專題9.4分式方程的應用【八大題型】

【滬科版】

【題型1行程問題】.............................................................................1

【題型2工程問題】............................................................................4

【題型3銷售利潤問題】........................................................................7

【題型4航行問題】...........................................................................11

【題型5和、差、倍、分問題】.................................................................14

【題型6數字問題】...........................................................................17

【題型7圖形問題】...........................................................................19

【題型8方案問題】...........................................................................22

。。*十一及三

【題型1行程問題】

【例1】（2022?河南許昌,八年級期末）小麗和小穎相約周末到時代廣場看電影，她們的家

分別距離時代廣場1800m和2400m.兩人分別從家中同時出發，已知小麗和小穎的速度比是

2:3,結果小麗比小穎晚4min到達劇院.

（1）求兩人的速度.

（2）要想同時達到，小穎速度不變，小麗速度需要提高m/min.

【答案］（1）小麗和小穎的速度分別為50m/min和75tn/mim（2）6.25.

【分析】（1）設小麗和小穎的速度分別為而和緘加加%,根據題意，小麗所用時間

-小穎蘇勇時間=4分鐘，列出分式方程，解答即可.

（2）設小麗速度需要提高根據題意，小麗所用時間=小穎所用時間，列出分式方

程，解答即可.

【詳解】解:（1）設小麗和小穎的速度分別為2x,恤加和3x皿也加,根據題意，得：

18002400

------------------=4

2x3x

解得：x=25

經檢驗x=25是原分式方程的解，

則2A'=2x25=50（m/min）,3x=3x25=75（m/min）

答：小麗和小穎的速度分別為50ni/min和75"力"加

（2）設小麗速度需要提高4"，"而?，根據題意，得：

1800_2400

50+a75

解得：Q=6.25

經檢驗a=6.25是原分式方程的解

答：小麗速度需要提高6.25m/min.

故答案為6.25

【點睛】本題考查了分式方程的應用，分析題干，找到等量關系是解題關鍵.

【變式（2022?重慶?四川外國語大學附屬外國語學校九年級期中）某天運動員小偉沿

平路從家步行去銀行辦理業務，到達銀行發現沒有帶銀行卡（停留時間忽略不計），立即沿

原路跑回家.已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小偉家到銀

行的平路距離為2800米，小偉從離家到返回家共用50分鐘.

⑴求小偉在平路上跑步的平均速度是多少？

（2）小偉找到銀行卡后，發現離銀行下班時間僅剩半小時，為了節約時間，小偉選擇另外一

條近的坡路去銀行，小偉先上坡再下坡，用時9分鐘到達銀行.已知上坡的平均速度是平路

上跑步的平均速度的今下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的I且上坡路程是下坡路

程的2倍，求這段坡路的總路程是多少米？

【答案】⑴280米/分鐘

（2）2100米

【分析】（1）設小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘，根據小偉在平路上跑步的平均

速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返時間共用50分鐘，列方程絲些+等=50,解

X4X

得x=70,檢驗后求出4%二280,回答問題；

（2）設這段坡路的下坡路程是），米，根據小偉上坡的平均速度是280x,=20（）,下坡的平

均速度是280xJ=350,上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用時9分鐘，列方程黑+

春=9,解得y=700,掛出這段坡路的總路程是700+2X700=2100.

【詳解】（1）設小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘，

根據題意得，竺竺+答=50,

X4X

解得，x=70,

經檢驗，％=70是所列方程的解，且符合題意，

04x=280,

答：小偉在平路上跑步的平均速度是280米/分鐘；

（2）設這段坡路的下坡路程是），米，

回上坡的平均速度是，280x：=200,下坡的平均速度是280x：=350,

74

回根據題意得，2+1=9,

解得，y=700,

0700+2x700=2100,

答：這段坡路的總路程是2100米.

【點睛】本題主要考查了分式方程與一元一次方程的應用一一行程問題，解決問題的關鍵是

熟練掌握路程和速度與時間的關系，列代數式列方程解答，解分式方程注意檢驗，應用題注

意設未知數和回答問題.

【變式1-2]（2022?全國?八年級）小明家距離科技館1900米，一天他步行去科技館看表演,

走到路程的一半時，小明發現忘帶門票，此時離表演開始還有23分鐘，于是立刻步行回家

取票，隨后騎車趕往科技館.已知小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，且騎

車的速度是步行速度的5倍，小明進家取票時間共用4分鐘.

（1）小明步行的速度是每分鐘多少米?

（2）請你判斷小明能否在表演開始前趕到科技館，并通過計算說明理由.

【答案】（1）小明步行的速度為76米/分鐘；（2）小明能在表演開始前趕到科技館，理由

見詳解.

【分析】（1）設小明步行的速度是每分鐘x米，則小明騎車的速度是每分鐘5x米，根據時

間=路程+速度結合小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，即可得出關于x的分

式方程，解之經檢驗后即可得出結論;

（2）利用時間=路程+速度結合小明進家取票時間共用4分鐘，即可得出小明回家取票后到

達科技館所需時間，將其與23分鐘比較后即可得出結論.

【詳解】解：（1）設小明步行的速度為x米/分鐘，則小明騎車的速度為5x米/分鐘.根據題意,

^-x--5x=20,

解得：x=76.

經檢驗，x=76是原分式方程的解.

答：小明步行的速度為76米/分鐘.

/、1900-X1900

(2)―5X76+^--7--6---+4=21.5<23,

所以小明能在表演開始前趕到科技館.

【點睛】本題考有了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關犍.

【變式1-3]（2022?湖北襄陽?八年級期末）小明和小強兩名運動愛好者周末相約到濱江大

道進行跑步鍛煉.

（1）周六早上6點，小明和小強同時從家出發，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500

米和1200米的濱江大道入口匯合，結果同時到達.若小明每分鐘比小強多行220米，求小明

和小強的速度分別是多少米/分?

（2）兩人到達濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強的跑步速度是小明跑步速度的加倍,

（2）已知2017年環衛處安排了50名環衛工人參與了直接清掃工作，為保證順利完成每日

的420千米清掃工作，需派出多少輛道路清掃車參與工作（已知2017年環衛工人與清掃車

每天工作時間為6小時）？

（3）為了鞏固文明城市創建成果，從2018年5月開始，環衛處新增了一輛清掃車參與工作，

同時又增加了若干個環衛工人參與直接清掃，使得每日能夠較早的完成清掃工作.2018年6

月市環衛處擴大清掃范圍60千米，同時又增加了20名環衛工人直接參與清掃，此時環衛工

人和清掃車每日工作時間仍與5月份相同，那么2018年5月環衛處增加了多少名環衛工人

參與直接清掃？

【答案】（1）1名環衛工人每小時清掃0.6千米，1輛道路清掃車每小時8千米；（2）派

出5輛道路清掃車參與工作；（3）2018年5月環衛處增加了10名環衛工人參與直接清掃.

【分析】（1）設1名環衛工人和1輛道路清掃車每小時分別清掃x千米和），千米，由題意

可得徽;沈影進行求解即可；

（2）設派出6輛道路清掃車參與工作,則（50x0.6+8〃?）x6=420,進行求解即可；

（3）設2018年5月環衛處增加了〃名環衛工人參與直接清掃，由題意寫出分式方程進行求

解即可.

【詳解】（1）設1名環衛工人和1輛道路清掃車每小時分別清掃x千米和），千米，

由題意可得，解得

答：1名環衛工人每小時清掃0.6千米，1輛道路清掃車每小時8千米；

（2）設派出〃?輛道路清掃車參與工作，

則（50x0.6+8m）x6=420,解得m=5,

答：派出5輛道路清掃車參與工作：

（3）設2018年5月環衛處增加了〃名環衛工人參與直接清掃，由題意得

420420+60Anza..

-；—；—=------:-----；解得:"=10.

0.6（50+71）+6x80.6（50+n+20j+6x8

答：2018年5月環衛處增加了10名環衛工人參與直接清掃.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，一元一次方程的應用，分式方程的應用.綜合性

強，有一定難度.關鍵是理解題文，列出方程求解.這里涉及到工作效率問題以及合作問題，

要求學生對這類模型比較熟練.

【變式2?1】（2022?黑龍江?哈爾濱德強學校七年級階段練習）某工廠制作一-批零件，由一

名工人做要80h完成，現計劃由一部分工人先做2h然后漕加5名工人與他們一起做8小時,

完成這項工作的］假設這些工人的工作效率相同，具體應先安排幾名工人工作？

4

【答案】應該先安排2名工人工作.

【分析】設安排x人先做2h,然后根據先后兩個時段完成這項工作的：，可列方程求解.

4

【詳解】解：設應該先安排X名工人工作,

由題意得：各端H

解得％=2,

經檢驗無=2是原方程的解且符合題意，

回應該先安排2名工人工作，

答：應該先安排2名工人工作.

【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，解題的關鍵在于準確理解題意列出方程求解.

【變式2-2］（2022?遼寧?大石橋市石佛中學八年級期末）大石橋市政府為了落實“暖冬惠民

工程"，計劃對城區內某小區的部分老舊房屋及供暖管道和部分路段的人行地磚、綠化帶等

公共設施進行全面更新改造.該工程乙隊單獨完成所需天數是甲隊單獨完成所需天數的1.5

倍，若甲隊先做10天，剩下兩隊合作30天完成.

（1）甲乙兩個隊單獨完成此項工程各需多少天？

（2）已知甲隊每天的施工費用為8.4萬元，乙對每天的施工費用為5.6萬元，工程施工的預

算費用為500萬兀，為了縮短工期并高效完成工程，擬預算的費用是否夠用？若小夠用，需

追加預算多少萬元？請說明理由.

【答案】（1）甲隊單獨完成此項工程需要60天，乙隊單獨完成此項工程需要90天：（2）

工程預算的施T費用不夠用，需追加預算4萬元.

【分析】（1）設甲單獨完成這項工程所需天數，表示出乙單獨完成這項工程所需天數及各

自的工作效率.根據工作量=工作效率X工作時間列方程求解；

（2）根據題意，甲乙合作工期最短，所以須求合作的時間，然后計算費用，作出判斷.

【詳解】（1）設此工程甲隊單獨完成需x天，則乙隊單獨完成這項工程需1.5八?天.由題意:

10+3030

-x-+1.5%~1

解得:x=60.

經檢驗，尸60是原方程的解，且適合題意.

1.5x=1.5x60=90.

答：甲隊單獨完成此項工程需要60天，乙隊單獨完成此項工程需要90天.

（2）因為需?？s短工期并高效完成工程，所以需兩隊合作完成，設兩隊合作這項工程需

y天，根據題意得：

上+2=1

6090

解得：產36.

所以需要施工費用36X（8.4+5.6）=504（萬元）.

因為504>500,所以工程預算的施工費用不夠用，需追加預算4萬元.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，涉及方案決策問題，綜合性較強.

【變式2-3]（2022?廣西貴港?八年級期中）某校改造維修田徑運動場所，項目承包單位派

遣了一號施工隊進場施工，計劃用30天完成整個工程.當一號施工隊施工10天后，由于實

際需要，要求整個工程比原計劃提前8天完成，于是承包單位再派遣二號施工隊與一號施工

隊共同施工，結果按實際需要如期完成整個工程

⑴如果二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？

⑵如果一號、二號施工隊同時進場共同施工，完成整個工程需要多少天？

【答案】⑴》=45

（2）若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天

【分析】（1）設二號施工隊單獨施工需要匯天，根據題意列出分式方程進行求解即可；

（2）直接列算式求解即可.

【詳解】（1）解：設二號施工隊單獨施工需要x天，

根據題意得：甯+竺土

30X

解得：X=45,

經檢驗，％=45是原分式方程的解.

答：若由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要45天.

（2）根據題意得：1+?+（）=18（天），

答：若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天.

【點睛】本題考查分式方程的應用.根據題意正確的列出分式方程是解題的關鍵.注意臉根.

【題型3銷售利潤問題】

【例3】（2022?重慶巴蜀中學九年級階段練習）飛盤運動由于門檻低、限制少，且具有較強

的團體性和趣味性，在全國各地悄然興起，深受年輕人喜愛.某商家購進了海綿和橡膠兩種

飛盤進行銷售，已知一個橡膠飛盤比一個海綿飛盤的進價多30元，其中購買海綿飛盤花費

4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，且購買海綿飛盤的數量是購買橡膠飛盤數量的2倍.

⑴求一個海綿飛盤的進價是多少元；

⑵商家第一次購進的飛盤很快售完，決定再次購進同種類型的海綿和橡膠兩種飛盤共80個,

但海綿飛盤的進價比第一次購買時提高了16%,而橡膠飛盤的進價在第一次購買時進價的基

礎上打9折，如果商家此次購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費用不超過4800元，那么此次最

多可購買多少個橡膠￡盤？

【答案】（1）50元，：

（2）11.

【分析】（1）設一個海綿飛盤的進價為x元，則一個橡膠飛盤的進價為（x+30）元，由題

意；購買海綿飛盤花費4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，旦購買海綿飛盤的數量是購

買橡膠飛盤數量的2倍.列出分式方程，解方程即可；

（2）設此次可購買。個橡膠飛盤，則購買（80-a）個海綿飛盤，由題意：海綿飛盤的進價比

第一次購買時提高了16%,而橡膠飛盤的進價在第一次購買時進價的基礎上打9折，商家此

次購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費用不超過4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可.

（1）

解：設一個海綿飛盤的進價為x元，則一個橡膠飛盤的進價為（A+30）元，

解得：x=50,

經檢驗，x=50是原方程的解，且符合題意,

答：一個海綿飛盤的進價為50元；

（2）

設此次可購買。個橡膠飛盤，則購買（80-a）個海綿飛盤，

由題意得：

50x（14-16%）（80-a）+80x0.9a<4800

解得：a<ll^

加是整數，

回。最大值為11,

答：此次最多可購買11個橡膠飛盤.

【點睛】此題考查分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：找準等量關

系與不等關系，正確列出分式方程和一元一次不等式.

【變式3-1］（2022?四川南充?八年級期末）超市用2500元購進某品牌蘋果，以每千克8元

的單價試銷.銷售良好，超市又安排4500元補貨.補貨進價比上次每千克少0.5元，數量

是上次的2倍.

（1）求兩次進貨的單價分別是多少元.

（2）當售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求兩次銷售蘋果的毛利.

【答案】（1）第一次進貨的單價是5元，第二次進貨的單價是4.5元；（2）4600

【分析】（1）設第一次講貨的單價是f元，則第二次講貨的單價是-0.5）元，根據撅意，

列方程求解即可；（2）求出兩次的購進數量，根據毛利=收入-成本，可求出結果.

【詳解】解：（1）設第一次進貨的單價是x元，則第二次進貨的單價是0.5）元，根據

題意，得

25004500

-------X2=———

xx—0.5

解得％=5

經檢驗：*=5是原方程的解

第二次進貨的單價是:5-0.5=4.5（元）.

答：第一次進貨的單價是5元，第二次進貨的單價是4.5元.

（2）兩次銷售蘋果的毛利：

（釁2+竿—200）x8+200x8x0.75-2500-4500=4600（元）

答：兩次俏售蘋果的毛利為4600元.

【點睛】本題考查理解題意的能力，關鍵是根據這次進貨價比上次每千克少0.5元，購進蘋

果的數量是上次的2倍，列出方程求出每千克多少元，然后總千克數，根據毛利公式，從而

求出解.

【變式3-2］（2022?湖南?邵陽市第六中學八年級階段練習）在落實“精準扶貧〃戰略中，三峽

庫區某駐村干部組織村民依托著名電商平臺“拼多多〃組建了某土特產專賣店，專門將進貨自

本地各家各戶的A、B兩款商品銷售到全國各地.2020年10月份，該專賣店第一次購進A

商品40件，4商品60件，進價合計8400元；第二次購進A商品50件，3商品30件，進

價合計6900元.

（1）求該專賣店10月份A、8兩款商品進貨單價分別為多少兀？

（2）10月底，該專賣店順利將兩次購進的商品全部售出.由于季節原因，8商品缺貨，該

專賣店在11月份和12月份都只能銷售A商品，且A商品11月份的進貨單價比10月吩上

漲了，〃元，進價合計49000元；12月份的進貨單價乂比11月份上漲了0.5〃?元，進價合計

61200元，12月份的進貨數量是11月份進貨數量的1.2倍.為了盡快回籠資金，A商品在

11月份和12月份的銷售過程中維持每件150元的售價不變，到2021年元旦節，該專賣店

把剩下的50件4商品打八折促銷，很快便售完，求該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷

售總金額為多少元？

【答案】（1）該店4、8兩款商品進貨單價分別為90元和80元；（2）該專賣店在4商品

進貨單價上漲后的銷售總金額為163500元.

【分析】（1）設每件A和商品的進價為x元，每件B和商品的進價為y元，根據“若購進A

種商品40件，B種商品63件，需要8400元；若購進A種商品50件，B種商品30件，需

要6900元〃，即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）根據題意，可以得到相應的分式方程，從而可以得到m的值，然后即可計算出商店銷

售這兩批A商品的銷售總金額.

【詳解】（1）設10月份A商品的進貨單價為“元，8商品的進貨單價為），元，由題意得：

（40x+60y=8400

（50x+30y=6900'

解得，好黑；，

答：該店4、8兩款商品進貨單價分別為90元和80元；

（2）由題意可得，

12^x1,2=61200

90+m?90+m+0.5m*

解得，〃?=8，

經檢驗，機=8是原分式方程的解，

故11月份購進的A商品數量為舞=500（件），

90+8

12月份購進的A商品數量為500x1.2=600（件）,

（500+600-50）xl50+150x0.8x50=163500（元）.

答：該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為163500元.

【點睛】本題考查了分式方程的應用、二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，

列出相應的方程組和分式方程，注意分式方程要檢驗.

【變式3-3]（2022?浙江?八年級期末）某藥店采購部于7月份和8月份分別用16000元和

40000購兩批口罩，8月份每盒口罩的進價比7月份上潴20元，且數最是7月份購進數量

的2倍.

（1）求7月份購進了口罩多少盒？

（2）該藥店在7,8月份均將當月購進的口罩平均分給甲、乙兩家分店銷售，并統一規定每

盒口罩的標價為150元.已知7月份兩店按標價各賣出a盒后，甲店剩余口罩按標價的八折

出售；乙店剩余口罩先按標價的九折售出b盒后，再將余下口罩按標價七折全部售出，結果

利潤與甲店相同.

①用含b的代數式表示a.

②8月份，乙店計劃將分到的口罩按標價出售幾箱后，剩余口罩全部捐獻給醫院.若至少捐

贈96盒口罩，且預計乙店7,8月份能從這兩批口罩銷售中獲得的總利潤為2000元，求a,4幾

所有可能的值.

【答案】（1）200盒；（2）①Q=100-2b；②〃=100,/?=0,〃=100或a=90,b=5,^=102

或。=80,b=10,/?=104

【分析】（1）設7月份購進了口罩工盒，根據8月份每盒口罩的進價比7月份上漲20元列

出方程，解之即可；

（2）①根據7月份乙店利潤與甲店相同列出關于“，〃的方程，化簡即可；

②首先求出兩個月乙店的利潤，根據總利潤為2000元列出方程，得到72=100I2；,再根

據至少捐贈96盒口罩，求出〃的范圍，得到匕的范圍，再求整數解即可.

【詳解】解：（1）設7月份購進了口罩x盒，

由題意可得：竺9竺+20=竺吧，

X2X

解得：x=200,

國月份購進了口罩200盒；

（2）①由（1）可得7月份口罩每盒甯=80元，

由題意可得:(100-0)(150x80%-80)=4(150X90%-80)+(100-a-6)(150x

70%-80),

整理得：a=100-2b：

②由題意可得：8月份購進了口罩400盒，8月份口罩進價為每盒100元，

7月份乙店獲得的利潤為：

a(150-80)+6(150x90%-80)+(100-a-6)(150x70%-80)

=45a+30b+2500

8月份乙店獲得的利潤為：(150-100)n-100(200-n)=150n-20000,

045a+30b+2500+150n-20000=2000,HP3a+2b+lOn=1300,

0a=100—2b,

03(100-2b)4-2b4-lOn=1300,即5n—2b=500,即n=100+?,

團至少捐贈96盒口罩，

0200—n>96,

On<104,

町00+募W104,解得：b<10,

助可以取0,5,10,

當"0時，a=100,〃=100；

當b=5時,a=90,n=102；

當〃=10時，a=80,n=104.

【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，列代數式，二元一次方程的解以及不等式，解體

的關鍵是理清題意，本題條件較多，一定要仔細讀題.

【題型4航行問題】

【例4】(2022?福建省福州教育學院附屬中學模擬預測)已知4B兩港之間的距離為150千

米，水流速度為5千米/時.

⑴若?輪船從A港順流航行到8港所用的時間是從8港逆流航行到A港所用時間的j求該

輪船在靜水中的航行速度；

⑵記某船從入港順流航行到B港，再從B港逆流航行返I可到入港所用的時間為若該船

從A港航行到8港再返回到A港均為靜水航行，所用時間為匕，請比較與￡2的大小，并說

明理由.

【答案】⑴輪船在靜水中的航行速度為25千米/時

(2)^>t2,理由見解析

【分析】(1)設輪船在靜水中的航行速度為x千米/時，故可知順流速度為(x+5)千米/時,

逆流速度為。-5）千米/時，列分式方程晏乂|=翳，求解即可.

（2）設船在靜水中的航行速度為“千米/時，由題意可知口=覆+氏，4=^x2,比較

與。的大小.

（1）

解：設輪船在靜水中的航行速度為-

則順流速度為a+5）千米/時，逆流速度為a-5）千米/時;

.2150

x-=—

解得無=25

經檢驗得x=25是原方程的解

因該輪船在靜水中的航行速度為25千米/時.

（2）

解：設船在靜水中的航行速度為uT?米/時

由題意知口=學+=

xv+5v-S

150

t=-----x2

2v

150150150

ti-t=-----z-H-----------------X2

2v+5v-5v

150r,

=心+5)(吁5)[心-5)+心+5)-2(v+5)(吁5)]

150

=-----——-------x50>0

v(v+5)(v-5)

???tx-t2>0

￡]＞《2?

【點睛】本題考查了分式方程與異分母分式的加減.解題的關鍵在于正確的列分式方程與分

式的比較大小.

【變式4-1】（2022?新疆?吐魯番市高昌區第一中學八年級期中）一艘輪船在靜水中的最大

航速為40千米/時，它沿江以最大航速順流航行70千米所用時間，與以最大航速逆流航行30

千米所用時間相等.求江水的流速為多少千米/時.

【答案】16千米/時

【分析】設江水的流速為%千米/時，根據題意列出方程，解方程即可求解.

【詳解】設江水的流速為xl■?米/時，根據題意得，

7030

x+4040-X

解得％=16,

經檢驗，x=16是原方程的解，

答：江水的流速為16千米/時.

【點睛】本題考行了分式方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵.

【變式4-2】(2022?吉林四平?七年級期末)兩船從同一港口同時出發反向而行，甲船順水,

乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是50km/h,水流速度是akm/h.

(1)2h后兩船相距多遠？

(2)2h后甲船比乙船多航行多少千米？

(3)一?艘小快艇送游客在甲、乙兩個碼頭間往返，其中去程的時間是回程的時間3倍，則

小快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關系是.

【答案】(1)2h后兩船相距200千米(2)2h后甲船比乙船多航行4a千米；(3)v=2a

【分析】(1)分別求得甲乙兩船行駛的路程，即可求解：

(2)用甲船行駛的路程減去乙船行駛的路程，即可求解；

(3)由題意可得去程是逆水行駛，返程是順水行駛，設碼頭之前的距離為s,列方程求解即

可.

【詳解】解：(l)2h后，甲船行駛的路程為2x(50+a)(km),乙船行駛的路程為2X(50-

a)(km)

兩船相距為2x(50+a)+2x(50-a)=200(km)

答：2h后兩船相距200千米

(2)由(1)得2h后，甲船行駛的路程為2x(50+a)(km),乙船行駛的路程為2x(50-

a)(km)

甲船比乙船多航行2x(50+a)-2x(50-a)=4a(km)

答：2h后甲船比乙船多航行4a千米

(3)由題意可得去程是逆水行駛，返程是順水行駛，設碼頭之前的距離為s

則去程時間為tl=返程時間為￡2=

由題意可得￡1=3匕，即氏二3高，解得U=2Q

快艇在靜水中的速度，與水流速度a的關系是為u=2a

故答案為u=2a

【點睛】此題考查了列代數式，以及分式的應用，解題的關鍵是掌握船順流航行和逆流航行

的速度公式是解題的關鍵.

【變式4-3](2022?全國?八年級單元測試)一小船由4港到B港順流航行需6小時，由B港

到4港逆流航行需8小時.小船從早晨6時由A港到B港時，發現一救生闔在途中掉落水中，

立即返航，2小時后找到救生圈.

問：(1)小船由A港漂流到B港需要多少小時？

(2)救生圈是何時掉入水中的？

【答案】(1)48：(2)10時.

【分析】(1)先設小船找水流速度由A港漂流到B港需要x小時,根據題目中的等量關系

列出方程，求出X的值，在進行檢驗即可；

（2）先設救生圈是在x點鐘落下水中的，則救生圈每小時順水漂流的距離等于全程的9

，根據小船早晨6時從港出發，順流航行需6小時，得出它在中午12點鐘到達B港，根據

救生圈在y點鐘就已掉下水，到這時已漂流的時間為（12-x）小時，在這段時間里，每小時

船行駛全程的g救生圈沿著航行方向漂流全程的白，船勺救生圈同向而行，距離拉大，船

o4o

到B港后立刻掉頭去找救圈，2小時后找到，在這一小時內，船與救生圈相向而行，將原已

拉開的距離縮短為U,列出力程，求出力程的解即可

【詳解】（1）設船由4港漂流到B港需要％小時，

依題意得，:一二=：+△,解得％=48.

6x8x

經檢驗，％=48是原方程的解，且有意義.

（2）設救生圈在工時落入水中，由（1）知水的速度為總則（6+6-）=*+》x2,

解得x=10.

經檢驗，％=10是原方程的解，且符合實際意義.

【點睛】此題考查分式方程的應用，一元一次方程的應用，解題關鍵在于列出方程

【題型5和、差、倍、分問題】

【例5】（2022?江蘇淮安?八年級期末）第5代移動通信技術簡稱5G,某地己開通5G業務,

經測試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強分別用5G與4G下載一部6CO兆

的公益片，小明比小強所用的時間快140秒，求該地5G下載速度是每秒多少兆？

【答案】60兆

【分析】設該地4G的下載速度是每秒人兆，則該地5G的下載速度是每秒15八兆，根據“小

明比小強所用的時間快140秒〃列出方程求解即可.

【詳解】解：設該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆

由題意得：—--=140

x15x

解得：x=4,

經檢驗：x=4是原分式方程的解，且符合題意，

15x4=60,

答：該地5G的下載速度是每秒60兆.

【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，解題關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關

系，設出未知數列出方程.

【變式5-1］（2022?江蘇?儀征市實驗中學東區校九年級階段練習）某生態示范村種植基地

計劃種植一批葡萄，原計劃總產量要達到36萬斤.為了滿足市場需求，現決定改良葡萄品

種.改良后平均每畝產量是原計劃的1.5倍，總產量比原計劃增加了8萬斤，種植畝數減少

了20畝，則改良后平均每畝產量是多少萬斤？

【答案】改良后平均每畝產量是0.5萬斤

【分析】根據題意可得等量關系：原計劃種植的畝數一改良后種植的畝數=20畝，根據等量

關系列出方程即可.

【詳解】解：設原計劃每畝產量x萬斤，改良后每畝產量1.5%萬斤，

「八

丁363市6+8二20,

解得，%=%

經檢驗，X=；是原分式方程的解，

**?1.5%—0.5,

答：改良后平均每畝產量是0.5萬斤.

【點睛】此題主要考查了分式方程的應用，正確理解題意，找出題目中的等量關系是解題的

關鍵.

【變式5-2］（2022?北京八中八年級期中）“綠色環保，健康出行〃新能源汽車越來越占領汽

車市場，以“北汽”和“北汽新能源EV500”為例，分別在某加油站和某充電站加油和充電的

電費均為300元，而續航里程之比則為104.經計算新能源汽車相比燃油車節約0.6元/

公里.

（1）分別求出燃油車和新能源汽車的續航單價（每公里費用）；

（2）隨著更多新能源車進入千家萬戶，有條件的小區及用戶將享受0.48元/度的優惠專用

電費.以新能源EV500為例，充電55度可續航400公里，試計算每公里所需電費，并

求出與燃油車相同里程下的所需費用（油電）百分比.

【答案】（1）燃油車08新能源汽車02（2）8.25%

【分析】（1）設新能源汽車續航單價為X元/公里.，則燃油車續航單價為（X+0.6）元/公里，

根據等量關系式：新能源汽車續航里程：燃油車續航里程=4團1,列出方程，解之即可.

（2）根據總價=單價x數量可得新能源汽車400公里所需費用，再用此費用+總公里數即可

得新能源汽車每公里所需電電費；由（1）知燃油汽車每公里費用，用此費用乘以總公里數

可得燃油汽車總費用，再用新能源汽車的總費用+燃油車相同里程下的所需費用即可得答案.

【詳解】解：（1）設新能源汽車續航單價為x元/公里，則燃油車續航單價為（x+0.6）元/

公里，依題可得：

，

-30-0：-3-0-0+-0-.-6=4:1?4

XX

解得：x=0.2,

團燃油車續航單價為:x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），

答：新能源汽車續航單價為0.2元/公里，燃油車續航單價為0.8元/公里.

（2）依題可得新能源汽車400公里所需費用為：

0.48x55=26.4（元），

團新能源汽車每公里所需電電費為：

26.44-400=0.066（元/公里），

依題可得燃油汽車400公里所需費用為：

400x0.8=320（元），

回新能源汽車與燃油車相同里程下的所需費用（油電）百分比為：

26.44-320=0.0825=8.25%.

答：新能源汽車每公里所需電電費為0.066元；新能源汽車與燃油車相同里程下的所需費

用（油電）百分比為8.25%.

【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的

關鍵.

【變式5-3］（2022?浙江舟山?七年級期末）舟山市疫情防控工作領導小組在5月30日發布

了常態化核酸檢測工作的通知，6月3日起我市居民進入公共場所須憑7天內核酸采樣或檢

測陰性證明.根據文件要求，學生在校期間每周要組織核酸檢測一次，某校積極響應，安排

校醫甲和教師乙進行核酸采集培訓.經過培訓后，甲采集的速度是乙的兩倍?，且甲采集52

人用時比乙采集30人用時少2分鐘.

⑴求甲、乙平均每分鐘分別采集多少人？

（2）該校七年級學生人數比八年級少18人，其中七年級有7個班，每班機人，8八年級有6

個班，每班〃人，兩名采集員各自用了87分鐘完成了七、八年級學生核酸采集工作，求加

和〃的值；

⑶該校教職工70人完成核酸采集后要放入10人試管或20人試管中，在保證每個試管不浪

費情況下，有哪幾種分裝方案？

【答案】（1）甲平均每分鐘采集4人，乙平均每分鐘采集2人：

⑶有4種方案：①5個10人試管，1個20人試管；

②3個10人試管，2個20人試管；

③1個10人試管，3個20人試管；

④7個10人試管，。個20人試管.

【分析】（1）可設乙速度為平均每分鐘采集x人，甲為2工人，根據所用的時間可列出方程,

解方程即可：

（2）根據題意列出關于小〃的二元一次方程組，解方程組即可；

（3）設10人試管有x個，20人試管有y個，從而得到10x+20v=70,根據x與y都是正整數,

從而可求解.

(1)

解：設乙速度為平均每分鐘采集工人，則甲為每分鐘采集2%人，

依題意得：募+2=爭

解得A-2,

2x2=4人，

經檢驗：x=2是方程的解且符合題意，

答：甲平均每分鐘采集4人，乙平均每分鐘采集2人；

(2)

解:依題意得:7m+76n=87x(2+4),

解峨溶

(3)

解：設10人試管有“個，20人試管有)，個，依題意得：

10,v+20>=70,即x=7-2.y,

則有:k;端:域:;或丁,

有4種方案：①5個10人試管，1個20人試管；

②3個10人試管，2個20人試管；

③1個10人試管，3個20人試管；

④7個10人試管，。個20人試管.

【點睛】本題主要考查分式方程的應用，二元一次方程組的應用，解答的關鍵是理解清楚題

意找到等量關系.

【題型6數字問題】

【例6】(2022?貴州?銅仁市第十一中學八年級期中)一個兩位數的十位數字是6,如果把十

位數字與個位數字對調，那么所得的兩位數與原來的兩位數之比是點原來得兩位數是

【答案】63

【分析】設這個兩位數個位上的數為x,,再根據等量關系列出方程，最后檢驗并作答.

【詳解】解：設這個兩位數個位上的數為X,

則可列方程：蘭魯=：，

6X10+X7

整理得66匕=198,

解得x=3,

經檢驗x=3是原方程的解，則60+K=63,

故答案為：63.

【點睛】本題主要考查分式方程的應用，解題的關鍵是熱練掌握列分式方程解應用題的一般

步驟，即①根據題意找出等量關系②列出方程③解出分式方程④檢驗⑤作答.注意：分

式方程的解必須檢驗.

【變式6-1］（2022?全國?八年級課時練習）有一個兩位數，它的個位數字比十位數字大1,

這個兩位數被個位數字除時，商是8,余數是2,求這個兩位數.

【答案】34

【分析】設十位上的數字為刈則個位上的數字為工+1,兩位數是10%+%+1,利用兩位數

減2除以個位數字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，檢驗后求出兩位數即可.

【詳解】解：設十位上的數字為％,則個位上的數字為x+1,

則：1。心+1）-2=8,

解方程得：x=3,

經檢驗：無=3是原方程的根，

所以個位上的數字為：x+l=3+l=4,

所以這個兩位數是：3x104-4=34.

答：這個兩位數是34.

【點睛】本題考查數字問題分式方程應用題，掌握分式方程解應用題的步驟與解法，關鍵是

抓住兩位數減2除以個位數字，商是8列出方程.

【變式6-2］（2022?山東濰坊?八年級期末）一個二位數的十位數字與個位數字的和是12,

如果交換H立數字與個位數字的位置并把所得到的新的二位數作為分子，把原來的二位數作

為分母，所得的分數約分為點則這個二位數是.

【答案】84

【分析】設這個二位數的十位數字為-則個位數字為（12■外，根據“如果交換十位數字

與個位數字的位置并把所得到的新的二位數作為分子，把原來的二位數作為分母，所得的分

數約分為；”，即可得出關Fx的分式方程，經檢驗后即可得出結論.

【詳解】設這個二位數的十位數字為X,則個位數字為（12-x）,

()

根據題意得:1012-X4-X_4

1OX+(12-X)7'

解得：x=8,

經檢驗，x=8是所列分式方程的解，且符合題意,

012-x=4.

故答案為84.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，壬確列出分式方程是解題的關鍵.

【變式6-3］（2022?全國?八年級專題練習）一個兩位數，個位上的數比十位上的數大4,用

個位上的數去除這個兩位數商是3,求這個兩位數.

【答案】15.

【分析】設十位上的數字為x,則個位上的數字為x+4,這個兩位數為：10x+(x+4),根據

用個位上的數去除這個兩位數商是3,列出分式方程，求解即可得出答案.

【詳解】解：*鬻=3,

解得：x=l,

經檢驗，x=l是分式方程的解,

10x+（X+4）=10x1+1+4=15.

答：這個兩位數為15.

【點睛】本題主要考查分式方程的應用，利用個位與十位的關系列出方程是解題的關鋌.在

解答本題的過程中根據條件從而得到本題的結果.

【題型7圖形問題】

【例7】(2022?全國?七年級單元測試)已知一個長方形的長是40,寬是30,現要把它的長

和寬減少相同的長度后，使新的長方形的長和寬之比是7：5,減少的長度是.

【答案】5

【分析】設減少的長度是X,根據題意列出方程，解方程，檢驗即可.

【詳解】解：設減少的長,度是，由題意，得

40-x_7

30-x=5

去分母得：5(40-X)=7(30-X)

去括號得：200-5%=210-7%

移項得：7x-5x=210-200

合并同類項得：2==10

系數化為1得：x=5

經檢驗，x=5是該方程的解

故填：5.

【點睛】本題考查分式方程的應用.能根據題意列出方程是解決此題的關鍵，還需注意對方

程的解要進行檢驗.

【變式7-1](2022?福建省泉州第一中學八年級期末)如圖，“豐收1號〃小麥的試驗田是邊

長為am(a>I)的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小

麥的試驗田是邊長為(a-l)m的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲/500kg.

（1）“豐收1號〃單位面積產量為kg/m2,“豐收2號〃單位面積產量為kg/m2（結

果用含a的式子表示）；

⑵若“豐收2號”的單位面積產量是“豐收1號”的單位面積產量的1.5倍，求a的值.

【答案】（1巖：島

（2）5

【分析】⑴分別求出“豐收1號〃、“豐收2號〃的面積，再用500除以面積即可;

（2）根據題意列出關于Q等式求解即可，注意需要驗根.

⑴

解：“豐收1號〃的面積為：a2-l,

單位面積產量為：辭?

“豐收2號"的面積為：（a-I）2,

單位面積產量為:500

(a-1)2

故答案為:500500

a2-l'(a-1)2

⑵

解：由題意，可得嗯x1.5=谷,

a2-l（a-1）2

解得a=5,

經檢驗，a=5是原分式方程的解，

回。的值為5.

【點睛】本題考查了列代數式，分式方程，解題的關鍵是根據題意列出相應的分式方程.

【變式7-2］（2022?浙江?七年級階段練習）李師傅要給一塊長9米，寬7米的長方形地面

鋪瓷磚，如圖，現有A和4兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長與3款長方形瓷磚

的長相等，B款瓷磚的長大于寬，李師傅打算按如下設計圖的規律進行鋪瓷磚，若4款瓷磚

的用量比B款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地面，則B款瓷磚的長為米，寬為

米.

9

---------------------------------_7

_____寬：：：：：：

□山

A款正方形瓷磚B款長方形謊轉IIIIIII,_

【答案】13或*

【分析】設A款瓷磚邊長為a米，3款瓷磚長為a米、寬為力米，則2x乙x昌=2（汽+1）x

a2a+b2a+n'

；-14,解得a=l,由題意知蜉是正整數，設蕓=k"為正整數），解得b=瞪，將"為

正整數代入即可得出結果.

【詳解】解：設A款瓷磚邊長為a米，3款瓷磚長為a米、寬為b米，

則2x-x9:=2（片I1）x714,

a2a+bv2a+b'a

解得：Q=1,

經檢驗，a=l是原方程的解，

由題意得：點是正整數，

2+b

設衿=k（k為正整數），

C十。

解得一=鬻,

當*=1時，b=L（L>Xt舍去）；

當k=2時，b=!（|>1,舍去）；

當k=3時，b=-；

4

當k=4時，b=1.

故答案為：1,：或，.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，正確理解題意，根據題意設出未知數列出方程組

是解題的關鍵.

【變式7-3］（2022?浙江杭州?七年級期末）某工廠承接了一批紙箱加工任務，用如圖1所

示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）作側面和底面，加工成如圖2

所示的豎式和橫式兩種無蓋的長方體紙箱.（加工時接縫材料不計）

模式

圖1圖2

（1）若該廠倉庫里有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板.問豎式和橫式紙箱各加工

多少個，恰好將庫存的兩種紙板全部用完？

（2）該工廠原計劃用若干天加工紙箱2400個，后來由于對方急需要貨，實際加工時每天加

工速度是原計劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務，問原計劃每天加工紙箱多少個？

【答案】（1）加工豎式紙盒200個