條道路的總面積＝橫通道的面積+縱通道的面積﹣重疊的面積”列出方程求解；（2）根據等量關系“花壇總造價＝綠化造價+通道造價”列出函數關系，并求得函數的最大值．【解析】解：（1）由題意得：S＝3x?200+2x?120×2﹣2×6x2＝﹣12x2+1080x由S200×120，得：∴﹣12x2+1080x200×120，即x2﹣90x+176＝0，解得：x＝2或x＝88又∵x＞0，4x＜200，3x＜120，∴解得0＜x＜40，∴x＝2，得橫、縱通道的寬分別是6m、4m．（2）設花壇總造價為y元．則y＝3168x+（200×120﹣S）×3＝3168x+（24000+12x2﹣1080x）×3＝36x2﹣72x+72000＝36（x﹣1）2+71964，當x＝1，即橫、縱通道的寬分別為3m、2m時，花壇總造價最低，最低總造價為71964元．【點撥】本題考查了運用函數方程解決實際問題，并考查了函數最大值的求解問題．24．（14分）如圖，△ABC內接于⊙O，且∠B＝60°．過點C作圓的切線l與直徑AD的延長線交于點E，AF⊥l，垂足為F，CG⊥AD，垂足為G．（1）求證：△ACF≌△ACG；（2）若AF＝4，求圖中陰影部分的面積．【微點】直角三角形全等的判定；切線的性質；扇形面積的計算．【思路】（1）連接CD，OC．根據圓周角定理的推論求得ADC＝∠B＝60°，根據直徑所對的圓周角是直角得AC⊥CD，則根據等角的余角相等得到∠ACG＝∠ADC＝60°，從而得到△OCD為正三角形，進一步求得∠ECD＝30°，證明∠ACF＝∠ACG＝60°．最后根據AAS即可證明三角形全等；（2）結合圖形，可以把陰影部分的面積轉化為三角形COE的面積減去扇形OCD的面積．根據30°的直角三角形的性質即可求得OC、CE的長，從而求解．【解析】（1）證明：如圖，連接CD，OC，則∠ADC＝∠B＝60°．∵AD是圓的直徑，∴∠ACD＝90°又∵∠ADC＝∠B＝60°∴∠CAD＝30°∵EF與圓相切，∴∠FCA＝∠ADC＝60°∴直角△ACF中，∠FAC＝30°，∴∠FAC＝∠CAD，又∵CG⊥AD，AF⊥EF∴FC＝CG則在△ACF和△ACG中：∴△ACF≌△ACG（AAS）．（2）解：在Rt△ACF中，∠ACF＝60°，AF＝4，∴∠FAC＝30°，∴FCAC，設FC＝x，則AC＝2x，（2x）2﹣x2＝（4）2，解得：x＝4，∴CF＝4．在Rt△OCG中，∠COG＝60°，CG＝CF＝4，得OC．在Rt△CEO中，OE．于是S陰影＝S△CEO﹣S扇形COD．【點撥】此題綜合運用了圓周角定理的推論、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、30°的直角三角形的性質以及三角形和扇形的面積公式．25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A（﹣4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長；（3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時