第十一章不等式與不等式組——不等式組的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題人教版（2024）初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)一、知識(shí)點(diǎn)回顧1.1經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的基本模型

-核心關(guān)系：

1.利潤(rùn)=收入?成本，即

利潤(rùn)

2.折扣計(jì)算：

-n折表示售價(jià)為原價(jià)的n10，如“8折”即0.8×原價(jià)。

3.盈虧平衡：利潤(rùn)1.2不等式組在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用

1.問(wèn)題類型：

-商品定價(jià)范圍（如“售價(jià)至少為成本的1.2倍，且不超過(guò)市場(chǎng)最高價(jià)”）；

-促銷活動(dòng)約束（如“滿減”與“折扣”疊加的限制）。

2.建模步驟：

-設(shè)未知數(shù)（如售價(jià)、銷量）；

-根據(jù)利潤(rùn)、成本、銷量等條件列不等式組；

-求解并驗(yàn)證解的合理性（如售價(jià)需為整數(shù)）。二、重難點(diǎn)講解2.1從經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中提取不等關(guān)系

-關(guān)鍵步驟：

1.識(shí)別經(jīng)濟(jì)指標(biāo)：成本價(jià)、售價(jià)、銷量、利潤(rùn)；

2.轉(zhuǎn)化關(guān)鍵詞：

-“至少盈利100元”→利潤(rùn)≥100；

-“售價(jià)不超過(guò)成本的2倍”→售價(jià)≤2×示例分析：

“某商品成本為50元，售價(jià)定為x元。若銷量至少為100件，且總利潤(rùn)不低于2000元，求售價(jià)范圍。”

建模：

(

解不等式組：

x2.2復(fù)合促銷問(wèn)題的處理

-核心規(guī)則：

-分步計(jì)算折扣、滿減等條件，轉(zhuǎn)化為不等式組。

-示例：

“滿200元減50元，同時(shí)打9折，求實(shí)際支付金額范圍。”

解析：

-設(shè)原價(jià)為x元，實(shí)際支付y元：

y

-需分段列不等式（如“實(shí)際支付不超過(guò)150元”）。三、易錯(cuò)點(diǎn)與解題方法3.1常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)

1.符號(hào)方向錯(cuò)誤：

-錯(cuò)誤：將“利潤(rùn)不低于2000元”寫(xiě)為利潤(rùn)≤2000。

2.忽略實(shí)際限制：

-錯(cuò)誤：解集中售價(jià)為負(fù)數(shù)（如x≥?10），未剔除。

3.折扣計(jì)算錯(cuò)誤：

-錯(cuò)誤：將“8折”誤算為3.2解題技巧與方法

1.分步建模法：

-步驟：

1.設(shè)變量并標(biāo)注單位（如售價(jià)x元/件）；

2.分別列出利潤(rùn)、銷量、促銷條件的不等式；

3.解不等式組并篩選合理值。示例：

“某書(shū)店促銷：購(gòu)書(shū)滿100元減20元，最多可買5本，每本定價(jià)至少15元。若要享受優(yōu)惠，求購(gòu)書(shū)金額范圍。”

解析：

15

矛盾無(wú)解：若最多買5本且每本≥15元，則最低消費(fèi)為15×表格輔助法：用表格整理分段條件（如滿減、折扣）。

示例：消費(fèi)區(qū)間實(shí)際支付公式xyxy驗(yàn)證法：代入解集邊界值檢查合理性。

示例：

若售價(jià)解集為70≤x≤80，驗(yàn)證一、選擇1.(單選)某商店分別購(gòu)進(jìn)價(jià)格為每千克元的甲種糖果和價(jià)格為每千克元的乙種糖果，若該商店以每千克元的價(jià)格將兩種糖果全部賣完，為保證盈利，與應(yīng)滿足的關(guān)系是（

）．A.B.C.D.2.(單選)某品牌手機(jī)在春節(jié)期間進(jìn)行銷售，其中某款手機(jī)進(jìn)價(jià)為元/部，標(biāo)價(jià)為元/部．現(xiàn)在進(jìn)行打折促銷，但要保證利潤(rùn)率不低于，則最低打（

）．A.六折B.七折C.八折D.九折3.(單選)某批電子產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為元/件，售價(jià)為元/件．為提高銷量，商店準(zhǔn)備將這批電子產(chǎn)品降價(jià)銷售，若要保證單件利潤(rùn)率不低于5\%，則該批電子產(chǎn)品最多可降價(jià)（

）．A.元B.元C.元D.元4.(單選)小馬拿元錢去購(gòu)買筆記本和黑色簽字筆共件，已知每本筆記本元，每支黑色簽字筆元，求小馬最多能買幾支黑色簽字筆．設(shè)小馬買了支黑色簽字筆，根據(jù)題意可列不等式為（

）．A.B.C.D.5.(單選)某種商品的進(jìn)價(jià)為元，標(biāo)價(jià)為元，由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷售，要保證利潤(rùn)率不低于，該種商品最多可打（

）．A.折B.9折C.折D.折6.(單選)為進(jìn)一步開(kāi)展“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某中學(xué)以體育為突破口，準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購(gòu)買若干個(gè)足球和籃球，用于學(xué)校球類比賽活動(dòng)．根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況，需一次性購(gòu)買足球和籃球共個(gè)，但要求足球和籃球的總費(fèi)用不超過(guò)元，已知每個(gè)足球元，每個(gè)籃球元，學(xué)校最多可以購(gòu)買的籃球個(gè)數(shù)是（

）．A.B.C.D.7.(單選)某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)單價(jià)分別為元和元的，兩種筆記本共本作為獎(jiǎng)品發(fā)放給學(xué)生，要求種筆記本的數(shù)量不多于種筆記本數(shù)量的倍，不少于種筆記本數(shù)量的倍，則不同的購(gòu)買方案種數(shù)為（

）．A.B.C.D.8.(單選)（?安徽合肥五十中期中）下面是新華書(shū)店種類型文學(xué)名著套裝的價(jià)目表，小明在這里看好了類型②的名著套裝，爸爸說(shuō)：“今天有促銷活動(dòng)，九折優(yōu)惠呢！你可以再選一套，但兩套最終付款總額不能超過(guò)元．”那么小明再買第二套名著選擇價(jià)格最貴的類型是（

）．類型①②③④⑤價(jià)格/元

A.①B.③C.④D.⑤二、填空1.小石經(jīng)營(yíng)的水果店入駐了某電商平臺(tái)，并對(duì)部分水果（如下表）進(jìn)行促銷：參與促銷的水果免配送費(fèi)且一次購(gòu)買水果的總價(jià)滿元減元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，小石會(huì)得到支付款的．水果促銷前單價(jià)蘋(píng)果元箱粑粑柑元箱車?yán)遄釉浠瘕埞?/p>

(1)當(dāng)時(shí)，一次購(gòu)買蘋(píng)果和車?yán)遄痈飨洌枰Ц?/p>

元，小石會(huì)得到

元．(2)在促銷活動(dòng)中，為保障小石每筆訂單所得到的金額不低于促銷前總價(jià)的折，的最大值是

．2.某商場(chǎng)店慶活動(dòng)中，商家準(zhǔn)備對(duì)某種進(jìn)價(jià)為元、標(biāo)價(jià)為元的商品進(jìn)行打折銷售，但要保證利潤(rùn)率不低于，則最低折扣是

．3.某種商品的進(jìn)價(jià)為元，標(biāo)價(jià)為元．由于商品積壓，商家準(zhǔn)備打折銷售，但要保證利潤(rùn)不低于，則至少可以打

折．4.某校要為生物科學(xué)活動(dòng)社團(tuán)提供實(shí)驗(yàn)器材，計(jì)劃購(gòu)買，兩種型號(hào)的放大鏡，型號(hào)的放大鏡每個(gè)元，型號(hào)的放大鏡每個(gè)元，且所需購(gòu)買型號(hào)放大鏡的數(shù)量是型號(hào)放大鏡數(shù)量的倍，總費(fèi)用不超過(guò)元，則最多可以購(gòu)買型號(hào)放大鏡

個(gè)．5.巴蜀中學(xué)初一年級(jí)老師為同學(xué)們購(gòu)買《平凡的世界》，《朝花夕拾》和《鋼鐵是怎樣練成的》供大家借閱，已知三本書(shū)單價(jià)之和為元，計(jì)劃購(gòu)買三種書(shū)數(shù)量總共不超過(guò)本，其中《平凡的世界》單價(jià)為元，計(jì)劃購(gòu)買本，《朝花夕拾》至少購(gòu)買本，《鋼鐵是怎樣練成的》數(shù)量不少于《朝花夕拾》的倍．在做預(yù)算時(shí)將《鋼鐵是怎樣練成的》和《朝花夕拾》的票價(jià)弄反了，結(jié)果實(shí)際購(gòu)買三種書(shū)的總價(jià)比預(yù)算多了元，若三本書(shū)的單價(jià)均為整數(shù)，則實(shí)際購(gòu)買這三種書(shū)最多需要花費(fèi)

元．6.今年春節(jié)期間，為提倡文明、環(huán)保祭祖，某煙花銷售商擬今年不再銷售煙花爆竹，改為銷售鮮花．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四種鮮花組合比較受顧客的喜愛(ài)，于是制定了進(jìn)貨方案．其中甲、丙的進(jìn)貨量相同，乙、丁的進(jìn)貨量相同．甲與丁單價(jià)相同，甲、乙與丙、丁的單價(jià)和均為元束．且甲、乙的進(jìn)貨總價(jià)比丙、丁的進(jìn)貨總價(jià)多元．由于年末資金周轉(zhuǎn)緊張，所以臨時(shí)決定只購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種組合，甲、乙的進(jìn)貨量與原方案相同，且進(jìn)貨量總數(shù)不超過(guò)束，則該銷售商最多需要準(zhǔn)備

元進(jìn)貨資金．7.某品牌護(hù)眼燈的進(jìn)價(jià)為元，商店以元的價(jià)格出售．五一勞動(dòng)節(jié)期間，商店為讓利于顧客，計(jì)劃以利潤(rùn)率不低于的價(jià)格降價(jià)出售，則該護(hù)眼燈最多可降價(jià)

元．8.某種商品進(jìn)價(jià)為元，標(biāo)價(jià)為元，由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷售，但要保證利潤(rùn)率不低于，則至多可以打

折．三、解答1.某電子產(chǎn)品店兩次購(gòu)進(jìn)甲和乙兩種品牌耳機(jī)的數(shù)量和總費(fèi)用如下表：第一次第二次甲品牌耳機(jī)（個(gè)）乙品牌耳機(jī)（個(gè)）總費(fèi)用（元）

(1)甲、乙兩種品牌耳機(jī)的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)商家第三次進(jìn)貨計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種品牌耳機(jī)共個(gè)，其中甲品牌耳機(jī)數(shù)量不少于個(gè)，在采購(gòu)總價(jià)不超過(guò)元的情況下，最多能購(gòu)進(jìn)多少個(gè)甲品牌耳機(jī)？2.小明在超市給全家購(gòu)買五一小長(zhǎng)假出游所需的小食品，若購(gòu)買袋薯片和瓶飲料共需要元，若購(gòu)買袋薯片和瓶飲料共需要元．(1)求袋薯片和瓶飲料各多少元？(2)小明家人一起在五一期間出游，他買了薯片和飲料一共件，總價(jià)錢不超過(guò)元，那么最多能買多少袋薯片？3.期中考試后，某班班主任對(duì)在期中考試中取得優(yōu)異成績(jī)的同學(xué)進(jìn)行表彰．她到商場(chǎng)購(gòu)買了甲、乙兩種筆記本作為獎(jiǎng)品，購(gòu)買甲種筆記本本，乙種筆記本本，共花費(fèi)元，已知購(gòu)買一本甲種筆記本比購(gòu)買一本乙種筆記本多花費(fèi)元．(1)求購(gòu)買一本甲種、一本乙種筆記本各需多少元？(2)兩種筆記本均受到了獲獎(jiǎng)同學(xué)的喜愛(ài)，班主任決定在期末考試后再次購(gòu)買兩種筆記本共本，正好趕上商場(chǎng)對(duì)商品價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，甲種筆記本售價(jià)比上一次購(gòu)買時(shí)降價(jià)元，乙種筆記本按上一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的折出售．如果班主任此次購(gòu)買甲、乙兩種筆記本的總費(fèi)用不超過(guò)元，求至多需要購(gòu)買多少本甲種筆記本？4.某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為元、元的、兩種型號(hào)的電風(fēng)扇，如表是近兩周的銷售情況：銷售時(shí)段銷售數(shù)量銷售收入種型號(hào)種型號(hào)第一周臺(tái)臺(tái)元第二周臺(tái)臺(tái)元（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)銷售收入進(jìn)貨成本）

(1)求、兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)．(2)若超市準(zhǔn)備用不多于元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共臺(tái)，求種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)？(3)在（）的條件下，超市銷售完這臺(tái)電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)超過(guò)元的目標(biāo)？若能，請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．5.習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“讀書(shū)可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購(gòu)買獲得茅盾文學(xué)獎(jiǎng)的甲，乙兩種書(shū)．已知購(gòu)買本甲種書(shū)和本乙種書(shū)共需元；購(gòu)買本甲種書(shū)和本乙種書(shū)共需元．(1)求甲，乙兩種書(shū)的單價(jià)分別為多少元；(2)若學(xué)校決定購(gòu)買以上兩種書(shū)共本，總費(fèi)用不超過(guò)元，那么該校最多可以購(gòu)買甲種書(shū)多少本？6.大連大櫻桃久負(fù)盛名，李伯伯為了豐富自家大櫻桃的品種，計(jì)劃購(gòu)買美早和黃水晶兩個(gè)品種的樹(shù)苗，經(jīng)了解，棵美早樹(shù)苗和棵黃水晶樹(shù)苗共需元；棵美早樹(shù)苗和棵黃水晶樹(shù)苗共需元．(1)求這兩種樹(shù)苗的單價(jià)各多少元？(2)為了錯(cuò)峰成熟，盡量達(dá)到供需平衡，李伯伯欲購(gòu)買的美早樹(shù)苗比黃水晶多棵，總費(fèi)用不超過(guò)元，最多可以購(gòu)買美早樹(shù)苗多少棵？7.某文具商店首次購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種暢銷筆記本．已知每個(gè)甲種筆記本的進(jìn)價(jià)比每個(gè)乙種筆記本的進(jìn)價(jià)多元，且購(gòu)進(jìn)個(gè)甲種筆記本比購(gòu)進(jìn)個(gè)乙種筆記本多花元．(1)求本次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種筆記本的進(jìn)價(jià)分別是每個(gè)多少元？(2)為滿足更多學(xué)生需求，該超市準(zhǔn)備再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種筆記本共個(gè)，若購(gòu)進(jìn)這個(gè)筆記本的總金額不超過(guò)元，求最多購(gòu)進(jìn)多少個(gè)甲種筆記本？8.振興鄉(xiāng)村，打造特色農(nóng)產(chǎn)品，沙坪壩區(qū)中梁鎮(zhèn)政府組織銷售“詩(shī)意田園，中梁好物”特色農(nóng)產(chǎn)品，兩種禮盒，端午節(jié)前預(yù)售禮盒盒和禮盒盒，且預(yù)售中禮盒的售價(jià)是禮盒售價(jià)的倍．(1)若預(yù)售總額不少于元，則每盒禮盒的預(yù)售價(jià)最少是多少元？(2)沙坪壩區(qū)中梁鎮(zhèn)政府在端午節(jié)三天假期間計(jì)劃推出禮盒盒，禮盒盒．由于預(yù)售的火爆，決定將禮盒的價(jià)格在（）中最低價(jià)格的基礎(chǔ)上增加，而禮盒在（）中的售價(jià)上增加了元，結(jié)果禮盒的銷售量比計(jì)劃少，禮盒的銷售量與計(jì)劃保持一致，最終實(shí)際銷售額與計(jì)劃銷售額相等，求的值．9.體育無(wú)處不在，運(yùn)動(dòng)無(wú)限精彩．隨著天氣轉(zhuǎn)暖，戶外活動(dòng)人數(shù)逐漸增多．某體育用品店為了吸引顧客，準(zhǔn)備在五一假期搞促銷活動(dòng)，對(duì)部分品牌籃球進(jìn)行打折銷售，其中甲品牌籃球打九折，乙品牌籃球打八折．已知打折前，買個(gè)甲品牌籃球和個(gè)乙品牌籃球共需元；打折后，買個(gè)甲品牌籃球和個(gè)乙品牌籃球共需元．(1)打折前甲、乙兩種品牌籃球每個(gè)分別為多少元？(2)某校需購(gòu)買甲品牌籃球個(gè)，乙品牌籃球個(gè)，問(wèn)打折后購(gòu)買比不打折購(gòu)買節(jié)省了多少錢？10.某校學(xué)期末欲在學(xué)期末對(duì)優(yōu)秀學(xué)生和進(jìn)步較大的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．購(gòu)買件種獎(jiǎng)品和件種獎(jiǎng)品共需元，購(gòu)買件種獎(jiǎng)品和件種獎(jiǎng)品共需元．(1)求種獎(jiǎng)品和種獎(jiǎng)品的單價(jià)(2)該校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種獎(jiǎng)品共件，且總費(fèi)用不超過(guò)元，求最多購(gòu)買多少件種獎(jiǎng)品.11.某小區(qū)積極創(chuàng)建環(huán)保示范社區(qū)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，已知溫馨提示牌的單價(jià)為每個(gè)元，垃圾箱的單價(jià)為每個(gè)元，共需購(gòu)買溫馨提示牌和垃圾箱共個(gè).(1)若規(guī)定溫馨提示牌和垃圾箱的個(gè)數(shù)之比為