第五講指對數函數(一)對數概念:

1.如果，那么數b叫做以a為底N的對數，記作:logaN=b.其中a叫做對數的底

數，N叫做真數.

2.對數恒等式：

3.對數具有下列性質：

(1)0和負數沒有對數，即；

(2)1的對數為0，即；

(3)底的對數等于1，即.

(二)常用對數與自然對數

通常將以10為底的對數叫做常用對數，.以e為底的對數叫做自然對數，.

(三)對數式與指數式的關系

由定義可知:對數就是指數變換而來的，因此對數式與指數式聯系密切，且可以互相轉化.它們的關系可由下圖表示.

由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發生變化.

(四)積、商、冪的對數

已知

(1)；

推廣：

(2)；

(3).

(五)換底公式

同底對數才能運算，底數不同時可考慮進行換底，在a＞0，a≠1，M＞0的前提下有:

(1)

令logaM=b，則有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，

即:.

(2)，令logaM=b，則有ab=M，則有

即，即，即

當然，細心一些的同學會發現(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個重要的結論:

.

知識點二、對數函數

1.函數y=logax(a＞0，a≠1)叫做對數函數.

2.在同一坐標系內，當a＞1時，隨a的增大，對數函數的圖像愈靠近x軸；當0＜a＜1時，對數函數的圖

象隨a的增大而遠離x軸.(見圖1)

(1)對數函數y=logax(a＞0，a≠1)的定義域為(0，+∞)，值域為R

(2)對數函數y=logax(a＞0，a≠1)的圖像過點(1，0)

(3)當a＞1時，

三、規律方法指導

容易產生的錯誤

(1)對數式logaN=b中各字母的取值范圍(a＞0且a≠1，N＞0，b∈R)容易記錯.

(2)關于對數的運算法則，要注意以下兩點：

一是利用對數的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數都存在時等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因為雖然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的.

二是不能將和、差、積、商、冪的對數與對數的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：

loga(M±N)=logaM±logaN，

loga(M·N)=logaM·logaN，

loga.

(3)解決對數函數y=logax(a＞0且a≠1)的單調性問題時，忽視對底數a的討論.

(4)關于對數式logaN的符號問題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應用時經常出錯.下面介紹一種簡單記憶方法，供同學們學習時參考.

以1為分界點，當a，N同側時，logaN＞0；當a，N異側時，logaN＜0.基礎過關一.基礎知識點回顧：（動手填一填）基礎過關1．對數：(1)定義：如果，那么稱為，記作，其中稱為對數的底，N稱為真數.①以10為底的對數稱為常用對數，記作___________．②以無理數為底的對數稱為自然對數，記作_________．(2)基本性質：①真數N為(負數和零無對數)；②；③；④對數恒等式：．(3)運算性質：①loga(MN)＝___________________________；②loga＝____________________________；③logaMn＝(n∈R).④換底公式：logaN＝(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)⑤.2．對數函數：①定義：函數稱為對數函數，1)函數的定義域為(；2)函數的值域為；3)當______時，函數為減函數，當______時為增函數；4)函數與函數互為反函數.②1)圖象經過點()，圖象在；2)對數函數以為漸近線(當時，圖象向上無限接近y軸；當時，圖象向下無限接近y軸)；4)函數y＝logax與的圖象關于x軸對稱．③函數值的變化特征：①②③①②③二、指對數函數圖象比較：1、指數函數與對數函數的圖象與性質。指數函數與對數函數互為反函數，其圖象關于直線對稱清楚指對數互換：例題：求下列各式中x的值：

(1)(2)(3)lg100=x(4)典型例題典型例題一．化簡求值問題充分利用對數函數的性質例題1：計算：（1）（2）2(lg)2+lg·lg5+;（3）lg-lg+lg.例題2：已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.

(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15過手訓練1：化簡求值.（1）log2+log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log92)·(log43+log83).2.求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2(3)log89·log2732(4)

(5)(6)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)3.已知3a=5b=c，，求c的值.比較大小A.注意“1”在比較中的用法B.底數或者真數相同時C.利用圖象法進行比較例1．比較下列各組數中兩個值的大小：（1），；（2），；（3），.例2比較下列各組數的大小.（1）log3與log5;（2）log1.10.7與log1.20.7;（3）已知logb＜loga＜logc,比較2b,2a,2c的大小關系.例3．比較下列比較下列各組數中兩個值的大小：（1），；（2），；（3），，；（4），，．過手訓練：1.已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，則loga的大小關系是（）A.logaB.C.D.2．設a＝，b＝，c＝，則()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c有關定義域和值域求法：充分利用真數大于零，然后解不等式。例1．求下列函數的值域：（1）；（2）；（3）（且）．例題2.．函數f(x)＝lg(x－1)＋eq\r(4－x)的定義域為()A．(1,4] B．(1,4)C．[1,4] D．[1,4)例題3.已知函數的值域是則它的定義域是【】ABCD過手訓練1.的定義域是______。2.已知函數求的定義域；有關函數圖象：找特殊點的方法例題4．已知a>0且a≠1，則函數y＝ax與y＝loga(－x)的圖象可能是()過手訓練1．函數y＝eq\f(x,|x|)log2|x|的大致圖象是()2.函數y=|log2x|的圖象是 （）AA1xyOB1xyOC1xyOD1xyO五．復合函數的單調性例題1.函數的遞增區間是.例題2．求函數的單調區間。變式訓練1、求函數y＝（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調區間．2、(2010廣東文)函數的定義域是A.(2，)B.(1,)C.[1，)D.[2，)奇偶性例1．判斷函數的奇偶性。變式訓練：1、(2010廣東文)若函數與的定義域均為，則A.與均為偶函數B.為奇函數，為偶函數C.與均為奇函數D.為偶函數，為奇函數本章小結：1．處理對數函數的有關問題，要緊密聯系函數圖象，運用數形結合的思想進行求解.2．對數函數值的變化特點是解決含對數式問題時使用頻繁的關鍵知識，要達到熟練、運用自如的水平，使用時常常要結合對數的特殊值共同分析.3．含有參數的指對數函數的討論問題是重點題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類.4．含有指數、對數的較復雜的函數問題大多數都以綜合形式出現，與其它函數(特別是二次函數)形成的函數問題，與方程、不等式、數列等內容形成的各類綜合問題等等，因此要注意知識的相互滲透或綜合.課后過手訓練選擇題：1.設，則()A.BCD2.若，則的值為（）A1B2C3D43、函數y＝ax－2＋1（a＞0，a≠1）的圖象必經過點（） A．（0，1） B．（1，1）C．（2，0） D．（2，2）4、log7［log3（log2x）］＝0，則等于（） A． B． C． D．5、（）等于（） A．1 B．－1 C．2 D．－26、函數f（x）＝的定義域是（） A．（1，＋∞） B．（2，＋∞） C．（－∞，2） D．7、函數y＝（x2－3x＋2）的單調遞減區間是（） A．（－∞，1） B．（2，＋∞） C．（－∞，） D．（，＋∞）8、若2（x－2y）＝x＋y，則的值為（） A．4 B．1或 C．1或4 D．9.（山東卷文3）函數的值域為A.B.C.D.10.（四川卷文2）函數y=log2x的圖象大致是(A)(B)(C)(D)11．化簡可得（）12．函數的圖像大致是（）13、若f(x)=｛｛則f[f()]=.14、若lg2＝a，lg3＝b，則log512＝________．15、若3a＝2，則log38－2log36＝__________．16．已知g(x)＝則g[g(eq\